משפט פיתגורס תרגילים קשים

בדף משפט פיתגורס למדנו את היסודות של משפט פיתגורס.

בדף זה נפתור תרגילים קשים יותר.
חלק מהתרגילים (נושאים 1-2) יכולים להיפתר על יד תלמידי כיתה ח.
נושאים 3-4 מתאימים לתלמידים בכיתות ט ומעלה.
התרגילים מחולקים לסוגים הבאים:

  1. שילוב של משפט פיתגורס ושטח משולש.
  2. משתנה אחד המגדיר שתי צלעות.
  3. שילב של משפט פיתגורס עם היקף משולש.
  4. משפט פיתגורס במרובעים.

1.שילוב של משפט פיתגורס עם שטח משולש

שטח משולש מחשבים תמיד כמכפלה של צלע בגובה חלקי 2.
אבל מכוון שיש 3 צלעות במשולש יש גם 3 דרכים לחשב את שטח המשולש.
בכל שלושת הדרכים שטח המשולש שנגיע אליו הוא אותו שטח.

בשרטוט מטה ACB הוא משולש ישר זווית.
ו CD הוא הגובה אל הצלע AB.
על פי הנתונים שבשרטוט מצאו את הגובה CD.

הדרך לפתרון:

  1. מוצאים את AB באמצעות משפט פיתגורס.
  2. משתמשים בזה ש CD * AB צריך להיות שווה ל AC * BC = 12. כדי למצוא את CD.

הפתרון המלא:
AB² = 3² + 4² = 25
AB = 5

שטח משולש ABC הוא:

ניתן לחשב את שטח משולש ABC גם כך:

נכפיל את המשוואה שקיבלנו פי 2 ונקבל:
5CD = 12
CD = 2.4
תשובה: אורכו של הגובה CD הוא 2.4 ס"מ.

תרגיל 2
במשולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) אורכי הניצבים הם 6 ו 10 ס"מ.
BD הוא הגובה ליתר.
חשבו את אורך BD.

פתרון
רמז: הפתרון מתבסס על כך ששטח משולש ישר זווית ניתן לחשב כמכפלת אורכי הניצבים לחלק ב 2. או הגובה ליתר כפול היתר לחלק ב 2.

  1. נחשב את שטח המשולש על פי שני הניצבים:
    2 : 6*10
    30=60:2
  2. נחשב את אורך היתר על פי משפט פיתגורס:
    136= 10²+6²
    CA²=136
    CA=11.66
  3. ניתן לחשב את שטח משולש ΔABC
    גם כמכפלה של היתר בגובה אליו:
    S=CA*BD / 2 =30
    11.66BD / 2=30
    11.66BD=60
    BD=5.148
    תשובה: אורך הגובה BD הוא 5.148 ס"מ.

2.שילוב של משפט פיתגורס עם היקף משולש

תרגיל
היקף משולש הוא 24 סנטימטר.
אורך אחד הניצבים הוא 6 סנטימטר.
מצאו את אורך שתי הצלעות הנוספות במשולש.

פתרון
נגדיר :
x אורך הניצב השני.
ולכן אורך היתר הוא:

עכשיו אנו יכולים לבנות בעזרת משפט פיתגורס משוואה:
x² + 6² = (18 – x)²
x² + 36 = 324 – 36x + x²
36x = 288  / :36
x = 8

8 הוא אורכו של הניצב השני.
אורכו של היתר הוא:
10 = 8 – 18

תרגיל 2
היקף משולש ישר זווית הוא 24 ס"מ. אורך היתר הוא 10 ס"מ.
חשבו את אורך ניצבי המשולש.

משפט פיתגורס שרטוט תרגיל

פתרון
נגדיר
x – אורך ניצב המשולש.

אורך הניצב השני הוא 14 מינוס X
(אורך הניצב השני 14 מינוס x).

x²+(14-x)²=10²
x²+14²-28x+x²=100
2x²+196-28x=100
2x²-28x+96=0 /:2
x²-14x+48=0
x-6) (x-8)=0)  – פירוק הטרינום.
x=6  או x=8

תשובה: אורך הניצב הקצר הוא 6 ס"מ. אורך הניצב הארוך הוא 8 ס"מ.
הערה: השתמשתי פירוק הטרינום על מנת לפתור את המשוואה הריבועית אך למי שיותר נוח יכול לפתור בעזרת נוסחת השורשים.

