חפיפת משולשים

באתר זה לימוד חפיפת משולשים מחולק ל 6 חלקים:

  1. זיהוי צלעות וזוויות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. משפטי חפיפה.
  3. רישום נכון של חפיפת משולשים.
  4. תרגילים קלים.
  5. חיבור וחיסור צלעות וגם חיבור וחיסור זוויות.
  6. תרגילים בינוניים וקשים.
  7. נספח: חפיפת משולשים ומשולש שווה שוקיים.

אתם יכולים ללמוד את הדברים הללו באופן יסודי מהקישורים שלמעלה או לעבור על כולם בקצרה יחסית בדף זה.

בדף משולבים הרבה סרטוני וידאו שמרביתם זמינים למנויים באתר בלבד.

אם יש שאלות אתם יכולים להשאיר אותם כתגובה בדף.

בהצלחה!

סרטונים מסכמים

שני הסרטונים הבאים, כ 70 דקות, מסכמים את החומר.

ניתן ללמוד את החומר גם מהמשך הדף.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

1.זיהוי צלעות וזוויות מתאימות בין משולשים חופפים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

2.משפטי חפיפה

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי שתי צלעות ובזווית שבין שתי הצלעות השוות הם חופפים.

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ
משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

אם שני משולשים שווים זה לזה בשתי זוויות ובאורך הצלע שבין שתי הזוויות הם חופפים.

משפט חפיפה שני ז.צ.ז
משפט חפיפה שני ז.צ.ז

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי 3 צלעותיהם הם חופפים.

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ
משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

3.כיצד לרשום חפיפת משולשים בצורה נכונה

לפעמים תלמידים מתלבטים באיזה אות להתחיל את רישום חפיפת המשולשים.

בדף זה אתן עצה לאלו שמתלבטים.

מכוון שיש מספר דרכים לכתוב בצורה נכונה זו רק עצה ולא חובה.

מי שמסתדר עם רישום החפיפה יכול לדלג, מה שנאמר כאן הוא לא חובה.

לחצו לצפייה בהסבר

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

4.טיפים לתרגילים בסיסיים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

5.חיבור וחיסור צלעות וזוויות

על מנת לפתור תרגילים קשים עליכם לדעת לחבר ולחסר צלעות וזוויות.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

הוכחת שוויון של צלעות באמצעות חיבור או חיסור צלעות זו מיומנות חשובה מאוד שעליכם לרכוש.

נתחיל בהוכחת שוויון צלעות על ידי חיבור צלעות
נסתכל על הישר הבא:
ישר

הנתונים שלנו הם:
AD = EB
DC = EC
ומבקשים מאיתנו להוכיח כי AC = BC.
כיצד עושים זאת?

שלב 1: נגדיר את כל אחד מהישרים שאנו צריכים להוכיח שהם שווים (אלו הישרים AC,BC) באמצעות חיבור צלעות.
AC = AD + DC
וגם
BC = BE + EC
ואז נכתוב:
לכן על פי כלל החיבור:
AC = BC
* "כלל החיבור" הוא: אם מחברים גדלים שווים
לגדלים שווים מקבלים סכומים שווים.

הסבר מפורט הרבה יותר תמצאו בסרטון הוידאו.

חיבור וחיסור זוויות

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

זה מאוד דומה לחיסור וחיבר צלעות שעשינו קודם לכן.
נניח והשאלה שלנו היא כזו.
שרטוט זוויות

ידוע כי
A = ∠D∠  (הזווית האדומה).
FDH = ∠CAG∠ (הזווית הירוקה).
צריך להוכיח:
BAG = ∠EDH∠ (זו הזווית השמאלית).

פתרון
נגדיר את כל אחד מהזוויות שאנו צריכים להוכיח שהן שוות בעזרת חיסור זוויות.
BAG = ∠A – ∠CAG∠
EDH = ∠D – ∠FDA∠
לכן על פי כלל החיסור
BAG = ∠EDH∠
* "כלל החיסור" הוא: אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מקבלים הפרשים שווים.

