בשאלות בגיאומטריה יש הרבה תיכונים שלא מופיעה לידם בשאלה המילה "תיכון".

שתי הדוגמאות הבולטות לכך הם האלכסונים במשפחת המקביליות שחוצים זה את זה.
וגם חלק מהישרים היוצאים ממרכז המעגל (מרכז המעגל הוא האמצע של הקוטר).

במקרים הללו אתם תצטרכו לעשות שימוש בתכונות התיכון, לזהות קטע אמצעים במשולש, לזהות נקודת מפגש של תיכונים וזאת מבלי לקרוא בשאלה את המילה "תיכון".

בדף זה ניתן כמה דוגמאות לכך.

הדף מתאים לתלמידי 4-5 יחידות בכיתות י-יב.

דוגמאות

דוגמה 1
המרובע ABCD הוא מקבילית.
האם BO הוא תיכון?

פתרון
BO הוא תיכון במשולש ABC כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
כמו כן
AO, CO, DO
הם תיכונים במשולשים המתאימים.

דוגמה 2
במקבילית ABCD ידוע כי
BE = CE.
הוכיחו כי
AF = 2FE.

פתרון
BO וגם AE הם תיכונים במשולש ABC.
לכן הנקודה F היא נקודת מפגש התיכונים.
AF = 2FE כי נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון ביחס 2:1 (כאשר החלק הגדול הוא החלק הקרוב לקודקוד).

דוגמה 3
במקבילית ABCD
AE = DE.
הוכיחו כי
2OE = AB

פתרון
במשולש ABD:

1. O היא אמצע הצלע BD.
2. E היא אמצע הצלע AD.
3. OE הוא קטע אמצעים במשולש כי ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים.
4. קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל לכן 2OE = AB.

דוגמה 4
במקבילית ABCD
AE = BE
הוכיחו:
3FO = OC

פתרון
במשולש ADB:

1. AO וגם DE הם תיכונים. לכן הנקודה F היא נקודת מפגש התיכונים.
2. 3FO = AO כי נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון ביחס 2:1.
3. CO = AO = 3FO

דוגמה 5
מהנקודה C יוצאים המשיק למעגל CB והחותך CA.
AB הוא קוטר המעגל ו O מרכז המעגל.
D היא אמצע הצלע CA.

1. הוכיחו כי AOD ∼ ABC.
2. שטח משולש ABC הוא 10 סמ"ר. מה הוא שטחו של משולש AOD?

פתרון
סעיף א

1. ABC = 90 זוויות בין רדיוס למיתר בנקודת ההשקה היא 90 מעלות.
2. OD קטע אמצעים במשולש ABC כי ישר היוצר מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים.
3. AOC = ABC = 90 זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

סעיף ב

1. A זוויות משותפת.
2. AOC = ABC = 90.
3. המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ג

1. AO = R,  AR = 2R. אלו צלעות מתאימות בין המשולשים הדומים ולכן יחס הדמיון הוא 2.
2. יחס השטחים הוא 4 (ריבוע יחס הדמיון) לכן שטח משולש ABC הוא 40 = 4 * 10.

עוד באתר:

• מתמטיקה לכיתה י.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

בדף זה נסכם את החומר בנושא דמיון משולשים עבור תלמידי כיתה ח.

בדף זה אנו נתמקד בחלקים הקשים יותר הנלמדים בשנה זו, שהם: יחס הדמיון ויחס השטחים.
על החלקים של משפטי הדמיון וכיצד מוכיחים דמיון משולשים נעבור בקצרה. מי שרוצה לעבור כליהם בהרחבה יכול לעשות זאת בדף כיצד מוכיחים דמיון משולשים.

החלקים של הדף הם:

1. שלושת משפטי הדמיון.
2. כיצד מוכיחים דמיון משולשים?
3. כיצד מזהים צלעות מתאימות?
4. מהוא יחס הדמיון וכיצד מוצאים אותו בעזרת צלעות?
5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?
6. הקשר בין יחס הדמיון ליחס השטחים.

הסימן שאיתו מסמנים דמיון משולשים הוא זה ∼.
כאשר כותבים:
ABC ∼ DEF
המשמעות הוא שמשולש ABC דומה למשולש DEF.

1.שלושת משפטי הדמיון

1.משפט דמיון ז.ז
אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

2.משפט דמיון צ.ז.צ
אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.ז.צ.

3.משפט דמיון צ.צ.צ
אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

הדף מיועד למי שיודע את משפטי הדמיון לכן לא נתעכב עליהם.
ניתן להרחיב וללמוד על משפטי הדמיון בקישור או בוידאו.

• דמיון משולשים משפטים.

2.הדרכים הבסיסיות להוכיח דמיון משולשים

את הדרכים הבסיסיות להוכחת דמיון משולשים לא הצלחתי לסכם בכתב.
לכן בחלק זה יש וידאו וגם קישור אל הדף הכולל את התרגילים עליהם מבוסס הסרטון.

• דמיון משולשים דרכים בסיסיות להוכחה.

3.לאחר הוכחת דמיון משולשים, איך מזהים צלעות מתאימות וזוויות מתאימות?

אם אנו יודעים כי ABC ∼ KHR כיצד נמצא את הצלעות המתאימות והזוויות המתאימות?

עושים זאת על על פי מיקום האותיות
עבור צלעות:
AB ⇒ KH  (אלו שתי הצלעות שהאותיות שלהן נמצאות במקומות 1,2).
AC ⇒ KR (מקומות 1,3)
BC ⇒ HR (מקומות 2,3)

עבור זוויות:
A = K  (מקום 1).
B = H (מקום 2).
C = R (מקום 3)

4.כיצד מוצאים את יחס הדמיון

דרך ראשונה על פי צלעות

עושים זאת בשני שלבים:

1. מוצאים שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלם.
2. מחלקים צלע אחת בצלע שנייה והתוצאה היא יחס הדמיון.

דוגמה
ידוע כי ABC ∼ FTR על פי הנתונים שבשרטוט

1. מצאו את יחס הדמיון.
2. השלימו את הגדלים של הצלעות האחרות.

פתרון
ABC ∼ FTR
שלב א: מציאת צלעות מתאימות שיודעים את הגודל של שתיהן
עבור TF הצלע המתאימה היא AB ואנו לא יודעים את גודלה של AB.
עבור TR הצלע המתאימה היא BC ואנו יודעים את גודל שתיהן לכן ניתן לחשב באמצעותן את יחס הדמיון.

שלב ב: חישוב יחס הדמיון
נחלק את הצלעות המתאימות.

תשובה: יחס הדמיון בין המשולשים FTR ∼ ABC הוא 1:4.
וזה אומר שכל צלע במשולש FTR גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.

שימו לב שניתן היה לכתוב את יחס הדמיון גם כך ABC ∼ FTR הוא 4:1.

סעיף ב: השלמת הצלעות החסרות
ABC ∼ FTR
נחזור אל הצלעות AC, TF שאנו לא קיבלנו את גודל הזוויות המתאימות שלהן.
עכשיו בעזרת יחס הדמיון נוכל למצוא את גודל הזוויות החסרות.

AC = 3 נמצאת במשולש הקטן יותר ולכן הצלע המתאימה לה גדולה פי 4.
FR = 4*3 =12  (זו הצלע המתאימה).

TF = 8 והיא נמצאת במשולש הגדול, לכן הצלע המתאימה לה קטנה פי 4.
AB = 8:2 = 4 (זו הצלע המתאימה).

דרך שנייה למציאת יחס הדמיון: על פי שטחי המשולשים

יש משפט האומר:
יחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

והמשמעות היא שאם יחס הדמיון הוא 5 אז יחס השטחים הוא 25.
כלומר אם שטח המשולש הקטן הוא 10 אז שטח המשולש הגדול הוא פי 25 ושווה ל 250.

וזה עובד גם הפוך
אם בין משולשים דומים יחס השטחים הוא x אז יחס הדמיון הוא x√.
אם יחס השטחים הוא 16 אז יחס הדמיון הוא 4 = 16√.

למשל במשולשים הללו יחס הדמיון הוא 3, כי ניתן לראות שכל צלע במשולש הגדול גדולה פי 3 מהצלע המתאימה במשולש הקטן.
לכן יחס השטחים בין המשולשים הללו הוא 3² = 9.
ואם השטח של המשולש הקטן היה 5 סמ"ר אז השטח של המשולש הגדול היה:
45 = 9 * 5

5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?

לאחר שמצאנו את יחס הדמיון ניתן בעזרת פעולות כפל וחילוק למצוא גדלים של צלעות מתאימות.
את חלק זה נלמד בעזרת 3 תרגילים.
לתרגילים 1,3 יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

• יחס דמיון – הוא דף מומלץ הכולל תרגילים נוספים.

תרגיל 1 
יחס הדמיון בין המשולשים ABC ∼ KFT הוא 3 : 1 (כאשר KFT הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר).
ידוע כי צלעות משולש ABC הן AB = 2, AC=4, BC = 5 סנטימטר.
מצאו את אורכם של הצלעות  FT,  TK

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב).

עבור הצלע FT
האותיות של הצלע FT נמצאות במקומות 2-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא הצלע BC שאורכה 5 סנטימטר.
הצלע FT גדולה פי 3 ולכן אורכה 15 סנטימטר.

עבור הצלע TK
האותיות של הצלע TK נמצאות במקומות 1-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא AC שגודלה 4 סנטימטר.
TK גדולה ממנה פי 3 ולכן גודלה 12 סנטימטר.

6.יחס השטחים של משולשים דומים

תכונת יחס השטחים של משולשים דומים היא תכונה שמרבים להשתמש בה.
יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע של יחס הדמיון.

אם מצאנו כי יחס הדמיון של המשולשים ΔABC∼ΔEDF הוא 1:3.
אז יחס השטחים הוא 3²=9.

כלומר, אם שטח משולש ΔABC הוא 10 אז שטח משולש ΔDEF הוא 90.

בסוג אחר של השאלות יתנו את היחס שבין השטחים ויבקשו שנמצא את יחס הדמיון.
כיצד עושים זאת?

מכוון שאם יש לנו את יחס הדמיון אנו מעלים בריבוע (²) על מנת למצוא את יחס השטחים כאשר יש לנו את יחס השטחים אנו נוציא לו שורש (√) ונקבל את יחס הדמיון. (שורש היא הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע).

למשל: אם היחס בין שני שטחי משולשים דומים הוא 9 אז יחס הדמיון בניהם הוא: 3 = 9√ כלומר כל צלע במשולש הגדול.

דוגמאות נוספות לקשר שבין יחס השטחים ויחס הדמיון.

שאלות ותשובות קצרות בנושא יחס השטחים

1.במשולש אחד הצלעות גדולות פי 6 מבמשולש הדומה לו. מה הוא היחס בין השטחים?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס השטחים הוא:
36 = 6²

2.נתון כי יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא 0.5. שטח המשולש הגדול הוא 30 סמ"ר. מה היחס בין השטחים? מה שטחו של המשולש הקטן?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן יחס השטחים הוא:
0.25 = 0.5²
שטח המשולש הקטן הוא 1/4 משטח המשולש הגדול
7.5 = 4 : 30
תשובה: יחס השטחים הוא 0.25 ושטח המשולש הקטן 8.5 סמ"ר.

