לומדים מתמטיקה

קורסים במתמטיקה  + תמיכה בוואטסאפ

נוסחת ברנולי סיכום

14 תגובות / הסתברות

בדף זה סיכום נושא נוסחת ברנולי עבור תלמידי 4-5 יחידות.
תלמידי 5 יחידות צריכים לדעת את דף זה ובנוסף את התוכן בדף ברנולי 5 יחידות.

הסיכום מחולק לחלקים הבאים:

  1. התנאים שעל פיהם ניתן להשתמש בברנולי והכרת הנוסחה.
  2. זיהוי המשתנים שצריך להציב בנוסחה בשאלות.
  3. מתי אפשר להשתמש בנוסחת ברנולי אך לא כדאי.
  4. 3 מכשולים היכולים להכשיל אותכם.
  5. 6 תרגילים עם פתרונות מלאים.
  6. נספח: ברנולי ברמת 5 יחידות.
  7. נספח: הסבר מדוע נוסחת ברנולי בכלל נכונה?

1.תנאים לשימוש בנוסחת ברנולי 
הכרת משתני הנוסחה

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

בנוסחת ברנולי נשתמש רק עם שני התנאים הבאים מתקיימים ביחד בתרגיל שלנו:

  1. יש מספר ניסויים גדול יחסית (3 או יותר).
  2. ההסתברות להצליח בניסיון בודד  שווה לאורך כל הניסיונות.

לדוגמה:
אדם זורק לסל 4 פעמים. בכול פעם ההסתברות שלו לקלוע היא 0.6.
צריך לחשב את ההסתברות לקלוע פעמיים מתוך ה 4.

שאלה כזו מתאימה לנוסחת ברנולי משום שיש בה מספר רב של ניסיונות (4) וההסתברות לקלוע בכול פעם היא קבועה (0.6) אם ההסתברות לקלוע בכול פעם הייתה משתנה אז השאלה לא הייתה מתאימה לנוסחת ברנולי.

נשים לב שיש גם הרבה אפשרויות לקלוע 2 מתוך 4. ניתן לקלוע בקליעות שהן:
ראשונה ושנייה.
ראשונה ושלישית.
ראשונה ורביעית.
שנייה ושלישית.
שנייה ורביעית.
שלישית ורביעית.

היינו מתקשים לחשב את כל ההסתברויות הללו ללא נוסחה. אז למקרים כאלו ומורכבים יותר יש את נוסחת ברנולי.

הסבר למשתנים בתוך נוסחת ברנולי

זו נוסחת ברנולי:

נוסחת ברנולי
נוסחת ברנולי

מצד שמאל יש את ההסתברות המבוקשת. למשל לקלוע לסל 2 מתוך 4 זריקות (על פי הדוגמה שלמעלה).

ומצד ימין:

n – הוא מספר הניסיונות.
K – מספר ההצלחות.
P – הסיכוי להצליח.

הביטוי שנראה בנוסחה בערך כך : nk  נקרא "המקדם הבינומי" ושווה ל:

המקדם הבינומי: n! לחלק ב- !(k! (n-k.
המקדם הבינומי

 

הסימן ! נקרא "עצרת".
כאשר המשמעות שלו היא:
1*2*3*4*5 = !5
1*2*3*4*5*6*7 = !7

2. זיהוי נכון של n, k, p

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

3.מתי ניתן להשתמש בנוסחת ברנולי אך לא כדאי

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

3 מכשולים נוספים בהם אתם יכולים להיתקל

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

4.תרגילים עם פתרונות מלאים

בחלק זה 6 תרגילים.

תרגיל 1: תרגיל בסיסי + הכל הצלחות או הכל כישלונות
שחקן כדורגל בועט 6 פעמים לשער. בכל בעיטה הסיכוי שלו להבקיע הוא 0.3.
1. מה היא ההסתברות שהוא יבקיע בדיוק שני גולים?
2. מה ההסתברות שלא יבקיע כלל?

פתרון התרגיל

סעיף א: ההסתברות להבקיע שני גולים
נגדיר את n,p,k
p= 0.3 (הסתברות להבקיע).
n=6 (ניסיונות).
k=2 (מספר ההצלחות).

נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 6! = 720
k! (n-k)! = 4!*2! = 48
15 = 720/48

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי:

0.324135 = 15*0.3²*0.74

תשובה: ההסתברות להבקיע 2 מתוך 6 היא 0.324135.

סעיף ב: ההסתברות שלא יבקיע כלל

0.7 זו ההסתברות לא להבקיע בניסיון בודד.

ההסתברות לא להבקיע בשישה ניסיונות רצופים היא:

0.76 = 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7

0.117649 = 0.76

הערה:
כפי שכבר אמרנו, כאשר אנו נדרשים לחשב הסתברות שבה כל הניסיונות מצליחים או כל הניסיונות נכשלים אין צורך להשתמש בנוסחת ברנולי אלא ניתן לחשב הסתברות בצורה רגילה, כפי שעשינו בסעיף זה.

