דיאגרמת עץ

בדף זה סיכום של 5 סוגים של שאלות שיכולים לשאול אותכם בנושא דיאגרמת עץ.
החלקים של דף זה הם:

  1. כיצד לבנות דיאגרמת עץ?
  2. שאלה ראשונה: מה משמעות כל נקודה על דיאגרמת העץ.
  3. שאלה שנייה: שאלות על יותר מענף אחד.
  4. שאלה שלישית: הסתברות משלימה.
  5. שני ניסוחים מכשילים של הסתברויות.
  6. שאלה רביעית: דיאגרמת עץ עם משתנים.
  7. שאלה חמישית: הסתברות מותנה.
  8. תרגילים.

סרטון הסבר

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.
לחצו כאן כדי לאתר את המנוי המתאים לכם ולצפות בכל הדפים בהם תוכלו לצפות לאחר רכישת מנוי.

1.כיצד בונים דיאגרמת עץ

תרגיל לדוגמה:
שכבת כיתה ט יצאו לטיול שנתי, 55% מתלמידי השכבה הן בנות. בערב הייתה הצגה שלא היה חובה ללכת אליה.
70% מהבנים לא הלכו להצגה. 60% מהבנות הלכו להצגה.

  1. שרטטו דיאגרמת עץ המציגה את הבעיה.

פתרון
הפיצול הראשון בדיאגרמת עץ הוא לבנים לעומת בנות.
עבור כל ענף נרשום את ההסתברות שלו. בנות (0.55) ובנים (0.45).

הפיצול הראשון בדיאגרמת העץ. רושמים הסתברות ליד כל ענף
הפיצול הראשון בדיאגרמת העץ. רושמים הסתברות ליד כל ענף

עכשיו עלינו להסתכל כיצד כל ענף מתפצל.
ענף הבנות מתפצל ל:
0.6 הלכו להצגה.
0.4 לא הלכו להצגה.

ענף הבנים מתפצל ל:
0.3 הלכו להצגה.
0.7 לא הלכו להצגה.

השלב השני בשרטוט דיאגרמת העץ
השלב השני בשרטוט דיאגרמת העץ

עכשיו בואו ננסה להבין את דיאגרמת העץ:
מה הנקודות 1,2,3,4 מסמלות?

כל נקודה מסמלת את הענפים שיש לעבור על מנת להגיע אליה.

ענף 1: אלו בנות שלא הלכו להצגה.
ענף 2: אלו בנות שהלכו להצגה.
ענף 3: אלו בנים שהלכו להצגה.
ענף 4: אלו בנים שלא הלכו להצגה.

2.שאלה ראשונה: חישוב של ענף בודד

שאלה:
מה ההסתברות לדגום בת שהלכה להצגה?

פתרון
נסתכל בדיאגרמה ונראה כי בת שהלכה להצגה זה ענף מספר 2.
לחישוב הסתברות של ענף נכפיל את ההסתברויות לאורך הענף.
0.33 = 0.6 * 0.55
תשובה: ההסתברות לבת שהלכה להצגה היא 0.33.

שאלה:
מה ההסתברות לבן שלא הלך להצגה?

פתרון
נסתכל בדיאגרמה ונראה כי בן שלא הולך להצגה זה ענף מספר 4.
לחישוב הסתברות של ענף נכפיל את ההסתברויות לאורך הענף.
0.315 = 0.7 * 0.45

3.שאלה שנייה: חישוב של שני ענפים

השלב השני בשרטוט דיאגרמת העץ

שאלה
מה ההסתברות לדגום אדם שהלך להצגה?

פתרון
בהסתכלות על העץ אנו יכולים לראות שאין ענף יחיד המתאר את כל מי שהלכו להצגה.
אלא הענפים 2,3 ביחד מתארים את אלו שהלכו.
2 מתאר נשים שהלכו.
3 מתאר גברים שהלכו.