3.נתון כי יחס השטחים בין שני משולשים דומים הוא 2. מה הוא היחס בין הצלעות?
פתרון
יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים.
לכן יחס הדמיון הוא 2√

4. אם שטח משולש אחד הוא 20 סמ"ר ונתון כי יחס הדמיון של הצלעות בינו לבין משולש אחר הוא 4 (המשולש האחר הוא המשולש הקטן). מה הוא שטח המשולש האחר?
פתרון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון
16 = 4²
יחס שטחי המשולשים הוא 16. שטח המשולש הגדול הוא 20.
לכן שטח המשולש הקטן הוא:
1.25 = 20:16
תשובה: שטח המשולש הקטן הוא 1.25 סמ"ר.

5. נתון כי אורך צלע משולש אחד היא 10 ס"מ ואורך הצלע המתאימה לה במשולש דומה היא 2 ס"מ. אם שטח המשולש הקטן הוא 6 סמ"ר. מה הוא שטח המשולש הגדול?
פתרון
יחס הדמיון של המשולשים הללו הוא
5 = 10:2
יחס השטחים הוא:
25 = 5²
שטח המשולש הגדול גדול פי 25 מהקטן
150 = 6*25
תשובה: 150 סמ"ר.

7.קישורים

נושאי הדף:

1. היכרות עם 3 משפטי הדמיון
2. כיצד מוכיחים דמיון משולשים?
3. כיצד מזהים צלעות מתאימות?
4. מהוא יחס הדמיון וכיצד מוצאים אותו?
5. אם ידוע יחס הדמיון כיצד עושים בו שימוש לצורך מציאת אורכי צלעות?
6. יחס השטחים של משולשים דומים.

עוד באתר:

• מתמטיקה לכיתה ח.
• דמיון משולשים נושאים נוספים.

במשולש שווה שוקיים יש:

• שתי צלעות שוות
• שתי זוויות שוות.

ובנוסף: התיכון, חוצה הזווית והגובה לבסיס הם ישר אחד.

בגלל כל השוויונות הללו יש הרבה שאלות המשלבות בין חפיפת משולשים למשולש שווה שוקיים.

בדף זה נדבר על שתי סוגי שאלות:

1. הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים באמצעות חפיפת משולשים.
2. שאלות שבהם מעבירים שני גבהים / חוצה זווית / תיכונים אל השוקיים של המשולש וכך נוצרים משולשים חופפים.

הוכחת תכונות משולש שווה שוקיים באמצעות חפיפת משולשים

תרגיל 1
נתון משולש ABC שבו AB=AC.
נעביר את חוצה הזווית AD.
הוכיחו ללא שימוש במשפטים כלשהם (מלבד משפטי חפיפה) כי:

1. B= ∠C∠  (זוויות הבסיס שוות).
2. BD=CD (חוצה הזווית הוא תיכון).
3. AD⊥BC  (חוצה הזווית הוא אנך).

פתרון

נוכיח ACD ≅ ABD

1. AB=AC נתון.
2. BAD = ∠CAD∠ נתון AD חוצה זווית.
3. AD צלע משותפת.
4. ACD ≅ ABD משולשים חופפים על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.

הוכחה כי במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
B= ∠C∠  זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזוויות הוא גם תיכון
BD=CD  צלעות מתאימות שוות בן משולשים חופפים.

הוכחה כי חוצה הזווית הוא גובה

1. BDA = ∠CDA∠ זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
2. BDA + ∠CDA = 180∠ (סכום זוויות צמודות)
3. משתי עובדות אלו נובע כי כל אחת מהזוויות גודלם 90. רק במקרה הזה הזוויות יכולות להיות שוות זו לזו וסכומן 180.

את השורה האחרונה ניתן לכתוב במשוואה כך:
נגדיר:
BDA = ∠CDA = x
ומכוון שסכום הזוויות 180 אז המשוואה היא:
x + x = 180
2x = 180  / :2
x = 90

תרגיל 2 (תרגיל הפוך)
במשולש ABC מעבירים את הישר AD ונתון שהוא חוצה זווית וגם גובה.
BAD = CAD
BDA = CDA = 90

הוכיחו כי:

1. AB = AC (השוקיים שוות)
2. B = C (זוויות הבסיס שוות)
3. BD = CD (חוצה הזווית הוא גם תיכון).

פתרון

1. BAD = CAD  (זווית שווה)
2. BDA = CDA = 90  (זווית שווה).
3. AD צלע משותפת.
4. ADB ≅ ADC  על פי ז.צ.ז

AB = AC צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.

B = C זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

BD  =CD  צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

חוצה זווית / גבהים / תיכונים המגיעים אל השוקיים

במשולש שווה שוקיים כאשר מעבירים שני חוצה זווית / גבהים / תיכון אל השוקיים נוצרים שני משולשים חופפים למטה ודלתון למעלה.

תרגיל 1
משולש ΔABC הוא שווה שוקיים AB=AC.
מהקודקודים B ו C מעבירים חוצי זווית BD ו CE אל השוקיים.

א. הוכיחו כי BD=CE.
ב. הוכיחו כי משולש ΔBOC הוא שווה שוקיים.
ג. הוכיחו כי AEC=∠ADB∠

פתרון

1. נגדיר: B=∠C=x∠
2. DBC=0.5X∠ – נתון BD הוא חוצה זווית.
3. CEB=0.5X∠ – נתון CE הוא חוצה זווית.
4. BC – צלע משותפת.
5. ΔBDC≅ΔCEB – על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.
6. BD=CE – צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

סעיף ב.

1. DBC=∠ECB∠ – נובע מסעיפים 2 ו 3 בחלק הקודם (ואלו גם זוויות מתאימות בין משולשים חופפים).
2. ΔBOC הוא שווה שוקיים – משולש שבו 2 זוויות שוות הוא שווה שוקיים.

סעיף ג.

1. CEB=∠BDC∠ – זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
2. נגדיר CEB=∠BDC∠=x.
3. AEC=180-X∠ – סכום זוויות צמודות על ישר הוא 180 מעלות.
4. ADB=180-X∠
5. ADB=∠AEC∠ – נובע מסעיפים 3 ו 4.

תרגיל 2
בצורה דומה אם BD, CE הם גבהים במשולש שווה שוקיים ABC אז ניתן להוכיח כי BEC ≅ CDB

פתרון
B = C  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
ECB = 180 – 90 – B  (סכום זוויות במשולש ECB הוא 180 מעלות).
DBC = 180 – 90 – C  (סכום זוויות במשולש ECB הוא 180 מעלות).

לכן:

1. ECB = DBC
2. B = C  זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
3. BC צלע משותפת.
4. BEC ≅ CDB משולשים חופפים על פי ז.צ.ז

תרגיל 3 (הוכחת דלתון)
המשולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים.
BE ו CD הם חוצי זוויות הבסיס הנפגשים בנקודה F.
הוכיחו כי מרובע ADFE הוא דלתון.

פתרון

שלב 1: נוכיח כי AD = AE על ידי חפיפת המשולשים DBC ≅ ECB

1. B=∠C∠ -זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
2. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
3. BC – צלע משותפת למשולשים ΔDBC ו ΔECB.
4. DBC ≅ ECB – משולשים חופפים על פי משפט ז.צ.ז.
5. DB = CE צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
6. AD = AB – DB = AC – CE = AE נובע מהנתונים ומ 5. כאן הוכחנו שזוג צלעות אחד במרובע AEFD שווה.
   (חזרה על חיסור צלעות ניתן לעשות בקישור).

שלב 2: נוכיח כי DF = EF על ידי הוכחה שמשולש FBC הוא שווה שוקיים

1. DCB=∠EBC∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן גם 1/2 מיהן שווה זה לזה.
2. FB = FC  מול זוויות שוות במשולש FBC נמצאות צלעות שוות.
3. DC = EB צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
4. DF = DC – FC = EB – FB = EF  נובע מ 8 ו 9.  כאן הוכחנו שעוד זוג של צלעות במרובע AEFD שווה.

שלב 3: נוכיח כי המרובע ABCD הוא דלתון

הוכחנו כי המרובע ADFE מורכב משני משולשים שווה שוקיים ולכן הוא דלתון. (נובע מ- 6 ו 10).

עוד באתר:

1. חפיפת משולשים.
2. משולש שווה שוקיים.
3. מתמטיקה לחטיבת הביניים.

למשולש שווה שוקיים יש תכונה מיוחדת:
אם יודעים זווית אחת במשולש ניתן למצוא את שתי הזוויות הנוספות שבמשולש.
זו תכונה שמשתמשים בה הרבה ולכן אני ממליץ לדעת את דף זה היטב.

לדף זה 3 חלקים:

1. הסבר וידאו.
2. הסבר כתוב.
3. תרגילים.

1.הסבר וידאו

2.הסבר כתוב

אם יודעים זווית אחת במשולש שווה שוקיים ניתן לדעת את כל השלושה.
עושים זאת בעזרת שתי תכונות:

1. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.
2. סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.

הטכניקה של השלמת זוויות היא טכניקה מאוד מאוד חשובה ומשתמשים בה הרבה הרבה פעמים בכול סוגי המשולשים והמרובעים.
לכן אני ממליץ לכם להשקיע מאמץ יתר על מנת להבין את מה שנלמד בדף זה.

דוגמה 1 (זווית הבסיס ידועה)
במשולש שווה שוקיים ידוע כי גודל זווית הבסיס הוא 70 מעלות.
השלימו את גודל שאר זוויות המשולש. נמקו כל גודל.

פתרון
מציאת זווית B
זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות ולכן:
B = C = 70

מציאת זווית A
זווית A משלימה את שתי זוויות הבסיס ל 180 מעלות. לכן:
A = 180 – 70 – 70
A = 180 – 140 = 40

הפתרון נראה כך

דוגמה 2 (זווית הראש ידועה)
במשולש שווה שוקיים ידוע כי גודל זווית הראש הוא 120 מעלות.
חשבו את זוויות הבסיס.

שתי זוויות הבסיס משלימות את זוויות הראש ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
60 = 120 – 180

שתי זוויות הבסיס שוות ולכן גודל כל אחת מיהן הוא:
30 = 2 : 60
תשובה: B = C = 30.

הפתרון נראה כך

דוגמה 3 (הגדרה בעזרת משתנים)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הבסיס הוא x.
הביעו באמצעות x את גודל זווית הראש.

פתרון
זוויות הבסיס שוות זו לזו ולכן:
C = B = x

הזווית A משלימה את זוויות המשולש ל 180 מעלות ולכן גודלה:
A = 180 – x – x
A = 180 -2x

דוגמה 4 (הגדרה בעזרת משתנים)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הראש הוא x.
הביעו באמצעות x את גודל זווית הבסיס.

