דיאגרמת עץ


בדף זה סיכום של 5 סוגים של שאלות שיכולים לשאול אותכם בנושא דיאגרמת עץ.
החלקים של דף זה הם:

  1. כיצד לבנות דיאגרמת עץ?
  2. שאלה ראשונה: מה משמעות כל נקודה על דיאגרמת העץ.
  3. שאלה שנייה: שאלות על יותר מענף אחד.
  4. שאלה שלישית: הסתברות משלימה.
  5. שני ניסוחים מכשילים של הסתברויות.
  6. שאלה רביעית: דיאגרמת עץ עם משתנים.
  7. שאלה חמישית: הסתברות מותנה.
  8. תרגילים.

1.כיצד בונים דיאגרמת עץ

תרגיל לדוגמה:
שכבת כיתה ט יצאו לטיול שנתי, 55% מתלמידי השכבה הן בנות. בערב הייתה הצגה שלא היה חובה ללכת אליה.
70% מהבנים לא הלכו להצגה. 60% מהבנות הלכו להצגה.

  1. שרטטו דיאגרמת עץ המציגה את הבעיה.

פתרון
הפיצול הראשון בדיאגרמת עץ הוא לבנים לעומת בנות.
עבור כל ענף נרשום את ההסתברות שלו. בנות (0.55) ובנים (0.45).

הפיצול הראשון בדיאגרמת העץ. רושמים הסתברות ליד כל ענף
הפיצול הראשון בדיאגרמת העץ. רושמים הסתברות ליד כל ענף

עכשיו עלינו להסתכל כיצד כל ענף מתפצל.
ענף הבנות מתפצל ל:
0.6 הלכו להצגה.
0.4 לא הלכו להצגה.

ענף הבנים מתפצל ל:
0.3 הלכו להצגה.
0.7 לא הלכו להצגה.

השלב השני בשרטוט דיאגרמת העץ
השלב השני בשרטוט דיאגרמת העץ

עכשיו בואו ננסה להבין את דיאגרמת העץ:
מה הנקודות 1,2,3,4 מסמלות?

כל נקודה מסמלת את הענפים שיש לעבור על מנת להגיע אליה.

ענף 1: אלו בנות שלא הלכו להצגה.
ענף 2: אלו בנות שהלכו להצגה.
ענף 3: אלו בנים שהלכו להצגה.
ענף 4: אלו בנים שלא הלכו להצגה.

2.שאלה ראשונה: חישוב של ענף בודד

שאלה:
מה ההסתברות לדגום בת שהלכה להצגה?

פתרון
נסתכל בדיאגרמה ונראה כי בת שהלכה להצגה זה ענף מספר 2.
לחישוב הסתברות של ענף נכפיל את ההסתברויות לאורך הענף.
0.33 = 0.6 * 0.55
תשובה: ההסתברות לבת שהלכה להצגה היא 0.33.

שאלה:
מה ההסתברות לבן שלא הלך להצגה?

פתרון
נסתכל בדיאגרמה ונראה כי בן שלא הולך להצגה זה ענף מספר 4.
לחישוב הסתברות של ענף נכפיל את ההסתברויות לאורך הענף.
0.315 = 0.7 * 0.45

3.שאלה שנייה: חישוב של שני ענפים

השלב השני בשרטוט דיאגרמת העץ

שאלה
מה ההסתברות לדגום אדם שהלך להצגה?

פתרון
בהסתכלות על העץ אנו יכולים לראות שאין ענף יחיד המתאר את כל מי שהלכו להצגה.
אלא הענפים 2,3 ביחד מתארים את אלו שהלכו.
2 מתאר נשים שהלכו.
3 מתאר גברים שהלכו.

על מנת לענות על השאלה הזו עלינו לחשב את ההסתברויות של כל אחד מהענפים ולחבר את ההסתברויות.
ההסתברות של ענף 2:
0.33 = 0.6 * 0.55
ההסתברות של ענף 3:
0.135 = 0.3 * 0.45

ההסתברות לאחד משני הענפים הללו היא:
0.465 = 0.135 + 0.33
תשובה: ההסתברות לדגום אדם שהלך להצגה היא 0.465.