עוד באתר:

  1. משפט חפיפה רביעי – צלע, צלע והזווית שמול הצלע הגדולה.
  2. מתמטיקה לכיתה ח – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד בשנה זו.
  3. משולש – הדף המרכזי הכולל מידע + קישורים על נושאים רבים.
  4. משולש ישר זווית – מידע ותרגילים.
  5. דמיון משולשים – מידע ותרגילים.

6.תרגילים

מצורפים תרגילים ב 3 רמות.

  1. רמה בסיסית – אתם צריכים להכיר את משפטי החפיפה, ולהכיר את הרישום הנכון של חפיפת משולשים.
  2. רמת אמצע – הוכחות קשות יותר, בהם אתם צריכים לעשות פעולות על מנת להגיע אל הנתונים שיוכיחו חפיפה. כולל שימוש בישרים מקבילים.
  3. רמה גבוהה – כולל חיבור וחיסור של צלעות או זוויות. כולל שתי חפיפות משולשים.

תרגילים ברמה בסיסית

בחלק זה 4 תרגילים.
לשלושת התרגילים הראשונים יש פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

זהו מי מבין זוגות המשולשים ניתן לקבוע שהוא חופף.

מי מבין המשולשים הבאים חופפים

פתרון התרגיל

פתרון

פתרון התרגיל

=לצפייה בסרטון של הפתרון

תרגיל 2

נתון ΔTKC≅ΔGVW.
מצאו את הזוויות והצלעות השוות לאלו הרשומות מטה
זווית:

  1.  K∠
  2. G∠
  3. W∠

צלעות:

  1. TC
  2. CK
  3. GV
פתרון התרגיל

פתרון

ΔTKC≅ΔGVW.
זווית

  1.  K=∠V∠ – אלו האותיות הנמצאות במקום השני.
  2. G=∠T∠ – אלו האותיות הנמצאות במקום הראשון.
  3. W=∠C∠אלו האותיות הנמצאות במקום השלישי.

צלעות

  1. TC=GW  – אלו האותיות הנמצאות במקומות 1 ו- 3.
  2. CK=WV    אלו האותיות הנמצאות במקומות 2 ו- 3.
  3. GV=TK    אלו האותיות הנמצאות במקומות 1 ו- 2.
=לצפייה בסרטון של הפתרון

תרגיל 3

נתונים המשולשים ABD ו- BDC.
DB חוצה את זווית ADC. ו- AD=CD.

  1. הוכיחו: ΔABD≅ΔCBD
  2. רשמו את שלושת השוויונות הנובעים מהחפיפה.

פתרון התרגיל

פתרון

קל יותר לפתור את התרגיל כאשר הנתונים מסומנים על השרטוט

שרטוט התרגיל עם הנתונים

 טענהנימוק
1AD=CDנתון
2BD=BDצלע משותפת
3∠ADB=∠CDBBD חוצה זווית CDA.
4ΔABD≅ΔCBDעל פי צ.ז.צ

 

סעיף ב: שוויונות הנובעים מהחפיפה

    1. BC = BA (צלע)    אותיות הנמצאות במקום 1 ו 2 ברישום החפיפה.
    2. C = ∠A∠   אותיות הנמצאות במקום 1 ברישום החפיפה.
    3. CBD = ∠ABD∠
=לצפייה בסרטון של הפתרון

תרגיל 4

עבור המשולשים המשורטטים מטה נתון:
AD=BC, BO=AO
AOD=∠BOC∠
האם מתקיים ΔAOD≅ΔBOC ?

נתונים עבור תרגיל 2

פתרון התרגיל

פתרון
חפיפת המשולשים אינה מתקיימת משום שהזווית השווה אינה נמצאת בין הצלעות השוות – כפי שנדרש במשפט החפיפה הראשון (צ.ז.צ)

על מנת שחפיפת המשולשים הייתה מתקיימת היינו צריכים את הנתון B = ∠A∠.