פתרון
שתי זוויות הבסיס משלימות ביחד את זווית A ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
B + C = 180-x

זווית הבסיס שוות זו לזו לכן כל אחת מיהן שווה ל 1/2:

תשובה:
B = C = 90 – 0.5x

כך נראה הפתרון

3.תרגילים

תרגילים 1-4 דומים מאוד לדוגמאות שלמעלה רק אם מספרים אחרים.
תרגילים 5-7 מעט קשים יותר.

תרגיל 1 (זווית בסיס ידועה)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הבסיס הוא 80 מעלות.
מצאו את את גודל זווית הראש.

פתרון
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. לכן
B = C = 80

זווית הראש משלימה את שתי זוויות הבסיס ל 180 מעלות, לכן גודלה:
A = 180 – 80 – 80
A = 180 – 160 = 20
תשובה: גודל זווית הראש הוא 120 מעלות.

הפתרון נראה כך

תרגיל 2 (זווית הראש ידועה)
במשולש שווה שוקיים ידוע כי גודל זווית הראש הוא 70 מעלות.
חשבו את זוויות הבסיס.

שתי זוויות הבסיס משלימות את זוויות הראש ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
110 = 70 – 180

שתי זוויות הבסיס שוות ולכן גודל כל אחת מיהן הוא:
55 = 2 : 110
תשובה: B = C = 55.

הפתרון נראה כך

תרגיל 3 (הגדרה בעזרת משתנים)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הבסיס הוא 2x.
הביעו באמצעות x את גודל זווית הראש.

פתרון
זוויות הבסיס שוות זו לזו ולכן:
C = B = 2x

הזווית A משלימה את זוויות המשולש ל 180 מעלות ולכן גודלה:
A = 180 – 2x – 2x
A = 180 -4x

הפתרון נראה כך

תרגיל 4 (הגדרה בעזרת משתנים)
במשולש שווה שוקיים גודל זווית הראש הוא 3x.
הביעו באמצעות x את גודל זווית הבסיס.

פתרון
שתי זוויות הבסיס משלימות ביחד את זווית A ל 180 מעלות.
לכן סכום שתי זוויות הבסיס הוא:
B + C = 180 – 3x

זווית הבסיס שוות זו לזו לכן כל אחת מיהן שווה ל 1/2:

תשובה:
B = C = 90 -1.5x

תרגילים קשים יותר

תרגיל 5
(לתרגיל זה יש פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב).
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) שבו זווית הראש היא 80 מעבירים את חוצה הזווית BD.

1. חשבו את זווית BDC.
2. גודלה של צלע AB הוא 8 סנטימטר. האם ניתן לחשב את אורך הצלע AD?

פתרון
שלבי הפתרון הם:

1. חישוב זוויות הבסיס.
2. מציאת זווית BDC.

מציאת זווית הבסיס
שתי זווית הבסיס במשולש ABC  משלימות את זווית הראש ל 180 מעלות.
לכן סכומם הוא:
100 = 80 – 180

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות ולכן גודל כל אחת מיהן:
B = C = 100 : 2 = 50

חישוב זווית BDC
BD הוא חוצה זווית ולכן גודל זווית DBC הוא חצי מזווית B.
DBC = 0.5 * 50 = 25

במשולש BDC אנו יודעים שתי זוויות
DBC = 25
C = 50
הזווית BDC משלימה את שתי הזוויות הללו ל 180 מעלות ולכן:
BDC = 180 – 50 – 25
BDC = 180 – 75 = 105
תשובה: BDC  = 105

סעיף ב: AB הוא 8 סנטימטר. מה גודלו של AD?
בנתונים הללו לא ניתן לחשב את AD.
אם BD היה תיכון היה ניתן לחשב. אך במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית אל השוק הוא לא תיכון ולכן לא ניתן לחשב.

תרגיל 6
במשולש שווה שוקיים (AB = AC) שבו זווית הבסיס היא 70 מעלות מעבירים את הגובה CD.
חשבו את זווית ACD.

פתרון
במשולש BDC אנו יכולים לחשב את זווית BCD.
BCD = 180 – 90 – 70
BCD = 180 – 160 = 20

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו ולכן:
C = B = 70

ניתן לחשב את זווית ACD על ידי חיסור זוויות.
ACD = C – BCD
ACD = 70 – 20 = 50
תשובה: ACD  = 50

כך נראה הפתרון

עוד באתר:

• משולש שווה שוקיים – הדף המרכזי בנושא.
• מתמטיקה לכיתה ח.

לדף זה 3 חלקים:

1. מושגים במשולש שווה שוקיים.
2. תכונות במשולש שווה שוקיים.
3. תרגילים.

1.מושגים במשולש שווה שוקיים

צלעות:

• השוקיים הם שתי הצלעות השוות (AB,AC בשרטוט).
• הבסיס הוא הצלע שאינה שווה (BC בשרטוט)

זוויות:

• זווית הבסיס הן שתי הזוויות שיוצר הבסיס (אדומות בשרטוט).
• זווית הראש היא הזווית הנוצרת על ידי השוקיים (שחורה בשרטוט).

שמות של זוויות וצלעות במשולש שווה שוקיים

2.תכונות של משולש שווה שוקיים

למשולש שווה שוקיים 3 תכונות:

1. השוקיים שוות זו לזו.
2. זוויות הבסיס שוות זו לזו.
3. התיכון הגובה וחוצה זווית לבסיס המשולש מתלכדים.

דגש:
רק התיכון לבסיס הוא גם גובה וחוצה זווית.
התיכון אל השוקיים הוא לא גובה וחוצה זווית.

3.תרגילים

תרגיל 1
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).
מעבירים את התיכון AD.
DC = 7.
CAD = 25.
חשבו את:

1. צלע BD
2. זווית BAD
3. זווית ADB
   (החלקים המסומנים באדום בשרטוט).

פתרון

מציאת BD
מכוון ש AD  הוא תיכון אז:
BD = CD = 7

מציאת BAD
במשולש שווה שוקיים התיכון הוא חוצה זווית ולכן:
BAD = DAC = 25

מציאת ADB
במשולש שווה שוקיים התיכון הוא גובה ולכן:
ADB = 90

תרגיל 2
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).
מעבירים במשולש את הקטע AD.
BD = 10
BAD = CAD = 20

קבעו איזה סוג ישר הוא הישר AD.
אם ניתן השלימו את הנתונים הבאים על סמך השרטוט:

1. זווית ADC.
2. זוויות C.
3. צלע BC.

פתרון
הישר AD
נתון לנו ש:
BAD = CAD = 20
לכן הישר AD הוא חוצה זווית.

זווית ADC
במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית הוא גם גובה. לכן:
ADC = 90

זווית C
זווית C משלימה ל 180 מעלות במשולש ADC.
= 20 – 90 – 180
70 = 110 – 180
תשובה: גודל זווית C הוא 70 מעלות.

הצלע BC
במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון. לכן:
BD = CD = 10
BC = BD + CD
BC = 10 + 10 = 20

תרגיל 3
משולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (שבו AB = AC).
מעבירים במשולש את הקטע AD.
BD = 6
BDA = 90
BAD = 15

קבעו איזה סוג ישר הוא הישר AD.
אם ניתן השלימו את הנתונים הבאים על סמך השרטוט:

1. זווית DAC
2. זוויות C.
3. צלע CD.

פתרון
הישר AD
מכוון שזווית BDA = 90 אז הישר AD הוא גובה לצלע BC.

זווית DAC
גובה במשולש שווה שוקיים הוא חוצה זווית. לכן:
DAC = DAB = 15

זווית C
במשולש BDA זווית זווית B משלימה ל 180 מעלות.
B = 180 – 90 – 15
B = 180 – 105 = 75

צלע CD
במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון. לכן:
CD = BD = 6

בדף משפט פיתגורס למדנו את היסודות של משפט פיתגורס.

בדף זה נפתור תרגילים קשים יותר.
חלק מהתרגילים (נושאים 1-2) יכולים להיפתר על יד תלמידי כיתה ח.
נושאים 3-4 מתאימים לתלמידים בכיתות ט ומעלה.
התרגילים מחולקים לסוגים הבאים:

1. שילוב של משפט פיתגורס ושטח משולש.
2. משתנה אחד המגדיר שתי צלעות.
3. שילב של משפט פיתגורס עם היקף משולש.
4. משפט פיתגורס במרובעים.

1.שילוב של משפט פיתגורס עם שטח משולש

שטח משולש מחשבים תמיד כמכפלה של צלע בגובה חלקי 2.
אבל מכוון שיש 3 צלעות במשולש יש גם 3 דרכים לחשב את שטח המשולש.
בכל שלושת הדרכים שטח המשולש שנגיע אליו הוא אותו שטח.

בשרטוט מטה ACB הוא משולש ישר זווית.
ו CD הוא הגובה אל הצלע AB.
על פי הנתונים שבשרטוט מצאו את הגובה CD.

הדרך לפתרון:

1. מוצאים את AB באמצעות משפט פיתגורס.
2. משתמשים בזה ש CD * AB צריך להיות שווה ל AC * BC = 12. כדי למצוא את CD.

הפתרון המלא:
AB² = 3² + 4² = 25
AB = 5

שטח משולש ABC הוא:

ניתן לחשב את שטח משולש ABC גם כך:

נכפיל את המשוואה שקיבלנו פי 2 ונקבל:
5CD = 12
CD = 2.4
תשובה: אורכו של הגובה CD הוא 2.4 ס"מ.

תרגיל 2
במשולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) אורכי הניצבים הם 6 ו 10 ס"מ.
BD הוא הגובה ליתר.
חשבו את אורך BD.

פתרון
רמז: הפתרון מתבסס על כך ששטח משולש ישר זווית ניתן לחשב כמכפלת אורכי הניצבים לחלק ב 2. או הגובה ליתר כפול היתר לחלק ב 2.

1. נחשב את שטח המשולש על פי שני הניצבים:
   2 : 6*10
   30=60:2
2. נחשב את אורך היתר על פי משפט פיתגורס:
   136= 10²+6²
   CA²=136
   CA=11.66
3. ניתן לחשב את שטח משולש ΔABC
   גם כמכפלה של היתר בגובה אליו:
   S=CA*BD / 2 =30
   11.66BD / 2=30
   11.66BD=60
   BD=5.148
   תשובה: אורך הגובה BD הוא 5.148 ס"מ.

2.שילוב של משפט פיתגורס עם היקף משולש

תרגיל
היקף משולש הוא 24 סנטימטר.
אורך אחד הניצבים הוא 6 סנטימטר.
מצאו את אורך שתי הצלעות הנוספות במשולש.

פתרון
נגדיר :
x אורך הניצב השני.
ולכן אורך היתר הוא:

עכשיו אנו יכולים לבנות בעזרת משפט פיתגורס משוואה:
x² + 6² = (18 – x)²
x² + 36 = 324 – 36x + x²
36x = 288  / :36
x = 8

8 הוא אורכו של הניצב השני.
אורכו של היתר הוא:
10 = 8 – 18

תרגיל 2
היקף משולש ישר זווית הוא 24 ס"מ. אורך היתר הוא 10 ס"מ.
חשבו את אורך ניצבי המשולש.

פתרון
נגדיר
x – אורך ניצב המשולש.

