חפיפת משולשים

באתר זה לימוד חפיפת משולשים מחולק ל 6 חלקים:

  1. מה ניתן ללמוד ממשולשים חופפים.
  2. משפטי חפיפה.
  3. רישום נכון של חפיפת משולשים.
  4. תרגילים קלים.
  5. חיבור וחיסור צלעות וגם חיבור וחיסור זוויות.
  6. תרגילים בינוניים וקשים.
  7. נספח: חפיפת משולשים ומשולש שווה שוקיים.

אתם יכולים ללמוד את הדברים הללו באופן יסודי מהקישורים שלמעלה או לעבור על כולם בקצרה יחסית בדף זה.

בדף משולבים הרבה סרטוני וידאו.

אם יש שאלות אתם יכולים להשאיר אותם כתגובה בדף.

בהצלחה!

1.מה לומדים ממשולשים חופפים?

2.משפטי חפיפה

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי שתי צלעות ובזווית שבין שתי הצלעות השוות הם חופפים.

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

אם שני משולשים שווים זה לזה בשתי זוויות ובאורך הצלע שבין שתי הזוויות הם חופפים.

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי 3 צלעותיהם הם חופפים.

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

3.חשיבות סדר רישום אותיות בחפיפת משולשים

חשיבות סדר הרישום בחפיפת משולשים

חפיפת משולשים נרשמת בצורה הזו ΔABC≅ΔDEF.
סדר האותיות הרשומות חשוב מאוד והוא ההבדל בין תשובה נכונה ללא נכונה.

סדר האותיות מראה לנו איזו צלע שווה לאיזו צלע ואיזו זווית שווה לאיזו זוויות.

זוויות

האות / הזוויות A נמצאת ראשונה ברישום המשולש הראשון ולכן היא שווה לאות / זווית הנמצאת ראשונה במשולש השני – זו הזווית D.
על פי אותו עיקרון:
B=∠E∠
C=∠F∠

צלעות
ΔABC≅ΔDEF

האותיות / צלע BC נמצאות במקומות 2 ו- 3 במשולש הראשון ולכן שוות לאותיות צלע הנמצאות במקומות 2 ו- 3 במשולש השני – צלע EF.
על פי אותו עיקרון:
AB=DE
AC=DF.

4.טיפים לתרגילים בסיסיים

בתרגילי חפיפת משולשים חלק מהנתונים שתצטרכו לא יהיו כתובים במפורט אלה תצטרכו להסיק אותם מהנתונים.
אלו הדברים העיקריים שאתם צריכים להסיק.

1.זוויות קודקודיות
זוויות קודקודיות הן זוויות שוות ואם בשאלה מופיעות זוויות קודקודית כנראה שאתם צריכים להשתמש בזה.

למשל בשרטוט שלמעלה קיימת חפיפת משולשים
AEB ≅ DEC
על פי ז.צ.ז.

2. צלע או זווית משותפת לשני משולשים – נסו לראות אם בין שני המשולשים שאתם צריכים להוכיח חפיפה שלהם יש צלע או זווית משותפת.

שתי דוגמאות לצלע משותפת

שתי דוגמאות לצלע משותפת

3. המילה "חוצים" – לפעמים כאשר אנו קוראים בשאלה את המילה "חוצים" אנו מתייחסים אליה כמו אל המילה "נחתכים". וזו טעות.
כאשר כתובה המילה חוצים הכוונה היא שישר אחד מחלק ישר שני לשני חלקים שווים.
למשל, אם בשרטוט נתון כי AD חוצה את BC זה אומר ש:
BD = DC

אם AD חוצה את BC זה אומר ש BD= CD = 6

אם AD חוצה את BC זה אומר ש BD= CD = 6

4.סכום זוויות במשולש שווה ל 180 מעלות

זו תכונה שימושית מאוד למציאת זוויות שוות.
לפעמים נשתמש בתכונה זו על מנת למצוא זוויות שלישית במשולש ולהוכיח חפיפת משולשים.

למשל במשולש השמאלי נוכל להגיד כי גודל הזווית השלישית הוא:
40 = 80 – 60 – 180
לכן בין שני המשולשים יש שתי זוויות שוות וצלע שווה.
המשולשים חופפים על פי ז.צ.ז.

5.ישרים מקבילים

בין שני ישרים מקבילים יש זוויות מתאימות ומתחלפות שוות.
עליכם לדעת לזהות אותן.
שוויון זוויות מסוג זה שימושי בחפיפת משולשים.

5.חיבור וחיסור צלעות וזוויות

על מנת לפתור תרגילים קשים עליכם לדעת לחבר ולחסר צלעות וזוויות.

