באתר זה לימוד חפיפת משולשים מחולק ל 6 חלקים:
- זיהוי צלעות וזוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
- משפטי חפיפה.
- רישום נכון של חפיפת משולשים.
- תרגילים קלים.
- אם שתי זוויות שוות בין שני משולשים איך מוכיחים שהזווית השלישית שווה.
- חיבור וחיסור צלעות וגם חיבור וחיסור זוויות.
- תרגילים בינוניים וקשים.
- נספח: חפיפת משולשים ומשולש שווה שוקיים.
אתם יכולים ללמוד את הדברים הללו באופן יסודי מהקישורים שלמעלה או לעבור על כולם בקצרה יחסית בדף זה.
בדף משולבים הרבה סרטוני וידאו שמרביתם זמינים למנויים באתר בלבד.
אם יש שאלות אתם יכולים להשאיר אותם כתגובה בדף.
בהצלחה!
סרטונים מסכמים
שני הסרטונים הבאים, כ 70 דקות, מסכמים את החומר.
ניתן ללמוד את החומר גם מהמשך הדף.
מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
1.זיהוי צלעות וזוויות מתאימות בין משולשים חופפים
מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
2.משפטי חפיפה
- משפטי חפיפה דף היכרות מפורט.
משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ
אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי שתי צלעות ובזווית שבין שתי הצלעות השוות הם חופפים.
משפט חפיפה שני ז.צ.ז
אם שני משולשים שווים זה לזה בשתי זוויות ובאורך הצלע שבין שתי הזוויות הם חופפים.
משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ
אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי 3 צלעותיהם הם חופפים.
3.כיצד לרשום חפיפת משולשים בצורה נכונה
לפעמים תלמידים מתלבטים באיזה אות להתחיל את רישום חפיפת המשולשים.
בדף זה אתן עצה לאלו שמתלבטים.
מכוון שיש מספר דרכים לכתוב בצורה נכונה זו רק עצה ולא חובה.
מי שמסתדר עם רישום החפיפה יכול לדלג, מה שנאמר כאן הוא לא חובה.
- סדר רישום חפיפת משולשים דף מפורט.
4.טיפים לתרגילים בסיסיים
- תרגילים קלים דף מפורט.
מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
5.חיבור וחיסור צלעות וזוויות
על מנת לפתור תרגילים קשים עליכם לדעת לחבר ולחסר צלעות וזוויות.
- חיבור וחיסור צלעות וגם חיבור וחיסור זוויות כוללים מידע מפורט בנושא.
- תרגילים קשים בחפיפת משולשים דף מפורט.
מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
הוכחת שוויון של צלעות באמצעות חיבור או חיסור צלעות זו מיומנות חשובה מאוד שעליכם לרכוש.
נתחיל בהוכחת שוויון צלעות על ידי חיבור צלעות
נסתכל על הישר הבא:
הנתונים שלנו הם:
AD = EB
DC = EC
ומבקשים מאיתנו להוכיח כי AC = BC.
כיצד עושים זאת?
שלב 1: נגדיר את כל אחד מהישרים שאנו צריכים להוכיח שהם שווים (אלו הישרים AC,BC) באמצעות חיבור צלעות.
AC = AD + DC
וגם
BC = BE + EC
ואז נכתוב:
לכן על פי כלל החיבור:
AC = BC
* "כלל החיבור" הוא: אם מחברים גדלים שווים
לגדלים שווים מקבלים סכומים שווים.
הסבר מפורט הרבה יותר תמצאו בסרטון הוידאו.
חיבור וחיסור זוויות
מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
זה מאוד דומה לחיסור וחיבר צלעות שעשינו קודם לכן.
נניח והשאלה שלנו היא כזו.
ידוע כי
A = ∠D∠ (הזווית האדומה).
FDH = ∠CAG∠ (הזווית הירוקה).
צריך להוכיח:
BAG = ∠EDH∠ (זו הזווית השמאלית).
פתרון
נגדיר את כל אחד מהזוויות שאנו צריכים להוכיח שהן שוות בעזרת חיסור זוויות.
BAG = ∠A – ∠CAG∠
EDH = ∠D – ∠FDA∠
לכן על פי כלל החיסור
BAG = ∠EDH∠
* "כלל החיסור" הוא: אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מקבלים הפרשים שווים.
עוד באתר:
- משפט חפיפה רביעי – צלע, צלע והזווית שמול הצלע הגדולה.
- מתמטיקה לכיתה ח – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד בשנה זו.
- משולש – הדף המרכזי הכולל מידע + קישורים על נושאים רבים.
- משולש ישר זווית – מידע ותרגילים.