4. שאלה שלישית: הסתברות משלימה

שאלה
מה ההסתברות לדגום אדם שלא הלך להצגה?

פתרון
ניתן לחשב את סכום הענפים 1,4 על מנת לענות לשאלה הזו.
אבל בשאלה הקודמת חישבנו את ההסתברות של הענפים 2,3 שהם ההסתברות המשלימה להסתברות המבוקשת.

אז הדרך הקצרה יותר לפתרון תסתמך על הסתברות משלימה.
0.535 = 0.465 – 1

ככל שהשאלה יותר מורכבת והעץ מורכב מיותר ענפים ההסתברות המשלימה יכולה להועיל יותר.

5.שאלה רביעית: הסתברות מותנה

מצורפים שני סרטונים הכוללים את אותו תוכן.
הסרטון הראשון ארוך ומפורט, הסרטון השני מקוצר.

הסרטון המקוצר (עם אותו תוכן כמו הסרטון שלמעלה)

 

הסתברות מותנית היא לרוב הסעיף הקשה ביותר בדיאגרמת עץ.
אבל אם תבינו את הנושא זה לא יהיה קשה.

להסתברות מותנית יש גם נוסחה, וגם דרך הפתרון היא הגיונית.

(P(A/B  – זו ההסתברות ש A יקרה אם ידוע שקרה B (הסתברות מותנית).
(P(A∩B – ההסתברות שגם A וגם B קרו.
(P(B – ההסתברות ש B קרה.

אז ההסתברות המותנית היא:

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))
הנוסחה להסתברות מותנית

השלב השני בשרטוט דיאגרמת העץ

תרגיל
עבור דיאגרמת העץ המופיעה למעלה.
בחרו אדם וידוע שהוא הלך להצגה. מה ההסתברות שזו בת שהלכה להצגה?

פתרון
על מנת לחשב את ההסתברות הזו עלינו למצוא את ההסתברות שאדם כלשהו הלך להצגה. זה סכום הענפים 2,3. וזה (P (B בנוסחה שלמעלה.
0.33 = 0.6 * 0.55 (ענף 2).
0.135 =  0.3 * 0.45  (ענף 3)
P (B)  = 0.33 + 0.135 = 0.465

P (A ∩ B  זו ההסתברות שבת הלכה להצגה. זה ענף 2.
P (A ∩ B) = 0.33

ולכן על פי הנוסחה:
P (A / B) = 0.33 / 0.465 = 0.709
תשובה: אם בחרו אדם שהלך להצגה ההסתברות שזו בת היא 0.709.

6.ניסוחים מכשילים בבניית דיאגרמת עץ

בחלק מהשאלות לא יגידו את ההסתברות של כל ענף אלה יגידו את היחס שבין ההסתברויות.

דוגמה 1
ההסתברות לבן גדולה פי 4 מההסתברות לבת.
חשבו את ההסתברות לבן ולבת.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נפתור כמו שפותרים בעיות יחס.
נגדיר:
x ההסתברות לבת
4x ההסתברות לבן.

שלב ב: בניית משוואה
אנו יודעים כי ההסתברות לבן וההסתברות לבת אלו שתי הסתברויות משלימות אשר סכומן 1.
לכן המשוואה תהיה:
x + 4x = 1
5x = 1
x = 0.2

תשובה: ההסתברות לבת 0.2 וההסתברות לבן 0.8.

דוגמה 2
ההסתברות לבחור בן היא 2/3 מההסתברות לבחור בת.
חשבו את ההסתברות לבחור בת או בן.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x ההסתברות לבחור בת
0.666x ההסתברות לבחור בן.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
סכום ההסתברויות לבן ולבת הוא 1 (כי אלו הסתברויות משלימות). לכן המשוואה היא:
x + 0.666x = 1
1.666x = 1
x = 0.6

ההסתברות לבן היא:
0.666x = 0.666 * 0.6 = 0.4
תשובה: ההסתברות לבת היא 0.6, ההסתברות לבן 0.4

7.שאלה רביעית: דיאגרמת עץ עם משתנים

חלק זה מיועד ל 4-5 יחידות.
בחלק מהשאלות לא יתנו לנו את כל ההסתברויות ואנו נצטרך להגדיר משתנים על מנת לבנות את דיאגרמת העץ.

