הסתברות כיתה ט

לדף זה 3 חלקים:

  1. קישורים לנושאים הנלמדים בכיתה ט.
  2. סיכום החומר.
  3. תרגילים.

1.קישורים

  1. מאורעות תלויים ובלתי תלויים.
  2. מאורעות זרים.
  3. הסתברות של שני מאורעות (הסתברות "וגם").
  4. הסתברות מותנית.
  5. דיאגרמת עץ.
  6. בעיות הוצאה והחזרה.

2.סיכום החומר

החלקים של הסיכום הם:

  1. חזרה על כיתה ח.
  2. ההסתברות של שתי מאורעות.
  3. הסתברות מותנית.
  4. דיאגרמת עץ.

1.חזרה על כיתה ח

הסתברות מחושבת על פי הנוסחה:

לדוגמה
זורקים קובייה.

  1. מה ההסתברות שיצא מספר זוגי?
  2. מה ההסתברות שיצא המספר 5 או גדול ממנו?

פתרון
סעיף א: מספר זוגי
יש 6 אפשרויות בזריקת קובייה
מתוכם 3 מספרים זוגיים 2,4,6 שהם התוצאה המבוקשת.
לכן ההסתברות לזוגי היא:

סעיף ב: מספר 5 או גדול ממנו
האפשרויות הטובות הן 5,6
מתוך 6 אפשרויות בזריקת קובייה.
לכן ההסתברות היא:

2.כיתה ט: הסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים

מאורעות בלתי תלויים אלו הם מאורעות שהסתברות של מאורע אחד אינה משפיעה על ההסתברות של מאורע אחר.
הנוסחה לחשוב ההסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים היא:
(P(A∩B)=P(A) * P(B

דוגמה 1
זורקים קובייה ומסבבים סביבון שעליו האותיות נ.ג.ה.פ.
מה ההסתברות שנקבל את המספר 3 והאות "פ".

פתרון
ההסתברות למספר 3 היא:
1/6
ההסתברות לאות "פ" היא:
1/4
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא מכפלת ההסתברויות.

תשובה: ההסתברות לקבל 3 וגם "פ" היא 1/24.

דוגמה 2
שירה ונועם ניגשות לבחינה בספרות. ההסתברות ששירה תעבור היא 0.8 וההסתברות שנועם תעבור היא 0.7. ידוע כי ההסתברויות בלתי תלויות.

  1. מה ההסתברות ששתיהן תעבורנה את הבחינה.
  2. מה ההסתברות שאף אחת מהן תעבור את הבחינה.
  3. מה ההסתברות שבדיוק אחת מיהן תעבור את הבחינה.
  4. מה ההסתברות שלפחות אחת מיהן תעבור את הבחינה.

פתרון

סעיף א: שתיהן תעבורנה
נגדיר כ- A את ההצלחה של שירה ו- B כהצלחה של נועם.
נסתמך על הנוסחה (P(A∩B)=P(A) * P(B
P(A∩B)=0.8*0.7=0.56.
ההסתברות ששתיהן תצלחנה בחינה הוא 0.56.

סעיף ב: שתיהן תיכשלנה
ההסתברות ששירה תיכשל:
0.2 = 0.8 – 1
ההסתברות שנועם תיכשל:
0.3 = 0.7 – 1

לכן:
ההסתברות ששתיהן תיכשלנה היא:
0.06 = 0.2 * 0.3

סעיף ג: אחת מיהן תעבור
את ההסתברות שבדיוק אחת מיהן תעבור ניתן לחשב בשתי דרכים:
דרך אחת: זו ההסתברות המשלימה לשתי ההסתברויות הקודמות ולכן:
0.38 = 1-0.56-0.06

דרך שנייה:
לחבר את ההסתברויות ששירה תצליח ונועם תיכשל עם ההסתברות ששירה תיכשל ונועם תצליח.
שירה תצליח ונועם תיכשל:
0.24 = 0.8 * 0.3
שירה תיכשל ונועם תצליח:
0.14 = 0.2*0.7
סכום שתי ההסתברויות הוא:
0.38 = 0.24+0.14
תשובה: ההסתברות שבדיוק אחת מיהן תצליח במבחן היא 0.38.

