תכונות המקבילית, אלכסונים במקבילית

בדף זה נלמד את תכונות המקבילית ונפתור תרגילים הנפתרים בעזרת תכונות המקבילית.

חלקים 6-8 הם למנויים באתר.

חלק מהתכונות הן משפטים הניתנים לשימוש בבגרות ללא הוכחה וחלק מהתכונות צריך להוכיח על מנת להשתמש בהם.
לאחר כל קבוצת משפטים רשום במי מהמשפטים ניתן להשתמש ללא הוכחה.

1.סרטון מסכם

2.תכונות צלעות המקבילית

1. שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).
2. שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).

שני המשפטים הללו הם משפטים הניתנים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.

3.תכונות זוויות המקבילית

שמות של זוויות במקבילית:

1. זוויות סמוכות – אלו הם זוויות הנמצאות ליד אותה הצלע.
   A,B    B,C   C,D   D,A
2. זוויות נגדיות – אלו זוויות הנמצאות אחת מול השנייה.
   A,C   B,D

תכונות של זוויות במקבילית:

1. זוויות נגדיות במקביליות שוות זו לזו.  (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).
2. זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות (צריך להוכיח על מנת לעשות שימוש).

את המשפט: זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות ניתן להוכיח בשתי דרכים.

דרך ראשונה
זוויות סמוכות הן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים. וזוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות.

דרך שנייה
דרך זו מיועדת למי שלא למד את הנושא זוויות חד צדדיות.
נאריך את הצלע AD כך שייוצרו שתי זוויות מתאימות שוות בין מקבילים (שתי הזוויות האדומות).
ומכך נובע שהזווית הירוקה שווה ל x כי היא צמודה לאדומה.

4.תכונות אלכסונים המקבילית

בתכונה הראשונה ניתן להשתמש בבגרות תוך ציון המשפט וללא הוכחה.
את כל שאר התכונות צריך להוכיח.

1. אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
2. אלכסוני המקבילית יוצרים שני זוגות של משולשים חופפים.
3. אלכסוני המקבילית יוצרים 4 זוגות של זווית מתחלפות שוות..
4. אלכסוני המקבילית יוצרים ארבעה משולשים שווי שטח.

ובפירוט:

1.אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה
ניתן להשתמש במשפט זה בבגרות ללא הוכחה.

• אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה – הסבר נוסף.

2.אלכסוני המקבילית יוצרים שני זוגות של משולשים חופפים.
AOD ≅ COB
AOB ≅ COD

ניתן להוכיח זאת על ידי שימוש במשפט הקודם + צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו (הוכחת צ.צ.צ).
או על ידי BOC = ∠DOA∠

3.אלכסוני המקבילית יוצרים 4 זוגות של זווית מתחלפות שוות.
כל זוג זוויות המסומן באותו צבע הוא זוג זוויות מתחלפות שוות.

4.אלכסוני המקבילית יוצרים ארבעה משולשים שווי שטח. 

לצפייה בסרטון המסביר את הוכחה זו לחצו כאן

ההוכחה של תכונה זו היא הקשה מבין המשפטים והיא תובא אחרי השרטוט.

שלב א: הוכחה כי שני משולשים סמוכים שווה שטח
נוכיח תחילה כי:
S_AOD = S_AOB

נשים לב כי הגובה AE הוא גובה משותף לשני המשולשים.
וגם OD = OB כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.

נגדיר את שטחי המשולשים בעזרת נוסחת שטח משולש.
S_AOD = 0.5AE * OD
S_AOB = 0.5AE * OB

ומכוון ש:
OD = OB
שטחי המשולשים שווים.
S_AOD = S_AOB

שלב ב: הוכחה ש 4 המשולשים שווה שטח
הוכחנו כי שני משולשים שווי שטח.
על מנת להוכיח שכל 4 המשולשים שווי שטח יש שתי אפשרויות.