תרגילים ברמת אמצע

בחלק זה 5 תרגילים.
לתרגיל 2 יש גם פתרון וידאו.

תרגיל 1 (ישרים מקבילים)

בשרטוט המצורף נתון כי AB מקביל ל CD.
AO=OC
הוכיחו BO = DO.

חפיפת משולשים, שרטוט התרגיל

פתרון התרגיל

פתרון

 טענהנימוק
1∠AOC = ∠CODזוויות קודקודיות שוות.
2∠DCO = ∠BAOזוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
3AO = OCנתון.
4ABO ≅ CDOעל פי משפט חפיפה ז.צ.ז.
5BO = DOצלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

תרגיל 2 (שימוש בחפיפה קודמת)

המשולשים ABC ≅DEC.
במשולש ABC מעבירים תיכון AH ובמשולש DEF מעבירים תיכון DG.
הוכיחו כי AHB≅DGE.

שרטוט התרגיל

פתרון התרגיל

פתרון טקסט

 טענהנימוק
1AB=DEצלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
2∠ABH = ∠DEGזוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
3CB = FEצלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
4BH = 0.5CB = 0.5FE = GEנובע מ 3 ומכך ש AH ו DG הם תיכונים.
5AHB ≅ DGEמשולשים חופפים על פי צ.ז.צ. (נובע מ 1,2,4).
=לצפייה בסרטון של הפתרון

פתרון וידאו

תרגיל 3 (כולל שימוש בחיסור זוויות)

נתון AC חוצה את הזווית BCD∠.
BCD=100∠.
DBC=50∠
A=∠D∠
הוכיחו: ΔABC≅ΔDCB

שרטוט תרגיל 3

פתרון התרגיל

 

פתרון
נציג את הנתונים בשרטוט.

הנתונים בשרטוט - תרגיל 3
הנתונים בשרטוט – תרגיל 3

ננסה להוכיח חפיפה על פי משפט חפיפה שני – ז.צ.ז

 טענה נימוק
1BC=BCצלע משותפת.
2∠ACB=∠DCA∠=50נתון AC חוצה זווית.
3∠DBC = ∠ACB = 50נובע מסעיף 2 והנתונים
4∠A = ∠Dנתון
5∠CBA =180 – ∠A – 50 = 130 – ∠Aסכום זוויות במשולש DBC הוא 180 מעלות
6∠BCD = 180- ∠D – 50 = 130 – ∠Dסכום זוויות במשולש BCD הוא 180 מעלות
7∠CBA = ∠BCDנובע מ 4,5,6

מה הייתם צריכים ללמוד בתרגיל זה?

      1. לדעת כיצד מוכיחים (וכותבים) שאם בין שני משולשים 2 זוויות שוות אז גם הזווית השלישית שווה (שורה 4).
      2. לשים לב לצלע משותפת.
      3. לשים לב לחוצי זווית.

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים ABC (כאשר AB = AC) מעבירים את הגובה AD אל הבסיס.
הנקודה E נמצאת על הגובה AD.
הוכיחו כי:

      1. BED ≅ CED
      2. BEA ≅ CEA

חפיפת משולשים

פתרון התרגיל

פתרון
סעיף א

 טענהנימוק
1∠BDE = ∠CDE  נתון AD גובה.
2BD = CDכי במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון.
3EDצלע משותפת למשולשים BDE, CDE.
4BED ≅ CEDעל פי צ.ז.צ

חלק שני: הוכחת חפיפת המשולשים  BEA ≅ CEA

 טענהנימוק
1EB= ECצלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
2AB = ACנתון המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
3AEצלע משותפת למשולשים BEA,  CEA.
4BEA ≅ CEAחפיפת משולשים על פי צ.צ.צ

אפשרות נוספת להוכחת החפיפה:

  1. BAE = ∠CAE∠  במשולש שווה שוקיים ABC הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית.
  2. AB = AC נתון המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
  3. AE צלע משותפת למשולשים BEA,  CEA.
  4. BEA ≅ CEA  חפיפת משולשים על פי צ.ז.צ

תרגיל 5 (שימוש בתכונות מקבילית)

נתונה מקבילית ABCD.
את האלכסון AC מאריכים כך  ש AE=CF.
הוכיחו EB = FD.