(אורך הניצב השני 14 מינוס x).

x²+(14-x)²=10²
x²+14²-28x+x²=100
2x²+196-28x=100
2x²-28x+96=0 /:2
x²-14x+48=0
x-6) (x-8)=0)  – פירוק הטרינום.
x=6  או x=8

תשובה: אורך הניצב הקצר הוא 6 ס"מ. אורך הניצב הארוך הוא 8 ס"מ.
הערה: השתמשתי פירוק הטרינום על מנת לפתור את המשוואה הריבועית אך למי שיותר נוח יכול לפתור בעזרת נוסחת השורשים.

3.משתנה אחד המגדיר שתי צלעות

בשאלות מסוג זה יש לנו נתון על צלע במשולש שאינו ישר זווית.
כמו AB = 15 בשרטוט שלפנינו.
AB=15, BC = 12,  AC=9
CD⊥AB.
ואנו צריכים למצוא את אחת מהצלעות AD, DB, CD.

פתרון
AB = 15 זה נתון שאנו לא יודעים איך להשתמש בו.
אבל אם נגדיר
BD = x
AD = 15 – x

נגדיר את CD בעזרת פיתגורס בשני המשולשים ישרי הזווית.
במשולש CDB נמצא משוואה ראשונה:
CD² = 12² – X²

במשולש CDA נמצא משוואה שנייה:
(CD² = 9²-(15-X)² = 9²-(15-X) * (15 – x
(CD² = 9² – (225 – 15x – 15x +x²
(CD² = 81-( 225 – 30X + X²
CD² = 30X – X² -144

קיבלנו שתי משוואות:
CD² = 12² – X²
CD² = 30X – X² -144
אנו יכולים להשוות בין שתי המשוואות ולקבל משוואה עם נעלם אחד:

30X – X² -144 = 12² – X²
30X = 144+144=288
X=9.6

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:
CD² = 12² – X²
CD = 12²-9.6²=51.84
CD = 7.2 ס"מ.

לסיכום פתרנו את השאלה בשלושה שלבים:

1. בחירת משתנה שמאפשר לנו להגדיר שתי צלעות.
2. יצירת שתי משוואות הכוללות צלע משותפת לשני המשולשים (הצלע CD).
3. השוואה בין שתי המשוואות.

תרגיל 2
נתון משולש ABC שבו אורכי הצלעות הם:  AB=5, AC=8, BC=12 ס"מ.
חשבו את הגובה AD ואת שטח המשולש.

פתרון

רמז: עליכם לבחור משתנה ולבנות באמצעותו ומשפט פיתגורס שתי משוואות בשני משולשים. ואז להשוות בין המשוואות.

נגדיר BD=X.
במשולש ABD על פי משפט פיתגורס.
X²+ AD²=5²
AD²= 25-X²

במשולש ACD מתקיים על פי משפט פיתגורס.
8² = AD² + (12-x)²
(AD²=64-(144-24X+X²
נשתמש במשוואה זו ובמשוואה שקיבלנו למעלה (שתיהן שוות AD²)
(AD² = 25-X²=64-(144-24X+X²
X²+25=64-144+24X-X²–
X²+25=-80+24x-x²–
105=24x
X=4.375

על פי מה שמצאנו קודם:
AD²= 25-X²=25-4.375²=25-19.14=5.86
AD=2.42  ס"מ.
שטח המשולש
AD*BC :2
14.52=2 : 2.42*12

תרגיל 3
נתון
AB = √34, BD = 3, CD = 8
BC⊥AD
מה אורכה של של הצלע AC?

פתרון

1. הצלע AC נמצאת במשולש ישר זווית ADC. אבל במשולש זה אנו יודעים רק צלע אחת.
2. נשים לב שהצלע AD משותפת למשולש ADB שבו כן יש מספיק נתונים לחישוב בעזרת משפט פיתגורס.
3. לכן נחשב את AD במשולש ADB ואז נשתמש בתוצאה כדי למצוא במשולש ADC.

פיתגורס במשולש ADB:
AD² = (√34)² – 3² = 34-9=25
AD= 5

פיתגורס במשולש ADC:
AC² = 8² + 5² = 64+25 = 89
AC= √89

4.משפט פיתגורס במרובעים

תרגיל 1
במקבילית ABCD מורידים שני גבהים AE ו CF.
אורך הצלע AB הוא 8 ס"מ אורך הישר EC=7 ס"מ. אורך הישר BE=2 ס"מ.
א. חשבו את שטח המקבילית.
ב. ידוע כי מרובע AECF הוא מלבן, חשבו את שטחו.

פתרון
שטח מקבילית שווה לאורך צלע המקבילית כפול הגובה אליה.
נחשב את אורך הצלע AE.
על פי משפט פיתגורס במשולש ΔBEA.
8²-2²=AE²
AE²=64-4=60
AE=√60
נחשב את אורך הצלע BC
BC=BE+EC=2+7=9
נחשב את שטח המקבילית
S=BC*AE=9*√60
S=69.71
תשובה: שטח המקבילית הוא 69.71 סמ"ר.

ב. שטח מלבן שווה למכפלת הצלעות שלו.
S=EC*AE=7*√60
S=54.22.
תשובה: שטח המלבן הוא 54.22 סמ"ר.

תרגיל 2
היקף מלבן ABCD הוא 30 ס"מ. אורך הצלע AD=9 ס"מ.
במלבן מעבירים ישר DE, הנקודה E נמצאת על הצלע BC.
CE=2 ס"מ.
א. חשבו את אורך הישר DE
ב. חשבו את שטח משולש ΔDBE. (אין קשר בין סעיף א ל ב).

פתרון
עלינו למצוא את אורך DC על מנת למצוא את אורך DE.
P= 2DC + 2AD – היקף המלבן.
2DC +18=30
2DC=12
DC=6

במשולש ΔDEC על פי משפט פיתגורס:
DE²=6²+2²=36+4
DE²=40
DE=√40 – תשובה לסעיף א.

שטח משולש ΔDBE שווה ל:
2 : BE*BC
BE=9-2=7.
DC=6
2 :  6*7
21 = 42:2
תשובה: שטח משולש ΔDBE הוא 21 סמ"ר.

תרגיל 3
במלבן היחס בין אורכי הצלעות הוא 3 : 2.
ידוע כי אורך האלכסון הוא 52√
מצאו את אורך צלעות המלבן.

פתרון
נגדיר:
DC = 2x  אורך הצלע הקצרה.
BC = 3x  אורך הצלע הארוכה.

במשולש DBC על פי משפט פיתגורס
BC² + DC² = BD²
3x)² + (2x)² = 52)
9x² + 4x² = 52
13x² = 52  / :13
x² = 4
x = 2  או   x = -2.
מכוון שגודל צלע הוא מספר חיובי התשובה היא x =2.

DC = 2X = 4
BC = 3X  = 6

תרגיל 4
בטרפז שווה שוקיים אורך השוק הוא 7.
ידוע גם:
AD= 6,  BC =11
חשבו את גובה הטרפז.

הרעיון של הפתרון
נוכיח ונמצא את הגודל של BE, FC בעזרת הוכחת חפיפת משולשים.
ואז נשתמש במשפט פיתגורס.

פתרון
AE, DF הם הגבהים בטרפז.

שלב א
נוכיח שהמשולשים בצדדים חופפים.

1. AB = DC  נתון טרפז שווה שוקיים
2. B = ∠C∠  זוויות בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
3. AEB = ∠DFC = 90∠  בגלל שהישרים AE, DF הם גבהים.
4. EAB = ∠ FDC אם שתי זוויות במשולש שוות זו לזו אז גם הזוויות השלישית שווה.
   את ההוכחה המתמטית כותבים כך:
   EAB = 180 – ∠AEB – ∠B = 180 – ∠FDC – ∠C = ∠FDC∠
5. AEB ≅ DFC  משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.

שלב ב
נמצא את גודלם של BE, CF.

1. AEFD מלבן כי מרובע שבו 3 זוויות של 90 מעלות הוא מלבן
2. EF = AD =  5  צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.
3. BE + CF = BC – EF = 11 – 5 = 6
4. BE = CF  צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
5. BE = 6 : 2 = 3

שלב ג
נשתמש במשפט פיתגורס
במשולש ABE
AE² = AB² – BE²
AE² = 7² -3³ = 49- 9 = 40
AE = √40

תשובה: גובה הטרפז הוא 40√

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

בדף בקודם בנושא דמיון משולשים שטח למדנו שיחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון.
בדף זה נלמד כיצד משלבים את התכונה הזו עם שאלות קצת יותר קשות.
נציג 3 סוגים של שאלות קשות יותר.

• נושאים נוספים בדמיון משולשים בקישור.

1.תרגילים בהם צריך לבצע חיסור או חיבור שטחים על מנת למצוא שטח נוסף

המבנה הבא הוא מבנה נפוץ היוצר משולשים דומים.
אם
DE || BC
ונניח שאנו יודעים גם את הד ברים הבאים:
DE = 2,  BC = 6
ונניח
S_ADE = 10
ושואלים אותנו מה שטחו של המרובע DBCE, כיצד נחשב זאת?

נחשב זאת על ידי חיסור שטחי המשולשים:
S_DBCE = S_ABC – S_ADE

בדרך הזאת:
ADE ∼ ABC
וגם יחס הדמיון הוא 3.
לכן יחס השטחים הוא 9 ושטח משולש ABC הוא 90.

אבל אם שואלים אותנו על שטח מרובע DBCE?
ניתן לחשב אותו על ידי חיסור שטחי המשולשים.
S_DBCE = S_ABC – S_ADE
S_DBCE = 90 – 10 = 80

2.תרגילים בהם אנו צריכים להגדיר את השטח של אחד המשולשים כמשתנה

נתון לנו כי
ADE ∼ ABC
S_DBCE =20
וכי יחס הדמיון הוא 3.
כיצד נחשב את שטחי המשולשים?

פתרון
נגדיר את שטחי המשולשים בעזרת משתנה אחד.
ונבנה משוואה.
x  שטח משולש ADE.
לכן:
9x שטח משולש ABC.

ההפרש בין שטחי המשולשים הללו הוא:
S_DBCE =20
לכן המשוואה:
9x = x + 20
8x = 20
x = 2.5

ושטח המשולש הגדול הוא:
S_ABC = x + 20 = 22.5

3. תרגילים בהם משולב דמיון משולשים יחד עם גובה משותף לשני משולשים
(או גובה משתף לשתי צורות שאינן משולשים)

גובה משותף לשתי צורות – זה בסיס להרבה שאלות וקשיים של תלמידים.
כאשר משלבים בין זה לדמיון משולשים השאלות הופכות קשות יותר.

נתון
ABCD טרפז.
S_ABCD = 60.
AOD ∼ COB
יחס הדמיון 3.
כיצד ניתן לחשב את השטח של כל אחד מארבעת המשולשים הפנימיים?

פתרון
נגדיר:
S_AOD = x
על פי יחס הדמיון
S_COB = 9x

בטרפז ניתן להעביר את הגבהים
AE, CF.