הוכחת שוויון של צלעות באמצעות חיבור או חיסור צלעות זו מיומנות חשובה מאוד שעליכם לרכוש.

נתחיל בהוכחת שוויון צלעות על ידי חיבור צלעות
נסתכל על הישר הבא:
ישר

הנתונים שלנו הם:
AD = EB
DC = EC
ומבקשים מאיתנו להוכיח כי AC = BC.
כיצד עושים זאת?

שלב 1: נגדיר את כל אחד מהישרים שאנו צריכים להוכיח שהם שווים (אלו הישרים AC,BC) באמצעות חיבור צלעות.
AC = AD + DC
וגם
BC = BE + EC
ואז נכתוב:
לכן על פי כלל החיבור:
AC = BC
* "כלל החיבור" הוא: אם מחברים גדלים שווים
לגדלים שווים מקבלים סכומים שווים.

הסבר מפורט הרבה יותר תמצאו בסרטון הוידאו.

חיבור וחיסור זוויות

זה מאוד דומה לחיסור וחיבר צלעות שעשינו קודם לכן.
נניח והשאלה שלנו היא כזו.
שרטוט זוויות

ידוע כי
A = ∠D∠  (הזווית האדומה).
FDH = ∠CAG∠ (הזווית הירוקה).
צריך להוכיח:
BAG = ∠EDH∠ (זו הזווית השמאלית).

פתרון
נגדיר את כל אחד מהזוויות שאנו צריכים להוכיח שהן שוות בעזרת חיסור זוויות.
BAG = ∠A – ∠CAG∠
EDH = ∠D – ∠FDA∠
לכן על פי כלל החיסור
BAG = ∠EDH∠
* "כלל החיסור" הוא: אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מקבלים הפרשים שווים.

עוד באתר:

  1. משפט חפיפה רביעי – צלע, צלע והזווית שמול הצלע הגדולה.
  2. מתמטיקה לכיתה ח – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד בשנה זו.
  3. משולש – הדף המרכזי הכולל מידע + קישורים על נושאים רבים.
  4. משולש ישר זווית – מידע ותרגילים.
  5. דמיון משולשים – מידע ותרגילים.

6.תרגילים

מצורפים תרגילים ב 3 רמות.

  1. רמה בסיסית – אתם צריכים להכיר את משפטי החפיפה, ולהכיר את הרישום הנכון של חפיפת משולשים.
  2. רמת אמצע – הוכחות קשות יותר, בהם אתם צריכים לעשות פעולות על מנת להגיע אל הנתונים שיוכיחו חפיפה. כולל שימוש בישרים מקבילים.
  3. רמה גבוהה – כולל חיבור וחיסור של צלעות או זוויות. כולל שתי חפיפות משולשים.

תרגילים ברמה בסיסית

בחלק זה 4 תרגילים.
לשלושת התרגילים הראשונים יש פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

זהו מי מבין זוגות המשולשים ניתן לקבוע שהוא חופף.

מי מבין המשולשים הבאים חופפים

פתרון

פתרון התרגיל

תרגיל 2

נתון ΔTKC≅ΔGVW.
מצאו את הזוויות והצלעות השוות לאלו הרשומות מטה
זווית:

  1.  K∠
  2. G∠
  3. W∠

צלעות:

  1. TC
  2. CK
  3. GV

פתרון

ΔTKC≅ΔGVW.
זווית

  1.  K=∠V∠ – אלו האותיות הנמצאות במקום השני.
  2. G=∠T∠ – אלו האותיות הנמצאות במקום הראשון.
  3. W=∠C∠אלו האותיות הנמצאות במקום השלישי.

צלעות

  1. TC=GW  – אלו האותיות הנמצאות במקומות 1 ו- 3.
  2. CK=WV    אלו האותיות הנמצאות במקומות 2 ו- 3.
  3. GV=TK    אלו האותיות הנמצאות במקומות 1 ו- 2.

 

תרגיל 3

נתונים המשולשים ABD ו- BDC.
DB חוצה את זווית ADC. ו- AD=CD.

  1. הוכיחו: ΔABD≅ΔCBD
  2. רשמו את שלושת השוויונות הנובעים מהחפיפה.