דוגמה 1
בכד 7 כדורים אדומים והשאר כחולים.
ידוע כי ההסתברות להוציא שני כדורים אדומים היא 49/81.

  1. שרטטו דיאגרמת עץ מתאימה לבעיה.
  2. חשבו כמה כדורים אדומים יש בכד.

פתרון
בשאלה זו אנו לא יודעים כמה כדורים אדומים יש בכד ומה ההסתברות להוציא גדור אדום הוא כחול.
לכן נגדיר:
x  מספר הכדורים הכחולים בכד.
לכן סך הכל הכדורים בכד הוא:
x + 7
וההסתברות להוציא אדום היא:

וההסתברות להוציא כחול היא:

דיאגרמת העץ תראה כך:

הנתון הנוסף שבעזרתו אנו מוצאים את x הוא שההסתברות להוציא שני אדומים ברצף היא 49/81.
המשוואה היא:

דוגמה 2
בקופסה 8 כדורים.
חלקם אדומים והיתר כחולים.
מוצאים שני כדורים עם החזרה. ההסתברות שהראשון כחול והשני אדום היא 12/64.
מצאו כמה כדורים אדומים וכחולים בכד.

פתרון
בשאלה הקודמת ידענו את הכמות של אחד הצבעים.
בשאלה זו אנו יודעים את הכמות הכללית של הכדורים.
לכן ההגדרה תהיה קצת שונה.

x מספר הכדורים האדומים.
ולכן מספר הכדורים הכחולים הוא:

ההסתברות לכדור כחול היא:

ההסתברות לאדום היא:

דיאגרמת העץ תהיה.

אנו יודעים כי ההסתברות לאדום ואז כחול היא 12/64. לכן המשוואה היא:

8.תרגילים עם דיאגרמות עץ

תרגילים 1-4 הם תרגילים "רגילים".
תרגילים 5-6 כוללים הגדרת משתנים.
תרגיל 2 הוא תרגיל מקיף ואני ממליץ לכולם לפתור את התרגיל (או לצפות בוידאו).

לתרגילים 1,2,3,5 יש גם פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.
(למעט הפתרון של תרגיל 1 המופיע בראש הדף).

תרגיל 1

בבית ספר 60% בנות.
70% מהבנים אוהבים מדעים לעומת 80% מהבנות שאוהבות מדעים.
בוחרים תלמיד באופן מקרי:

  1. מה ההסתברות שנבחר בת שאוהבת מדעים?
  2. מה ההסתברות שנבחר בן שאינו אוהב מדעים?
  3. מה ההסתברות שנבחר תלמיד כלשהו האוהב מדעים?
פתרון

נבנה את דיאגרמת העץ בשני שלבים.
הפיצול הראשון הוא לבנים (0.4) לעומת בנות (0.6).

ולאחר מיכן נבצע את הפיצול עבור אלו שאוהבים או לא אוהבים מדעים.

סיימנו לבנות את דיאגרמת העץ, נעבור אל השאלות:

סעיף א: מה ההסתברות שנבחר בת שאוהבת מדעים?
מבקשים מאיתנו אדם שצריך לעמוד בשני תנאים.
תנאי ראשון "בת".
תנאי שני "אוהבת מדעים".
ענף מספר 1 (השמאלי ביותר) מייצג "בת האוהבת מדעים".
ההסתברות ששני התנאים יתקיימו היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף.
0.48 = 0.8 * 0.6
תשובה: ההסתברות לבחור בת האוהבת מדעים היא 0.48.

