דיאגרמת עץ

אם ידוע שהכדור השני שיצא הוא אדום אז ניתן למחוק את ענפים 2,4

מבין הענפים שנשארו הראשון ירוק זה ענף 3.

לכן ההסתברות המבוקשת היא 8/45 מתוך 9/45.

אני אכתוב את הפתרון בשברים עשרוניים:

לא יצא ירוק – זה אומר שניתן למחוק את ענף 4.

השני אדום זה אומר שענפים 1,3 הם טובים.

נבנה את דיאגרמת העץ בשני שלבים.
הפיצול הראשון הוא לבנים (0.4) לעומת בנות (0.6).

ולאחר מיכן נבצע את הפיצול עבור אלו שאוהבים או לא אוהבים מדעים.

סיימנו לבנות את דיאגרמת העץ, נעבור אל השאלות:

סעיף א: מה ההסתברות שנבחר בת שאוהבת מדעים?

מבקשים מאיתנו אדם שצריך לעמוד בשני תנאים.

תנאי ראשון “בת”.

תנאי שני “אוהבת מדעים”.

P (אוהבת מדעים ∩ בת) = ?

ענף מספר 1 (השמאלי ביותר) מייצג “בת האוהבת מדעים”.

ההסתברות ששני התנאים יתקיימו היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף.

0.48 = 0.8 * 0.6

תשובה: ההסתברות לבחור בת האוהבת מדעים היא 0.48.

סעיף ב: מה ההסתברות שנבחר בן שאינו אוהב מדעים?

מבקשים מאיתנו אדם שצריך לעמוד בשני תנאים.

תנאי ראשון “בן”.

תנאי שני “לא אוהב מדעים”.

P (לא אוהב מדעים ∩ בן) = ?

ענף מספר 3 מציג את האפשרות הזו.

ההסתברות ששני התנאים יתקיימו היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף.

0.12 = 0.3 * 0.4

תשובה: ההסתברות לבחור בן שלא אוהב מדעים היא 0.12.

סעיף ג: מה ההסתברות שנבחר תלמיד כלשהו האוהב מדעים?

מבקשים מאיתנו אדם הצריך לעמוד בתנאי אחד בלבד והוא “אוהב מדעים”.

ענפים 1 ו 4 ביחד מתארים את ההסתברות הזו ועלינו לחבר את ההסתברויות שלהם.

את ההסתברות של ענף 1 מצאנו בסעיף א, ההסתברות היא 0.48.

ההסתברות של ענף 4 היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף:

0.28 = 0.7 * 0.4

ההסתברות של ענף 1 או ענף 4 היא:

0.76 = 0.48 + 0.28

תשובה: ההסתברות לבחור אדם האוהב מדעים היא 0.76.

בשאלה זו לא נתנו לנו במפורש את הקשר בין הגדלים של כיתות ט1 ו ט2.

עלינו למצוא אותו בעזרת המשפט “מספר התלמידים בכיתה ט1 גדול פי 1.5 ממספר התלמידים בכיתה ט2”

נגדיר:

(p(x  ההסתברות לדגום תלמיד מ ט2.

לכן:

(1.5p(x ההסתברות לדגום תלמיד מ ט1.

סכום ההסתברויות הוא 1, לכן המשוואה שלנו תהיה:

סכום ההסתברויות לדגום תלמיד מ ט1 או ט2 היא 1 ולכן המשוואה:

p (x) + 1.5p(x) = 1

2.5p(x) = 1  / : 2.5

p (x) = 0.4

ההסתברות לדגום תלמיד מט2 היא 0.4.

ההסתברות לדגום תלמיד מ ט1 היא 0.6.

עכשיו אנחנו יכולים לבנות דיאגרמת עץ.

הפיצול הראשון בעץ הוא לכיתות ט1 ו ט2.

הפיצול השני הוא לציונים גבוהים או נמוכים מ 80.

סעיף 1: מה ההסתברות שיש לו ציון נמוך מ 80 ושהוא מכיתה ט2?

P (נמוך מ 80 ∩ ט2) = ?

הענף המייצג את ההסתברות לתלמיד כזה הוא ענף מספר 4.

החישוב של ההסתברות הזו היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף.

0.32 = 0.8 * 0.4

תשובה: ההסתברות לדגום מכלל שכבה ט תלמיד מ ט2 שקיבל ציון נמוך מ 80 היא 0.32.

סעיף 2: בוחרים תלמיד משכבת כיתות ט. מה ההסתברות שהוא מכיתה ט1 ושיש לו ציון נמוך מ 80?