נשים לב שהגובה AE הוא גובה לצלע DO וגם לצלע BO.
אז היחס בין שטחי המשולשים AOD, AOB קשור רק ליחס שבין BO, DO
ומכוון
BO = 3DO
אז:
S_{AOB =} 3S_AOD = 3x

באותה צורה ניתן להראות כי:
S_BOC = 3S_COD
ולכן:
S_COD = 0.33 * 9x = 3x

*הערה: דרך אחרת להוכיח כי
S_COD = 3x
היא על ידי חפיפת המשולשים:
DOC ≅ AOB

עכשיו הגדרנו את שטחי 4 המשולשים בעזרת x:
S_AOD = x
S_COB = 9x
S_AOB  = 3x
S_COD = 3x

אנו יודעים כי שטח הטרפז:
S_ABCD = 60.
לכן המשוואה היא:
x+ 9x + 3x + 3x = 60
16x = 60
x = 3.75
ומכאן ניתן למצוא את שטחי כל המשולשים.

תרגילים 

בחלק זה 6 תרגילים בנושא דמיון משולשים שטח.

תרגיל 1

בתוך משולש ABC העבירו ישר DE כך ש  ΔABC ∼ ΔADE.
DE=4, BC = 7 ס"מ.
שטח משולש ABC הוא 28 סמ"ר.
חשבו את שטח טרפז DECB.

הרעיון של הפתרון:
1. על ידי מציאת יחס הדמיון בין המשולשים ניתן למצוא את שטח משולש ADE.
2. נחשב את שטח הטרפז על ידי חיסור שטחי המשולשים S_ABC – S_ADE.

פתרון מלא

נמצא את יחס הדמיון ויחס השטחים בין המשולשים
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:
DE / BC = 4/7
יחס השטחים הוא 16/49=²(4/7)

נמצא את שטח משולש ADE
לכן שטח משולש ADE הוא:
S_ADE = S_ABC * 16/49 = 28*16/49 = 9.14
S_ADE = 9.14

נחשב את שטח הטרפז דרך חיסור שטחי משולשים
שטח הטרפז שווה ל:
S_BDEC = S_ABC – S_ADE = 28 – 9.14 = 18.86
תשובה: שטח הטרפז BDEC הוא 18.86 סמ"ר.

תרגיל 2

במשולש ABC חסומה מקבילית DEFB כך ש 3BF=BC.
פי כמה גדול שטח משולש ΔABC משטח משולש ΔADE

הרעיון של הפתרון
1. BF = DE (צלעות נגדיות במקבילית) לכן יש לנו את המשוואה 3DE = BC.
2.  ממשוואה זו נוכל לקבל שיחס הדמיון בין המשולשים הדומים ΔABC ∼ ΔADE הוא 3.
9. לכן 3² =9 הוא יחס השטחים בין המשולשים הללו.

פתרון
שלב א: נוכיח דמיון משולשים  ΔADE ∼ ΔABC

1. A∠ – זווית משותפת.
2. ABC = ∠ADE∠ – זווית מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
3. ΔADE ∼ ΔABC דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז

שלב ב: נמצא את יחס הדמיון ויחס השטחים

1. DE=BF – צלעות המקבילית שוות זו לזו.
2. DE/BC = 3 – נובע מהנתונים וסעיף 4.
3. DE ו BC הן צלעות מתאימות במשולשים דומים. לכן היחס בניהם הוא הוא יחס הדמיון.
   יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון 3² = 9.
   תשובה: שטח משולש ΔABC גדול פי 9 משטח משולש ΔADE.

*הערה: ניתן "לסבך" השאלה הזאת קצת יותר אם היינו מקבלים את המשוואה 3BF=FC.
במקרה הזה היינו צריכים למצוא את BC על ידי המשוואה BF+FC = 4BC.
ויחס הדמיון בין המשולשים היה 4.

תרגיל 3: שטח כמשתנה

במשולש ABC מעבירים ישר DE כך ש ΔADE ∼ ΔABC.
יחס הדמיון בין צלעות המשולשים הוא 2.
ידוע כי שטח המרובע DEBC הוא 15 סמ"ר.
חשבו את שטח משולש ABC.

הרעיון של הפתרון
1. יחס הדמיון של המשולשים ADE ו- ACB הוא 4.
2. לכן כאשר נגדיר את שטח משולש ADE כ- X, נוכל להגיד ששטח משולש ACB הוא 4X או X + 15.
המשוואה 4X = X + 15 תפתור לנו את התרגיל.

פתרון מלא

1.נמצא את יחס השטחים בעזרת יחס הדמיון
יחס השטחים בין ΔADE ל ΔABC הוא 2² =4.
2. נגדיר S_ADE = X.
לכן:
S_ABC = X+15.
S_ABC = 4S_ADE = 4X

3. משני השוויונות שלמעלה ניתן לבנות את המשוואה:
4X = X+15
3X=15 / :3
X=5.

4. מצאנו S_ADE = 5
אנו יודעים כי:
S_ABC = X+15
לכן:
S_ABC = X+15 = 5+15=20.
תשובה: שטח משולש ABC הוא 20 סמ"ר.

תרגיל 4

בתוך משולש ABC העבירו שני ישרים DE ו FG כך שמתקיים:
ΔABC ∼ ΔADE ∼ ΔAFG
AE=2,5, EG=5, FG=10, BC = 20 ס"מ.
שטח משולש ABC הוא 324 סמ"ר.
חשבו את שטח משולש ADE.

פתרון
על מנת לפתור שאלה זו עלינו לחשב את יחס הדמיון ויחס השטחים בין המשולשים.
יש שתי דרכים לעשות זאת. אראה בהתחלה את הדרך "הרגילה" ולאחר מיכן דרך נוספת.

שלב 1: מציאת יחס השטחים בין המשולשים בין משולש ADE ומשולש AFG.
AG= AE+EG=2.5+5=7.5
יחס הדמיון הוא:
AG / AE=7.5 / 2.5 = 3
יחס השטחים הוא 3²=9.

שלב 2: נמצא את יחס השטחים בין המשולשים AFG ו ABC.

נמצא את יחס הדמיון בין המשולשים AFG ו ABC.
יחס הדמיון הוא:
BC/FG=20/10=2
יחס השטחים הוא 2²=4.

שלב 3: נמצא את יחס השטחים בין שלושת המשולשים ונפתור את התרגיל
יחס השטחים בין שלושת המשולשים הוא:
1:9:36
כלומר שטח משולש ADC קטן פי 36 משטח משולש ABC.
S_ADE = 324 :36=9
תשובה: שטח משולש ADE הוא 9 סמ"ר.

דרך שנייה לפתרון
בעזרת קטע אמצעים במשולש.

הרעיון מאחורי הפתרון:
אם מזהים ש FG  הוא קטע אמצעים במשולש ABC אז יודעים ש GC = 7.5 וניתן לחשב באופן ישיר את היחס בין שטח משולש ADE (המשולש המבוקש) ושטח משולש ABC ( המשולש ששטחו 324 סמ"ר).

פתרון מלא
נתון ΔABC ∼ ΔADE ∼ ΔAFG
שלב 1: זיהוי FG כקטע אמצעים במשולש ABG.

1. B = ∠ F∠   זוויות מתאימות בין משולשים דומים
2. FG ||  BC אם בין שני ישרים הזוויות המתאימות שוות אז הישרים מקבילים.
3. FG הוא קטע אמצעים במשולש ABC על פי המשפט "ישר במשולש המקביל לצלע משולש ושווה למחיצתה הוא קטע אמצעים".

שלב 2: נחשב את יחס השטחים בין המשולשים

1. GC = AG = 7.5  כי FG הוא קטע אמצעים במשולש.
2. יחס הדמיון בין המשולשים ΔABC ∼ ΔADE הוא:
   
3. לכן יחס השטחים הוא 6² = 36.
   שטח משולש ABC גדול פי 36 משטח משולש ADE.
4. S_ADE = 324 :36=9
   תשובה: שטח משולש ADE הוא 9 סמ"ר

תרגיל 5: דמיון משולשים בטרפז שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים ABCD (השוקיים AB=CD) מעבירים אלכסונים AC ו DB.
AE=4, EC=12 ס"מ.
S_AED = 18 סמ"ר.

1. חשבו את שטח משולש BEC.
2. חשבו את שטח משולש DEC.

הרעיון של הפתרון:
1. סעיף א: מוכיחים את דמיון המשולשים ΔAED ∼ ΔCEB בעזרת זוויות מתחלפות שוות ואז משתמשים ביחס הדמיון למציאת יחס השטחים ולמציאת שטח משולש BEC.
2. סעיף ב: למשולשים ADE ו- DEC יש גובה משותף לצלעות AE =4 ו- CE = 12 בהתאמה.  לכן יחס השטחים בניהם הוא 3 = 4 : 12.
שרטוט המסביר את סעיף ב בהמשך.

פתרון מלא

שלב א: נוכיח דמיון משולשים ΔAED ∼ ΔCEB

1. DBC = ∠BDA∠ – זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
2. ACB=∠CAD∠ –  זווית מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
3. ΔAED ∼ ΔCEB – דמיון משולשים על פי משפט דמיון ז.ז.

שלב ב: נמצא את יחס הדמיון ויחס השטחים

1. AE ו EC הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים. לכן יחס הדמיון בין המשולשים הוא:
   EC / AE =12/4=3
2. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון 3²=9.
3. שטח משולש BEC הוא 18*9=162 סמ"ר.

סעיף ב.

הגובה DF הוא גובה משותף במשולשים  ADE ו- DEC אל הצלעות AE ו- CE בהתאמה.

נחשב את שטחי המשולשים ADE ו- DEC:

ניתן לראות ששטח משולש DEC גדול פי 3 משטח משולש ADE.
S_DEC = 18 * 3 = 54
תשובה: שטח משולש DEC הוא 54 סמ"ר.

*תרגיל 6

בתוך משולש ABC חסומה מקבילית DEFB כך שמשולש EFC הוא משולש שווה צלעות.
ידוע כי שטח משולש EFC הוא (1/8) משטח המקבילית.
א. מצאו את היחס בין שטח משולש ABC לשטח משולש ADE.
ב. אם שטח משולש EFC הוא 10 סמ"ר. מה הוא שטח משולש ABC?
(רמז: יש להיעזר בדמיון משולשים, אך לא של המשולשים המוזכרים בסעיף זה).

הרעיון מאחורי פתרון סעיף א:
1.למקבילית ולמשולש EFC יש גובה משותף (EH). לכן BF = 4FC (שרטוט של הגובה המשותף בהמשך).
2. DE = 4FC,    BC =5FC   לכן יחס השטחים בין המשולשים הדומים ADE ∼ ABC הוא 9 : 8.

פתרון

שלב א: נוכיח דמיון משולשים ΔADE ∼ ΔABC

1. A∠ – זווית משותפת.
   B=∠ADE∠ – זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
   ΔADE ∼ ΔABC על פי ז.ז

שלב ב: נמצא את יחס הדמיון

נעביר גובה EG  – זה גובה משותף למקבילית DEFB ולמשולש EFC.
שטח המקבילית הוא:
EF*BF=8S
(משוואה ראשונה)
שטח משולש EFC הוא
0.5EF * FC  = S
(משוואה שנייה).