- דמיון משולשים – מידע ותרגילים.
6.תרגילים
מצורפים תרגילים ב 3 רמות.
- רמה בסיסית – אתם צריכים להכיר את משפטי החפיפה, ולהכיר את הרישום הנכון של חפיפת משולשים.
- רמת אמצע – הוכחות קשות יותר, בהם אתם צריכים לעשות פעולות על מנת להגיע אל הנתונים שיוכיחו חפיפה. כולל שימוש בישרים מקבילים.
- רמה גבוהה – כולל חיבור וחיסור של צלעות או זוויות. כולל שתי חפיפות משולשים.
תרגילים ברמה בסיסית
בחלק זה 4 תרגילים.
לשלושת התרגילים הראשונים יש פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.
תרגיל 1
זהו מי מבין זוגות המשולשים ניתן לקבוע שהוא חופף.
תרגיל 2
נתון ΔTKC≅ΔGVW.
מצאו את הזוויות והצלעות השוות לאלו הרשומות מטה
זווית:
- K∠
- G∠
- W∠
צלעות:
- TC
- CK
- GV
תרגיל 3
נתונים המשולשים ABD ו- BDC.
DB חוצה את זווית ADC. ו- AD=CD.
- הוכיחו: ΔABD≅ΔCBD
- רשמו את שלושת השוויונות הנובעים מהחפיפה.
תרגיל 4
עבור המשולשים המשורטטים מטה נתון:
AD=BC, BO=AO
AOD=∠BOC∠
האם מתקיים ΔAOD≅ΔBOC ?
תרגילים ברמת אמצע
בחלק זה 5 תרגילים.
לתרגיל 2 יש גם פתרון וידאו.
תרגיל 1 (ישרים מקבילים)
בשרטוט המצורף נתון כי AB מקביל ל CD.
AO=OC
הוכיחו BO = DO.
תרגיל 2 (שימוש בחפיפה קודמת)
המשולשים ABC ≅DEC.
במשולש ABC מעבירים תיכון AH ובמשולש DEF מעבירים תיכון DG.
הוכיחו כי AHB≅DGE.
תרגיל 3 (כולל שימוש בחיסור זוויות)
נתון CA חוצה את הזווית BCD∠.
∠BCD=100
∠DBC=50
∠A=∠D
הוכיחו: ΔABC≅ΔDCB
פתרון
נציג את הנתונים בשרטוט.
ננסה להוכיח חפיפה על פי משפט חפיפה שני – ז.צ.ז
טענה | נימוק | |
1 | BC=BC | צלע משותפת. |
2 | ∠ACB=∠DCA∠=50 | נתון AC חוצה זווית. |
3 | ∠DBC = ∠ACB = 50 | נובע מסעיף 2 והנתונים |
4 | ∠A = ∠D | נתון |
5 | ∠CBA =180 – ∠A – 50 = 130 – ∠A | סכום זוויות במשולש DBC הוא 180 מעלות |
6 | ∠BCD = 180- ∠D – 50 = 130 – ∠D | סכום זוויות במשולש BCD הוא 180 מעלות |
7 | ∠CBA = ∠BCD | נובע מ 4,5,6 |
מה הייתם צריכים ללמוד בתרגיל זה?
-
-
- לדעת כיצד מוכיחים (וכותבים) שאם בין שני משולשים 2 זוויות שוות אז גם הזווית השלישית שווה (שורה 4).
- לשים לב לצלע משותפת.
- לשים לב לחוצי זווית.
-
תרגיל 4
במשולש שווה שוקיים ABC (כאשר AB = AC) מעבירים את הגובה AD אל הבסיס.
הנקודה E נמצאת על הגובה AD.
הוכיחו כי:
-
-
- BED ≅ CED
- BEA ≅ CEA
-
תרגיל 5 (שימוש בתכונות מקבילית)
נתונה מקבילית ABCD.
את האלכסון AC מאריכים כך ש AE=CF.
הוכיחו EB = FD.
תרגילים קשים
מנויים לאתר רואים כאן הסבר כתוב.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
האם משנה סדר האותיות בגאומטריה לדוגמא: BD אוDB?
שלום
בהקשר של צלעות BD או DB זה בדיוק אותו דבר.
היי, אם נתונים 2 משולשים דומים כשלמשולש אחד יש צלע שווה לצלע במשולש השני האם ניתן לטעון שהם גם חופפים? ומה הנימוק לכך?
שלום
צלע אחת שווה בין שני משולשים אינה מספיקה להוכחת חפיפת משולשים.
גם אם המשולשים דומים?
סליחה, לא ראיתי שהמשולשים דומים.