תרגיל 2: תרגיל בסיסי פתור בוידאו

תרגיל 3: בסיסי + סכום הסתברויות ברנולי
צלף יורה אל המטרה 5 פעמים. ההסתברות שהצלף יפגע במטרה בירייה בודדת הוא 0.1.

  1. מה ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים?
  2. מה ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים או יקלע 5 פעמים.
פתרון התרגיל

סעיף א: הצלף יפספס 4 פעמים
0.1 זו ההסתברות לקלוע.
לכן:
0.9 זו ההסתברות לפספס.

נגדיר את n,p,k
p=0.9 (ההסתברות לפספס).
n = 5 (מספר הניסיונות).
k = 4 (מספר ההצלחות).

נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 5! = 120
k! (n-k)! =  4!*1! = 24
5 = 120/24 (המקדם הבינומי).

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי.

0.328 = 5*0.94*0.1

תשובה: ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים היא 0.328.

סעיף ב: הצלף יפספס 4 פעמים או יקלע 5 פעמים

(שימו לב שאת ההסתברויות לפספס 5 פעמים או לקלוע 5 פעמים ניתן לחשב ללא שימוש בנוסחת ברנולי).

ההסתברות לקלוע בירייה בודדת היא 0.1.

ההסתברות לקלוע 5 פעמים היא:

0.15 = 0.1*0.1*0.1*0.1*0.1

0.00001 = 0.15

ההסתברות לקלוע 5 פעמים או לפספס 4 פעמים היא סכום ההסתברויות של כל אחת מהאפשרויות.

0.32801 = 0.00001 + 0.328

תשובה: 0.32801 זו ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים או יקלע 5 פעמים.

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

6. נוסחת ברנולי ברמת 5 יחידות

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

14 מחשבות על “נוסחת ברנולי סיכום”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אופק

    שלום, אם אני מטילה 4 קוביות זהות בעלות 6 פאות ועליהן מספר/צבע שונה, כמה הטלות אצטרך כדי לקבל סכום מספרים שונה? תודה

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      השאלה לא נראית כמו שאלה בהסתברות, מאיפה הבאת אותה?

      בשאלה בהסתברות צריך להיות כתוב משהוא כמו : מה ההסתברות שב 3 הטלות יתקבלו לפחות שני סכומים שונים של מספרים.

      תגובה
  2. כגדששש

    שלום,
    אני לא כל כך מבינה איך נוסחת ברנולי מסתדרת עם העץ
    לדוגמא אם נתון לי שבוחרים 6 תלמידים מהאוניברסיטה באקראי אז ההסתברות שבדיוק 5 מהם בנים גדולה פי 1.35 מההסתברות ששניהם בנים
    איך העץ של זה נראה??

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      למשל צלף היורה למטרה – כל ירייה היא ניסיון.
      או כאשר מוצאים כדור מקופסה – כל הוצאה היא ניסיון.

      תגובה
      1. דימה

        בצלף ובכדורים זה ממש מובן .
        אם יש לי חמישה אנשים חלקים ממושב וחלקם לא ממושב . אז מה מספר הנסיונות פה ? אף אחד לא מנסה כלום
        אפשר הסבר ? תודה וסליחה על החפירה

        תגובה
        1. לומדים מתמטיקה

          כל פעם שבוחרים אדם מתוך הקבוצה זה ניסיון.
          לצרכי שאלות זה דומה לבחירת כדור מתוך קופסה.

          תגובה
          1. דימה

            לא אמרו שבוחרים .
            אמרו שיש חמישה אנשים ומה ההסתברות ששניים מהם ממושב

            תגובה
            1. לומדים מתמטיקה

              לא יודע על איזו שאלה אתה מדבר.
              אבל מניסיוני בשאלות כנראה שבחרו בשאלה שלך חמש מתוך קבוצה או שתיים מתוך קבוצת החמש, תלוי בסוג השאלה.

              תגובה
              1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

                כך זה רשום נתונים חמישה אנשים מה ההסתברות שבדיוק 2 מהם ממושב . כך לפי הנתון בשאלה

              2. לומדים מתמטיקה

                ההסתברות בנסיון בודד במקרה הזה היא ההסתברות לאדם ממושב אם בוחרים אדם אחד מתוך קבוצת החמש.

  4. אופק

    היי,
    היה לי תרגיל(אכתוב אותו עוד שנייה) שהייתי צריך לפתור בו רק 5/11 היה השלם שלי, ההסתברות הייתה 3/11 אז מה אני מציב בנוסחאת ברנולי? אני יודע שמה שכתבתי לא בדיוק ברור אז אני מצרף את השאלה פה . תודה!:

    (המשך השאלה הוסר מהאתר)

    תגובה
    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      עליך לחשב את ההסתברות המותנית של מעשן ובעל רישיון מתוך המעשנים או בעלי הרישיון ואת ההסתברות הזו להציב בברנולי.

      תגובה

כל הזכויות שמורות ללומדים מתמטיקה 2024