על מנת לענות על השאלה הזו עלינו לחשב את ההסתברויות של כל אחד מהענפים ולחבר את ההסתברויות.
ההסתברות של ענף 2:
0.33 = 0.6 * 0.55
ההסתברות של ענף 3:
0.135 = 0.3 * 0.45

ההסתברות לאחד משני הענפים הללו היא:
0.465 = 0.135 + 0.33
תשובה: ההסתברות לדגום אדם שהלך להצגה היא 0.465.

שאלה שיכולה לבלבל:
מבקשים לחשב את ההסברות של אלו שהלכו להצגה.
האם החישוב הנכון הוא:

0.6 + 0.3 = 0.9

?

תשובה
לא.

0.6 אלו לא "בנות שהלכו להצגה".

0.6 זה אם מסתכלים על קבוצת הבנות אז 0.6 מתוכן הלכו להצגה.

על מנת לדעת כמה הלכו להצגה עלינו לדעת את ההסתברות של לדגום בת שהלכה להצגה מתוך הקבוצה הכללית.

ההסתברות של בת שהלכה להצגה מתוך הקבוצה הכללית מחושבת כך:

0.55 * 0.6 = 0.33

ובנים שהלכו להצגה הם:

0.45 * 0.3 = 0.135

ההסתברות לדגום משהו שהלך להצגה היא:

0.33 + 0.135 = 0.465

4.שאלה שלישית: הסתברות משלימה

שאלה
מה ההסתברות לדגום אדם שלא הלך להצגה?

פתרון
ניתן לחשב את סכום הענפים 1,4 על מנת לענות לשאלה הזו.
אבל בשאלה הקודמת חישבנו את ההסתברות של הענפים 2,3 שהם ההסתברות המשלימה להסתברות המבוקשת.

אז הדרך הקצרה יותר לפתרון תסתמך על הסתברות משלימה.
0.535 = 0.465 – 1

ככל שהשאלה יותר מורכבת והעץ מורכב מיותר ענפים ההסתברות המשלימה יכולה להועיל יותר.

5.שאלה רביעית: הסתברות מותנית

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.
לחצו כאן כדי לאתר את המנוי המתאים לכם ולצפות בכל הדפים בהם תוכלו לצפות לאחר רכישת מנוי.

8.תרגילים עם דיאגרמות עץ

תרגילים 1-4 הם תרגילים "רגילים".
תרגילים 5-6 כוללים הגדרת משתנים.
תרגיל 2 הוא תרגיל מקיף ואני ממליץ לכולם לפתור את התרגיל (או לצפות בוידאו).

לתרגילים 1,2,3,5 יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.
(למעט הפתרון של תרגיל 1 המופיע בראש הדף).

תרגיל 1

בבית ספר 60% בנות.
70% מהבנים אוהבים מדעים לעומת 80% מהבנות שאוהבות מדעים.
בוחרים תלמיד באופן מקרי:

  1. מה ההסתברות שנבחר בת שאוהבת מדעים?
  2. מה ההסתברות שנבחר בן שאינו אוהב מדעים?
  3. מה ההסתברות שנבחר תלמיד כלשהו האוהב מדעים?
פתרון

נבנה את דיאגרמת העץ בשני שלבים.
הפיצול הראשון הוא לבנים (0.4) לעומת בנות (0.6).

ולאחר מיכן נבצע את הפיצול עבור אלו שאוהבים או לא אוהבים מדעים.

סיימנו לבנות את דיאגרמת העץ, נעבור אל השאלות:

סעיף א: מה ההסתברות שנבחר בת שאוהבת מדעים?
מבקשים מאיתנו אדם שצריך לעמוד בשני תנאים.
תנאי ראשון "בת".
תנאי שני "אוהבת מדעים".
ענף מספר 1 (השמאלי ביותר) מייצג "בת האוהבת מדעים".
ההסתברות ששני התנאים יתקיימו היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף.
0.48 = 0.8 * 0.6
תשובה: ההסתברות לבחור בת האוהבת מדעים היא 0.48.