סעיף ב: מה ההסתברות שנבחר בן שאינו אוהב מדעים?
מבקשים מאיתנו אדם שצריך לעמוד בשני תנאים.
תנאי ראשון "בן".
תנאי שני "לא אוהב מדעים".
ענף מספר 3 מציג את האפשרות הזו.
ההסתברות ששני התנאים יתקיימו היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף.
0.12 = 0.3 * 0.4
תשובה: ההסתברות לבחור בן שלא אוהב מדעים היא 0.12.

סעיף ג: מה ההסתברות שנבחר תלמיד כלשהו האוהב מדעים?
מבקשים מאיתנו אדם הצריך לעמוד בתנאי אחד בלבד והוא "אוהב מדעים".
ענפים 1 ו 4 מתאימים. עלינו לחבר את ההסתברויות שלהם.
את ההסתברות של ענף 1 מצאנו בסעיף א, ההסתברות היא 0.48.

ההסתברות של ענף 4 היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף:
0.28 = 0.7 * 0.4

ההסתברות של ענף 1 או ענף 4 היא:
0.76 = 0.48 + 0.28
תשובה: ההסתברות לבחור אדם האוהב מדעים היא 0.76.

תרגיל 2

בשכבת כיתה ט יש שתי כיתות, ט1 ו ט2.
מספר התלמידים בכיתה ט1 גדול פי 1.5 ממספר התלמידים בכיתה ט2.
בכיתה ט1 ל 60% מהתלמידים יש ציון מעל 80 במתמטיקה.
בכיתה ט2 ל 20% יש ציון מעל 80 במתמטיקה.

  1. בוחרים תלמיד כלשהו משכבת כיתות ט. מה ההסתברות שיש לו ציון נמוך מ 80 ושהוא מכיתה ט2.
  2. בוחרים תלמיד משכבת כיתות ט. מה ההסתברות שהוא מכיתה ט1 ושיש לו ציון נמוך מ 80.
  3. בוחרים תלמיד כלשהוא משכבת כיתות ט, מה ההסתברות שיש לו ציון גבוה מ 80? (שימו לב, יש שתי דרכים לפתור את התרגיל).
  4. שאלה בהסתברות מותנית: ידוע שנבחר תלמיד עם ציון מעל 80 במתמטיקה. מה ההסתברות שהוא מכיתה ט2?
פתרון
בשאלה זו לא נתנו לנו במפורש את הקשר בין הגדלים של כיתות ט1 ו ט2.
עלינו למצוא אותו.
נגדיר:
(p(x  ההסתברות לדגום תלמיד מ ט2.
לכן:
(1.5p(x ההסתברות לדגום תלמיד מ ט1.
סכום ההסתברויות הוא 1, לכן המשוואה שלנו תהיה:
p (x) + 1.5p(x) = 1
2.5p(x) = 1  / : 2.5
p (x) = 0.4

ההסתברות לדגום תלמיד מט2 היא 0.4.
ההסתברות לדגום תלמיד מ ט1 היא 0.6.

עכשיו אנחנו יכולים לבנות דיאגרמת עץ.
הפיצול הראשון בעץ הוא לכיתות ט1 ו ט2.

החלק הראשון בדיאגרמת העץ

הפיצול השני הוא לציונים גבוהים או נמוכים מ 80.

דיאגרמת עץ

סעיף 1: בוחרים תלמיד כלשהו משכבת כיתות ט. מה ההסתברות שיש לו ציון נמוך מ 80 ושהוא מכיתה ט2?
הענף המייצג את ההסתברות לתלמיד כזה הוא ענף מספר 4.
החישוב של ההסתברות הזו היא מכפלת ההסתברויות לאורך הענף.
0.32 = 0.8 * 0.4
תשובה: ההסתברות לדגום מכלל שכבה ט תלמיד מ ט2 שקיבל ציון נמוך מ 80 היא 0.32.

סעיף 2: בוחרים תלמיד משכבת כיתות ט. מה ההסתברות שהוא מכיתה ט1 ושיש לו ציון נמוך מ 80?
הענף הוא ענף 2.
מכפלת ההסתברויות בענף היא:
0.24 = 0.4 * 0.6
תשובה: ההסתברות לדגום מכלל שכבה ט תלמיד מ ט1 שקיבל ציון נמוך מ 80 היא 0.24.

