תכונות טרפז וטרפז שווה שוקיים

בדף זה נכיר את תכונות הטרפזים.
התכונות מחולקות בצורה הבאה:

  1. תכונות של כל הטרפזים.
  2. תכונות של טרפזים שווה שוקיים.
  3. תכונות האלכסונים בטרפז.
  4. תכונות השטחים שיוצרים האלכסונים בטרפז.
  5. נספח: 9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר.

1.תכונות של כל הטרפזים

1.לטרפז שתי צלעות מקבילות זו לזו.
מתכונה זו נובעות שתי התכונות הבאות.

2.זוויות הנמצאות על אותה שוק משלימות ל 180 מעלות.
בבגרות ניתן להוכיח תכונה זו בשתי דרכים:
א)ניתן להוכיח את זה על ידי סכום זוויות חד צדדיות הוא 180 מעלות.
ב)ומי שלא מכיר את המושג "זוויות חד צדדיות" יכול להאריך את הצלע ולהגיד ששתי הזוויות הירוקות שוות כי הן זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
והזווית האדומה היא זווית צמודה ולכן משלימה ל 180 מעלות.

זוויות על אותה שוק בטרפז משלימות ל 180 מעלות
זוויות על אותה שוק בטרפז משלימות ל 180 מעלות

3.כאשר מעבירים ישר החותך את שני הבסיסים, למשל אלכסון, נוצרות זוויות מתחלפות שוות.
בבגרות הנימוק לתכונה זו יהיה "זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו".

ישר החותך את בסיסי הטרפז יוצר זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים
ישר החותך את בסיסי הטרפז יוצר זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים

4.סכום הזוויות בטרפז הוא 360 מעלות.
(כמו בכול מרובע).

5.שטח טרפז שווה לסכום הבסיסים כפול הגובה חלקי 2.
הרחבה בדף שטח טרפז.

6.קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
הרחבה בדף קטע אמצעים בטרפז.

קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם

במשפטים 1,4,5,6 ניתן להשתמש בבגרות ללא הוכחה.

2.תכונות טרפז שווה שוקיים

5.השוקיים שוות זו לזו.
6.זוויות הבסיס שוות זו לזו.
7.האלכסונים שווים זה לזה (AC = BD).

אלו גם שלושת הדרכים להוכיח שטרפז הוא טרפז שווה שוקיים.
אם בטרפז השוקיים שוות או זוויות הבסיס שוות או האלכסונים שווים אז הטרפז שווה שוקיים.

שלושת המשפטים הללו ודרכי ההוכחה הם משפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות ללא הוכחה.

תכונות טרפז שווה שוקיים: השוקיים שוות, האלכסונים שווים, זוויות על אותו בסיס שוות.
תכונות טרפז שווה שוקיים: השוקיים שוות, האלכסונים שווים, זוויות על אותו בסיס שוות.

3.אלכסונים בטרפז

כפי שכתבנו:
האלכסון בטרפז יוצר זוויות מתחלפות שוות.

וגם כתבנו:
בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
וגם:
אם בטרפז האלכסונים שווים אז הטרפז שווה שוקיים.
אלו שני משפטים שניתן להשתמש בהם ללא הוכחה.

מכאן נעבור לתכונות של אלכסונים בטרפז שצריך להוכיח על מנת להשתמש בהם.

1.משולשים AOD ∼ COB הם משולשים דומים (בכול סוגי הטרפזים).
כפי שאמרנו בתכונה 3 זוג הזוויות האדומות הן זוויות מתחלפות זוויות בין ישרים מקבילים.
וכך גם דוג הזוויות השחורות.
לכן המשולשים דומים על פי ז.ז.

2.בטרפז שווה שוקיים ACB ≅ DBC
ההוכחה היא על פי צ.צ.צ.

  1. AC = DB האלכסונים שווים זה לזה.
  2. AB = DC השוקיים בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
  3. BC צלע משותפת.
  4. המשולשים חופפים על פי צ.צ.צ.
בטרפז שווה שוקיים המשולש האדום והמשולש השחור חופפים
בטרפז שווה שוקיים המשולש האדום והמשולש השחור חופפים

ACB ≅ DBC
מחפיפה זו גם נובעות התכונות הבאות:

3. בטרפז שווה שוקיים DBC = ∠ ACB∠
אלו הן זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.

4.בטרפז שווה שוקיים OAD = ∠ODA∠
הוכחה:
בסעיף הקודם הראנו כי:
DBC = ∠ ACB∠
ועל פי זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים מתקבלים גם השוויונות:
DBC = ∠ ODA∠
ACB = ∠OAD∠
לכן על פי כלל המעבר כל ארבעת הזוויות המוזכרות כאן שוות זו לזו.