3.משתנה אחד המגדיר שתי צלעות

בשאלות מסוג זה יש לנו נתון על צלע במשולש שאינו ישר זווית.
כמו AB = 15 בשרטוט שלפנינו.
AB=15, BC = 12,  AC=9
CD⊥AB.
ואנו צריכים למצוא את אחת מהצלעות AD, DB, CD.

משפט פיתגורס, שרטוט התרגיל

פתרון
AB = 15 זה נתון שאנו לא יודעים איך להשתמש בו.
אבל אם נגדיר
BD = x
AD = 15 – x

נגדיר את CD בעזרת פיתגורס בשני המשולשים ישרי הזווית.
במשולש CDB נמצא משוואה ראשונה:
CD² = 12² – X²

במשולש CDA נמצא משוואה שנייה:
(CD² = 9²-(15-X)² = 9²-(15-X) * (15 – x
(CD² = 9² – (225 – 15x – 15x +x²
(CD² = 81-( 225 – 30X + X²
CD² = 30X – X² -144

קיבלנו שתי משוואות:
CD² = 12² – X²
CD² = 30X – X² -144
אנו יכולים להשוות בין שתי המשוואות ולקבל משוואה עם נעלם אחד:

30X – X² -144 = 12² – X²
30X = 144+144=288
X=9.6

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:
CD² = 12² – X²
CD = 12²-9.6²=51.84
CD = 7.2 ס"מ.

לסיכום פתרנו את השאלה בשלושה שלבים:

  1. בחירת משתנה שמאפשר לנו להגדיר שתי צלעות.
  2. יצירת שתי משוואות הכוללות צלע משותפת לשני המשולשים (הצלע CD).
  3. השוואה בין שתי המשוואות.

תרגיל 2
נתון משולש ABC שבו אורכי הצלעות הם:  AB=5, AC=8, BC=12 ס"מ.
חשבו את הגובה AD ואת שטח המשולש.

משפט פיתגורס, שרטוט התרגיל

פתרון

רמז: עליכם לבחור משתנה ולבנות באמצעותו ומשפט פיתגורס שתי משוואות בשני משולשים. ואז להשוות בין המשוואות.

נגדיר BD=X.
במשולש ABD על פי משפט פיתגורס.
X2+ AD2=52
AD2= 25-X2

במשולש ACD מתקיים על פי משפט פיתגורס.
82 = AD2 + (12-x)2
(AD2=64-(144-24X+X2
נשתמש במשוואה זו ובמשוואה שקיבלנו למעלה (שתיהן שוות AD2)
(AD² = 25-X2=64-(144-24X+X2
X2+25=64-144+24X-X2
X2+25=-80+24x-x2
105=24x
X=4.375

על פי מה שמצאנו קודם:
AD2= 25-X2=25-4.3752=25-19.14=5.86
AD=2.42  ס"מ.
שטח המשולש
AD*BC :2
14.52=2 : 2.42*12

תרגיל 3
נתון
AB = √34, BD = 3, CD = 8
BC⊥AD
מה אורכה של של הצלע AC?

פתרון

  1. הצלע AC נמצאת במשולש ישר זווית ADC. אבל במשולש זה אנו יודעים רק צלע אחת.
  2. נשים לב שהצלע AD משותפת למשולש ADB שבו כן יש מספיק נתונים לחישוב בעזרת משפט פיתגורס.
  3. לכן נחשב את AD במשולש ADB ואז נשתמש בתוצאה כדי למצוא במשולש ADC.

פיתגורס במשולש ADB:
AD² = (√34)² – 3² = 34-9=25
AD= 5

פיתגורס במשולש ADC:
AC² = 8² + 5² = 64+25 = 89
AC= √89

4.משפט פיתגורס במרובעים

תרגיל 1
במקבילית ABCD מורידים שני גבהים AE ו CF.
אורך הצלע AB הוא 8 ס"מ אורך הישר EC=7 ס"מ. אורך הישר BE=2 ס"מ.
א. חשבו את שטח המקבילית.
ב. ידוע כי מרובע AECF הוא מלבן, חשבו את שטחו.