סעיף 3: בוחרים תלמיד כלשהוא משכבת כיתות ט, מה ההסתברות שיש לו ציון גבוה מ 80?
שימו לב שבניגוד לסעיפים הקודמים כאן התלמיד צריך לקיים תנאי אחד בלבד "ציון גבוה מ 80".
ענפים 1 ו 3 מקיימים את התנאי הזה.

הדרך "הסטנדרטית" לפתרון היא לחשב את ההסתברות של ענף 1 וענף 3 ואז לחבר.
הסתברות ענף 1:
0.36 = 0.6 * 0.6
הסתברות ענף 3:
0.08 = 0.4 * 0.2
0.44 = 0.36 + 0.08
תשובה: ההסתברות לבחור תלמיד עם ציון גבוה מ 80 היא 0.44.

דרך פתרון נוספת היא לשים לב שבסעיפים א,ב מצאנו את ההסתברות של ענפים 2,4.
וההסתברות שמבקשים מאיתנו עכשיו היא של ענפים 1,3. כלומר ההסתברות המשלימה.
ההסתברות של ענף 2 ועוד ענף 4 היא:
0.56 = 0.24 + 0.32
לכן ההסתברות של ענף 3 ועוד ענף 1 היא:
0.44 = 0.56 – 1

סעיף 4: ידוע שנבחר תלמיד עם ציון מעל 80 במתמטיקה. מה ההסתברות שהוא מכיתה ט2?
זו הסתברות מותנית.
נסביר את הפתרון בשני דרכים. דרך ההיגיון ודרך נוסחה מתמטית.
עליכם לדעת את דרך הנוסחה המתמטית, דרך ההיגיון נועדה רק להפוך את הנוסחה המתמטית לברורה יותר.

פתרון בדרך ההיגיון
סך כל ההסתברויות לדגום תלמיד תלמיד עם ציון הגבוה מ 80 היא 0.44 (מצאנו זאת בסעיף ג).
ההסתברות של הקבוצה המבוקשת היא ההסתברות של ענף 3.
0.08 = 0.2 * 0.4
ההסתברות המותנית המבוקשת היא המנה של החלק המבוקש לחלק בסך כל ההסתברויות המבוקשות.
P (X) = 0.08 : 0.44 = 0.1818

נגדיר
P (B) =0.44  זו ההסתברות לבחור תלמיד כלשהו שקיבל ציון מעל 80.  (מצאנו זאת בסעיף ג).
(P (A  זו ההסתברות לבחור תלמיד מכיתה ט2.
מה שמבקשים מאיתנו זה בעצם זה את:
(P (A/ B.
הנוסחה אומרת:
נוסחת בייס

P (A∩B) = 0.08   זה בעצם ענף מספר 3.
נציב בנוסחה ונקבל:
P (A/ B) = 0.08 : 0.44 = 0.1818
תשובה: אם ידוע שבחרו תלמיד שציונו גבוה מ 80 ההסתברות שהוא מ ט2 היא 0.1818.

תרגיל 3

בקופסה יש כדורים ב 3 צבעים.
4 כדורים אדומים. 6 כדורים ירוקים. וכדור כחול אחד.
ב 20% מהכדורים הכחולים או האדומים יש הפתעה.
ב 90% מהכדורים הירוקים יש הפתעה.

  1. בוחרים כדור באופן מקרי. מה ההסתברות שיש בו הפתעה?
  2. שאלה בהסתברות מותנית: ידוע שבחרו כדור שאין בו הפתעה. מה ההסתברות שזה כדור אדום?
פתרון וידאו

פתרון כתוב
נבנה דיאגרמת עץ המציגה את נתוני השאלה.
דיאגרמת עץ

הענפים המובילים אל המצב הרצוי של "יש הפתעה" הם: 2,4,5.
עלינו לחשב את ההסתברות של כל אחד מהענפים הללו על ידי כפל הסתברויות לאורכו.
ההסתברות של ענף 2:
0.072 = 0.2 * (4/11)
ההסתברות של ענף 4:
0.0181 = 0.2 * (1/11)
ההסתברות של ענף 5:
0.49 = 0.9 * (6/11)

סכום ההסתברויות הוא:
0.5801 = 0.072 + 0.0181 + 0.49
תשובה: כאשר בוחרים כדור באופן מקרי ההסתברות שיש בו הפתעה היא 0.5801.