סעיף ב: מה ההסתברות שנבחר בן שאינו אוהב מדעים?
מבקשים מאיתנו אדם שצריך לעמוד בשני תנאים.
תנאי ראשון "בן".
תנאי שני "לא אוהב מדעים".
ענף מספר 3 מציג את האפשרות הזו.
ההסתברות ששני התנאים יתקיימו היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף.
0.12 = 0.3 * 0.4
תשובה: ההסתברות לבחור בן שלא אוהב מדעים היא 0.12.

סעיף ג: מה ההסתברות שנבחר תלמיד כלשהו האוהב מדעים?
מבקשים מאיתנו אדם הצריך לעמוד בתנאי אחד בלבד והוא "אוהב מדעים".
ענפים 1 ו 4 מתאימים. עלינו לחבר את ההסתברויות שלהם.
את ההסתברות של ענף 1 מצאנו בסעיף א, ההסתברות היא 0.48.

ההסתברות של ענף 4 היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף:
0.28 = 0.7 * 0.4

ההסתברות של ענף 1 או ענף 4 היא:
0.76 = 0.48 + 0.28
תשובה: ההסתברות לבחור אדם האוהב מדעים היא 0.76.

תרגיל 2

בשכבת כיתה ט יש שתי כיתות, ט1 ו ט2.
מספר התלמידים בכיתה ט1 גדול פי 1.5 ממספר התלמידים בכיתה ט2.
בכיתה ט1 ל 60% מהתלמידים יש ציון מעל 80 במתמטיקה.
בכיתה ט2 ל 20% יש ציון מעל 80 במתמטיקה.

  1. בוחרים תלמיד כלשהו משכבת כיתות ט. מה ההסתברות שיש לו ציון נמוך מ 80 ושהוא מכיתה ט2.
  2. בוחרים תלמיד משכבת כיתות ט. מה ההסתברות שהוא מכיתה ט1 ושיש לו ציון נמוך מ 80.
  3. בוחרים תלמיד כלשהוא משכבת כיתות ט, מה ההסתברות שיש לו ציון גבוה מ 80? (שימו לב, יש שתי דרכים לפתור את התרגיל).
  4. שאלה בהסתברות מותנית: ידוע שנבחר תלמיד עם ציון מעל 80 במתמטיקה. מה ההסתברות שהוא מכיתה ט2?
פתרון
בשאלה זו לא נתנו לנו במפורש את הקשר בין הגדלים של כיתות ט1 ו ט2.
עלינו למצוא אותו.
נגדיר:
(p(x  ההסתברות לדגום תלמיד מ ט2.
לכן:
(1.5p(x ההסתברות לדגום תלמיד מ ט1.
סכום ההסתברויות הוא 1, לכן המשוואה שלנו תהיה:
p (x) + 1.5p(x) = 1
2.5p(x) = 1  / : 2.5
p (x) = 0.4

ההסתברות לדגום תלמיד מט2 היא 0.4.
ההסתברות לדגום תלמיד מ ט1 היא 0.6.

עכשיו אנחנו יכולים לבנות דיאגרמת עץ.
הפיצול הראשון בעץ הוא לכיתות ט1 ו ט2.

החלק הראשון בדיאגרמת העץ

הפיצול השני הוא לציונים גבוהים או נמוכים מ 80.

דיאגרמת עץ

סעיף 1: בוחרים תלמיד כלשהו משכבת כיתות ט. מה ההסתברות שיש לו ציון נמוך מ 80 ושהוא מכיתה ט2?
הענף המייצג את ההסתברות לתלמיד כזה הוא ענף מספר 4.
החישוב של ההסתברות הזו היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף.
0.32 = 0.8 * 0.4
תשובה: ההסתברות לדגום מכלל שכבה ט תלמיד מ ט2 שקיבל ציון נמוך מ 80 היא 0.32.