סעיף ד: מה ההסתברות שלפחות אחת מיהן תעבור את הבחינה?
שאלה זו נשאלה לא רק על מנת שתבצעו חישוב אלא בעיקר על מנת שתקשיבו לניסוחים ולא תתבלבלו. לפעמים ישאלו אותכם על "בדיוק" (כמו בסעיף 3) ולפעמים ישאלו אותכם על "לפחות" – וזו תשובה אחרת לחלוטין. שימו לב שאתם לא טועים.

גם את הסעיף הזה ניתן לפתור בשתי דרכים:
בעזרת ההסתברות המשלימה.
ההסתברות שלפחות אחת תעבור כוללת בתוכה שתי הסתברויות:
אחת תעבור ואחת תיכשל.
שתיהן תעבורנה.

האפשרות היחידה שאינה כלולה במקרה זה היא ההסתברות ששתיהן תיכשלנה.
ולכן ההסתברות המבוקשת היא ההסתברות המשלימה לזה ששתיהן תיכשלנה.
0.94 = 1-0.06

דרך שנייה היא על ידי חישוב.
לפחות אחת תעבור זה אומר שיש אפשרות שאחת תעבור ויש אפשרות ששתיהן תעבורנה.
נשתמש בנוסחה (P(A∪B)=P(A)+P(B.
0.38 – בדיוק אחת תצליח.
0.56 – שתיהן תצלחנה.
0.94 = 0.38+0.56.
תשובה: ההסתברות שהן יעברו לפחות מבחן אחד היא 0.94.

הערה: כפי שראיתם בסעיפים 3 ו- 4 הרבה פעמים קצר יותר לחשב הסתברויות בעזרת ההסתברות המשלימה. אם בכוונתכם לעשות זאת עליכם לוודא היטב שההסתברות "המשלימה" היא באמת "משלימה" ושלא נשארה עוד איזו הסתברות קטנה שלא שמתם לב אליה בתוך מרחב המדגם.

3.הסתברות מותנית

מצורפים שני סרטונים הכוללים את אותו תוכן.
הסרטון הראשון ארוך ומפורט, הסרטון השני מקוצר.

הסרטון המקוצר (עם אותו תוכן כמו הסרטון שלמעלה)

 

הסרטון השלישי כולל דוגמאות נוספות (לא הכרחי).

הסתברות מותנית היא נושא שנחשב קשה להבנה.

הגדרה: הסתברות מותנית של מאורע היא הסתברות של מאורע אם ידוע שמאורע אחר התרחש.
ההסתברות של המאורע A אם ידוע שהמאורע B התרחש נכתבת כך:
(P(A/B
ונוסחת ההסתברות המותנית היא:
הסתברות מותנית

 

בפועל הסתברות מותנית היא צמצום מרחב ההסתברויות, כי ידוע שמאורע מסוים כבר התרחש.
כאשר אומרים לכם אתם בוחרים מישהו אבל לא מתוך כל האפשרויות אלא מתוך קבוצה ספציפית זו הסתברות מותנית.

בחלק זה (ובסרטונים שלמעלה) אני אסביר כיצד אני באופן אישי מבין אותו ולאחר מיכן אסביר כיצד זה מסתדר עם הנוסחה של הסתברות מותנית.

נניח שנתוני השאלה הם:
בישוב 60% הם בנות ו 40% בנים.
30% מהבנות צופות בחדשות בטלוויזיה ו 20% מהבנים צופים בחדשות בטלוויזיה.

בנינו לנתוני השאלה את הדיאגרמה הבאה:

והשאלה היא:
דגמו מהישוב אדם והוא אינו צופה בחדשות.
מה ההסתברות שזו בת?

פתרון
בכול המקרים הסתברות מותנית מצמצמת לנו את העולם.
אם בעץ המקורי היו לנו 4 ענפים עכשיו ענפים 1,4 אינם קשורים כבר לשאלה שלנו (הענפים של הצופות והצופים), כי ידוע שהאדם שנדגם לא בא מיהם.

וכך גם תדעו לזהות שאלה של הסתברות מותנית, היא מצמצמת את המרחב. לא כל האפשרויות של השאלה המקורית אפשריות בשאלת הסתברות מותנית.