סעיף ב
בבחירה מקרית של כדור ההסתברות לבחור כדור שאין בו הפתעה היא ההסתברות המשלימה ל 1 את ההסתברות שמצאנו בסעיף א.
0.4199 = 0.5801 – 1

ההסתברות של "כדור אדום שאין בו הפתעה" היא ההסתברות של ענף 1.
0.29 = 0.8 * (4/11)

התשובה שלנו מתקבלת על ידי חלוקת ההסתברות הרצויה בהסתברות המייצגת את סכום ההסתברויות של הסעיף.
0.69 = 0.4199 : 0.29
תשובה: אם ידוע שנבחר כדור שידוע שאין בו הפתעה אז ההסתברות שכדור זה אדום היא 0.69.

תרגיל 4

בבית יש שני צנצנות פרחים.
בצנצנת אחת 2 פרחים: 1 לבן ו- 1 שחור.
בצנצנת שנייה 5 פרחים: 3 לבנים ו- 2 צהובים.

זורקים קובייה. אם יוצאים המספר 1 או 2 שולפים פרח יחיד מהצנצנת הראשונה.
אם יוצא מספר אחר שולפים פרח יחיד מהצנצנת השנייה.

  1. שרטטו דיאגרמת עץ.
  2. מה ההסתברות להוציא פרח שחור (לא משנה מאיזו צנצנת)?
  3. מה ההסתברות להוציא פרח לבן (לא משנה מאיזו צנצנת)?
  4. מה ההסתברות להוציא פרח צהוב (לא משנה מאיזו צנצנת)?
  5. שאלה בהסתברות מותנית: ידוע כי יצא פרח לבן. מה ההסתברות שהוא יצא מהצנצנת הראשונה?
פתרון

דיאגרמת עץ

הערה: ההסתברות לקבל 1 או 2 בקובייה הן 2 אפשרויות מתוך 6 ולכן סומנה ב- 1/3.

2) ההסתברות להוציא פרק שחור שווה לאפשרות לבחור את הצנצנת הראשונה ואז פרח שחור: (1/3) * 0.5 = 1/6.

3) ההסתברות להוציא פרח לבן היא האפשרות לבחור בכד הראשון ואז פרח לבן (1/3 * 0.5 = 1/6) או בכד השני ואז פרח לבן (2/3 * 3/5 = 6/15).
סך כל ההסתברויות הוא 6/15 + 1/6 = 17/300.

4) ההסתברות להוציא פרח צהוב היא ההסתברות המשלימה להסתברויות שחישבנו עד עכשיו:
תשובה 8/30

5- ההסתברות להוציא פרח לבן מהצנצנת הראשונה היא:
(1/3)*(1/2)=0.166.
ההסתברות להוציא פרח לבן מהצנצנת השנייה:
(2/3)*(3/5)=0.4
ההסתברות להוציא פרח לבן היא:
0.4+0.166=0.566
אם ידוע שיצא פרח לבן אז ההסתברות שהוא מהצנצנת הראשונה היא:
0.166/0.566=0.29.
תשובה: אם ידוע שהוצא פרח לבן אז הסיכוי שהוא יצא מהצנצנת הראשונה היא 0.29.

נוסיף שלב לשאלה:
לאחר שהוציאו פרח יש אפשרות לתלוש ממנו עלים.
אם הפרח שחור ההסתברות לתלוש ממנו עלה היא 0.3.
אם הפרח לבן ההסתברות לתלוש ממנו עלה היא 0.1.
אם הפרח צהוב ההסתברות לתלוש ממנו עלה היא 0.99.