סעיף 2: בוחרים תלמיד משכבת כיתות ט. מה ההסתברות שהוא מכיתה ט1 ושיש לו ציון נמוך מ 80?
הענף הוא ענף 2.
מכפלת ההסתברויות בענף היא:
0.24 = 0.4 * 0.6
תשובה: ההסתברות לדגום מכלל שכבה ט תלמיד מ ט1 שקיבל ציון נמוך מ 80 היא 0.24.

סעיף 3: בוחרים תלמיד כלשהוא משכבת כיתות ט, מה ההסתברות שיש לו ציון גבוה מ 80?
שימו לב שבניגוד לסעיפים הקודמים כאן התלמיד צריך לקיים תנאי אחד בלבד "ציון גבוה מ 80".
ענפים 1 ו 3 מקיימים את התנאי הזה.

הדרך "הסטנדרטית" לפתרון היא לחשב את ההסתברות של ענף 1 וענף 3 ואז לחבר.
הסתברות ענף 1:
0.36 = 0.6 * 0.6
הסתברות ענף 3:
0.08 = 0.4 * 0.2
0.44 = 0.36 + 0.08
תשובה: ההסתברות לבחור תלמיד עם ציון גבוה מ 80 היא 0.44.

דרך פתרון נוספת היא לשים לב שבסעיפים א,ב מצאנו את ההסתברות של ענפים 2,4.
וההסתברות שמבקשים מאיתנו עכשיו היא של ענפים 1,3. כלומר ההסתברות המשלימה.
ההסתברות של ענף 2 ועוד ענף 4 היא:
0.56 = 0.24 + 0.32
לכן ההסתברות של ענף 3 ועוד ענף 1 היא:
0.44 = 0.56 – 1

סעיף 4: ידוע שנבחר תלמיד עם ציון מעל 80 במתמטיקה. מה ההסתברות שהוא מכיתה ט2?
זו הסתברות מותנית.
נסביר את הפתרון בשני דרכים. דרך ההיגיון ודרך נוסחה מתמטית.
עליכם לדעת את דרך הנוסחה המתמטית, דרך ההיגיון נועדה רק להפוך את הנוסחה המתמטית לברורה יותר.

פתרון בדרך ההיגיון
סך כל ההסתברויות לדגום תלמיד תלמיד עם ציון הגבוה מ 80 היא 0.44 (מצאנו זאת בסעיף ג).
ההסתברות של הקבוצה המבוקשת היא ההסתברות של ענף 3.
0.08 = 0.2 * 0.4
ההסתברות המותנית המבוקשת היא המנה של החלק המבוקש לחלק בסך כל ההסתברויות המבוקשות.
P (X) = 0.08 : 0.44 = 0.1818

נגדיר
P (B) =0.44  זו ההסתברות לבחור תלמיד כלשהו שקיבל ציון מעל 80.  (מצאנו זאת בסעיף ג).
(P (A  זו ההסתברות לבחור תלמיד מכיתה ט2.
מה שמבקשים מאיתנו זה בעצם זה את:
(P (A/ B.
הנוסחה אומרת:
נוסחת בייס

P (A∩B) = 0.08   זה בעצם ענף מספר 3.
נציב בנוסחה ונקבל:
P (A/ B) = 0.08 : 0.44 = 0.1818
תשובה: אם ידוע שבחרו תלמיד שציונו גבוה מ 80 ההסתברות שהוא מ ט2 היא 0.1818.

תרגיל 3

בקופסה יש כדורים ב 3 צבעים.
4 כדורים אדומים. 6 כדורים ירוקים. וכדור כחול אחד.
ב 20% מהכדורים הכחולים או האדומים יש הפתעה.
ב 90% מהכדורים הירוקים יש הפתעה.

