אלכסונים בטרפז וטרפז שווה שוקיים

בדף זה נלמד על תכונות האלכסונים בטרפז.

החלקים של דף זה הם:

1. סרטוני הסבר.
2. תכונות שקיימות בכול סוגי הטרפזים.
3. תכונות הקיימות בטרפז שווה שוקיים.
4. תכונות הקשורות לשטחי המשולשים הנוצרים על ידי האלכסונים.
5. תרגילים.

1.סרטוני הסבר

2.תכונות של אלכסונים בכל הטרפזים

יש שתי תכונות קשורות לאלכסונים וקיימות בכול סוגי הטרפזים.
את שתי התכונות הללו יש להוכיח כל פעם שמשתמשים בהן.

1.בכול סוגי הטרפזים האלכסונים יוצרים זווית מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.

תכונה 2: משולשים AOD ∼ COB.

הוכחה:
כפי שראינו בשני המשולשים הללו יש שתי זוויות מתחלפות שוות
OCB = ∠ OAD.     ∠OBC = ∠ODA∠
לכן AOB ∼ COD על פי ז.ז.

3.תכונות האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

לאלכסונים בטרפז שווה שוקיים יש 4 תכונות. את התכונה הראשונה (אלכסונים שווים באורכם) היא משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה בבחינת הבגרות.
את שלושת התכונות האחרות צריך להוכיח על מנת להשתמש בהם בבחינת הבגרות.
ההוכחות למשפטים הללו מופיעים בסוף הדף.

1.בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.
את התכונה הזו אין צורך להוכיח וניתן להשתמש בה כמשפט.
“אם טרפז שווה שוקיים אז האלכסונים שווים”.
וגם במשפט ההפוך:
“אם בטרפז האלכסונים שווים אז הטרפז שווה שוקיים”.

2.בטרפז שווה שוקיים ABC ≅ DCB
זו תכונה שיש להוכיח בכול פעם שמשתמשים בה.
ניתן להוכיח את זה על ידי צ.צ.צ

1. AB = DC  בטרפז שווה שוקיים השוקיים שוות זו לזו.
2. BC  צלע משותפת לשני המשולשים.
3. AC = DB בטרפז שווה שוקיים אלכסוני הטרפז שווים זה לזה.
4. ACB ≅ DBC  על פי משפט חפיפה צ.צ.צ

3.בטרפז שווה שוקיים אלכסוני הטרפז יוצרים עם הבסיסים 4 זוויות השוות זו לזו.
זו תכונה שיש להוכיח בכול פעם שמשתמשים בה.
תכונה זו מתבססת על חפיפת המשולשים ACB ≅ DBC שביצענו בסעיף הקודם.
הוכחה:

1. ACB = ∠ DBC∠  זוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
2. ACB = ∠CAD∠   זוויות מתחלפות בין משולשים חופפים.
3. DBC = ∠ BDA∠   זוויות מתחלפות בין משולשים חופפים.
4. משלושת השוויונות נובע כי כל 4 הזוויות שוות.

הערה:
כדי להוכיח שזוג זוויות ירוקות שווה זה לזה – מספיק להשתמש בזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.

4.בטרפז שווה שוקיים האלכסונים יוצרים עם בסיסי הטרפז שני משולשים שווי שוקיים.
זו תכונה שיש להוכיח בכול פעם שמשתמשים בה.
כפי שמצאנו בסעיף 3:
שתי הזוויות הירוקות במשולש BOC שוות זו לזו.
לכן BO = CO.
שתי הזוויות הירוקות במשולש AOD שוות זו לזו.
לכן AO = OD.

• עוד על משולש שווה שוקיים.

5.שני המשולשים שווי השוקיים הם משולשים דומים.
זו תכונה שיש להוכיח כל פעם שמשתמשים בה.
AOD ∼ COB
תכונה זו נובעת מסעיף 2.
בין שני המשולשים יש 2 זוויות שוות, לכן אלו משולשים דומים על פי ז.ז.

סיכום תכונות האלכסונים בטרפז

תכונות 1-2 שייכות לכל הטרפזים.
תכונות 3-6 שייכות לטרפז שווה שוקיים בלבד.
לאחר מיכן יש את תכונה 7 השייכת לכל הטרפזים.

 

4.תכונות של שטחי המשולשים שיוצרים אלכסוני הטרפז