נכפיל את המשוואה השנייה פי 8 על מנת שנקבל שתי משוואות שוות.
4EF * FC = 8S
נשווה את שתי המשוואות
4EF* FC = EF * BF
4FC = BF

על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא את היחס בין DE ל BC.

1. ננגדיר FC=X.
   BC = FC+BF = 4X+X=5X
2. DE=BF=4X – צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
3. DE ו BC הן צלעות דומות במשולשים דומים. לכן יחס הדמיון בין המשולשים הוא
   BC/DE=5X/4X=5/4
   יחס הדמיון בין משולש ABC למשולש ADE הוא 5:4 לכן היחס בין השטחים הוא 25:16.

סעיף ב
הרעיון מאחורי פתרון:
יש את דמיון המשולשים EFC ∼ ABC ובעזרתו ניתן לפתור את התרגיל.
הרבה לא שמים לב לדמיון משולשים מהסוג זה.

פתרון מלא

שלב א: נוכיח את דמיון המשולשים

1. CFE = ∠ B∠ זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
2. C = ∠C∠
3. EFC ∼ ABC  משולשים דומים על פי ז.ז

שלב 2: נמצא את יחס השטחים בין המשולשים ונפתור

בסעיף א מצאנו: DE = 4FC,    BC = 5FC
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:
BC : FC = 4FC : FC = 1

לכן יחס השטחים בין המשולשים הוא 4² = 16.

S_ABC= 16 * 10 = 160
תשובה: שטח משולש ABC הוא 160 סמ"ר.

בדף זה נעבור על מספר מצבים שכדאי להכיר בדמיון משולשים במעגל.

1.שני מיתרים נחתכים יוצרים משולשים דומים

AB, CD הם מיתרים נחתכים.
ואז שתי הזוויות האדומות הן זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות ולכן שוות זו לזו.
וכך גם שתי הזוויות הירוקות.
לכן
AOC ∼ DOB

2. אלכסונים של מרובע חסום במעגל הם מיתרים נחתכים

ולכן יוצרים משולשים דומים.

שימו לב שכאשר נתון מרובע חסום במעגל ומעבירים בתוכו אלכסונים, האלכסונים הם מיתרים נחתכים והם יוצרים משולשים דומים כפי שראינו קודם.

AOD ∼BOC 

3. שני חותכים למעגל היוצאים מנקודה אחת בצורה הזו

אפשר גם לכתוב את השאלה הזו כהמשכי צלעות של מרובע חסום במעגל.
ABCD הוא מרובע חסום במעגל והנקודה E היא מפגש המשך הצלעות.
ר

הוכחה:
נגדיר את זווית C כ a.
BAD = 180- a∠  כי זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל משלימות ל 180.
EAD = a∠  (זוויות צמודות).

כמו כן זווית E היא זווית משותפת לשני המשולשים.
לכן:
EAD ∼ ECB
(שימו לב לסדר רישום האותיות).

4. שני חותכים היוצאים למעגל בצורה הזו

שתי הזוויות האדומות הן זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות.
הזווית E משותפת לשני המשולשים.
לכן:
EBD ∼ECA

5. שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ יוצרים משולשים דומים בצורה הזו

ההוכחה מתבססת על המשפט "זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני".

1. נגדיר זווית A שווה ל a.
2. לכן זווית BEF שווה ל a. (זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני).
3. DEG = BEF = a  קודקודיות
4. C = a (זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני).
5. בנוסף שתי הזוויות הירוקות קודקודיות.

לכן:
AEB ∼ CED

6. כאשר יש קוטר במעגל וזווית נוספת של 90 מעלות, יש סיכוי טוב לדמיון.

כאשר יש קוטר במעגל וזווית נוספת שגודלה 90 מעלות יש סיכוי טוב שיש בשאלה משולשים דומים.
כי "זוויות היקפית הנשענת על קוטר גודלה 90 מעלות".
כך יש לנו זוג זוויות שוות וחסר למצוא עוד זוג אחד על מנת להוכיח דמיון משולשים.

בהקשר הזה טוב לזכור גם את המשפט "ישר ממרכז המעגל החוצה מיתר מאונך למיתר" (ולהפך).

7. בשאלות המשלבות משיק למעגל יש פוטנציאל לדמיון אבל לא בטוח

בגלל המשפט "זווית בין משיק למיתר שווה לזוויות ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני".
וגם בגלל המשפט "הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה".
הרבה פעמים נוצרים משולשים דומים בשאלות עם משיק.
לכן אם נתון משיק, כדאי לבדוק אם יש משולשים דומים.

שתי הזוויות האדומות שוות זו לזו ולכן בעזרת נתונים נוספים יכולים להיווצר משולשים דומים.

עוד באתר:

• דמיון משולשים – נושאים נוספים.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

דף זה הוא הדף הראשון בלימוד דמיון משולשים.
בדף זה נלמד:

1. מה הם התכונות של משולשים דומים.
2. שלושת משפטי דמיון משולשים.
3. כיצד לרשום בצורה נכונה דמיון משולשים.
4. כיצד להוכיח דמיון משולשים.
5. 13 תרגילי הוכחה פשוטים של דמיון משולשים.

החלק הראשון הוא מבוא.
עליכם להשקיע בחלקים 2-4.
לאחר דף זה החלק הבא הוא לימוד יחס הדמיון.

1.מה הם התכונות של משולשים דומים

בסרטון זה נסביר את שלושת התכונות החשובות של משולשים דומים.

התכונות של משולשים דומים הן:

1. הזוויות בשני המשולשים שוות.
2. קיים מספר שאם נכפיל בו את אורכי צלעות משולש אחד נקבל את אורכי צלעות המשולש השני. כלומר אם צלע במשולש אחד גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש השני, אז כל הצלעות במשולש הגדול גדולות פי 4 מהצלעות המתאימות להן במשולש הקטן.
   היחס בין אורכי הצלעות מקרא יחס הדמיון.
3. יש קשר בין שטחו של משולש אחד לשטחו של המשולש השני.

2.משפטי דמיון משולשים

משפט דמיון ראשון

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.ז.צ.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שני

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור ז.ז הערה – ברור שאם שתי זוויות שוות במשולשים אז גם הזווית השלישית שווה.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שלישי

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.צ.צ.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

3.כיצד לרשום דמיון משולשים בצורה נכונה

רישום נכון של דמיון משולשים הוא קריטי, הכרחי.
רישום לא נכון יגרום לכך שכל מה שקשור לדמיון המשולשים יהיה שגיאה.

רישום נכון של דמיון משולשים מתבצע בדיוק כמו רישום נכון של חפיפת משולשים. אם הסתדרתם שם תסדרו גם כאן. ואם לא הסתדרתם שם אתם חייבים ללמוד את זה.

כפי שתראו 90% ויותר מההוכחות של דמיון המשולשים מתבצעות בעזרת המשפט השני ז.ז.
אני אראה כאן כיצד לרשום נכון כאשר אלו הנתונים.

תרגיל
ידוע כי
B = ∠P  (האדומות)
C = ∠D   (הירוקות)
הוכיחו כי המשולשים דומים ורשמו את הדמיון בצורה נכונה.

פתרון
המשולשים דומים על פי משפט ז.ז.
כאשר אנו רושמים את הדמיון המיקום של שתי הזוויות הירוקות צריך להיות אותו מיקום.
כך גם המיקום של הזוויות האדומות צריך להיות אותו מיקום.

לכן נרשום: ירוקה, אדומה, ולאחר מיכן הזוויות הנותרת.
CBA ∼ KPR

אפשר גם בסדר של: אדומה, ירוקה, הזווית הנותרת
BCA ∼ PKR.

4.כיצד להוכיח דמיון משולשים?

שני הסרטונים הללו הם בעצם הפתרונות של תרגילים 1-7 המופיעים בהמשך.
הסרטון הראשון פותר את ששת התרגילים הפשוטים יותר.
הסרטון השני מסביר תרגיל קשה יותר.

5.תרגילים

כל התרגילים שבדף הם תרגילי הוכחת דמיון משולשים.

תרגילים 1-8 הם בנושא משפט הדמיון השני (החשוב באופן משמעותי יותר מהשניים האחרים).
תרגילים 9-13 הם בנושא משפטי הדמיון 1,3.

אם המשולשים דומים רשמו את דמיון המשולשים על פי סדר האותיות הנכון.
על מנת שהתשובות שלכם יהיו מתאימות לשלי התחילו את רישום הדמיון תמיד באות A.
אם לא תעשו זאת יתכן ותגיעו לתשובה נכונה אך היא לא תהיה זהה למה שאני רשמתי.

תרגיל 1: כתיבת דמיון משולשים בסדר הנכון
ידוע כי המשולשים המופיעים בתרגיל זה דומים. רשמו את דמיון המשולשים בסדר האותיות הנכון.
מכוון שניתן משולש לרשום כל בכמה אופנים ועל מנת שתוכלו לבדוק את התשובה שלכם עם התשובה כאן תמיד תרשמו את המשולש הראשון כמשולש ΔABC.

תשובות סופיות:

1.  ΔABC ∼ΔFED.
2.  ΔABC ∼ΔFDE.
3. ΔABC ∼ΔDEF.

פתרון מלא וכתוב לזוג מספר 3.

אנו רואים שצלעות משולש ΔABC גדולות פי 2 מצלעות משולש ΔDEF.
הצלע AB גדולה פי 2 מהצלע DE.
על פי צלע זו ניתן לכתוב את הדמיון בשני אופנים:
ΔABC ∼ΔDEF או ΔABC ∼ΔEDF.
על מנת לבחור אחד מהשניים עלינו להסתכל מה קורה הלאה:
הצלע BC מהצלע EF.
לעומת זאת הצלע BC אינה גדולה פי 2 מהצלע DF ולכן אפשרות השנייה נפסלת ואילו אפשרות הראשונה היא הנכונה.
ΔABC ∼ΔDEF

תרגיל 1
האם המשולשים דומים?

פתרון
A = ∠R,   ∠C = ∠P
המשולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז.
ACB ∼ RPK

תרגיל 2
האם המשולשים דומים?

פתרון
במשולש PRK ניתן למצוא את הזווית K.
K = 180 – 80 – 30 = 70
אם כך:
K = ∠C
וגם:
A = ∠P

המשולשים דומים על פי משפט ז.ז
ACB ∼ PKR

תרגיל 3
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נשים לב שיש לנו גם שתי זוויות קודקודיות שוות.
KOP = ∠ BOA
לכן יש לנו שתי זוויות שוות והמשולשים דומים על פי ז.ז.
AOB ∼ KOP

תרגיל 4
נתונים שני משולשים שווי שוקיים.
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
על מנת לענות אם יש כאן שתי זוויות שוות עלינו להשלים את שאר הזוויות במשולש.
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

במשולש ABC:
B = ∠C = 50
A = 180 – 50 – 50 = 80

במשולש PRK
שתי זוויות הבסיס שוות ביחד 100.
כי:
100 = 80 – 180
זוויות הבסיס גם שוות זו לזו. ולכן כל אחת מיהן גודלה:
50 = 2 : 100

מצאנו כי שלושת הזוויות במשולשים שוות לכן המשולשים דומים על פי ז.ז
ACB ∼ PRK
מכוון שהמשולש שווה שוקיים היה נכון לכתוב גם:
ACB ∼ PKR

לאחר השלמת הזוויות המשולשים נראים כך:

תרגיל 5
ידוע כי AB || KP.
האם המשולשים דומים?