  1. בוחרים כדור באופן מקרי. מה ההסתברות שיש בו הפתעה?
  2. שאלה בהסתברות מותנית: ידוע שבחרו כדור שאין בו הפתעה. מה ההסתברות שזה כדור אדום?
פתרון וידאו

פתרון כתוב
נבנה דיאגרמת עץ המציגה את נתוני השאלה.
דיאגרמת עץ

הענפים המובילים אל המצב הרצוי של "יש הפתעה" הם: 2,4,5.
עלינו לחשב את ההסתברות של כל אחד מהענפים הללו על ידי כפל הסתברויות לאורכו.
ההסתברות של ענף 2:
0.072 = 0.2 * (4/11)
ההסתברות של ענף 4:
0.0181 = 0.2 * (1/11)
ההסתברות של ענף 5:
0.49 = 0.9 * (6/11)

סכום ההסתברויות הוא:
0.5801 = 0.072 + 0.0181 + 0.49
תשובה: כאשר בוחרים כדור באופן מקרי ההסתברות שיש בו הפתעה היא 0.5801.

סעיף ב
בבחירה מקרית של כדור ההסתברות לבחור כדור שאין בו הפתעה היא ההסתברות המשלימה ל 1 את ההסתברות שמצאנו בסעיף א.
0.4199 = 0.5801 – 1

ההסתברות של "כדור אדום שאין בו הפתעה" היא ההסתברות של ענף 1.
0.29 = 0.8 * (4/11)

התשובה שלנו מתקבלת על ידי חלוקת ההסתברות הרצויה בהסתברות המייצגת את סכום ההסתברויות של הסעיף.
0.69 = 0.4199 : 0.29
תשובה: אם ידוע שנבחר כדור שידוע שאין בו הפתעה אז ההסתברות שכדור זה אדום היא 0.69.

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.
לחצו כאן כדי לאתר את המנוי המתאים לכם ולצפות בכל הדפים בהם תוכלו לצפות לאחר רכישת מנוי.

מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם דרך המייל:
help@m-math.co.il

6 מחשבות על “דיאגרמת עץ”

  1. שלום, ההסבר עזר מאוד אבל דבר אחד לא הבנתי בשאלה 6. אני הצבתי נעלמים ההפך ממך כלומר אדום=X/10 וצהוב=X-10/10
    התשובה שהגעתי אלייה לא נכונה אז רציתי לדעת האם בתרגיל הזה ספציפית התשובה הנכונה היחידה היא להציב נעלמים כמוך או שפשוט טעיתי בהמשך התרגיל, כי התשובה הסופית היא שיש 8 אדומים ו2 צהובים ולפי ההצבה שלי זה היה יוצא ההפך. תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      התשובה בדף נכונה.
      אם יש 8 צהובים אז ההסתברות להוציא שני צהובים עם החזרה היא:
      0.64 = 0.8 * 0.8

  2. היי, בתרגיל 4, בשביל לדעת מה ההסתברות לבחור את אחד הצנצנות. מדוע התעלמו מהנתון שלבחור צנצנת א' – סיכוי של 2/7 ואת ב' 5/7?
    מדוע זריקת הקובייה מחליפה זאת? 2/3 ו1/3…

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שי
      לא מבין למה כתבת "סיכוי של 2/7 ואת ב' 5/7".
      הקוביה קובעת את ההסתברות לבחור צנצנת כי זה מה שכתוב בשאלה.
      "זורקים קובייה. אם יוצאים המספר 1 או 2 שולפים פרח יחיד מהצנצנת הראשונה."
      משפט אחד לפני סעיפי השאלה.

      1. הבנתי, אז רק בלקיחה אקראית מתייחסים ליחס שבין הצנצנות?
        ובמקרה הנ"ל הסיכוי תלוי בזריקת הקוביה בלבד?

        1. לומדים מתמטיקה

          בלקיחה אקראית מתייחסים למספר הצנצנות.
          תמיד אתה צריך לשים לב איך נבחרת הצנצנת ולפי זה לחשב את ההסתברות לבחירתה.
          במקרה זה בחירת הצנצנת תלויה במספר שיוצא על הקובייה, ובמספר זה בלבד.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.