הענף הוא ענף 2.

מכפלת ההסתברויות בענף היא:

0.24 = 0.4 * 0.6

תשובה: ההסתברות לדגום מכלל שכבה ט תלמיד מ ט1 שקיבל ציון נמוך מ 80 היא 0.24.

סעיף 3: בוחרים תלמיד כלשהוא משכבת כיתות ט, מה ההסתברות שיש לו ציון גבוה מ 80?

שימו לב שבניגוד לסעיפים הקודמים כאן התלמיד צריך לקיים תנאי אחד בלבד “ציון גבוה מ 80”.

ענפים 1 ו 3 מקיימים את התנאי הזה.

הדרך “הסטנדרטית” לפתרון היא לחשב את ההסתברות של ענף 1 וענף 3 ואז לחבר.

הסתברות ענף 1:
0.36 = 0.6 * 0.6

הסתברות ענף 3:
0.08 = 0.4 * 0.2

סכום ההסתברויות הוא:

0.44 = 0.36 + 0.08

תשובה: ההסתברות לבחור תלמיד עם ציון גבוה מ 80 היא 0.44.

דרך פתרון נוספת היא לשים לב שבסעיפים א,ב מצאנו את ההסתברות של ענפים 2,4.

וההסתברות שמבקשים מאיתנו עכשיו היא של ענפים 1,3. כלומר ההסתברות המשלימה.

ההסתברות של ענף 2 ועוד ענף 4 היא:

0.56 = 0.24 + 0.32

לכן ההסתברות של ענף 3 ועוד ענף 1 היא:

0.44 = 0.56 – 1

סעיף 4: ידוע שנבחר תלמיד עם ציון מעל 80 במתמטיקה. מה ההסתברות שהוא מכיתה ט2?

זו הסתברות מותנית כי "ידוע שנבחר תלמיד עם ציון מעל 80".

את משוואה זו הסקנו מנוסחת בייס:

ועכשיו אנו צריכים את שתי ההסתברויות שיש במשוואה.

ההסתברות של המונה היא מעל 80 וגם ט2, זו ההסתברות של ענף 3:

0.08 = 0.2 * 0.4

P (מעל 80 ∩ ט2) = 0.08

במכנה יש את ההסתברות לתלמיד עם ציון גבוה מ 80

סך כל ההסתברויות לדגום תלמיד תלמיד עם ציון הגבוה מ 80 היא 0.44 (מצאנו זאת בסעיף ג).

P (מעל 80) = 0.44

נציב בנוסחה ונקבל:

תשובה: אם ידוע שבחרו תלמיד שציונו גבוה מ 80 ההסתברות שהוא מ ט2 היא 0.1818.

בדיאגרמת העץ ניתן לראות שלאחר התנאי נותרים הענפים 1,3 ומתוכם ההסתברות הטובה היא של ענף 3.

נבנה דיאגרמת עץ המציגה את נתוני השאלה.

הענפים המובילים אל המצב הרצוי של “יש הפתעה” הם: 2,4,5.

עלינו לחשב את ההסתברות של כל אחד מהענפים הללו על ידי כפל הסתברויות לאורכו.

ההסתברות של ענף 2:

0.072 = 0.2 * (4/11)

ההסתברות של ענף 4:

0.0181 = 0.2 * (1/11)

ההסתברות של ענף 5:

0.49 = 0.9 * (6/11)

סכום ההסתברויות הוא:

0.5801 = 0.072 + 0.0181 + 0.49

תשובה: כאשר בוחרים כדור באופן מקרי ההסתברות שיש בו הפתעה היא 0.5801.

סעיף ב

ההסתברות המבוקשת היא:

אל משוואה זו מגיעים על ידי נוסחת בייס:

חישוב המכנה

בבחירה מקרית של כדור ההסתברות לבחור כדור שאין בו הפתעה היא ההסתברות המשלימה ל 1 את ההסתברות שמצאנו בסעיף א.

0.4199 = 0.5801 – 1

P (אין הפתעה ) = 0.4199

ההסתברות של “כדור אדום שאין בו הפתעה” היא ההסתברות של ענף 1.

0.29 = 0.8 * (4/11)

P (אין הפתעה  ∩ אדום) = 0.29

נציב במשוואה והפתרון יהיה:

תשובה: אם ידוע שנבחר כדור שידוע שאין בו הפתעה אז ההסתברות שכדור זה אדום היא 0.659.