שרטוט התרגיל

פתרון התרגיל

פתרון

 טענהנימוק
1AB= CDצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
2∠DCA = ∠CABזוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
3∠EAB = 180 – ∠CABסכום זוויות צמודות הוא 180
4∠FCD = 180 – ∠DCAסכום זוויות צמודות הוא 180
5∠EAB = ∠FCDנובע מ 2,3,4
6FCD ≅ EABמשולשים חופפים על פי צ.ז.צ. (נובע מ 1,2,6).
7EB = FDצלעות מתאימות בין משולשים חופפים

תרגילים קשים

מנויים לאתר רואים כאן הסבר כתוב.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם:
1.וואטסאפ: 0527-586-585
2.דרך המייל: help@m-math.co.il

מי שאינו מנוי יכול להשאיר שאלה על ידי השארת תגובה באתר.

כתיבת תגובה

השאירו שאלה או תגובה באתר. אין צורך להשאיר אימייל (השירות זמין לכולם ללא תשלום).

62 מחשבות על “חפיפת משולשים”

  1. אתר מדהים!!!
    בזכותו כל כך הרבה דברים שהמורה שלי לא הצליחה להסביר אני הבנתי בשניות!
    תודה רבה לכם! מעריך מאוד!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך לחפש צלעות שוות בין המשולשים וגם זוויות שוות בין המשולשים.

        1. לומדים מתמטיקה

          לאחר שמצאת את הדברים השווים את צריכה לבדוק לאיזה משפט הם מתאימים.
          אם למשל מצאת שתי צלעות וזווית בניהן אז ההתאמה היא ל- צ.ז.צ

  2. איזה משפט אני יכולה לכתוב שיש לי 2 זוויות ואז יש לכל אחת קו כזה שחוצה אותה ואני אמור ה להוכיח שהזוויות הקטנות שנוצרו מעל לקו שוות זו לזו?
    אני יודעת שהן שוות, גם רואים לפי הסרטוט(זה סרטוט מסובך), אבל אני לא מוצאת את המשפט המתאים להשתמש בו

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בהקשר של חפיפת משולשים אולי את יכולה להוכיח חפיפה של שני משולשים ולהראות שהזוויות הללו הן זוויות מתאימות שוות.

  3. היי קודם כל אני רוצה לומר תודה שאתה עושה את זה אתה ממש עוזר
    ואני לא יודע איך הייתי לומד בילעדיך היה לי היום מבחן לעליית להקבצה א לא הצלחתי אפילו לענות על שאלה אחת כי אני לא למדתי אבל עכשיו אני רוצה לעשות מועד ב ואני לומד כאן באתר שלך תודה רבה שאתה עושה את זה.

  4. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    תודה רבה
    יש לי שאלה האם אתה יכול בבקשה להראות איך כותבים את התהליך של התשובה…?

  5. שלום
    קודם כל תודה רבה על הסרטונים הם מאוד עוזרים לי
    יש לי שאלה… בסרטון הראשון בעמוד בדקה 17:39 לא נתון לי שAB=CD וDA=DC
    ולכן גם המשולשים לא חופפים כי אין לי מספיק נתונים
    יש לי מבחן מחר אשמח לתשובה מהר

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בהצלחה במבחן.
      נתון
      DA=DC = 8
      AB = CD = 8
      אלו נתונים שמשומנים על השרטוט. ולכן המשולשים חופפים.

