נוסחת ברנולי סיכום

בדף זה סיכום נושא נוסחת ברנולי עבור תלמידי 4-5 יחידות.
תלמידי 5 יחידות צריכים לדעת את דף זה ובנוסף את התוכן בדף ברנולי 5 יחידות.

הסיכום מחולק לחלקים הבאים:

  1. התנאים שעל פיהם ניתן להשתמש בברנולי והכרת הנוסחה.
  2. זיהוי המשתנים שצריך להציב בנוסחה בשאלות.
  3. מתי אפשר להשתמש בנוסחת ברנולי אך לא כדאי.
  4. 3 מכשולים היכולים להכשיל אותכם.
  5. 6 תרגילים עם פתרונות מלאים.
  6. נספח: ברנולי ברמת 5 יחידות.
  7. נספח: הסבר מדוע נוסחת ברנולי בכלל נכונה?

1.תנאים לשימוש בנוסחת ברנולי 
הכרת משתני הנוסחה

בנוסחת ברנולי נשתמש רק עם שני התנאים הבאים מתקיימים ביחד בתרגיל שלנו:

  1. יש מספר ניסויים גדול יחסית (3 או יותר).
  2. ההסתברות להצליח בניסיון בודד  שווה לאורך כל הניסיונות.

לדוגמה:
אדם זורק לסל 4 פעמים. בכול פעם ההסתברות שלו לקלוע היא 0.6.
צריך לחשב את ההסתברות לקלוע פעמיים מתוך ה 4.

שאלה כזו מתאימה לנוסחת ברנולי משום שיש בה מספר רב של ניסיונות (4) וההסתברות לקלוע בכול פעם היא קבועה (0.6) אם ההסתברות לקלוע בכול פעם הייתה משתנה אז השאלה לא הייתה מתאימה לנוסחת ברנולי.

נשים לב שיש גם הרבה אפשרויות לקלוע 2 מתוך 4. ניתן לקלוע בקליעות שהן:
ראשונה ושנייה.
ראשונה ושלישית.
ראשונה ורביעית.
שנייה ושלישית.
שנייה ורביעית.
שלישית ורביעית.

היינו מתקשים לחשב את כל ההסתברויות הללו ללא נוסחה. אז למקרים כאלו ומורכבים יותר יש את נוסחת ברנולי.

הסבר למשתנים בתוך נוסחת ברנולי

זו נוסחת ברנולי:

נוסחת ברנולי
נוסחת ברנולי

מצד שמאל יש את ההסתברות המבוקשת. למשל לקלוע לסל 2 מתוך 4 זריקות (על פי הדוגמה שלמעלה).

ומצד ימין:

n – הוא מספר הניסיונות.
K – מספר ההצלחות.
P – הסיכוי להצליח.

הביטוי שנראה בנוסחה בערך כך : nk  נקרא "המקדם הבינומי" ושווה ל:

המקדם הבינומי: n! לחלק ב- !(k! (n-k.
המקדם הבינומי

 

הסימן ! נקרא "עצרת".
כאשר המשמעות שלו היא:
1*2*3*4*5 = !5
1*2*3*4*5*6*7 = !7

2. זיהוי נכון של n, k, p

בנוסחת ברנולי יש להציב 3 משתנים: n,k,p.
בואו ונראה שאתם מזהים אותם נכון בתרגילים.

בתרגילים הבאים זהו את n, p,k. ללא פתרון מלא של התרגיל (ללא מציאת ההסתברות המבוקשת).

תרגיל 1
ההסתברות ששחקן כדורגל יבקיע שער בבעיטת עונשין הוא 0.8.
שחקן בועט 4 בעיטות לשער.
מה ההסתברות שיבקיע בדיוק שני שערים.

פתרון
n = 4 מספר הניסיונות.
k = 2 מספר ההצלחות הנדרש.
p = 0.8 הסיכוי להצליח.

תרגיל 2
קלע יורה למטרה 6 פעמים. ההסתברות לקליעה בירייה בודדת היא 0.7.
מה ההסתברות שהקלע יפספס בדיוק 4 פעמים.

פתרון
n = 6 יש לקלע 6 ניסיונות.
k = 4 בשאלה זו פספוס הוא הדבר הנדרש, ולכן פספוס הוא "הצלחה" מבחינת השאלה.
p = 1-0.7=0.3 זו ההסתברות לפספס, וכאמור בשאלה הקלע נדרש לפספס.