במקרה זה צריך לבדוק את האפשרות להוכיח על פי ז.צ.ז.
האפשרות להוכיח תלויה במיקום הצלע השווה ביחס לזוויות השוות.
תודה רבה
איך כותבים הוכחות?(חיבור,חיסור,סכום זוויות,ישרים מקבילים, משולשים חופפים וכו)
שלום
כאן בדף יש דוגמאות לכתיבת טענה ונימוק בטבלה.
ובדפים אחרים בנושאים שציינת יש תרגילים פתורים.
אתר מדהים!!!
בזכותו כל כך הרבה דברים שהמורה שלי לא הצליחה להסביר אני הבנתי בשניות!
תודה רבה לכם! מעריך מאוד!
שמח שלמדת. בהצלחה.
שלום רציתי לשאול איך אני מוצאת ז.צ.ז. ו צ.ז.צ. ו צ.צ.צ.
שלום
צריך לחפש צלעות שוות בין המשולשים וגם זוויות שוות בין המשולשים.
ואיך אני מבדילה בינהם? כי לכל אחד יש כלל שונה תודה רבה האתר מאוד עוזר לי!
לאחר שמצאת את הדברים השווים את צריכה לבדוק לאיזה משפט הם מתאימים.
אם למשל מצאת שתי צלעות וזווית בניהן אז ההתאמה היא ל- צ.ז.צ
איזה משפט אני יכולה לכתוב שיש לי 2 זוויות ואז יש לכל אחת קו כזה שחוצה אותה ואני אמור ה להוכיח שהזוויות הקטנות שנוצרו מעל לקו שוות זו לזו?
אני יודעת שהן שוות, גם רואים לפי הסרטוט(זה סרטוט מסובך), אבל אני לא מוצאת את המשפט המתאים להשתמש בו
שלום
בהקשר של חפיפת משולשים אולי את יכולה להוכיח חפיפה של שני משולשים ולהראות שהזוויות הללו הן זוויות מתאימות שוות.
היי איך מחשבים חיסור קטע משותף אשמח שתענו
שלום
חיסור קטעים נלמד כאן
https://www.m-math.co.il/math-7th-grade/add-lines/
היי איך מוכחים ששני משולשים חופפים?
שלום
בעזרת אחד משלושה או ארבעה משפטי חפיפה (תלוי כמה למדת).
בכל שאלה משתמשים במשפט אחר על פי הנתונים.
את המשפטים ניתן ללמוד בדף הזה או בקישור הבא:
https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/congruence-of-triangles-sentences/
היי קודם כל אני רוצה לומר תודה שאתה עושה את זה אתה ממש עוזר
ואני לא יודע איך הייתי לומד בילעדיך היה לי היום מבחן לעליית להקבצה א לא הצלחתי אפילו לענות על שאלה אחת כי אני לא למדתי אבל עכשיו אני רוצה לעשות מועד ב ואני לומד כאן באתר שלך תודה רבה שאתה עושה את זה.
מאחל לך הצלחה רבה במבחן ובלימודים שאחריו.
אם יש שאלות ניתן לשאול כאן.
תודה רבה
יש לי שאלה האם אתה יכול בבקשה להראות איך כותבים את התהליך של התשובה…?
שלום
מה הכוונה במילים התהליך של התשובה? פתרונות יש בדף
תודה רבה
בכיף
היי אפשר לבדוק מה המספרי של הצלעות ומה מספר הזווית?
שלום
מה הכוונה?
במשולש יש תמיד 3 צלעות ו 3 זוויות.
שלום
קודם כל תודה רבה על הסרטונים הם מאוד עוזרים לי
יש לי שאלה… בסרטון הראשון בעמוד בדקה 17:39 לא נתון לי שAB=CD וDA=DC
ולכן גם המשולשים לא חופפים כי אין לי מספיק נתונים
יש לי מבחן מחר אשמח לתשובה מהר
שלום
בהצלחה במבחן.
נתון
DA=DC = 8
AB = CD = 8
אלו נתונים שמשומנים על השרטוט. ולכן המשולשים חופפים.
תודה רבה רבה עזרתם לי המון!!
תודה :)
האם יכול לקרות מקרה בו אני יוכל מצב שלמשולש אחד יהיה יותר ממשפט חפיפה אחד מתאים?
כן
שלום
בתרגילים קשים תרגיל מספר אחד לא הבנתי איך מזה ש-
E=180-EDF-EFD
ו A=180-ACB-ABC
הגעת לזה ש A=E
אשמח אם תסביר, תודה
שלום זה בגלל זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
תסתכל בנימוקים מספר 2,3 בטבלת הטענה נימוק ויש שם את ההסבר למה הזוויות הזוויות שמחסרים שוות.