כך נראה עץ ההסתברויות החדש:

על מנת לפתור אני בשלב ראשון מחשב מה גודל "המרחב החדש" שנותר.
אלו הם ההסתברויות של ענפים 2,3.
ההסתברות של ענף 2 היא:
0.42 = 0.7 * 0.6
ההסתברות של ענף 3:
0.32 = 0.4 * 0.8

סך הכל נותרנו אם הסתברות של:
0.74 = 0.32 + 0.42

מתוך זה אנו מחפשים בת שאינה צופה בחדשות.
זה ענף 2 שהסתברותו 0.42

אם היינו זורקים קובייה ושואלים אותנו מה ההסתברות שיצא 2 היינו עונים 1/6.
ועל אוותו משקל עכשיו: מה ההסתברות שיצא 0.42 מתוך 0.74?
(כלומר ענף 2 מתוך ענפים 2,3?).

ואיך כל זה קשור לנוסחה של הסתברות מותנית?

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))

מה שעשינו זה בדיוק מה שהנוסחה אומרת לעשות.
(P (B זו ההסתברות אדם שאינו צופה. סכום ענפים 2+3 שחישבנו (0.74).
(P (A∩ B זו ההסתברות לבחור בת שאינה צופה, ענף 2 שחישבנו (0.42).
והחישוב הוא בדיוק אותו חישוב שעשינו.

דוגמה 2

במשתלה יש 70% פרחים ו 30% עצים.
ל 90% מהעצים עלים ירוקים.
ל 30% מהפרחים עלים ירוקים.
דגמו צמח מהמשתלה ומסתבר שיש לו עלה ירוק.
מה ההסתברות שזה פרח?

פתרון
דיאגרמת העץ המתאימה לשאלה:

דגמו "עלים ירוקים" לכן ניתן למחוק את 2,3

"גודל המרחב" שלנו עכשיו הוא:
0.27 = 0.9 * 0.3  (ענף 1).
0.21 = 0.3 * 0.7  (ענף 4).
0.48 = 0.27 + 0.21

גודל הענף המבוקש (פרח עם עלה ירוק ) היא ענף 4 שהסתברותו 0.21.
והפתרון הוא:

4.דיאגרמת עץ

שכבת כיתה ט יצאו לטיול שנתי, 55% מתלמידי השכבה הן בנות. בערב הייתה הצגה שלא היה חובה ללכת אליה.
70% מהבנים לא הלכו להצגה. 60% מהבנות הלכו להצגה.

  1. מה ההסתברות לדגום בת שהלכה להצגה? מה ההסתברות לדגום בן שלא הלך להצגה?
  2. מה ההסתברות לדגום אדם שהלך להצגה?
  3. מה ההסתברות לדגום אדם שלא הלך להצגה?
  4. בחרו אדם וידוע שהוא הלך להצגה. מה ההסתברות שזו בת שהלכה להצגה?

פתרון
דיאגרמת עץ המתאימה לבעיה היא הדיאגרמה הזו.
הסבר כיצד לבנות דיאגרמת עץ תוכלו למצוא בסרטון או בדף דיאגרמת עץ.

השלב השני בשרטוט דיאגרמת העץ

ארבעת השאלות שנשאלנו הן 4 השאלות העיקריות ששואלים על דיאגרמת עץ:

  1. הסתברות של ענף 1.
  2. הסתברות של שני ענפים.
  3. הסתברות משלימה.
  4. הסתברות מותנית.

סעיף א: מה ההסתברות לדגום בת שהלכה להצגה?
נסתכל בדיאגרמה ונראה כי בת שהלכה להצגה זה ענף מספר 2.
לחישוב הסתברות של ענף נכפיל את ההסתברויות לאורך הענף.
0.33 = 0.6 * 0.55
תשובה: ההסתברות לבת שהלכה להצגה היא 0.33.

שאלה שנייה בסעיף א: מה ההסתברות לבן שלא הלך להצגה?
נסתכל בדיאגרמה ונראה כי בן שלא הולך להצגה זה ענף מספר 4.
לחישוב הסתברות של ענף נכפיל את ההסתברויות לאורך הענף.
0.315 = 0.7 * 0.45

סעיף ב: מה ההסתברות לדגום אדם שהלך להצגה?
בהסתכלות על העץ אנו יכולים לראות שאין ענף יחיד המתאר את כל מי שהלכו להצגה.
אלא הענפים 2,3 ביחד מתארים את אלו שהלכו.
2 מתאר נשים שהלכו.
3 מתאר גברים שהלכו.