פתרון
כאשר יש ישרים מקבילים נחפש זוויות מתאימות או זוויות מתחלפות.
A = ∠P,  ∠B = ∠K   אלו הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
לכן המשולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז
AOB ∼ POK

הערה: הייתם יכולים להשתמש גם בזוויות קודקודיות על מנת להוכיח את אחת הזוויות השוות.

לאחר השלמת הזוויות השרטוט נראה כך:

תרגיל 6
ידוע כי BC || DE.
האם המשולשים דומים?

פתרון
ADE = ∠ABC  זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
ACB = ∠AED∠  זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
ולכן:
ADE ∼ABC

תרגיל 7
נתון כי:
AB ⊥ EC
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נשלים את הזוויות החסרות במשולשים.
במשולש ABC
A = 180 – 40 – 90 = 50.

לכן:
A = ∠D = 50
ABC = ∠DBE = 90
לכן יש בין המשולשים שתי זוויות שוות והמשולשים דומים על פי ז.ז.

לאחר השלמת הזוויות המשולשים נראים כך.

תרגיל 8 (תרגיל קשה מהקודמים)
משולש ABC הוא משולש ישר זווית (B = 90∠).
מעבירים את הגובה BD.
הוכיחו כי:
ADB ∼ ABC
וגם:
ADB ∼ BDC
רמז: הגדירו את זווית A כ x. והגדירו בעזרתה את שאר הזוויות במשולשים.

פתרון
סעיף א: הוכחת ADB ∼ ABC
נשים לב כי:

1. זווית A היא זוויות משותפת לשני המשולשים.
2. B = ∠ADB = 90  נתון
3. ADB ∼ ABC   משולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ב: הוכחת ADB ∼ BDC

במשולש ABC על פי סכום זוויות במשולש מתקיים:
C = 180 – 90 – x = 90 -x
במשולש ADB על פי סכום זוויות במשולש.
ABD = 180 – 90 – x = 90 – x

נובע מכך כי:
C = ∠  ABD = 90 – x

כמו כן
BDC = ∠BDA = 90  (נתון).

ADB ∼ BDC משולשים דומים על פי ז.ז.

תרגילים בנושא המשפט הראשון והשלישי

נסו להוכיח בעזרת המשפט הראשון או השלישי כי המשולשים הבאים.
בחלק זה משולבים גם זוגות משולשים שאינם דומים. עליכם לזהות אותם.

משפט דמיון ראשון: צ.ז.צ
אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שלישי: צ.ז.צ
אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

תרגיל 1
האם המשולשים שבשרטוט דומים?

פתרון
הנתונים שלנו הם על 3 צלעות ולכן עלינו לבדוק את משפט הדמיון השלישי.
עלינו לבדוק האם המנה של צלעות מתאימות שווה עבור שלושת הצלעות.
צלעות מתאימות הן:
הצלע הגדולה במשולש אחד עם הצלע הגדולה במשולש השני.
הצלע האמצעית בשני המשולשים.
הצלע הקטנה בשני המשולשים.

מנת הצלעות הגדולות היא:

מנת הצלעות הבינוניות:

המנה שונה. לכן משפט הדמיון השלישי לא מתקיים ואין צורך לבדוק את הזוג השלישי.

תרגיל 2
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נתון לנו שתי צלעות וזווית.
לכן נבדוק את משפט הדמיון הראשון.

הזווית השווה.
נותר לנו לבדוק את הצלעות.
נחלק את הצלע הגדולה בצלע הגדולה ואת הצלע הקטנה בצלע הקטנה.
אם נקבל את אותו המספר בשני המקרים המשולשים דומים.

חלוקה של הצלעות הגדולות:

חלוקה של הצלעות הקטנות:

בשני המקרים קיבלנו את אותה המנה.
הזווית שבין הצלעות שווה בשני המשולשים.
לכן המשולשים דומים על פי צ.ז.צ

תרגיל 3
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
על מנת להוכיח דמיון משולשים עלינו לדעת את הזווית הנמצאת בין הצלעות.
ואנו לא יודעים אותה.
לכן לא ניתן להוכיח דמיון משולשים.
*שימו לב שיתכן שהמשולשים דומים, לא פסלנו את האפשרות הזאת, אבל על סמך הנתונים הללו לא ניתן להוכיח.

תרגיל 4
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
במשולש PKR לא נתונה לנו הזווית שבין שתי הצלעות לכן לא ניתן לקבוע באופן מיידי אם הם דומים.
אבל מכוון שזה משולש שווה שוקיים ניתן לחשב את הזווית שבין הצלעות.
נחשב:
R = ∠K = 50
P = 180 = 50 – 50 = 80

מצאנו כי:
A = ∠P = 80
כלומר הזווית שבין שתי הצלעות שווה.

עכשיו נבדוק אם היחס שבין הצלעות שווה.
עבור שתי הצלעות היחס הוא:
2 = 4 : 8
והיחס הוא שווה לכן המשולשים הללו דומים על פי צ.ז.צ
ABC ∼ PKR
מכוון שזה משולש שווה שוקיים ניתן לכתוב גם:
ABC ∼ PRK

תרגיל 5
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נתונות לנו 3 צלעות ולא נתונות זוויות.
לכן נחפש התאמה אל משפט דמיון שלישי. צ.צ.צ.

נחלק את הצלע הגדולה בצלע הגדולה:

את הצלע הבינונית בצלע הבינונית:

את הצלע הקטנה בצלע הקטנה:

בשלושת המקרים היחס בין הצלעות שווה.
לכן המשולשים דומים על פי צ.צ.צ.

סיימנו.

עוד באתר:

• יחס הדמיון – זה הצעד הבא שלכם. לאחר שאתם יודעים להוכיח דמיון משולשים עליכם להכיר את יחס הדמיון.
• דמיון משולשים – הדף המרכזי שכולל מידע על כל הנושאים הקשורים לדמיון משולשים.
• מתמטיקה לכיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.
• חפיפת משולשים.

דף זה נועד לאלו:

1. שכבר יודעים את משפטי דמיון המשולשים.
2. יודעים את החשיבות של סדר האותיות ברישום הדמיון ויודעים לרשום נכון דמיון משולשים.

את שני הדברים הללו ניתן ללמוד בדף דמיון משולשים משפטים והוכחה.

בדף זה נענה על השאלות הבאות:

1. מה הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים?
2. כיצד מוצאים את יחס הדמיון?
3. האם יש חשיבות לסדר של רישום הדמיון וכיצד קובעים את הסדר?
4. כיצד מוצאים יחס דמיון בעזרת יחס של שטחי המשולשים.

לאחר השאלות הללו נפתור תרגילים.

1.כיצד מזהים "צלעות מתאימות"?

צלעות מתאימות אלו הן צלעות שמיקום האותיות שלהם ברישום יחס הדמיון הוא אותו מיקום.
למשל, אם אנו יודעים שמתקיים הדמיון:
ARF ∼ UGE
אז הצלעות המתאימות הן:
AR ⇒ UG
AF ⇒ UE
RF ⇒ GE

2. כיצד מוצאים את יחס הדמיון?

מוצאים את יחס הדמיון בעזרת שתי הפעולות הבאות:

1. מוצאים במשולשים הדומים שתי צלעות מתאימות שיודעים את גודלן.
2. מחלקים גודל של צלע אחת בגודל של הצלע השנייה. המספר שקיבלנו הוא יחס הדמיון.

על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו להכיר את המושג "צלעות מתאימות".
צלעות מתאימות אלו הן צלעות שמיקום האותיות שלהן ברישום שני המשולשים הוא זהה.
נניח ונתון לנו כי:
ABC ∼KLH
במקרה זה:
הצלע AB – האותיות נמצאות במקומות 1,2 לכן הצלע המתאימה לה היא KL שגם האותיות שלה נמצאות במקום 1-2.
הצלע AC – האותיות נמצאות במקומות 1,3. לכן הצלע המתאימה לה היא KH.
הצלע BC – האותיות נמצאות במקומות 2,3 לכן הצלע המתאימה היא LH.

כאשר אנו רושמים צלעות אין חשיבות לסדר האותיות ברישום הצלע.
הצלע AB והצלע BA זו אותה הצלע ושתיהן מתאימות לצלע KL.

לאחר שמצאנו את יחס הדמיון, מה עושים?

אם מצאנו כי יחס הדמיון בין המשולשים הוא 4 זה אומר שכל צלע במשולש הגדול גדולה פי 4 מצלע במשולש הקטן.
לכן אם אנו יודעים גודל של צלע במשולש הקטן ניתן להכפיל פי 4 ולמצוא את הצלע המתאימה לה במשולש הגדול.
ואם אנו יודעים צלע במשולש הגדול ניתן לחלק ב 4 ולמצוא את גודל הצלע המתאימה לה במשולש הקטן.

תרגיל 1
בטבלה נתונים הגדלים של צלעות במשולשים דומים.
השלימו את החלקים החסרים בטבלה.

פתרון
את יחס הדמיון קובעים על פי שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.
במקרה זה אנו יודעים את שתי הצלעות הקטנות.
נחלק אותן ונמצא את יחס הדמיון.
4 = 12:3

יחס הדמיון הוא 1:4.
כל צלע במשולש DEF גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.
לכן הטבלה תראה כך:

תרגיל 2
המשולשים ABC ∼ KHT הם משולשים דומים.
AB = 6,  AC = 8,  KT = 24 סנטימטר.

1. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים.
2. גודל של איזו צלע נוספת ניתן למצוא? מצאו את גודלה.

פתרון
על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.

עבור הצלע AB
האותיות בצלע AB נמצאות במקום 1-2 ברישום המשולש ABC.
לכן KH זו הצלע המתאימה לה.
אך אנחנו לא יודעים את גודל KH ולכן לא ניתן להשתמש בצלעות AB, KH לצורך חישוב יחס הדמיון.

עבור הצלע AC
האותיות AC נמצאות במיקום 1-3 ברישום המשולש ABC.
לכן KT זו הצלע המתאימה.
אנו יודעים את את הגודל של שתי הצלעות.
AC = 8,  KT = 24
לכן יחס הדמיון בין המשולשים יהיה:
3 = 8 : 24.

יחס דמיון זה אומר לנו שכל צלע במשולש KHT גדולה פי 3 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.

סעיף ב: מציאת גודל של צלע נוספת
ABC ∼ KHT
בסעיף א ראינו שאנו לא יודעים את הגודל של הצלע המתאימה ל AB.
עכשיו נוכל לחשב את הצלע המתאימה בעזרת יחס הדמיון.
הצלע המתאימה היא KH והיא גדולה פי 3 מהצלע AB.
18 = 3* 6.

תרגיל 3
נתון דמיון המשולשים ADF ∼ LKC.
נתונים גדלי הצלעות:
KC = 12,  CL = 15, AF = 2.5

1. מצאו את יחס הדמיון.
2. מצאו גודל של צלע נוספת.