  1. שרטטו דיאגרמת עץ חדשה.
  2. מה ההסתברות לקבל בסוף התהליך פרח שחור שלא נתלשו ממנו עלים?
המשך פתרון

דיאגרמת עץ

ההסתברות לקבל פרח שחור שלא נתלשו ממנו עלים היא:

1/3 * 0.5 * 0.7 = 7/60.

תרגיל 5: דיאגרמת עץ עם הגדרת נעלמים

בישוב יש 20% נשים.
70% מהנשים רואות טלוויזיה בשעה 16.
אם ידוע כי ההסתברות לדגום אדם הרואה טלוויזיה בשעה 16 היא 0.46.

  1. איזה חלק מהגברים רואה טלוויזיה בשעה 16.
  2. מה ההסתברות לדגום אדם כלשהו הרואה טלוויזיה בשעה 16?
  3. שאלה בהסתברות מותנית: אם ידוע שדגמו אדם שאינו רואה טלוויזיה בשעה 16. מה ההסתברות שזו אישה?
פתרון וידאו- סעיף א'

פתרון מלא כתוב
ננסה לבנות דיאגרמת עץ עם הנתונים הקיימים.
דיאגרמת עץ

אנו רואים שחסרות לנו ההסתברויות עבור הענפים 3,4.
לכן נגדיר משתנה שייתן לנו את ההסתברויות החסרות.
x ההסתברות שגבר רואה טלוויזיה בשעה 16.

נבנה עם הנתונים החדשים דיאגרמת עץ.
דיאגרמת עץ של התרגיל

יש נתון אחד שבו לא השתמשנו ליצירת הטבלה והוא:
"ההסתברות לדגום אדם הרואה טלוויזיה בשעה 16 היא 0.46".
ההסתברות הזו היא סכום הענפים 1 ו 4. וזו גם תהיה המשוואה בעזרת נמצא את x.
סכום הענפים 1 ו 4 הוא:
0.8x + 0.14
המשוואה היא:
0.8x + 0.14 = 0.46   / – 0.14
0.8x = 0.32  / :0.8
x = 0.4
תשובה: x = 0.4 הוא ההסתברות שדבר רואה טלוויזיה ב 16. לכן 40% מהגברים רואים טלוויזיה ב 16.

סעיף ב: מה ההסתברות לדגום אדם כלשהו הרואה טלוויזיה בשעה 16?
ההסתברות הזו שווה לסכום ההסתברות של "לדגום גבר הרואה טלוויזיה בשעה 16" (ענף 4) ועוד ההסתברות של "לדגום אישה הרואה טלוויזיה בשעה 16" (ענף 1).
ההסתברות של ענף 1 היא:
0.14 = 0.2 * 0.7
ההסתברות של ענף 3 היא:
0.32 = 0.4 * 0.8
סכום ההסתברויות הוא:
0.46 = 0.14 + 0.32
תשובה: ההסתברות לדגום אדם כלשהו הרואה טלוויזיה היא 0.46.

סעיף ג: אם ידוע שדגמו אדם שאינו רואה טלוויזיה בשעה 16. מה ההסתברות שזו אישה?
ההסתברות "לדגום אדם שאינו רואה טלוויזיה" היא ההסתברות המשלימה לזו שחישבנו בסעיף ב.
0.54 = 0.46 – 1
ההסתברות לדגום אישה שאינה רואה טלוויזיה היא ההסתברות של ענף 2.
0.06 = 0.2 * 0.3
ההסתברות המבוקשת היא:
0.1111 = 0.54 : 0.06

בפתרון סעיף ג הסתמכנו על הנוסחה:
נוסחת בייס
כאשר:
P (B) = 0.54
P (A ∩ B) = 0.111
(P (A / B  הוא החלק החסר.

תרגיל 6: דיאגרמת עץ עם הגדרת נעלמים

בקופסה יש 10 כדורים בצבעים אדום וצהוב. מוציאים 2 כדורים עם החזרה. ההסתברות להוציא 2 כדורים צהובים היא 0.04.