פתרון

קל יותר לפתור את התרגיל כאשר הנתונים מסומנים על השרטוט

שרטוט התרגיל עם הנתונים

 טענהנימוק
1AD=CDנתון
2BD=BDצלע משותפת
3ADB=∠CDB∠BD חוצה זווית CDA.
4ΔABD≅ΔCBDעל פי צ.ז.צ

 

סעיף ב: שוויונות הנובעים מהחפיפה

    1. BC = BA (צלע)    אותיות הנמצאות במקום 1 ו 2 ברישום החפיפה.
    2. C = ∠A∠   אותיות הנמצאות במקום 1 ברישום החפיפה.
    3. CBD = ∠ABD∠

תרגיל 4

עבור המשולשים המשורטטים מטה נתון:
AD=BC, BO=AO
AOD=∠BOC∠
האם מתקיים ΔAOD≅ΔBOC ?

נתונים עבור תרגיל 2

פתרון
חפיפת המשולשים אינה מתקיימת משום שהזווית השווה אינה נמצאת בין הצלעות השוות – כפי שנדרש במשפט החפיפה הראשון (צ.ז.צ)

על מנת שחפיפת המשולשים הייתה מתקיימת היינו צריכים את הנתון B = ∠A∠.

תרגילים ברמת אמצע

בחלק זה 5 תרגילים.
לתרגיל 2 יש גם פתרון וידאו.

תרגיל 1 (ישרים מקבילים)

בשרטוט המצורף נתון כי AB מקביל ל CD.
AO=OC
הוכיחו BO = DO.

חפיפת משולשים, שרטוט התרגיל

פתרון

 טענהנימוק
1AOC = ∠COD∠זוויות קודקודיות שוות.
2DCO = ∠BAO∠זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
3AO=OCנתון.
4ABO≅ CDOעל פי משפט חפיפה ז.צ.ז.
5BO=DOצלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

תרגיל 2 (שימוש בחפיפה קודמת)

המשולשים ABC ≅DEC.
במשולש ABC מעבירים תיכון AH ובמשולש DEF מעבירים תיכון DG.
הוכיחו כי AHB≅DGE.

שרטוט התרגיל

פתרון טקסט

 טענהנימוק
1AB=DEצלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
2ABH = ∠DEGזוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
3CB=FEצלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
4BH = 0.5CB = 0.5FE=GEנובע מ 3 ומכך ש AH ו DG הם תיכונים.
5AHB≅DGEמשולשים חופפים על פי צ.ז.צ. (נובע מ 1,2,4).

פתרון וידאו

תרגיל 3 (כולל שימוש בחיסור זוויות)

נתון AC חוצה את הזווית BCD∠.
BCD=100∠.
DBC=50∠
A=∠D∠
הוכיחו: ΔABC≅ΔDCB

שרטוט תרגיל 3

 

פתרון
נציג את הנתונים בשרטוט.

הנתונים בשרטוט - תרגיל 3

הנתונים בשרטוט – תרגיל 3

ננסה להוכיח חפיפה על פי משפט חפיפה שני – ז.צ.ז

 טענה נימוק
1BC=BCצלע משותפת.
2ACB=∠DCA∠=50נתון AC חוצה זווית.
3DBC=∠ACB=50נובע מסעיף 2 והנתונים
4A = ∠D∠נתון
5CBA=180 – ∠A – 50 = 130 – ∠Aסכום זוויות במשולש DBC
6BCD = 180- ∠D – 50 = 130 – ∠Dסכום זוויות במשולש BCD
7CBA = ∠BCD∠נובע מ 4,5,6

מה הייתם צריכים ללמוד בתרגיל זה?

      1. לדעת כיצד מוכיחים (וכותבים) שאם בין שני משולשים 2 זוויות שוות אז גם הזווית השלישית שווה (שורה 4).
      2. לשים לב לצלע משותפת.
      3. לשים לב לחוצי זווית.

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים ABC (כאשר AB = AC) מעבירים את הגובה AD אל הבסיס.
הנקודה E נמצאת על הגובה AD.
הוכיחו כי:

      1. BED ≅ CED
      2. BEA ≅ CEA

חפיפת משולשים

פתרון
סעיף א

    1.  
 טענהנימוק
1BDE = ∠ CDE∠  נתון AD גובה.
2BD = CDכי במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון.
3EDצלע משותפת למשולשים BDE, CDE.
4BED ≅ CEDעל פי צ.ז.צ

חלק שני: הוכחת חפיפת המשולשים  BEA ≅ CEA

 טענהנימוק
1EB= ECצלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
2AB = ACנתון המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
3AEצלע משותפת למשולשים BEA,  CEA.
4BEA ≅ CEAחפיפת משולשים על פי צ.צ.צ

אפשרות נוספת להוכחת החפיפה:

  1. BAE = ∠CAE∠  במשולש שווה שוקיים ABC הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית.
  2. AB = AC נתון המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
  3. AE צלע משותפת למשולשים BEA,  CEA.
  4. BEA ≅ CEA  חפיפת משולשים על פי צ.ז.צ

תרגיל 5 (שימוש בתכונות מקבילית)

נתונה מקבילית ABCD.
את האלכסון AC מאריכים כך  ש AE=CF.
הוכיחו EB = FD.

