לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

תכונות המקבילית, אלכסונים במקבילית

בדף זה נלמד את תכונות המקבילית ונפתור תרגילים הנפתרים בעזרת תכונות המקבילית.

בדף זה 8 חלקים:

  1. סרטון מסכם.
  2. תכונות של צלעות.
  3. תכונות של זוויות.
  4. תכונות של אלכסונים.
  5. סיכום כל התכונות.
  6. תרגילים.
  7. תרגילים בהוכחת מקבילית.
  8. נספח: טיפים לזכירת משפטי המקבילית.

חלקים 5-8 הם למנויים באתר.

חלק מהתכונות הן משפטים הניתנים לשימוש בבגרות ללא הוכחה וחלק מהתכונות צריך להוכיח על מנת להשתמש בהם.
לאחר כל קבוצת משפטים רשום במי מהמשפטים ניתן להשתמש ללא הוכחה.

1.סרטון מסכם

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

2.תכונות צלעות המקבילית

  1. שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).
  2. שתי זוגות של צלעות נגדיות מקבילות (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).

שני המשפטים הללו הם משפטים הניתנים לשימוש בבגרות ללא הוכחה.

תכונות צלעות המקבילית

3.תכונות זוויות המקבילית

שמות של זוויות במקבילית:

  1. זוויות סמוכות – אלו הם זוויות הנמצאות ליד אותה הצלע.
    A,B    B,C   C,D   D,A
  2. זוויות נגדיות – אלו זוויות הנמצאות אחת מול השנייה.
    A,C   B,D

תכונות של זוויות במקבילית:

  1. זוויות נגדיות במקביליות שוות זו לזו.  (ניתן להוכיח מקבילית בדרך זו).
  2. זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות (צריך להוכיח על מנת לעשות שימוש).
תכונות זוויות המקבילית
תכונות זוויות המקבילית

את המשפט: זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות ניתן להוכיח בשתי דרכים.

דרך ראשונה
זוויות סמוכות הן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים. וזוויות חד צדדיות משלימות ל 180 מעלות.

דרך שנייה
דרך זו מיועדת למי שלא למד את הנושא זוויות חד צדדיות.
נאריך את הצלע AD כך שייוצרו שתי זוויות מתאימות שוות בין מקבילים (שתי הזוויות האדומות).
ומכך נובע שהזווית הירוקה שווה ל x כי היא צמודה לאדומה.

4.תכונות אלכסונים המקבילית

בתכונה הראשונה ניתן להשתמש בבגרות תוך ציון המשפט וללא הוכחה.
את כל שאר התכונות צריך להוכיח.

  1. אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
  2. אלכסוני המקבילית יוצרים שני זוגות של משולשים חופפים.
  3. אלכסוני המקבילית יוצרים 4 זוגות של זווית מתחלפות שוות..
  4. אלכסוני המקבילית יוצרים ארבעה משולשים שווי שטח.

ובפירוט:

1.אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה
ניתן להשתמש במשפט זה בבגרות ללא הוכחה.

2.אלכסוני המקבילית יוצרים שני זוגות של משולשים חופפים.
AOD ≅ COB
AOB ≅ COD

ניתן להוכיח זאת על ידי שימוש במשפט הקודם + צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו (הוכחת צ.צ.צ).
או על ידי BOC = ∠DOA∠

3.אלכסוני המקבילית יוצרים 4 זוגות של זווית מתחלפות שוות.
כל זוג זוויות המסומן באותו צבע הוא זוג זוויות מתחלפות שוות.

4.אלכסוני המקבילית יוצרים ארבעה משולשים שווי שטח. 

לצפייה בסרטון המסביר את הוכחה זו לחצו כאן

ההוכחה של תכונה זו היא הקשה מבין המשפטים והיא תובא אחרי השרטוט.

שלב א: הוכחה כי שני משולשים סמוכים שווה שטח
נוכיח תחילה כי:
SAOD = SAOB

נשים לב כי הגובה AE הוא גובה משותף לשני המשולשים.
וגם OD = OB כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.

נגדיר את שטחי המשולשים בעזרת נוסחת שטח משולש.
SAOD = 0.5AE * OD
SAOB = 0.5AE * OB

ומכוון ש:
OD = OB
שטחי המשולשים שווים.
SAOD = SAOB

שלב ב: הוכחה ש 4 המשולשים שווה שטח
הוכחנו כי שני משולשים שווי שטח.
על מנת להוכיח שכל 4 המשולשים שווי שטח יש שתי אפשרויות.

אפשרות ראשונה
להשתמש בחפיפת המשולשים שהסברנו במשפט השני:
AOD ≅ COB
AOB ≅ COD
שני המשולשים המודגשים הם המשולשים שווה השטח.
וגם משולשים חופפים הם שווי שטח.
נובע מכך כל 4 המשולשים שווי שטח.
לדוגמה אם שטח AOD הוא 10 סמ"ר אז השטח של כל 4 המשולשים צריך להיות 10 סמ"ר.

אפשרות שנייה
כמו שהוכחנו קודם לכן שזוג משולשים סמוכים הם שווי שטח ניתן להוכיח כך עבור כל זוג משולשים סמוכים.
ואם כל שני משולשים סמוכים הם שווי שטח אז כל 4 המשולשים הם שווה שטח.

החלקים שבהמשך הדף הם למנויים באתר:

  1. סיכום כל התכונות.
  2. תרגילים.
  3. תרגילים בהוכחת מקבילית.
  4. נספח: טיפים לזכירת משפטי המקבילית.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

27 מחשבות על “תכונות המקבילית, אלכסונים במקבילית”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ניתן להעביר ישר מאמצע צלע אחת לאמצע צלע שנייה שייצור סימטריה משני הצדדים.

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    מקבילית שקדקודיה נימצאים על אלכסוני מקבילית ש נ ב ג אם עניתם כן כמה צקביליומ ק\אפשר לשרטט

  2. שלום האם אפשר להשתמש במשפט הפוך למשפט שהאלכסונים חוצים זה זה? כלומר שאם האלכסונים חוצים זה את זה אז זה מקבילית?
    תודה רבה

  3. שלום
    יש לי שאלה שמציגים לי מקבילית ובה אלכסון אחד
    ואני צריך להוכיח שני משולשים חופפים במקבילית
    האם זה נכון להגיד שהאלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים?
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה משפט שלא ניתן להשתמש בו.
      צריך למצוא את המשולשים החופפים וזו תהיה ההוכחה.

  4. אז במקבילית אלכסון אחד נחצה ? או שצי אלכסונים?(נראלי שבכל המרובעים שתי אלכסונים נחצים לא?)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      במקבילית שני אלכסונים נחצים.
      בשאר המרובעים לא בהכרח.
      כמו כן אם במרובע שני האלכסונים נחצים אז המרובע הוא מקבילית או שייך למשפחת המקביליות (מקבילית, מעוין, מלבן, ריבוע).

    1. לומדים מתמטיקה

      חוצי הזווית של הזוויות הסמוכות מאונכים.
      זה משפט שצריך להוכיח ויש את ההוכחה שלו בדף מקבילית באתר.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא.
      לאלכסוני המקבילית יש רק תכונה אחת – הם חוצים זה את זה.
      והטיפ שלי לזכירת הדבר ולא להתבלבל עם דברים אחרים היא לזכור שלאכסוני המקבילית יש רק משפט אחד. וכל משפט אחר שמנסים להוסיף להם הוא שגוי.

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    עזרתם לי מאוד עם הסרטון של להוכיח שהמשולשים הם שווי שטח תודה רבה