  1. מצאו כמה כדורים כדורים אדומים וכמה צהובים יש בכד.
  2. מה ההסתברות שבשתי ההוצאות יצא אותו צבע?
  3. שאלה בהסתברות מותנית: אם ידוע שבשתי הוצאות יצא גם אדום וגם צהוב. מה ההסתברות שהראשון הוא צהוב?
פתרון
סעיף א: מצאו כמה כדורים כדורים אדומים וכמה צהובים יש בכד.
נגדיר:
X – מספר הכדורים הצהובים.
עשר פחות X הוא מספר הכדורים האדומים

נבנה דיאגרמת עץ המייצגת את הבעיה:

דיאגרמת עץ המייצגת את הבעיה

ההסתברות לקבל פעמיים כדור צהוב היא 0.04 ולכן:
0.04  = x/10)*(x/10)= x²/100)
x²=4
x=2
תשובה: מספר הכדורים הצהובים הוא 2. מספר הכדורים האדומים הוא 8.

סעיף ב: מה ההסתברות שבשתי ההוצאות יצא אותו צבע?
עלינו לחשב את סכום ההסתברויות: "צהוב, צהוב" ועוד "אדום, אדום".
ההסתברות "לצהוב, צהוב" היא:
0.04 = 0.2 * 0.2
ההסתברות "לאדום, אדום".
0.64 = 0.8 * 0.8
סכום ההסתברויות:
0.68 = 0.04 + 0.64

סעיף ג: אם ידוע שבשתי הוצאות יצא גם אדום וגם צהוב. מה ההסתברות שהראשון הוא צהוב?
ההסתברות שיצא גם אדום וגם צהוב היא ההסתברות המשלימה של ההסתברות שמצאנו בסעיף ב.
0.32 = 0.68 – 1

ההסתברות שהראשון צהוב והשני אדום היא:
0.16 = 0.8 * 0.2
ההסתברות המבוקשת היא:
0.5 = 0.32 : 0.16
תשובה: ההסתברות שהראשון צהוב אם ידוע שיצאו שני הצבעים היא 0.5.

בפתרון סעיף ג הסתמכנו על הנוסחה:
נוסחת בייס
כאשר:
P (B) = 0.32
P (A ∩ B) = 0.16
(P (A / B  הוא החלק החסר (ההסתברות שהראשון צהוב אם ידוע שיצאו שני הצדדים).

עוד באתר:

  1. הסתברות – הדף המרכזי הכולל את כל הקישורים.
  2. נוסחת ברנולי – כיצד להשתמש בשיטה זו.
  3. טבלה דו ממדית – כיצד לפתור תרגילים בשיטה זו.
  4. הסתברות מותנית – מה זה אומר וכיצד פותרים שאלות.
  5. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  6. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
  7. מבחן בנושא דיאגרמת עץ ל3 יחידות
  8. מבחן בנושא דיאגרמת עץ ל4-5 יחידות

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “דיאגרמת עץ”

  1. היי, בתרגיל 4, בשביל לדעת מה ההסתברות לבחור את אחד הצנצנות. מדוע התעלמו מהנתון שלבחור צנצנת א' – סיכוי של 2/7 ואת ב' 5/7?
    מדוע זריקת הקובייה מחליפה זאת? 2/3 ו1/3…

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שי
      לא מבין למה כתבת "סיכוי של 2/7 ואת ב' 5/7".
      הקוביה קובעת את ההסתברות לבחור צנצנת כי זה מה שכתוב בשאלה.
      "זורקים קובייה. אם יוצאים המספר 1 או 2 שולפים פרח יחיד מהצנצנת הראשונה."
      משפט אחד לפני סעיפי השאלה.

      1. הבנתי, אז רק בלקיחה אקראית מתייחסים ליחס שבין הצנצנות?
        ובמקרה הנ"ל הסיכוי תלוי בזריקת הקוביה בלבד?

        1. לומדים מתמטיקה

          בלקיחה אקראית מתייחסים למספר הצנצנות.
          תמיד אתה צריך לשים לב איך נבחרת הצנצנת ולפי זה לחשב את ההסתברות לבחירתה.
          במקרה זה בחירת הצנצנת תלויה במספר שיוצא על הקובייה, ובמספר זה בלבד.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.