על מנת לענות על השאלה הזו עלינו לחשב את ההסתברויות של כל אחד מהענפים ולחבר את ההסתברויות.
ההסתברות של ענף 2:
0.33 = 0.6 * 0.55
ההסתברות של ענף 3:
0.135 = 0.3 * 0.45

ההסתברות לאחד משני הענפים הללו היא:
0.465 = 0.135 + 0.33
תשובה: ההסתברות לדגום אדם שהלך להצגה היא 0.465.

סעיף ג: מה ההסתברות לדגום אדם שלא הלך להצגה?
ניתן לחשב את סכום הענפים 1,4 על מנת לענות לשאלה הזו.
אבל בשאלה הקודמת חישבנו את ההסתברות של הענפים 2,3 שהם ההסתברות המשלימה להסתברות המבוקשת.

אז הדרך הקצרה יותר לפתרון תסתמך על הסתברות משלימה.
0.535 = 0.465 – 1

ככל שהשאלה יותר מורכבת והעץ מורכב מיותר ענפים ההסתברות המשלימה יכולה להועיל יותר.

סעיף ד: בחרו אדם וידוע שהוא הלך להצגה. מה ההסתברות שזו בת שהלכה להצגה?
על מנת לחשב את ההסתברות הזו עלינו למצוא את ההסתברות שאדם כלשהו הלך להצגה. זה סכום הענפים 2,3. וזה (P (B בנוסחה שלמעלה.
0.33 = 0.6 * 0.55 (ענף 2).
0.135 =  0.3 * 0.45  (ענף 3)
P (B)  = 0.33 + 0.135 = 0.465

(P (A ∩ B  זו ההסתברות שבת הלכה להצגה. זה ענף 2.
P (A ∩ B) = 0.33

ולכן על פי הנוסחה:
P (A / B) = 0.33 / 0.465 = 0.709
תשובה: אם בחרו אדם שהלך להצגה ההסתברות שזו בת היא 0.709.

מושג חמישי: בעיות הוצאה והחזרה

זה אולי לא מושג חדש אבל בכיתה ט הבעיות מסתבכות.

עוד באתר:

  1. מתמטיקה כיתה ט – סיכום החומר הנלמד בשנה זו + תרגילים.
  2. הסתברות – הדף המרכזי באתר בנושא זה, לכול הרמות.
  3. מאורעות זרים – הסבר לסוג זה של הסתברות.

תרגילים בהסתברות לכיתה ט

בחלק זה של הדף 9 תרגילים.
תרגילים 1-3 הם חזרה על חומר של כיתה ח.
תרגילים 4-5 הם תרגילי הסתברות בהם יש שני מאורעות בלתי תלויים.
תרגילים 6-7 הם על מאורעות תלויים.
תרגילים 8-9 הם בנושא דיאגרמת עץ.

תרגיל 1

לקובייה יש 6 צדדים. 4 מתוכם אדומים ו 2 כחולים.

  1. זורקים את הקובייה פעם אחת מה הסיכוי לקבל אדום?
  2. זורקים את הקובייה פעמיים. בפעם הראשונה יצא אדום. מה ההסתברות שבזריקה השנייה נקבל צד כחול?
  3. זורקים את הקובייה 300 פעמים. כמה פעמים (בקירוב) נקבל אדום?

פתרון

סעיף א
יש 4 אפשרויות מתוך 6 לקבל אדום.
לכן ההסתברות לקבל אדום היא:
4/6 = 6 : 4

סעיף ב
ההסתברות לקבל בפעם השנייה כחול לא קשורה למה שקרה בזריקה הראשונה.
יש 2 צדדים כחולים מתוך 6 צדדים. לכן ההסתברות לקבל כחול היא:
1/3 = 6 : 2

סעיף ג
כאשר נזרוק את הקובייה הרבה מאוד פעמים מספר הפעמים שיצא אדום יהיה קרוב למספר הפעמים שנחשב בעזרת ההסתברות.
200 = 300 * (4/6)
תשובה נקבל כ- 200 פעמים אדום.