פתרון
עבור הצלע KC
KC במקומות 2-3. לכן הצלע המתאימה היא DF.
את גודל הצלע DF אנו לא יודעים לכן לא ניתן לחשב כך את יחס הדמיון.

עבור הצלע CL
CL במקומות 1-3. לכן הצלע המתאימה היא AF.
אנו יודעים CL = 15, AF = 2.5.
לכן ניתן לחשב בעזרת החלוקה שלהם את יחס הדמיון.
6 = 2.5 : 15

כלומר כל צלע במשולש הגדול גדולה פי 6 מהצלע המתאימה לה במשולש הקטן.

סעיף ב: מציאת צלע נוספת
ADF ∼ LKC.
ראינו בסעיף א שאת הצלע KC אנו יודעים אך לא את הצלע המתאימה לה DF.
יחס הדמיון אומר ש KC גדולה פי 6  מ DF.
2 = 6 : 12
DF = 2.

תרגיל 4
ידוע שהמשולשים דומים ADF ∼ LKC.
על סמך הנתונים שבשרטוט השלימו את שתי הצלעות שגודלן לא ידוע.

פתרון
סעיף א
ADF ∼ LKC
עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.
נבחר משולש אחד (נניח ABC) ונבדוק האם אנו יודעים את הצלע המתאימה של אחד הצלעות שלו.
תזכורת: צלעות מתאימות מוצאים רק על פי רישום הדמיון ולא על פי השרטוט.

עבור הצלע AD
הצלע המתאימה היא LK.
LK = 4
לכן ניתן לחשב את יחס הדמיון באמצעות הצלעות הללו.
1.5 = 4 : 6

ADF הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר ולכן יחס הדמיון יכתב כך:
1 : 1.5
ניתן ורצוי לכתוב את היחס כך:
2 : 3

סעיף ב:
הצלע השנייה שאנו יודעים במשולש ADF היא:
ADF ∼ LKC
AF = 15
הצלע המתאימה לה היא LC, והיא קטנה ממנה פי 1.5.
LC = 15 : 1.5 = 10

הצלע השנייה שאנו יודעים במשולש LKC היא CK.
הצלע המתאימה לה היא AF והיא גדולה ממנה פי 1.5.
CK = 8 * 1.5 = 12

תשובה: CK = 12,   LC = 10.

שני תרגילים נוספים הפתורים בוידאו בלבד:

4. מה הסדר הנכון לכתיבת יחס הדמיון?

אם יש לנו שני משולשים דומים שבהם צלעות במשולש אחד גדולות פי 4 מצלעות במשולש שני.
האם נרשום את יחס הדמיון
כך :  4 : 1
או כך : 1 : 4

התשובה היא שאם כתבו לנו את סדר המשולשים בשאלה. למשל
"מצאו את יחס הדמיון בין ABC ∼ DEF"
אז עלינו לשמור על אותו סדר בכתיבת יחס הדמיון.

אם נכתוב "יחס הדמיון הוא 4 : 1".
זה אומר שצלעות משולש DEF גדולות פי 4 מצלעות משולש ABC.
אם נכתוב "יחס הדמיון הוא 1 : 4".
זה אומר שצלעות משולש ABC גדולות פי 4 מצלעות משולש DEF.

אם סדר המשולשים לא כתוב לנו בשאלה אז אנו יכולים לכתוב את יחס הדמיון על פי הסדר שנבחר.

5.מציאת יחס הדמיון באמצעות יחס השטחים של משולשים דומים

עד עכשיו למדנו למצוא את יחס הדמיון בעזרת היחס שבין הצלעות של משולשים דומים.

בנוסף ניתן למצוא את יחס הדמיון באמצעות יחס השטחים של משולשים דומים.

המשפט אומר שיחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.
למשל, אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 3 : 1
אז נעלה את היחס הזה בריבוע ונמצא את יחס השטחים:
3² :1²
9 : 1.
יחס השטחים הוא 1:9.

אם יחס הדמיון הוא 5 : 2
אז נעלה את היחס הזה בריבוע ונמצא את יחס השטחים:
5² :2²
25 : 4.
יחס השטחים הוא 4:25

ובמקרה ההפוך כאשר ידוע לנו יחס השטחים נוציא שורש לשני חלק היחס ונמצא את יחס הדמיון.
אם יחס השטחים הוא 16 : 1
אז יחס הדמיון הוא
16√ : 1√
4 : 1
יחס הדמיון הוא 1:4

אם יחס השטחים 4 : 9
אז יחס הדמיון הוא
4√ : 9√
2 : 3
יחס הדמיון הוא 3:2

6.תרגילים

תרגיל 1
בטבלה מוצגים נתונים.

1. השלימו את הנתונים החסרים בטבלה.
2. קבעו מה היקף כל אחד מהמשולשים.

פתרון
סעיף א: השלמת הטבלה
אנו רואים ששטח משולש אחד גדול פי 16 משטח משולש שני.
יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים:
4 = 16√
יחס הדמיון הוא 1:4.
כל צלע במשולש הגדול גדולה פי 4 מצלע במשולש הקטן.
הטבלה תראה כך:

סעיף ב: חישוב ההיקף
על פי הנתונים בטבלה ניתן לראות שהיקף משולש ABC הוא:
11 = 5 + 4 + 2
היקף משולש DEF הוא:
44 = 20 + 16 + 8

תרגיל 2: הבנת משמעות סדר כתיבת האותיות ללא שרטוט
נתון כי ΔSDK ∼ ΔTEB.
מצאו את את הצלעות המתאימות לצלעות: KD, TB
מצאו את הזוויות המתאימות לזוויות: E, ∠S∠

פתרון

1. KD הן האותיות הנמצאות במקום 3 ו- 2. ולכן הצלע השווה מוגדרת על ידי האותיות הנמצאות במקומות 3 ו- 2 של המשולש השני, וזו הצלע BE.
2. צלע TB דומה לצלע SK – שוב פעם בגלל מיקום האותיות.

בנוגע לזוויות:

1. E=∠D∠ – שתיהן במקום השני של סדר רישום הדמיון.
2.  S =∠T∠ – שתיהן במקום הראשון של סדר רישום הדמיון.

תרגיל 3
נתון כי ΔABC ∼ ΔDEF  וכי יחס הדמיון הוא 3 (משולש ΔABC גדול יותר).
כמו כן מתקיים:

1. צלע BC=6 ס"מ.
2. צלע FD=1 ס"מ.
3. D = 50∠ מעלות.
4. שטח משולש ABC הוא 18 סמ"ר.

א. מצאו את גדלי הצלעות, והזוויות המתאימות.
ב. מצאו את שטח משולש ΔDEF.
ג. פי כמה גדול היקף משולש ΔABC מהיקף משולש ΔDEF ?
ד. בכמה גדול היקף משולש ΔABC מהיקף משולש ΔDEF ?

תשובות סופיות:
א. EF=2 ס"מ.  CA=3 ס"מ.  A=50∠.
ב. שטח משולש DEF הוא 2 סמ"ר.
ג. היקף משולש ΔABC גדול פי 3 מהיקף משולש ΔDEF.
ניתן לדעת זאת גם מבלי לדעת את הגודל המדויק של צלעות המשולשים.
ד. לא ניתן לדעת.

פתרון מלא
במשולשים דומים:

1. יחס הצלעות הוא כיחס הדמיון (בשאלה זו יחס הדמיון הוא 3).
2. הזוויות שוות זו לזו.
3. יחס שטחי המשולשים הוא כריבוע יחס הדמיון (בשאלה זו יחס השטחים הוא 3²=9).

לכן
סעיף א: מציאת הגדלים של הזוויות והצלעות המתאימות.
נתון: ΔABC ∼ ΔDEF
BC = 6, FD  =1

1. הצלע המתאימה ל- BC היא EF והיא קטנה ממנה פי 3.
   EF=6:3=2 ס"מ.
2. הצלע המתאימה לצלע FD היא CA והיא גדולה ממנה פי 3.
   CA=1*3=3 ס"מ.
3. הזווית המתאימה ל- D∠ היא A∠ והן שוות אחת לשנייה.
   A=50∠ מעלות.

סעיף ב:
שטח משולש ABC הוא 18 סמ"ר ושטח משולש DEF קטן ממנו פי 9=3².
18:9=2.
שטח משולש DEF הוא 2 סמ"ר.

סעיף ג + סעיף ד
בנוגע ליחס היקפי המשולשים:
יחס ההיקפים של משולשים דומים הוא כיחס הדמיון – במקרה הזה 3.
לכן היקף משולש ΔABC גדול פי 3 מהיקף משולש ΔDEF.

אבל לא ניתן "ב " כמה גדול היקף משולש אחד מהיקף משולש אחר – משום שאנו יודעים רק את יחס הצלעות ולא את הפרש הגדלים של הצלעות

תרגיל 4
ידוע הדמיון ABC ∼ DEF.
שטח משולש ABC הוא 40 סמ"ר.
שטח משולש DEF הוא 10 סמ"ר.

1. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים.
2. DE = 6 סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה לה.

פתרון
סעיף א
4 = 10 : 40
מכוון שמשולש ABC גדול יותר היחס בין השטחים בסדר הזה:
1 : 4
יחס הדמיון הוא:
1 : 2
כל צלע במשולש ABC גדולה פי 2 מהצלע המתאימה לה במשולש DEF.

סעיף ב
ABC ∼ DEF
DE = 6
הצלע המתאימה ל DE היא AB והיא גדולה ממנה פי 2.
AB = 6 * 2 = 12
תשובה: AB = 12 סנטימטר.

תרגיל 5
ידוע הדמיון ABC ∼ DEF.
שטח משולש ABC הוא 20 סמ"ר.
שטח משולש DEF הוא 100 סמ"ר.

1. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים.
2. EF = 10 סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה לה.

פתרון
5 = 20 : 100
מכוון ששטח משולש DEF גדול יותר היחס בין השטחים יכתב בסדר הזה:
5 : 1
היחס בין הצלעות (יחס הדמיון) הוא השורש של היחס בין השטחים
5√ : 1
2.23 : 1
(ניתן לרשום תשובה בשני האופנים).

סעיף ב
ABC ∼ DEF
הצלע המתאימה ל EF היא BC.
EF שייכת למשולש שצלעותיו גדולים יותר לכן אנו צריכים לחלק ב 2.23 על מנת למצוא את BC.
BC = 10 : 2.23 = 4.48
תשובה: BC = 4.48 סנטימטר.

תרגיל 6
ידוע כי דמיון המשולשים ABC ∼ DEF
רשומים כאן יחסי שטחים בין משולשים.
רשמו את יחס הדמיון בן המשולשים.

פתרון
על מנת למצוא יחס הדמיון נוציא שורש לכל אחד מהיחסים שקיבלנו.

תרגיל 1

יחס הדמיון הוא 4:1.

תרגיל 2

יחס הדמיון הוא 3:5

תרגיל 3

יחס הדמיון הוא 2:10.

עוד באתר:

• דמיון משולשים – דברים נוספים שצריך לדעת.
• מתמטיקה לכיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.
• משולשים חופפים.