ואם מחסרים זוויות שוות מ 180 אז מגיעים לגדלים שווים.
סכום זוויות במשולש הוא 180 (מעלות)
נכון.
היי,
מה קורה אם נתון לי :שתי זויות שוות שתי צלעות ושתי צלעות מקבילות? האם אפשר לכתוב שהמשולשים חופפים על פי צלעות מקבילות?(לא נראה לי ) אז איך אפשר להשתמש בצלעות מקבילוות כדי להוכיח שהמשולשים חופפים?
שלום מיכל
בצלעות מקבילות משתמשים לרוב למציאת זוויות נוספות בעזרת זוויות מתאימות או מתחלפות.
יש אפשרות לקבל לימוד פרטני לשאלות מסויימות ? פניה בוואצאפ או אימייל ..?
שלום שילת
אפשר לשאול שאלות על תכני האתר דרך מערכת התגובות.
או לקבל הדרכות קצרות על שאלות אחרות באותה צורה.
אין מייל או ווטסאפ
טענה 1 בתרגיל 1 – נראה לי שיש שם טעות?
צ"ל AOB = ∠COD∠
שלום יניב
בתרגיל 1 אני לא רואה את האותיות הללו.
תרגיל 1 הוא הוכחת חפיפה ללא אותיות.
לאיזה תרגיל אתה מתכוון?
תודה
היי, בספר "קפיצה לגובה לכיתה ח-חלק א" לא רשומות חפיפות אלא רק שרטוטים וזה באמת קצת מבלבל… כיצד פותרים? תודה:)
שלום
מצטער אבל לא יודע איזו שאלה את פוגשת בספר.
וואו אני חייבת להגיד שרק בזכות האתר שלכם באמת הצלחתי להבין את החומר תודה!
תודה :). בהצלחה.
מקווה שתתמידי בלמידה.
תודה רבה עזרתם לי מאוד!! :)
בכיף
מטורףףףף
אתר מהמםםם ממש עוזר לי
תודה!!!!!
איזה כיף!!! תודה
יש לכם אולי גם סרטון שמסביר בדיוק שלב אחר שלב איך מוכיחים?
שלום
יש הרבה דרכים להוכיח, ומכל תרגיל צריך לקחת רעיון וכך לאסוף דרכי הוכחה.
ניסית את הסרטונים המופיעים בדף זה בחלק של התרגילים?
או בדפים של תרגילים קלים / קשים?
שלום, בחפיפת משולשים אם נתון לי צלע מסויימת שמאונכת לצלע אחרת, בטבלת הוכחה אני צריכה להוכיח שהזוויות שנוצרות מהאנך זה שווה ל90 מעלות או שזה כבר
חלק מהנתון ואני יכולה לכתוב בלי הנתון וישר שהזווית שווה ל90 מעלות
שלום
את הנתון שהזווית שווה ל 90 מעלות צריך לכתוב בהוכחה. ובתור נימוק לטענה הזו צריך לכתוב "נתון שהישרים…. מאונכים".
אתר מצוין עוזר לי המווווווווווווווווווווון
😊
תודה רבה באמת עזרתם
בכיף
תודה מטורףףףףףףףףףףףףףףףףףף
בשמחה אביטל
אין לך מושג כמה האתר שלך עוזר לי אני פשוט נהנה ללמוד . אני מתחיל ללמוד אחרי הפסקה של 15 שנה (הוצאתי בגרות 5 יח"ל מתמטיקה פיזיקה אמנם נכנסתי לישיבה 4 שנים ולאחר מכן הייתי אברך 11 שנים נוספות ב"ה ) והאתר שלך מצוין משמח לראות שיש אנשים שרוצים לעזור ועוזרים מכל הלב ירבו כמותך בישראל
שלום ציון.
תודה רבה לך על הברכות החמות.
בהצלחה בהמשך.
למה בתרגיל 5 זה ע"פ הכלל צ.צ.צ?
שלום.
הנתונים היו AC=DE
EF=AB
במהלך ההוכחה הוכחנו גם DF=CB
אלו 3 צלעות שוות ובגלל זה המשולשים חופפים.
מקווה שזה מובן יותר.
שלום,
מה לגביי משפט חפיפה רביעי?
צודק. משפט חפיפה רביעי לא נלמד בכיתה ח ולכן לא מופיע בדף זה אלא בדף נוסף
https://www.m-math.co.il/geometry/triangle/overlapping-triangles-4/
הוספתי קישור גם מתחת למשפט החפיפה השלישי.
תודה.
ממש ממש ממש טוווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווובבבבבבבבבבבב
בכיף :)