תרגיל 2: הסתברות פשוטה, סכום הסתברויות, שתי מאורעות

בקופסה נמצאים 10 כדורים.
על כל כדור כתוב מספר אחר  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

  1. אם נוציא כדור אחד מה ההסתברות להוציא מספר זוגי?
  2. אם נוציא כדור אחד מה ההסתברות שיהיה כתוב אליו המספר 3 או קטן ממנו?
  3. שאלה קשה יותר: אם נוציא שני כדורים אחד אחרי השני וללא החזרת הראשון. מה ההסתברות ששניהם יהיו גדולים מ- 3?

פתרון:

שרטוט התרגיל

סעיף א
יש 5 כדורים עם מספרים זוגיים, כלומר 5 אפשרויות טובות.
יש סך הכל 10 כדורים.
לכן ההסתברות להוציא מספר זוגי היא:
0.5 = 10 : 5

סעיף ב
יש 3 כדורים שכתוב עליהם המספר 3 או קטן ממנו.
יש סך הכל 10 כדורים.
לכן ההסתברות להוציא מספר 3 או קטן ממנו היא:
0.3 = 10 : 3

סעיף ג
בהוצאת הכדור הראשון יש 7 מספרים גדולים מ- 3.
יש סך הכל 10 כדורים.
ולכן ההסתברות להוציא מספר הגדול מ- 3 היא:
0.7 = 10 : 7

במקרה והוצאנו בפעם הראשונה כדור גדול מ 3 אז נותרו לנו 6 כדורים כדורים שמספרם גבוה מ- 3
יש סך הכל 9 כדורים.
ולכן ההסתברות להוציא מספר הגדול מ- 3 היא:
0.66 = 9 :6

ההסתברות של המאורע הראשון היא 0.7
ההסתברות של המאורע השני היא 0.66.
כאשר מחשבים את ההסתברות שהמאורע הראשון יקרה וגם המאורע השני יקרה אנו מכפילים את ההסתברויות.
0.4666 = 0.66 * 0.7
תשובה: ההסתברות ששני הכדורים יכללו מספרים גדולים מ- 3 היא 0.4666.

תרגיל 3

זורקים קובייה 3 פעמים.

  1. מה ההסתברות לקבל 3 פעמים 2?
  2. מה ההסתברות לקבל בשתי הפעמים הראשונות 2 ובפעם השלישית 6?
  3. אם זורקים את הקובייה 5 פעמים. מה ההסתברות לקבל 5 פעמים 2?

פתרון

סעיף א
ההסתברות לקבל בזריקה הראשונה 2 היא 1/6.
בזריקה השנייה 1/6.
בזריקה השלישית 1/6.
על מנת לחשב את ההסתברות ששלושתם יקרו ביחד עלינו להכפיל את שלושת ההסתברויות.
0.00463 = ³(1/6) = 1/6 * 1/6 * 1/6

סעיף ב
ההסתברות לקבל בשתי הפעמים הראשונות 2 היא
1/36 = ²(1/6) = 1/6 * 1/6
ההסתברות לקבל בפעם השלישית 6 היא 1/6

על מנת לחשב את ההסתברות ששני הדברים יקרו עלינו להכפיל את ההסתברויות.
0.00463 = ³(1/6) = (1/6) * (1/36)
תשובה: ההסתברות לקבל בפעמיים הראשונות 2 ובפעם השלישית 6 היא 0.00463.

סעיף ג
על בסיס הפתרון של הסעיפים הקודמים אנו מבינים שבכול פעם שאנו זורקים קובייה ההסתברות לקבל 2 היא 1/6.
לכן עבור 5 פעמים נקבל
5(1/6) = 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6

חישוב הסתברות משותפת של שני מאורעות שונים ובלתי תלויים

תרגיל 4:

מסובבים שני גלגלי מזל, כל גלגל מסתובב פעם אחת.
על גלגל אחד רשומים המספרים 1,2,3.
על גלגל שני רשומים המספרים 1,2.

  1. מה ההסתברות לקבל בשני הגלגלים 2?
  2. מה ההסתברות לקבל בשני הגלגלים מספר אי זוגי?