אפשרות ראשונה
להשתמש בחפיפת המשולשים שהסברנו במשפט השני:
AOD ≅ COB
AOB ≅ COD
שני המשולשים המודגשים הם המשולשים שווה השטח.
וגם משולשים חופפים הם שווי שטח.
נובע מכך כל 4 המשולשים שווי שטח.
לדוגמה אם שטח AOD הוא 10 סמ"ר אז השטח של כל 4 המשולשים צריך להיות 10 סמ"ר.

אפשרות שנייה
כמו שהוכחנו קודם לכן שזוג משולשים סמוכים הם שווי שטח ניתן להוכיח כך עבור כל זוג משולשים סמוכים.
ואם כל שני משולשים סמוכים הם שווי שטח אז כל 4 המשולשים הם שווה שטח.

תכונות שאין לאלכסוני המקבילית

1. אלכסוני המקבילית אינם שווים באורכם.
2. אלכסוני המקבילית אינם חוצה זווית.
3. אלכסוני המקבילית אינם מאונכים זה לזה.

החלקים שבהמשך הדף הם למנויים באתר:

1. סיכום כל התכונות.
2. תרגילים.
3. תרגילים בהוכחת מקבילית.
4. נספח: טיפים לזכירת משפטי המקבילית.

5.סיכום תכונות המקבילית

1. שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות .
2. שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות.
3. זוויות נגדיות במקביליות שוות זו לזו.  (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).
4. זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות (צריך להוכיח על מנת לעשות שימוש).
5. אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
6. אלכסוני המקבילית יוצרים שני זוגות של משולשים חופפים.
7. אלכסוני המקבילית יוצרים 4 זוגות של זווית מתחלפות שוות..
8. אלכסוני המקבילית יוצרים ארבעה משולשים שווי שטח.

6.תרגילים בהם צריכים להשתמש בתכונות המקבילית

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• תכונות המקבילית, אלכסונים במקבילית תרגילים

9.נספח 2: הוכחת תכונות המקבילית

אין צורך להוכיח את תכונות המקבילית.

אבל לצורך שיפור היכולת שלנו להוכיח נוכיח את התכונות כאן.

בתרגיל הזה יהיה נתון לנו שהמרובע ABCD הוא מקבילית.

כלומר יש לו שני זוגות של צלעות מקבילות.

AD | | BC

AB | | CD

ועלינו להוכיח:

1. זוויות נגדיות שוות.
2. צלעות נגדיות שוות.
3. האלכסונים חוצים זה את זה.

10.נספח 3: טבלאות מסכמות של תכונות המרובעים

התכונות מחולקות ל 2:

1. תכונות של זוויות וצלעות.
2. תכונות של אלכסונים.

תכונות של זוויות וצלעות

	זוויות נגדיות שוות	זווית סמוכות משלימות ל 180	צלעות נגדיות מקבילות	צלעות נגדיות שוות
דלתון	רק זוג אחד	לא	לא	לא
טרפז	לא	כן	רק זוג אחד (הבסיסים)	לא.
טרפז שו"ש	לא (הן משלימות ל 180)	כן	רק זוג אחד (הבסיסים)	רק זוג אחד (השוקיים)
מקבילית	כן	כן	כן	כן
מלבן	כן	כן	כן	כן
מעוין	כן	כן	כן	כן
ריבוע	כן	כן	כן	כן

תכונות של אלכסונים

	שווים	מאונכים	חוצי זווית	חוצים (תיכונים)
דלתון	לא	כן	רק אלכסון אחד	רק אלכסון אחד
טרפז	לא	לא	לא	לא
טרפז שו"ש	כן	לא	לא	לא
מקבילית	לא	לא	לא	כן
מלבן	כן	לא	לא	כן
מעוין	לא	כן	כן	כן
ריבוע	כן	כן	כן	כן

תכונות נוספות של אלכסוני הטרפז ניתן ללמוד בדף טרפז תכונות.