המשפט על חוצה הזווית במשולש הוא אחד המשפטים החשובים בגיאומטריה בתחום של פרופורציה ודמיון.
כמו כן למשפט זה יש משפט “הפוך”.
בדף זה 3 חלקים:
- הסבר וידאו למשפטים.
- הסבר כתוב למשפטים.
- תרגילים.
1.הסבר וידאו למשפטים
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
2.הסבר כתוב למשפטים
משפט חוצה הזווית אומר:
חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולו לשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו היחס שבין שתי הצלעות הכולאות את הזווית.
המשפט ההפוך :
אם קטע המחבר קודקוד וצלע במשולש יוצר על הצלע קטעים פרופורציונליים ביחס זהה לצלעות היוצרות את הקטע אז הקטע הוא חוצה זווית.
לשם הבהרה, המשפט ההפוך אומר שאם:
אז AD הוא חוצה זווית.
3.תרגילים
בחלק זה 8 תרגילים.
תרגילים 7-8 קשים יותר מהתרגילים הראשונים.
תרגיל 1: בסיסי להכרת המשפט
נתון משולש ABC ובתוכו עובר חוצה זווית.
AB=6, AC=9, DC=4.5 ס”מ.
חשבו את BD.
על פי משפט חוצה הזווית.
נציב את המספרים שאנו יודעים ונקבל:
נכפיל את המשוואה ב 4.5 ונקבל את הפתרון:
תשובה: BD = 3 סנטימטר.
תרגיל 2
הוכיחו בעזרת משפט חוצה הזווית את המשפט:
“במשולש שווה שוקיים חוצה הזווית הוא תיכון”.
אופן ההוכחה:
נניח ש AD הוא חוצה זווית במשולש שווה שוקיים’ ונוכיח שהוא חייב להיות תיכון.
פתרון
אם AD הוא חוצה זווית אז בכול משולש מתקיים על פי משפט חוצה הזווית:
במשולש שווה שוקיים מתקיים היחס
AC / AB = 1
לכן גם:
CD / DB =1
נובע מכך
CD = DB
כלמר, AD הוא גם תיכון.
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
תודה
בכיף
תודה הבהרתם לי את העניין
בכיף
אם נתונים לי זוויות מתחלפות שוות בהתאמה בין ישרים מקבילים כותבים לי ששניהם נחצים על ידי חוצי זווית האם אני יכולה לכתוב חצאי זוויות שוות,שוות גם הן?
שלום
החצאים של זוויות שוות שווים גם כן.
אבל צריך לנמק.
איכות הנימוק תלויה גם בכיתה שנמצאים בה.
מידע נוסף כאן
https://www.m-math.co.il/geometry/geometric-tools/transitive-relation/
כיצד נוצר היחס בין צלעות המשולש כאשר יש חוצה זווית?
שלום
חוצה הזווית מגיע לנקודה ונקודה זו יוצרת את היחס.
חוצה זווית במשולש ישר זווית הוא גם התיכון?
שלום
לא. רק במשולש שווה שוקיים ושווה צלעות
האם חוצה זווית הראש מאונך לצלע
שלום
לא בהכרח.
חוצה זווית יכול להיות גם באלכסון?
שלום
מה הכוונה באלכסון?
בגיאומטריה הכוונה לישר היוצא מקודקוד ומגיע לקודקוד.
במשולש אין אלכסונים.
במרובע יש אלכסונים והאלכסון יכול להיות חוצה זווית. למשל במעוין וריבוע האלכסונים הוא חוצה זווית.
אבל במרובע המשפט שנלמד כאן לא רלוונטי.
התכוונתי למשולש
כן זה יוצא מקודקוד לקודקוד בכיוון אלכסון, אז זה נקרא חוצה זווית?
במשולש מה שיוצא מקודקוד ומגיע לקודקוד זה צלע. והיא לא חוצה זווית.
חוצה זווית זה מה שמחלק את הזווית לשני חלקים שווים ולא משנה לאיזה כיוון הוא הולך.