תרגיל 3
בסל יש 10 כדורים מתוכם 6 צהובים. מוצאים 3 כדורים עם החזרה מה ההסתברות ש 2 מתוכם אינם צהובים?

פתרון
n = 3 "מוציאים 3 כדורים"
k = 2 זה מספר ההצלחות הנדרש.
p = 4/10 = 0.4  זו ההסתברות להוציא לא צהוב (זו ההסתברות להצליח).

3.מתי ניתן להשתמש בנוסחת ברנולי אך לא כדאי

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

4.תרגילים עם פתרונות מלאים

בחלק זה 6 תרגילים.

תרגיל 1: תרגיל בסיסי + הכל הצלחות או הכל כישלונות
שחקן כדורגל בועט 6 פעמים לשער. בכל בעיטה הסיכוי שלו להבקיע הוא 0.3.
1. מה היא ההסתברות שהוא יבקיע בדיוק שני גולים?
2. מה ההסתברות שלא יבקיע כלל?

פתרון
סעיף א: ההסתברות להבקיע שני גולים
נגדיר את n,p,k
p= 0.3 (הסתברות להבקיע).
n=6 (ניסיונות).
k=2 (מספר ההצלחות).

נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 6! = 720
k! (n-k)! = 4!*2! = 48
15 = 720/48

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי:
0.324135 = 15*0.3²*0.74
תשובה: ההסתברות להבקיע 2 מתוך 6 היא 0.324135.

סעיף ב: ההסתברות שלא יבקיע כלל
0.7 זו ההסתברות לא להבקיע בניסיון בודד.
ההסתברות לא להבקיע בשישה ניסיונות רצופים היא:
0.76 = 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7
0.117649 = 0.76

הערה:
כפי שכבר אמרנו, כאשר אנו נדרשים לחשב הסתברות שבה כל הניסיונות מצליחים או כל הניסיונות נכשלים אין צורך להשתמש בנוסחת ברנולי אלא ניתן לחשב הסתברות בצורה רגילה, כפי שעשינו בסעיף זה.

תרגיל 2: תרגיל בסיסי פתור בוידאו

תרגיל 3: בסיסי + סכום הסתברויות ברנולי
צלף יורה אל המטרה 5 פעמים. ההסתברות שהצלף יפגע במטרה בירייה בודדת הוא 0.1.

  1. מה ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים?
  2. מה ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים או יקלע 5 פעמים.

פתרון
סעיף א: הצלף יפספס 4 פעמים
0.1 זו ההסתברות לקלוע.
לכן:
0.9 זו ההסתברות לפספס.

נגדיר את n,p,k
p=0.9 (ההסתברות לפספס).
n = 5 (מספר הניסיונות).
k = 4 (מספר ההצלחות).

נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 5! = 120
k! (n-k)! =  4!*1! = 24
5 = 120/24 (המקדם הבינומי).

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי.
0.328 = 5*0.94*0.1
תשובה: ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים היא 0.328.

סעיף ב: הצלף יפספס 4 פעמים או יקלע 5 פעמים
(שימו לב שאת ההסתברויות לפספס 5 פעמים או לקלוע 5 פעמים ניתן לחשב ללא שימוש בנוסחת ברנולי).
ההסתברות לקלוע בירייה בודדת היא 0.1.
ההסתברות לקלוע 5 פעמים היא:
0.15 = 0.1*0.1*0.1*0.1*0.1
0.00001 = 0.15

ההסתברות לקלוע 5 פעמים או לפספס 4 פעמים היא סכום ההסתברויות של כל אחת מהאפשרויות.
0.32801 = 0.00001 + 0.328
תשובה: 0.32801 זו ההסתברות שהצלף יפספס 4 פעמים או יקלע 5 פעמים.

תרגיל 4: תרגיל עם הרבה מספרים, ניתן להתבלבל מה הוא מה
בקופסה 6 כדורים מתוכם 4 צהובים.
מוצאים 3 כדורים עם החזרה.
מה ההסתברות ש 2 מתוכם הם צהובים?

פתרון
נגדיר את n,p,k
4/6 = 2/3 = p זו ההסתברות להוציא כדור צהוב.
n=3  זה מספר הניסיונות.
k=2 זה מספר ההצלחות

נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 3! = 6.
k! (n-k)!  = 2! * 1! = 2.
3 = 6/2 (המקדם הבינומי).