הסתברות שני מאורעות

פתרון

סעיף א
בגלגל הראשון יש 2 מספרים. ושתיים מופיע פעם אחת.
לכן ההסתברות ל 2 בגלגל הראשון היא:
1/2 = 2 : 1

בגלגל השני יש 3 אפשרויות והמספר 2 מופיע פעם אחת.
לכן ההסתברות לקבל 2 בגלגל השני היא
1/3 = 3 : 1

על מנת לקבל את ההסתברות ששני הדברים יקרו בו זמנית נכפיל את שתי ההסתברויות:
1/6 = (1/2) * (1/3)

*הערה: על מנת לחשב את ההסתברות ששני המאורעות יקרו ביחד השתמשנו בנוסחה של מאורעות בלתי תלויים.
(P (A∩B) = P (A) * P (B
כאשר:
A – המאורע שיצא 2 בגלגל הראשון.
B – המאורע שיצא 2 בגלגל השני.

סעיף ב
בגלגל הראשון יש רק מספר אי זוגי אחד (1) וההסתברות לקבל אותו היא 1/2.

בגלגל השני יש שני מספרים אי זוגיים (1,3) וההסתברות לקבל אותם היא  2/3.

ההסתברות ששני הדברים יקרו בו זמנית היא:
1/3 = (1/2) * (2/3)

*הערה. שוב פעם זו הנוסחה:
(P (A∩B) = P (A) * P (B

תרגיל 5

מסובבים סביבון וזורקים קובייה.
על הסביבון רשימות האותיות נ,ג,ה,פ.
על הקובייה המספרים 1,2,3,4,5,6.

מה ההסתברות שיצא המספר 3 בקובייה והאות ג בסביבון?
מה ההסתברות שבקובייה יצא מספר זוגי גדול מ 3 ובסביבון לא תצא האות פ?

פתרון
סעיף א
ההסתברות למספר 3 בקובייה היא 1/6.

בסביבון יש 4 אפשרויות והאות ג היא אחת מיהן.
לכן ההסתברות לאות ג היא 1/4.

ההסתברות ששתי המאורעות יקרו ביחד היא:
1/24 = 1/4 * 1/6

סעיף ב
עבור הקובייה.
המספרים הזוגיים הגדולים מ 3 הם 4,6.
ההסתברות שבזריקת קובייה נקבל 4 או 6 היא:
1/3 = 2/6 = 6 : 2.

עבור הסביבון
ההסתברות לא לקבל פ היא ההסתברות לקבל את אחת משלושת האותיות נ,ג,ה.
ההסתברות הזו היא:
3/4 = 4 : 3

ההסתברות ששני המאורעות יקרו ביחד היא מכפלת ההסתברויות.
1/4 = 3/12 = (3/4) * (1/3)
*הערה: השתמשנו בנוסחה
(P (A∩B) = P (A) * P (B

הסתברות מותנית / מאורעות תלויים

תרגיל 6

ידוע כי ההסתברות ליום גשם ביום מקרי במהלך השנה בישראל היא 0.16.
מניסיונכם האישי: כיצד הסתברות זו הייתה משתנה אם היה נאמר לכם שהיום יום קיץ? יום חורף? אם אתם יודעים שאנשים הולכים עם מעילים בחוץ?

פתרון
אם בממוצע ההסתברות ליום גשם היא 0.16 אז ביום קיץ ההסתברות תהיה נמוכה מ 0.16.

ביום חורף או כאשר אנשים הולכים עם מעילים בחוץ ההסתברות תהיה גבוהה מ 0.16.

תרגיל 7

זורקים פעם אחת קוביית משחק הוגנת שעליה המספרים 1,2,3,4,5,6.

  1. מה ההסתברות שהמספרים 5 או 6 לא יצאו?
  2. אם ידוע שיצא מספר קטן מ 4. מה ההסתברות שיצא מספר זוגי?

פתרון
סעיף א
כאשר מבקשים שהמספרים 5,6 לא יצאו זה כמו לבקש שהמספרים 1,2,3,4 כן יצאו.
יש 4 אפשרויות טובות.
סך הכל יש 6 אפשרויות.
לכן ההסתברות היא:
0.66 = 6 : 4.

סעיף ב
דרך פתרון ראשונה
ידוע שיצא מספר הקטן מ 4.
כלומר יצא אחד מהמספרים 1,2,3. סך הכל יש 3 אפשרויות.
מתוכם המספר הזוגי היחיד הוא 2. לכן יש לנו רק אפשרות אחת טובה.
לכן ההסתברות היא 1 מתוך 3.
0.333 = 3 : 1.

