משפט פיתגורס

משפט פיתגורס הוא משפט שניתן להשתמש בו במשולשים ישרי זווית בלבד.
בעזרת משפט פיתגורס ניתן למצוא את הצלע השלישית במשולש אם ידועות לנו שתי צלעות.

לדף זה 3 חלקים:

  1. קישורים לדפים בנושא משפט פיתגורס.
  2. סיכום החומר בוידאו.
  3. תרגילים מסכמים מכל הסוגים.

1.קישורים

יש כמה סוגים של שאלות שיכולים לשאול אותכם בנושא משפט פיתגורס.
ניתן ללמוד את סוגי השאלות דרך הקישורים המציעים הסברים מפורטים בכתב ובוידאו + תרגילים.
ניתן ללמוד גם מהסיכום המופיע מיד לאחר הקישורים.

  1. חישוב בסיסי בעזרת משפט פיתגורס.
  2. שני משולשים עם צלע משותפת.
  3. שילוב של בעיות יחס / פרופורציה.
  4. משפט פיתגורס במשולש שווה שוקיים.
  5. שילוב משפט פיתגורס עם שטח משולש.
  6. איך ניתן לדעת על פי גדלי הצלעות האם המשולש הוא ישר זווית.
  7. משפט פיתגורס תרגילים קשים. (עבור תלמידי כיתה ט ומעלה).

2.סיכום וידאו

אם במשולש ישר זווית הניצבים הם a ו- b והיתר הוא c אז על פי משפט פיתגורס:
a²+b²=c².
ניתן לכתוב זאת גם כך:
² יתר = ² ניצב + ² ניצב

במשולשים הבאים הצלע החסרה היא היתר לכן המשוואה נראית כך:

במשולשים הבאים הצלע החסרה היא הניצב, לכן המשוואה נראית כך:

המשך הסיכום הוא בוידאו.

  1. הסרטון הראשון מלמד את היסודות.
  2. הסרטון השני מלמד סוגים של תרגילים קשים יותר.

לאחר הסרטונים הסבר של היסודות גם בכתב.

3.תרגילים מסכמים

בחלק זה 9 תרגילים מסכמים.
תחילה מופיעים התרגילים ולאחר מיכן התרגילים עם הפתרונות שלהם.

ארבעת התרגילים הראשונים מובאים בשרטוט.
השאלה מופיעה מעל השרטוט.

תרגיל 5
היחס בין שני הניצבים במשולש ישר זווית הוא 2:3.
אורך היתר במשולש הוא 10 סנטימטר.
חשבו את אורכי הניצבים במשולש.

תרגיל 6
ידוע כי אורך היתר במשולש שווה שוקיים וישר זווית הוא 10 סנטימטר.

  1. מצאו את אורך השוקיים.
  2. חשבו את שטח המשולש.

תרגיל 7
נתון משולש ABC שווה שוקיים(AB=AC). אורך הבסיס BC הוא 10 ס"מ. ואורך חוצה זווית הראש  AD=6 ס"מ.
חשבו את:
א. אורך שוק המשולש.
ב. שטח משולש ΔABC.

משפט פיתגורס במשולש שווה שוקיים שרטוט התרגיל

תרגיל 8
במשולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) אורכי הניצבים הם 6 ו 10 ס"מ.
BD הוא הגובה ליתר.
חשבו את אורך BD.

אתם מורים פרטיים?
אני מציע פרסום תמורת עבודת שדרוג קטנה באתר וללא תשלום.
פרטים כאן

תרגיל 9
קבעו אם משולש שאורכי צלעותיו הם 34,5,3√ הוא משולש ישר זווית.

פתרונות

תרגיל 1
חשבו את הצלע AB

פתרון
הצלע החסרה במשולש זה היא היתר (הצלע שמול הזווית בת 90 המעלות) לכן ההצבה היא:

והמשך הפתרון הוא:

AB = 10  או  AB = -10
מכוון ש AB זו צלע שגודלה חיובי אז התשובה היא AB = 10.

תרגיל 2
חשבו את AB שבשרטוט.

פתרון
היתר במשולש זה היא הצלע שאורכה AC = 5 סנטימטר כי היא נמצאת מול הזווית שגודלה 90 מעלות.
AB היא ניצב במשולש.
לכן המשוואה על פי פיתגורס תראה כך:
AB² + 4² = 5²
AB²  + 16 = 25
AB²  = 9
AB = 3  או  AB = -3
מכוון ש AB הוא גודל של צלע ומספר חיובי התשובה היא:
AB = 3

שימו לב שלאחר שמצאנו את אורך הניצב AB אנו יכולים לחשב את שטח משולש ABC.
כך שיתכן שבשאלה לא יהיה כתוב "חשבו את AB"  אלא יהיה כתוב "חשבו את שטח ABC".

תרגיל 3
השמש מהירה על עמוד והעמוד מטיל צל על האדמה.
גובה העמוד הוא 2 מטרים.
המרחק בין קצה העמוד לקצה הצל הוא 2.5 מטרים.
חשבו את אורך הצל.

פתרון
המרחק של 2.5 מטרים הוא היתר של המשולש.
x  הוא אורך הצל.
x² + 2² = 2.5²
x² +4 = 5.25
x² = 1.25
x = 1.11  או   x = -1.11
מכוון ש x הוא גודל של צלע ומספר חיובי התשובה היא:
x = 1.11
תשובה: אורך הצל הוא 1.11 מטרים.

