משפט פיתגורס ובעיות יחס

אנו יודעים שניתן להשתמש במשפט פיתגורס כאשר יודעים שתי צלעות במשולש.
אבל ניתן לפתור תרגילים גם אם יודעים צלע אחת בלבד במשולש ואת היחס בין שתי הצלעות האחרות.

בהתחלה נסביר באופן כללי כיצד מגדירים משתנים בבעיות יחס (בכול סוגי בעיות יחס, לא רק אלו הקשורות למשפט פיתגורס).
לאחר מיכן נפתור תרגילים המשלבים בין פיתגורס ליחס

1.כיצד להגדיר משתנים בבעיות יחס

הקושי המרכזי בבעיות יחס הוא כיצד לבחור משתנים בצורה נכונה.
אם תתגברו על קושי זה פתרון התרגילים יהיה עבורכם הרבה יותר קל.

דוגמה 1
היחס בין הכוסות לצלחות הוא 1:3.
כיצד נגדיר את מספר הצלחות ומספר הכוסות בעזרת משתנה אחד?

פתרון
x  מספר הכוסות.
מספר הצלחות הוא פי 3 ולכן:
3x  מספר הצלחות.

דוגמה 2
היחס בין הכוסות לצלחות הוא 3:7.
כיצד נגדיר את מספר הצלחות ומספר הכוסות בעזרת משתנה אחד?

פתרון
אם נגדיר:
x   מספר הכוסות.
מה יהיה מספר הצלחות?
לא ניתן להגיע למספר הצלחות על ידי הכפלה במספר שלם, לכן קשה לפעול בדרך הזו.

מה שנעשה הוא כך:
3x  מספר הכוסות.
7x  מספר הצלחות.
כך היחס של 3:7 נשמר.

זה מה שמיוחד בבעיות יחס, הרבה פעמים אנו מגדירים כפולה של x.

דוגמאות.
עבור יחס 3:5
ההגדרה תהיה:
3x כוסות.
5x צלחות.

עבור יחס 2:9
ההגדרה תהיה:
2x כוסות.
9x צלחות.

עבור יחס 1:5
ההגדרה תהיה:
x כוסות.
5x צלחות.

עבור יחס 4:10
ההגדרה תהיה:
4x כוסות.
10x צלחות.

2.תרגילים המשלבים פיתגורס ויחס

תרגיל 1
היחס בין שני הניצבים במשולש ישר זווית הוא 2:3.
אורך היתר במשולש הוא 10 סנטימטר.
חשבו את אורכי הניצבים במשולש.

פתרון
המפתח בפתרון שאלות יחס הוא לדעת להגדיר משתנים.
נושא הגדרת המשתנים מוסבר ביסודיות בדף בעיות יחס.
במקרה זה נגדיר:
2x  אורך ניצב אחד בסנטימטרים.
3x אורך ניצב שני בסנטימטרים.

והמשוואה בעזרת משפט פיתגורס תהיה:
2x)² + (3x)² = 10²)
4x² + 9x² = 100
13x² = 100
x² = 7.7
x = 2.77 או x = -2.77
מכוון ש x הוא גודל חיובי של צלע התשובה היא:
x = 2.77

אורכי הניצבים הם:
AB = 2x = 2*2.77 = 5.54
BC = 3x = 3*2.77 = 8.31

תרגיל 2
היחס בין הניצב ליתר במשולש ישר זווית הוא 4:5.
אורך הניצב השני הוא 9.
חשבו את צלעות המשולש.

פתרון
מכוון שהיחס הוא 4:5 נגדיר:
4x  הניצב.
5x  היתר.

5x הוא היתר לכן המשוואה נראית כך.

5x)² = (4x)² + 9²)
25x² = 16x² + 81  / -9x²
9x² = 81
x² = 9
x = 3  או   x = -3
מכוון ש x הוא גודל חיובי, אורך של צלע התשובה היא:
x = 3

4x = 12  אורך הניצב.
5x = 15  אורך היתר.

תרגיל 3
במשולש ישר זווית אורכו של היתר הוא 52√ ס"מ. ידוע כי היחס בין אורכי הניצבים הוא 2:3. חשבו את אורכי הניצבים במשולש.

שרטוט התרגיל

פתרון
אם אורך של הניצב הקצר הוא 2x אז האורך של הניצב הארוך הוא 3x.
נציב זאת בנוסחה של משפט פיתגורס:
2x)²+(3x)²=52)
4x²+9x²=52
13x²=52
x²=4
x=2 או x=-2 (תשובה זו נפסלת).
2x=4,   3x=6.
תשובה: אורך הניצבים במשולש הוא 4 ס"מ ו 6 ס"מ.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.