שרטוט התרגיל

פתרון

 טענהנימוק
1AB= CDצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
2DCA = ∠CAB∠זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
3EAB = 180 – ∠CABסכום זוויות צמודות הוא 180
4FCD = 180 – ∠DCAסכום זוויות צמודות הוא 180
5EAB = ∠FCDנובע מ 2,3,4
6FCD ≅ EABמשולשים חופפים על פי צ.ז.צ. (נובע מ 1,2,6).
7EB = FDצלעות מתאימות בין משולשים חופפים

תרגילים קשים

התרגילים הללו כוללים שני חפיפות משולשים ו/ או שימוש בחיבור וחיסור צלעות או זוויות.

תרגיל 1 (שימוש בחיסור זוויות)

נתונים שני משולשים; ABC ו DEF.
נתון DE מקביל ל AC.
EF מקביל ל AB.
EF=AB

הוכיחו ומצאו איזה משולש חופף למשולש ABC.

הוכחת חפיפת משולשים

פתרון

 טענהנימוק
1EF=ABנתון
2ABC = ∠EFDזוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
3EDF = ∠ACBזוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
4E = 180 – ∠EDF  – ∠EFDסכום זוויות במשולש EDF הוא 180 מעלות.
5A = 180 – ∠ACB – ∠ ABCסכום זוויות במשולש ABC הוא 180 מעלות.
6A = ∠E∠כלל החיסור
7ABC ≅ EFDמשולשים חופפים על פי ז.צ.ז

פתרון וידאו

תרגיל 2 (שימוש חיבור צלעות)

נתונים משולשים ΔABC ו- ΔDEF.
נתונים שוויוני הצלעות הבאים:
AC=DE, FC=DB, EF=AB.
הוכיחו: ΔABC≅ΔEFD

שרטוט תרגיל 4

שרטוט תרגיל 4

פתרון

נוסיף את נתוני התרגיל בשרטוט

נתוני תרגיל 4 בשרטוט

נתוני תרגיל 4 בשרטוט

נוכיח את החפיפה בעזרת המשפט השלישי  – צ.צ.צ

 טענהנימוק
1AC=DE נתון
2EF=AB נתון
3DF = DB+BFחיבור צלעות
4CB = CF+BFחיבור צלעות
5DF=CB כלל החיסור
6ΔABC≅ΔEFDעל פי משפט חפיפה שלישי – צ.צ.צ.

פתרון וידאו

תרגיל 3 (שימוש בחיסור צלעות, שתי חפיפות משולשים)

בצורה המשורטטת מטה נתון AB=CB ו- CE=AD.
הוכיחו:

      1. ΔABE≅ΔCBD.
      2. ΔAOD≅ΔCOE.
שרטוט תרגיל 5

שרטוט תרגיל 5

פתרון

1.נוכיח את החפיפה בעזרת צ.ז.צ

    1.  
 טענהנימוק
1B=∠B∠זווית משותפת
2AB=CBנתון
3CE=ADנתון
4DB=AB-ADחיסור צלעות
5BE=CB-CEחיסור צלעות
6DB=BEנובע מ 2,3,45 (כלל החיסור)
7ΔABE≅ΔCBDצ.ז.צ נובע מ 1,26

סעיף 2: הוכחת ΔAOD≅ΔCOE.

    1. נעשה זאת בעזרת משפט חפיפה שני – ז.צ.ז.
 טענה נימוק
1A=∠C∠זוויות מתאימות שוות במשולשים חופפים ΔABE≅ΔCBD..
2CE=ADנתון.
3ADO=∠CEO*נושא זה מוסבר מחוץ לטבלה.
4ΔAOD≅ΔCOEז.צ.ז נובע מ 1,2,3

הסבר של שורה 3
עכשיו נוכיח שיש עוד זווית שווה במשולשים.
BDC=∠BEA∠  – זוויות מתאימות במשולשים חופפים ΔABE≅ΔCBD..
ADO=∠180-∠BDC∠.
CEO = 180 – ∠BEA∠ זוויות צמודות משלימות ל- 180 מעלות.
מכוון ש BDC=∠BEA∠ אז על פי כלל החיסור
ADO=∠CEO∠
הערה: שימו לב שיינו יכולים להשתמש גם בזוויות הקודקודיות סביב הנקודה O ולאחר מיכן להשתמש בתכונה שבמשולש זוויות משלימות ל- 180 מעלות על מנת להוכיח ADO=∠CEO∠.