וההוכחה בשרטוט.
שתי הזוויות הירוקות שוות זו לזו בגלל חפיפת המשולשים  ACB ≅ DBC.
לכן גם הזווית השחורה והאדומה שוות לזווית הירוקה כי הן זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.

סיכום תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים:

תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

4.תכונות שטחי המשולשים שיוצרים האלכסונים בטרפז

יש שלוש תכונות של שטחים הקשורות לאלכסוני הטרפז.
את שלושת התכונות צריך להוכיח כאשר משתמשים בהם.
שלושת התכונות מתקיימות בכול סוגי הטרפזים.

1.אלכסוני הטרפז יוצרים שני משולשים שווה שטח.

SACD = SDBC

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה

הוכחה:

הוכחת שוויון שטחי משולשים

  1. נוריד AE,DF גבהים.
  2. אז AE=DF כי ADFE הוא מלבן (כי יש בו 3-4 זוויות השוות 90 מעלות).
  3. SACB = 0.5BC * AF
  4. SDBC = 0.5BC * DF
  5. לכן SACB = SDBC  נובע מ 2,3,4.

2. משולשים שווה שטח נוספים הם SAOB = SDOC
הדבר נובע מסעיף 1 ומחיסור שטחי משולשים.

הוכחה:

  1. SACB = SDBC   הוכחנו כבר בסעיף 1.
  2. SAOB = SACB – SOCB
  3. SDOC = SDBC – SOCB
  4. נובע מכך:  SAOB = SDOC.

למי שההוכחה לא ברורה, ההוכחה בוידאו כוללת שרטוטים ההופכים אותו לברורה יותר.

3. קיים קשר בין שטח ארבעת המשולשים הנוצרים על ידי אלכסוני הטרפז.
אם יודעים שטח של משולש אחד ויחס הדמיון בין המשולשים הדומים אז ניתן לדעת את השטח של ארבעת המשולשים.

תכונה זו מיועדת לתלמידי 4-5 יחידות.

שימו לב ש:

  1. למשולשים AOB ו BOC יש גובה משותף. לכן היחס בין השטחים שלהם הוא היחס בין צלעות הבסיס אליו מגיע הגובה (צלעות OC ו AO).
  2. אותו דבר לגבי המשולשים AOD ו AOB.
  3. המשולשים AOB ∼COD לכן אם נדע את יחס הדמיון נדע את הקשר בין הצלעות  OC ו AO ובין BO ו OD. ונוכל למצוא את הקשר בין השטחים.

נניח כי בשרטוט הנוכחי יחס הדמיון בין AOB ל COD הוא 3. ושטח משולש AOB הוא X.

מכוון שהאלכסונים יוצרים משולשים דומים אם נדע שטח של משולש אחד ואת יחס הדמיון נוכל לדעת את השטח של כל אחד מהארבעת המשולשים

AOB ∼ COD דמיון המשולשים.

חישוב שטח משולש BOC:
מהקודקוד B למשולש BOC ולמשולש BOA יש את אותו הגובה לצלעות AO ו OC. ומכוון ש OC= 3AO אז שטח משולש BOC גדול פי 3 משטח משולש AOB.

חישוב שטח משולש AOD:
בדיוק אותו דבר. DO = 3OB ולכן שטח משולש AOD גדול פי 3 משטח משולש AOB.

חישוב שטח משולש COD:
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. במקרה זה 3²=9.
שטח משולש COD הוא פי 9 משטח משולש AOB.

עוד באתר:

  1. טרפז – מידע מקיף ומלא.
  2. טרפז שווה שוקיים – מידע מקיף ומלא.
  3. זוויות בטרפז – תכונות הזוויות בטרפז.
  4. אלכסונים בטרפז – מידע על תכונות נוספות.
  5. שטח טרפז – כיצד מחשבים + תרגילים.

5.נספח: 9 מצבים בטרפז שכדאי להכיר מראש

בסרטון וידאו זה תכירו 9 מצבים נפוצים בנושא טרפז שהיכרות מוקדמת איתם תעזור לכם לפתור שאלות.
הסרטון מומלץ לתלמידי כיתה ט ומעלה

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “תכונות טרפז וטרפז שווה שוקיים”

    1. לומדים מתמטיקה

      בדף יש כמה סרטונים, ובכול סרטון כמה נושאים.
      אם אתה רוצה עזרה אתה צריך לשאול שאלה מדויקת ואז אוכל לענות.

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.