נציב בנוסחת ברנולי:
0.44443 = 0.666² * 0.333 * 3
תשובה: ההסתברות להוציא 2 צהובים מתוך 3 ניסיונות היא 0.44443.

תרגיל 5: ברנולי והסתברות מותנית
ההסתברות של צלף לקלוע במטרה גדולה פי 4 מההסתברות שלו לפספס את המטרה.
הצלף יורה 4 יריות.
1.מה ההסתברות של הצלף לקלוע בדיוק 3 פעמים? (סעיף זה מתאים ל 4 יחידות).
2. *(סעיף המתאים לתלמידי 5 יחידות) אם ידוע כי הצלף קלע 3 או יותר פעמים. מה ההסתברות שהוא פגע בדיוק 3 פעמים?

פתרון
סעיף א: ההסתברות לקלוע בדיוק 3 פעמים
נחשב את ההסתברות של הצלף לפגוע במטרה.
x ההסתברות לפספס.
4x ההסתברות לפגוע.
x+4x=1
x=0.2
0.8 = 1-0.2 זו ההסתברות לפגוע במטרה.

לכן:
p=0.8
n=4
k=3

נחשב את המקדם הבינומי.
n! = 4! = 24
k! (n-k)! = 3! * 1! = 6
4 = 24/6 המקדם הבינומי.

נציב את הנתונים בנוסחת ברנולי:
0.4096 = 4*0.8³*0.2
תשובה: ההסתברות לפגוע 3 מתוך 4 היא 0.4096.

סעיף ב
ההסתברות לקלוע לפחות 3 פעמים היא ההסתברות לקלוע 3 או 4 פעמים.
0.4096 זו ההסתברות לקלוע 3 פעמים שחישבנו בסעיף הקודם.
נותר לנו לחשב את ההסתברות לקלוע 4 פעמים.

ההסתברות לקלוע 4 מתוך 4 פעמים היא:
0.4096 = 0.84

ההסתברות לפגוע 3 או 4 פעמים היא סכום ההסתברות של:
לפגוע בדיוק 3 פעמים.
לפגוע בדיוק 4 פעמים.
0.8192 = 0.4096 +0.4096

החלק היחסי של לפגוע בדיוק 3 פעמים מתוך ההסתברות לפגוע 3 או 4 פעמים היא:

תשובה: ההסתברות של הצלף לפגוע 3 פעמים אם ידוע כי פגע לפחות 3 פעמים היא 0.5.

תרגיל 6: שימוש במשתנה + הסתברות מותנית + הסתברות משלימה
*תרגיל ברמת בגרות 5 יחידות*
שחקן כדורסל זורק 4 פעמים לסל. ידוע כי ההסתברות שלו לקלוע היא קבועה.
ההסתברות שהשחקן יקלע לסל 4 פעמים קטנה פי 32.6666 מההסתברות שיקלע בדיוק פעמיים.

  1. חשבו את ההסתברות שהשחקן יקלע בזריקה בודדת.
  2. מה ההסתברות שהשחקן יקלע לפחות פעם אחת?
  3. אם השחקן קלע לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שיקלע 4 פעמים?

פתרון
p היא ההסתברות של השחקן לקלוע בזריקה בודדת.
p4 היא ההסתברות שהשחק יקלע 4 פעמים.

נחשב את ההסתברות שהשחקן יקלע בדיוק פעמיים.
נחשב את המקדם הבינומי.
n=4
k=2
n ! = 4! =24
k! (n-k)! = 2!*2! = 4
6 = 24/4 (המקדם הבינומי)

נציב בנוסחת ברנולי ונקבל את ההסתברות לפגוע פעמיים:
6p²(1-p)²

המשוואה מבוססת על המשפט:
"השחקן יקלע לסל 4 פעמים קטנה פי 32.6666 מההסתברות שיקלע בדיוק פעמיים"
6p²(1-p)² = 32.666p4
1-2p+p² = 5.444p²
4.444p² + 2p- 1=0
נחשב בעזרת נוסחת השורשים ונמצא:
p= 0.3, p= -0.75
p הוא ערך חיובי בין 0 ל 1 לכן p=0.3 היא התשובה הנכונה.