דרך פתרון שנייה
לפתור את התרגיל היא בעזרת הנוסחאות של הסתברות מותנית.
נגדיר את המאורעות הבאים:
A –  ההסתברות שיצא מספר זוגי.
B – יצא מספר הקטן מ 4.

0.5 = P (B) = 1/2  (זו ההסתברות למספר זוגי).
0.166 = P (A∩B) = 1/6 זו ההסתברות לקבל מספר זוגי הקטן מ 4. (ההסתברות לקבל 2 בזריקת קובייה).
נציב את הנתונים הללו בנוסחה

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))

ונקבל:
P (A / B) = 0.166 : 0.5 = 0.33

*הערה המאורעות "יצא מספר קטן מ 4" והמאורע " יצא מספר זוגי" הם מאורעות תלויים.
לכן לא יכולנו להשתמש בנוסחה
(P (A∩B) = P (A) * P (B
המיועדת למאורעות בלתי תלויים. שימוש בה היה גורם לטעות.

דיאגרמת עץ

תרגיל 8

באימון כדורגל בועטים לשער.
הסיכוי להבקיע גול בבעיטה הראשונה הוא 1/3.
אם הבקעתם גול בבעיטה הראשונה הסיכוי להבקיע גול בבעיטה השנייה 3/4.
אם החמצתם בבעיטה הראשונה הסיכוי להבקיע גול בבעיטה השנייה הוא 1/4.
לילך בועטת לשער פעמיים.

  1. מה ההסתברות שלילך תבקיע שני גולים בשתי בעיטות?
  2. מה ההסתברות שלא תבקיע גול בכלל?
  3. מה ההסתברות שתבקיע גול אחד בשתי הבעיטות.

פתרון

ניתן לשרטט דיאגרמת עץ על מנת לפתור את השאלה – אך זו לא חובה.

שרטוט התרגיל בדיאגרמת עץ

סעיף א
הענף מצד שמאל מייצג את ההסתברות המבוקשת.
ההסתברות לגול בבעיטה הראשונה היא 1/3.
ההסתברות לגול בבעיטה השנייה 3/4 (בתנאי שהבעיטה הראשונה הצליחה).
ההסתברות שגם הדבר הראשון וגם הדבר השני יקרו היא מכפלת ההסתברויות.
1/4 = 3/12= (1/3) *  (3/4)
תשובה: ההסתברות להבקיע שני גולים בשתי בעיטות היא 1/4.

סעיף ב
הענף המייצג את ההסתברות המבוקשת הוא הענף השמאלי.
ההסתברות להחמיץ בבעיטה הראשונה היא
2/3 = 1-1/3
אם החמצתם בבעיטה הראשונה ההסתברות להחמיץ בבעיטה השנייה היא
3/4 = 1-1/4
לכן ההסתברות להחמיץ בשתי הבעיטות היא
1/2 = 6/12 = (2/3)  * (3/4)

סעיף ג
ניתן לפתור שאלה זו בשתי דרכים:
דרך 1:
בדרך זו נחשב ישירות את ההסתברויות.
– להבקיע בראשון ולהחמיץ בשני (הענף השני משמאל).
1/12 = (1/3)  * (1/4)
– להחמיץ בראשון ולהבקיע בשני (הענף השני מימין).
1/6 = 2/12 = (2/3) * (1/4)

בשאלה מבקשים מאיתנו שאחד משני הדברים הללו יקרה.
כלומר הקשר בין ההסתברויות הוא קשר של "או".
בקשר של "או" אנחנו מחברים את ההסתברויות.
0.25 = 1/12 + 1/6.
תשובה: ההסתברות להבקיע גול פעם אחת היא 0.25.

דרך פתרון שנייה
בדרך זו נשים לב שהסעיפים הקודמים יכולים לעזור לנו להגיע לפתרון.
כאשר בועטים 2 פעמים יש בסך הכל 3 אפשרויות:
1)לא להבקיע גול. 2)להבקיע גול אחד. 3)להבקיע 2 גולים.
לכן הבקעת גול 1 היא ההסתברות המשלימה של שתי ההסתברויות שמצאנו בסעיפים 1 ו- 2.
לכן:
0.25= 1-0.5-0.25
תשובה: ההסתברות להבקיע גול פעם אחת היא 0.25.