  6. האם יכול לקרות מקרה בו אני יוכל מצב שלמשולש אחד יהיה יותר ממשפט חפיפה אחד מתאים?

  7. שלום
    בתרגילים קשים תרגיל מספר אחד לא הבנתי איך מזה ש-
    E=180-EDF-EFD
    ו A=180-ACB-ABC
    הגעת לזה ש A=E
    אשמח אם תסביר, תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום זה בגלל זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
      תסתכל בנימוקים מספר 2,3 בטבלת הטענה נימוק ויש שם את ההסבר למה הזוויות הזוויות שמחסרים שוות.

      ואם מחסרים זוויות שוות מ 180 אז מגיעים לגדלים שווים.

  8. היי,
    מה קורה אם נתון לי :שתי זויות שוות שתי צלעות ושתי צלעות מקבילות? האם אפשר לכתוב שהמשולשים חופפים על פי צלעות מקבילות?(לא נראה לי ) אז איך אפשר להשתמש בצלעות מקבילוות כדי להוכיח שהמשולשים חופפים?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מיכל
      בצלעות מקבילות משתמשים לרוב למציאת זוויות נוספות בעזרת זוויות מתאימות או מתחלפות.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שילת
      אפשר לשאול שאלות על תכני האתר דרך מערכת התגובות.
      או לקבל הדרכות קצרות על שאלות אחרות באותה צורה.
      אין מייל או ווטסאפ

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יניב
      בתרגיל 1 אני לא רואה את האותיות הללו.
      תרגיל 1 הוא הוכחת חפיפה ללא אותיות.
      לאיזה תרגיל אתה מתכוון?
      תודה

  9. היי, בספר "קפיצה לגובה לכיתה ח-חלק א" לא רשומות חפיפות אלא רק שרטוטים וזה באמת קצת מבלבל… כיצד פותרים? תודה:)

  10. וואו אני חייבת להגיד שרק בזכות האתר שלכם באמת הצלחתי להבין את החומר תודה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש הרבה דרכים להוכיח, ומכל תרגיל צריך לקחת רעיון וכך לאסוף דרכי הוכחה.
      ניסית את הסרטונים המופיעים בדף זה בחלק של התרגילים?
      או בדפים של תרגילים קלים / קשים?

  11. שלום, בחפיפת משולשים אם נתון לי צלע מסויימת שמאונכת לצלע אחרת, בטבלת הוכחה אני צריכה להוכיח שהזוויות שנוצרות מהאנך זה שווה ל90 מעלות או שזה כבר
    חלק מהנתון ואני יכולה לכתוב בלי הנתון וישר שהזווית שווה ל90 מעלות

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את הנתון שהזווית שווה ל 90 מעלות צריך לכתוב בהוכחה. ובתור נימוק לטענה הזו צריך לכתוב "נתון שהישרים…. מאונכים".

  12. ציון חי חסון

    אין לך מושג כמה האתר שלך עוזר לי אני פשוט נהנה ללמוד . אני מתחיל ללמוד אחרי הפסקה של 15 שנה (הוצאתי בגרות 5 יח"ל מתמטיקה פיזיקה אמנם נכנסתי לישיבה 4 שנים ולאחר מכן הייתי אברך 11 שנים נוספות ב"ה ) והאתר שלך מצוין משמח לראות שיש אנשים שרוצים לעזור ועוזרים מכל הלב ירבו כמותך בישראל

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      הנתונים היו AC=DE
      EF=AB
      במהלך ההוכחה הוכחנו גם DF=CB
      אלו 3 צלעות שוות ובגלל זה המשולשים חופפים.
      מקווה שזה מובן יותר.

  13. ממש ממש ממש טוווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווובבבבבבבבבבבב

כתיבת תגובה

השאירו שאלה או תגובה באתר. אין צורך להשאיר אימייל (השירות זמין לכולם ללא תשלום).