מה הייתם אמורים ללמוד מתרגיל זה?

    1.  
      1. לשים לב לזווית משותפת (בסעיף 1).
      2. לדעת להסיק נתונים מחפיפת משולשים שכבר ביצעתם לצורך חפיפת משולשים נוספת.
      3. לשים לב לזוויות צמודות / קודקודיות וכיצד הם עוזרות להוכיח חפיפה.
      4. לדעת לרשום זוויות כביטוי של חיסור שתי זוויות אחרות ולהגיע לשוויון זוויות בצורה זו.

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים (AB=AC) מעבירים את חוצה הזווית BD ואת חוצה הזווית CE.
הוכיחו כי

1. המשולש ADE הוא משולש שווה שוקיים.
2. ** הוכיחו כי המרובע CEDB הוא טרפז שווה שוקיים.

חפיפת משולשים, שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: נוכיח את חפיפת המשולשים EBC ≅ DCB

      1. B = ∠C∠ זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו (הזווית האדומה בשרטוט למטה).
      2. DBC = 0.5∠ B = 0.5∠C = ∠ECB∠ נתון BD ו CE חצי זווית (הזווית השחורה בשרטוט למטה).
      3. BC צלע משותפת למשולשים EBC ו DCB.
      4. EBC ≅ DCB משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.
הוכחת חפיפת המשולשים על פי ז.צ.ז

הוכחת חפיפת המשולשים על פי ז.צ.ז

שלב 2: נוכיח שמשולש ADE שווה שוקיים בעזרת חיסור צלעות.

      1. EB=DC צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
      2. AB = AC נתון.
      3. AE = AB- EB
        AD = AC- DC
        לכן: AD = AE
      4. AE=AD כלומר משולש ADE הוא שווה שוקיים.

סעיף ב: (הוכחת הטרפז)
הערה: על מנת להוכיח שהמרובע BCDE הוא טרפז עלינו להוכיח שהישרים BC, DE הם ישרים מקבילים. והישרים CD, BE אינם מקבילים.

      1. ADE = (180 – ∠A) / 2∠ (נובע מכך שסכום זוויות במשולש הוא 180 ומכך שזוויות הבסיס שוות).
      2. ABC = (180 – ∠A) / 2∠
      3. ADE = ∠ABC∠  נובע מ 1,2.
      4. ED מקביל ל BC. נובע מ 3. אם זוויות מתאימות שוות זו לזו אז הישרים מקבילים.
      5. הישרים EC ו DB נפגשים בנקודה A. לכן הם לא מקבילים.
      6. CEDB טרפז. נובע מ 4,5.

הוכחת טרפז שווה שוקיים:
הערה: ניתן להוכיח שטרפז הוא שווה שוקיים על ידי הוכחה שאלכסוני הטרפז שווים.

      1. EB=DC צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. (מספר 4 בחלק הראשון).
      2. CEDB טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.

 

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

16 thoughts on “חפיפת משולשים

  1. רננה

    שלום, בחפיפת משולשים אם נתון לי צלע מסויימת שמאונכת לצלע אחרת, בטבלת הוכחה אני צריכה להוכיח שהזוויות שנוצרות מהאנך זה שווה ל90 מעלות או שזה כבר
    חלק מהנתון ואני יכולה לכתוב בלי הנתון וישר שהזווית שווה ל90 מעלות

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      את הנתון שהזווית שווה ל 90 מעלות צריך לכתוב בהוכחה. ובתור נימוק לטענה הזו צריך לכתוב "נתון שהישרים…. מאונכים".

  2. ציון חי חסון

    אין לך מושג כמה האתר שלך עוזר לי אני פשוט נהנה ללמוד . אני מתחיל ללמוד אחרי הפסקה של 15 שנה (הוצאתי בגרות 5 יח"ל מתמטיקה פיזיקה אמנם נכנסתי לישיבה 4 שנים ולאחר מכן הייתי אברך 11 שנים נוספות ב"ה ) והאתר שלך מצוין משמח לראות שיש אנשים שרוצים לעזור ועוזרים מכל הלב ירבו כמותך בישראל

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      הנתונים היו AC=DE
      EF=AB
      במהלך ההוכחה הוכחנו גם DF=CB
      אלו 3 צלעות שוות ובגלל זה המשולשים חופפים.
      מקווה שזה מובן יותר.

  3. יון

    ממש ממש ממש טוווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווובבבבבבבבבבבב

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.