סעיף ב: השחקן יקלע לפחות פעם אחת
לפחות פעם אחת זה אומר: 1 או 2 או 3 או 4 פעמים.
לחשב כל אחת מההסתברויות הללו זו הרבה עבודה.
לכן נחשב את ההסתברות המשלימה שהיא לקלוע 0 פעמים ( לפספס 4 פעמים).
ההסתברות לפספס זריקה היא 0.7.
ההסתברות לפספס 4 פעמים היא:
0.2401 = 0.74

וההסתברות לקלוע לפחות פעם אחת תהיה:
0.7599 = 1-0.2401

סעיף ג
0.3 זו ההסתברות לקלוע פעם אחת.
ההסתברות לקלוע 4 פעמים היא:
0.0081 = 0.34

ההסתברות לקלוע לפחות פעם אחת היא 0.7599.
לכן אם ידוע שהוא קלע לפחות פעם אחת ההסתברות שהוא קלע 4 פעמים היא:

 

תשובה: 0.010659.

עוד באתר בנושא הסתברות:

  1. הסתברות – הדף המרכזי הכולל את כל הקישורים.
  2. דיאגרמת עץ – כיצד לפתור תרגילים בשיטה זו.
  3. הסתברות מותנית – מה זה אומר וכיצד פותרים שאלות.
  4. טבלה דו ממדית – כיצד לפתור תרגילים בשיטה זו.

6. נוסחת ברנולי ברמת 5 יחידות

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם:
1.וואטסאפ: 0527-586-585
2.דרך המייל: help@m-math.co.il

מי שאינו מנוי יכול להשאיר שאלה על ידי השארת תגובה באתר.

כתיבת תגובה

השאירו שאלה או תגובה באתר. אין צורך להשאיר אימייל (השירות זמין לכולם ללא תשלום).

12 מחשבות על “נוסחת ברנולי סיכום”

  1. שלום,
    אני לא כל כך מבינה איך נוסחת ברנולי מסתדרת עם העץ
    לדוגמא אם נתון לי שבוחרים 6 תלמידים מהאוניברסיטה באקראי אז ההסתברות שבדיוק 5 מהם בנים גדולה פי 1.35 מההסתברות ששניהם בנים
    איך העץ של זה נראה??

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      למשל צלף היורה למטרה – כל ירייה היא ניסיון.
      או כאשר מוצאים כדור מקופסה – כל הוצאה היא ניסיון.

      1. בצלף ובכדורים זה ממש מובן .
        אם יש לי חמישה אנשים חלקים ממושב וחלקם לא ממושב . אז מה מספר הנסיונות פה ? אף אחד לא מנסה כלום
        אפשר הסבר ? תודה וסליחה על החפירה

        1. לומדים מתמטיקה

          כל פעם שבוחרים אדם מתוך הקבוצה זה ניסיון.
          לצרכי שאלות זה דומה לבחירת כדור מתוך קופסה.

            1. לומדים מתמטיקה

              לא יודע על איזו שאלה אתה מדבר.
              אבל מניסיוני בשאלות כנראה שבחרו בשאלה שלך חמש מתוך קבוצה או שתיים מתוך קבוצת החמש, תלוי בסוג השאלה.

              1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

                כך זה רשום נתונים חמישה אנשים מה ההסתברות שבדיוק 2 מהם ממושב . כך לפי הנתון בשאלה

              2. לומדים מתמטיקה

                ההסתברות בנסיון בודד במקרה הזה היא ההסתברות לאדם ממושב אם בוחרים אדם אחד מתוך קבוצת החמש.

  2. היי,
    היה לי תרגיל(אכתוב אותו עוד שנייה) שהייתי צריך לפתור בו רק 5/11 היה השלם שלי, ההסתברות הייתה 3/11 אז מה אני מציב בנוסחאת ברנולי? אני יודע שמה שכתבתי לא בדיוק ברור אז אני מצרף את השאלה פה . תודה!:

    (המשך השאלה הוסר מהאתר)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      עליך לחשב את ההסתברות המותנית של מעשן ובעל רישיון מתוך המעשנים או בעלי הרישיון ואת ההסתברות הזו להציב בברנולי.

כתיבת תגובה

השאירו שאלה או תגובה באתר. אין צורך להשאיר אימייל (השירות זמין לכולם ללא תשלום).