כמובן שכאשר מדובר על זוויות המשולש חוצה הזווית נמצא בתוך המשולש.
שלום תודה רבה על ההסברים אך אני עדיין לא בטוח שהבנתי אשמח אם מישהו יוכל להסביר איך פותרים את התרגיל הבא:
נתון: משולש ישר זווית אורכי צלעות 3 4 ו 5 מהו הרדיוס של המעגל החסום במשולש אשמח להסבר
תודה
שלום
אם טעית ומדובר ברדיוס מעגל חוסם משולש אז בעזרת משפט הסינוסים.
אם רדיוס מעגל החסום במשולש אז צריך להעביר בניות עזר המוסברות בדף הבא:
https://www.m-math.co.il/geometry/circle/circle-triangle/
שלום,יש לי ממש עוד כמה ימים מבחן בממטיקה איך אני יכולה להוכיח ש -o הוא מרכז המעגל?
ואם אין לי נתונים של צלעות /זוויות בתרגיל איך אוכל להוכיח שהישר חוצה זווית
שלום
אמרת מה אין אבל לא אמרת מה יש….
שלום
האם המשפט מתייחס גם למשולש ישר זווית?
כן
ממש תודה היה לי חור מכיתה ט ואני עולה ליא 5 יחל וזה היה בעבודת קיץ
בכיף
היי
אני אשמח לדעת, למה בתרגיל 5 “תרגיל 5: חוצה זווית ושטח משולש”,
כתבתם:
ABD = 0.5 AE*BD שטח משולש
למה AE שווה ל0.5?
תודה
שלום
זו הנוסחה של שטח משולש.
0.5 זה חצי.
אין כוונה ש AE שווה ל 0.5
האם באתר יש התייחסות למשפט חוצה זווית חיצונית
שלום
אין באתר.
שלום,
האם חוצה זווית הוא גם חוצה את הצלע שממנה הוא יוצא?
שלום אור
חוצה זווית יוצא מקודקוד ולא מצלע.
היי מה זה מפגש חוצי זווית במשולש ישר זווית.
שלום עדן
זו הנקודה בה שלושת חוצה הזווית נפגשים.
בכל סוגי המשולשים נקודת המפגש היא מרכז המעגל החסום במשולש.
ואוו אחד הטובים!
טנקססס
תודה:)
תודה רבה על האתר, עוזר לי מאד מאד!
בכיף. תודה. בהצלחה בהמשך.
אתה לא צריך לדעת מה ab אומר אפשר להשאיר אותו ככה?
שלום
לא הבנתי לגמרי את השאלה.
אבל משפט חוצה הזווית מדבר על יחסים.
אם אין מספרים אז היחס נכתב באותיות.
אם יש מספרים מציבים אותם במקומות המתאימים.
זה לא מובן בעליל
האמת שזה דף שעברתי עליו לפני כשבועיים ושדרגתי אותו.
אם תגיד מה לא מובן אנסה להסביר ולהסביר גם יותר טוב בדף.
אתה יכול לדבר איתי כאן בתגובה או בצאט.
שלום רב,
שמעתי וקראתי את שנאמר על חוק חוצה הזוית, ויחס חלקי הצלע שממול עם יחס הצלעות הכולאות אותו. אבל איך מוכיחים את זה? אני למדתי שעקרו של כל משפט הוא הוכחתו.
בברכה
עמיקם גיא
שלום עמיקם
כרגע אין באתר הוכחה של המשפט, בעיקר כי זה משפט שניתן להשתמש בו בבגרות ללא הוכחה
כלומר אפשר לכתוב פשוט “לפי המשפט ההפוך של משפט חוצה זווית” בלי להסביר אותו (קטע המחבר קודקוד במשולש עם הצלע שמולו ומחלק אותה לשני קטעים…) ??
ככל הידוע לי לא ניתן לכתוב “לפי המשפט ההפוך של משפט חוצה זווית”
אלא צריך לכתוב בפירוט את המשפט ההפוך.