הערה: איזו דרך מבין שני הדרכים עדיפה?
הדרך הראשונה קצרה ודורשת פחות חישובים – אבל הסכנה בה היא שנשמיט את אחת המאורעות  – כלומר מה שנחשוב שהוא המאורע המשלים לא יהיה באמת המאורע המשלים. במקרה זה נאבד חלק ניכר מהניקוד.
הדרך השנייה ארוכה יותר ודורשת ריכוז, קפדנות ותשומת לב לפרטים קטנים.

תרגיל 9: שאלה קשה מהרגיל

בשכבת בית ספר 120 תלמידים.
1/4 מהתלמידים בשכבה גרים במרחק של עד 4 ק"מ מבית הספר.
1/10 מתלמידי השכבה מאחרים לבית ספר.
1/5 מהתלמידים הגרים במרחק  של עד 4 ק"מ מבית הספר מאחרים לבית הספר.

  1. מה ההסתברות שתלמיד הגר במרחק של של יותר מ 4 קילומטר מאחרים לבית ספר?
  2. כמה תלמידים הגרים יותר רחוק מ 4 קילומטר לא מאחרים כלל לבית הספר?
  3. דגמו תלמיד הגר במרחק רחוק מ 4 קילומטר. מה ההסתברות שהוא מאחר לבית ספר?  לאחר שמצאתם את ההסתברות הוסיפו אותה לעץ במקום הנכון.

פתרון

נשרטט דיאגרמת עץ עבור התרגיל

דיאגרמת עץ

סעיף א
תלמיד מאחר במרחק של יותר מ 4 קילומטר זה ענף 3 שאין לנו את ההסתברויות שלו.

נשים לב שבנתון "1/10 מתלמידי השכבה מאחרים לבית הספר לא עשינו שימוש"
כמו כן נשים לב שהנתון הזה הוא סכום הענפים 1 ו 3.

נחשב את ההסתברות של ענף 1.
0.05 = 0.2 * 0.25

ההסתברות של ענף 3 היא ההפרש בין כל המאחרים (1/10 = 0.1) לענף מספר 1.
0.05 = 0.05 – 0.1

סעיף ב
עלינו לחשב את ההסתברות של ענף 4.
אנו יודעים שסכום הענפים 3 ו 4 הוא 0.75.
אנו יודעים שענף 3 הוא 0.05.
לכן ההסתברות של ענף 4 היא:
0.7 = 0.05 – 0.75

נשים לב שלא שאלו אותנו על ההסתברות אלא שאלו על מספר התלמידים.
מספר התלמידים הוא:
84 = 0.7 * 120
תשובה: 84 תלמידים גרים רחוק יותר מ 4 קילומטר ולא מאחרים לבית הספר.

סעיף ג
נגדיר:
A – מאחרים לבית הספר.
B גרים במרחק של יותר מ 4 קילומטר. P(B) = 0.75

עלינו למצוא את (P (A/B.

ההסתברות הסופית של של ענף 3 היא למעשה:
P (A ∩B) = 0.05

נציב את הנתונים הללו בנוסחה:

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))
הנוסחה להסתברות מותנית

P (A/B) = 0.05 : 0.75 = 0.066

נוסיף את ההסתברות הזו לעץ במקום הנכון:
דיאגרמת עץ

פתרון של תרגיל דומה בוידאו

נספח: תרגילי וידאו

סיימתי לכתוב את הדף וחשבתי שהוא דף טוב העונה לצרכים של כיתה ט.
לאחר מיכן כתבתי דף אחר הכולל סרטוני וידאו עבור תלמידי כיתה יא ברמת 3 יחידות.
ואז חשבתי שהסרטונים יכולים להתאים גם לכאן.

לכן, הסרטונים הללו הם לא חובה, אבל בכול שאלה בהסתברות הניסוח הוא קצת שונה והניסוח יכול להכשיל.
אני ממליץ לקרוא את השאלות, אם אתם יודעים אז לדלג ואם לא ללחוץ play.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

1 מחשבה על “הסתברות כיתה ט”

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.