תרגיל 4
על פי הנתונים שבשרטוט חשבו את הצלע CD ואת שטח משולש ABD.

פתרון
הצלע CD שייכת למשולש ישר זווית ACD שבו אין לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישוב.
לכן נתחיל את הפתרון במשולש שבו יש לנו מספיק נתונים והוא משולש ABC.

במשולש ABC הצלע AC שאנו לא יודעים היא ניצב.
לכן ההצבה במשפט פיתגורס תראה כך:
AC² + 3² = 5²
AC² + 9 = 25
AC² = 16
AC = 4  או  AC = -4
מכוון ש AC הוא גודל חיובי של צלע התשובה היא:
AC= 4.

שלב ב: חישוב במשולש ACD
עכשיו יש לנו מספיק נתונים במשולש ישר זווית ACD.
הצלע החסרה CD היא ניצב ולכן ההצבה במשפט פיתגורס תראה כך:
CD² + 4² = 7²
CD² + 16 = 49
CD² = 33
CD = 5.74  או  CD = -5.74
מכוון ש CD הוא גודל חיובי של צלע התשובה היא:
CD = 5.74

שלב ג: חישוב שטח משולש ABD
עכשיו אנו יודעים את אורך הצלע BD
BD = 3 + 5.74 = 8.74
ואת הגובה לצלע AC = 4

תשובה: שטח משולש ABD הוא 17.48.

תרגיל 5
היחס בין שני הניצבים במשולש ישר זווית הוא 2:3.
אורך היתר במשולש הוא 10 סנטימטר.
חשבו את אורכי הניצבים במשולש.

פתרון
המפתח בפתרון שאלות יחס הוא לדעת להגדיר משתנים.
נושא הגדרת המשתנים מוסבר ביסודיות בדף בעיות יחס.
במקרה זה נגדיר:
2x  אורך ניצב אחד בסנטימטרים.
3x אורך ניצב שני בסנטימטרים.

והמשוואה בעזרת משפט פיתגורס תהיה:
2x)² + (3x)² = 10²)
4x² + 9x² = 100
13x² = 100
x² = 7.7
x = 2.77 או x = -2.77
מכוון ש x הוא גודל חיובי של צלע התשובה היא:
x = 2.77

אורכי הניצבים הם:
AB = 2x = 2*2.77 = 5.54
BC = 3x = 3*2.77 = 8.31

תרגיל 6
ידוע כי אורך היתר במשולש שווה שוקיים וישר זווית הוא 10 סנטימטר.

  1. מצאו את אורך השוקיים.
  2. חשבו את שטח המשולש.

פתרון
נגדיר את אורך כל אחד מהשוקיים כ x ונכתוב משוואה בעזרת פיתגורס.
x² + x² = 10²
2x² = 100
x² = 50
x = √50

ושטח המשולש הוא 25 סמ"ר.

תרגיל 7
נתון משולש ABC שווה שוקיים(AB=AC). אורך הבסיס BC הוא 10 ס"מ. ואורך חוצה זווית הראש  AD=6 ס"מ.
חשבו את:
א. אורך שוק המשולש.
ב. שטח משולש ΔABC.

משפט פיתגורס במשולש שווה שוקיים שרטוט התרגיל

רמזים / שלבים לפתרון:

  1. חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון וגובה.

פתרון

  1. אורך הגובה לבסיס הוא 6 ס"מ – חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם גובה.
  2. הגובה לבסיס מחלק את הבסיס לשני קטעים שאורך כל אחד מהם הוא 5 ס"מ – חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון.
  3. על פי פיתגורס במשולש ΔABD מתקיים: AB²=6²+5².
    AB²=36+25=61
    AB=√61=7.81
    AB=7.71 – זה אורך השוק.
  4. שטח המשולש ΔABC הוא
    SABC = (10*6) / 2
    30= 60:2.
    תשובה: שטח משולש ΔABC הוא 30 סמ"ר.

תרגיל 8
במשולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) אורכי הניצבים הם 6 ו 10 ס"מ.
BD הוא הגובה ליתר.
חשבו את אורך BD.

פתרון
רמז: הפתרון מתבסס על כך ששטח משולש ישר זווית ניתן לחשב כמכפלת אורכי הניצבים לחלק ב 2. או הגובה ליתר כפול היתר לחלק ב 2.

  1. נחשב את שטח המשולש על פי שני הניצבים:
    2 : 6*10
    30=60:2
  2. נחשב את אורך היתר על פי משפט פיתגורס:
    136= 10²+6²
    CA²=136
    CA=11.66
  3. ניתן לחשב את שטח משולש ΔABC
    גם כמכפלה של היתר בגובה אליו:
    S=CA*BD / 2 =30
    11.66BD / 2=30
    11.66BD=60
    BD=5.148
    תשובה: אורך הגובה BD הוא 5.148 ס"מ.

תרגיל 9
קבעו אם משולש שאורכי צלעותיו הם 34,5,3√ הוא משולש ישר זווית.

פתרון
ריבוע הצלע הגדולה הוא:
34 = 34²√

סכום ריבועי הצלעות הנוספות הוא:
= 5² + 3²
34 = 25 + 9

תשובה: 34 = 34 ולכן המשולש הוא משולש ישר זווית.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.