שרטוט התרגיל

פתרון
שטח מקבילית שווה לאורך צלע המקבילית כפול הגובה אליה.
נחשב את אורך הצלע AE.
על פי משפט פיתגורס במשולש ΔBEA.
8²-2²=AE²
AE²=64-4=60
AE=√60
נחשב את אורך הצלע BC
BC=BE+EC=2+7=9
נחשב את שטח המקבילית
S=BC*AE=9*√60
S=69.71
תשובה: שטח המקבילית הוא 69.71 סמ"ר.

ב. שטח מלבן שווה למכפלת הצלעות שלו.
S=EC*AE=7*√60
S=54.22.
תשובה: שטח המלבן הוא 54.22 סמ"ר.

תרגיל 2
היקף מלבן ABCD הוא 30 ס"מ. אורך הצלע AD=9 ס"מ.
במלבן מעבירים ישר DE, הנקודה E נמצאת על הצלע BC.
CE=2 ס"מ.
א. חשבו את אורך הישר DE
ב. חשבו את שטח משולש ΔDBE. (אין קשר בין סעיף א ל ב).

שרטוט התרגיל, משפט פתגורס במלבן

פתרון
עלינו למצוא את אורך DC על מנת למצוא את אורך DE.
P= 2DC + 2AD – היקף המלבן.
2DC +18=30
2DC=12
DC=6

במשולש ΔDEC על פי משפט פיתגורס:
DE²=6²+2²=36+4
DE²=40
DE=√40 – תשובה לסעיף א.

שטח משולש ΔDBE שווה ל:
2 : BE*BC
BE=9-2=7.
DC=6
2 :  6*7
21 = 42:2
תשובה: שטח משולש ΔDBE הוא 21 סמ"ר.

תרגיל 3
במלבן היחס בין אורכי הצלעות הוא 3 : 2.
ידוע כי אורך האלכסון הוא 52√
מצאו את אורך צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
DC = 2x  אורך הצלע הקצרה.
BC = 3x  אורך הצלע הארוכה.

במשולש DBC על פי משפט פיתגורס
BC² + DC² = BD²
3x)² + (2x)² = 52)
9x² + 4x² = 52
13x² = 52  / :13
x² = 4
x = 2  או   x = -2.
מכוון שגודל צלע הוא מספר חיובי התשובה היא x =2.

DC = 2X = 4
BC = 3X  = 6

תרגיל 4
בטרפז שווה שוקיים אורך השוק הוא 7.
ידוע גם:
AD= 5,  BC =11
חשבו את גובה הטרפז.

הרעיון של הפתרון
נוכיח ונמצא את הגודל של BE, FC בעזרת הוכחת חפיפת משולשים.
ואז נשתמש במשפט פיתגורס.

פתרון
AE, DF הם הגבהים בטרפז.

שלב א
נוכיח שהמשולשים בצדדים חופפים.

  1. AB = DC  נתון טרפז שווה שוקיים
  2. B = ∠C∠  זוויות בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. AEB = ∠DFC = 90∠  בגלל שהישרים AE, DF הם גבהים.
  4. EAB = ∠ FDC אם שתי זוויות במשולש שוות זו לזו אז גם הזוויות השלישית שווה.
    את ההוכחה המתמטית כותבים כך:
    EAB = 180 – ∠AEB – ∠B = 180 – ∠FDC – ∠C = ∠FDC∠
  5. AEB ≅ DFC  משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.

שלב ב
נמצא את גודלם של BE, CF.

  1. AEFD מלבן כי מרובע שבו 3 זוויות של 90 מעלות הוא מלבן
  2. EF = AD =  5  צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
  3. BE + CF = BC – EF = 11 – 5 = 6
  4. BE = CF  צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  5. BE = 6 : 2 = 3

שלב ג
נשתמש במשפט פיתגורס
במשולש ABE
AE² = AB² – BE²
AE² = 7² -3³ = 49- 9 = 40
AE = √40

תשובה: גובה הטרפז הוא 40√

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “משפט פיתגורס תרגילים קשים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.