הסתברות מותנית

לדף זה שלושה חלקים:

  1. מהיא הסתברות מותנית (הסבר).
  2. זיהוי נכון של הסתברות מותנית. שאלות קצרות ואתם צריכים לדעת אם זו הסתברות מותנית או לא.
  3. תרגילים מלאים, תרגילים הדומים לאלו שאתם פוגשים בבית הספר.

1. מהיא הסתברות מותנית?

מצורפים שני סרטונים הכוללים את אותו תוכן.
הסרטון הראשון ארוך ומפורט, הסרטון השני מקוצר.

הסרטון המקוצר (עם אותו תוכן כמו הסרטון שלמעלה)

 

הסרטון השלישי כולל דוגמאות נוספות והוא לא הכרחי למי שהבין.

הסתברות מותנית היא ההסתברות שמאורע A יתרחש אם ידוע שמאורע B כבר קרה.

למשל:

  • ההסתברות שנדע לשחות היטב אם ידוע שליד הבית שלנו אין בריכה.
  • ההסתברות שנלמד 4 או 5 יחידות מתמטיקה אם ידוע שאנחנו גרים בצפון.
  • ההסתברות שנקפוץ בשלוליות אם נתון שאתמול ירד גשם.

שימו לב: בכל מקרה של הסתברות מותנית מצמצמים לנו את מרחב ההסתברויות ומבקשים שנחשב הסתברות בתוך המרחב המצומצם.

הניסוח המתמטי של הסתברות מותנית הוא:
(P(A/B  – זו ההסתברות ש A יקרה אם ידוע שקרה B.
(P(A∩B – ההסתברות שגם A וגם B קרו.
(P(B – ההסתברות ש B קרה.
הנוסחה לחישוב הסתברות מותנית היא:

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))
הנוסחה להסתברות מותנית

ניתן לכתוב את המשוואה גם כך:
(P(A ∩ B) = P (A / B)  * P(B

2. זיהוי נכון של הסתברות מותנית

חלק משמעותי מהקושי בשאלות הסתברות מותנית הוא לזהות שמה שכותבים עליו הוא אכן הסתברות מותנית.

על כן כתבתי 8 שאלות ותשובות מהירות שבהם אתם צריכים:

  1. לזהות אם מדובר בהסתברות מותנית או לא
  2. לכתוב את מה שצריך בכתיבה הסתברותית …(P (A / B

שאלות 1-2

בקבוצת אנשים יש קרחים ושעירים, גברים ונשים.
כתבו איזה משפט מייצג הסתברות מותנית ותארו את המשפט באמצעות A,B.

  1. ההסתברות של גבר קרח.
  2. בחרו אדם לא קרח, מה ההסתברות שהוא אישה.

A  נשים
A¯  גברים.
B  קרח
B¯  לא קרח.

פתרון
משפט 1
הסתברות של "וגם" (לא הסתברות מותנית).
הכתיבה של ההסתברות היא   (P (A¯ ∩ B

משפט 2
זו הסתברות מותנית. כי צמצמו את העולם לקבוצת ה "לא קרחים" בלבד.
הכתיבה של ההסתברות היא   (¯P (A / B

שאלה 2
לילד יש שתי אפשרויות משחק: צעצועים ומשחקים אחרים.
הוא משחק בבוקר או בשעות אחרות
מה ההסתברות שילד משחק במשחקים אחרים בשעות שאינן בוקר?
האם משפט זה הוא הסתברות מותנית? תארו את המשפט באמצעות A,B.

A  צעצועים
A¯  משחקים אחרים
B  בשעות הבוקר
B¯  שעות שאינן בוקר

פתרון
הסתברות של "וגם" (לא הסתברות מותנית).
הכתיבה של ההסתברות היא   (¯P (A¯ ∩ B

שאלות 3-6

A  פרח
A¯  צמח שאנו פרח
B  גובה עד 10 סנטימטר.
B¯  גבוה יותר מ 10 סנטימטר.

לגבי המשפטים הבאים קבעו אם הם הסתברות מותנית ותארו אותם באמצעות A,B.

3.מה ההסתברות שאם בחרו פרח
הוא יהיה בגובה של יותר מ 10 סנטימטר.
4. בחרו צמח שגובהו עד 10 סנטימטר.
מה ההסתברות שהוא לא פרח.
5. מה ההסתברות לבחור צמח שגובהו מעל 10 סנטימטר והוא אינו פרח.

פתרון
סעיף 3
זו הסתברות מותנית כי צמצמו לנו את העולם לפרחים בלבד.
הכתיבה של ההסתברות היא  (P (B¯ / A

סעיף 4
זו הסתברות מותנית כי צמצמו לנו את העולם לצמחים שגובהם עד 10 סנטימטר.
הכתיבה של ההסתברות היא  (P (A¯ / B

סעיף 5
הסתברות של "וגם" (לא הסתברות מותנית)
הכתיבה של ההסתברות היא    (¯P (A¯ ∩ B

שאלות 6-9 מופיעות בסוף הדף בנספח.

3. תרגילים מלאים

בהמשך הדף 6 תרגילים עם פתרונות מלאים.
לתרגילים 1-3 יש גם פתרונות וידאו המופיעים מיד לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1
זורקים קובייה הוגנת.
ידוע שיצא מספר בתחום 1-4.
מה ההסתברות שיצא 1?

פתרון
זו שאלה שניתן לפתור אותה גם ללא דיאגרמת עץ.
אבל נוסיף דיאגרמת עץ על מנת להבין טוב יותר מה זו הסתברות מותנית.

דיאגרמת עץ המתארת את התרגיל
דיאגרמת עץ המתארת את התרגיל

ידוע שיצא מספר בתחום 1-4.
לכן כל עולם ההסתברויות האפשריות שלנו הוא:
4/6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6

ההסתברות המבוקשת היא שיצא 1. גודל ההסתברות 1/6.

לכן הפתרון הוא:
1/4

תשובה: ההסתברות שיצא 1 אם ידוע שיצא 1-4 היא 0.25.

ואם נקשר בין הנוסחה למספרים שהצבנו.

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))
הנוסחה להסתברות מותנית

B הוא המאורע שיצא מספר בתחום 1-4. זה כל עולם שלנו.
A הוא המאורע שיצא 1.
P (B) = 4/6   זו ההסתברות שיצא מספר בתחום 1-4 בזריקת קובייה.
P (A / B ) = 0.25  זו ההסתברות שיצא 1 בתנאי שיצא מספר בתחום 1-4. זו ההסתברות שחישבנו.
P (A ∩ B) = 1/6  זו ההסתברות שיצא גם מספר בין 1-4 וגם יצא 1.

(P (A / B) = P(A ∩ B) / P(B

P(A / B) =  (1/6) / (4/6) = 1/4

תרגיל 2

לבריכת שחייה יש כאלו המגיעים בקיץ ויש כאלו המגיעים בחורף.
ובכול תקופה מידת ההנאה מהבריכה שונה.
ידוע כי 70% מהמבקרים מגיעים לבריכה בקיץ.
שאר ההסתברויות נתונות בדיאגרמת העץ.
בחרו אדם ומצאו שהוא נהנה מהזמן בבריכה.
מה ההסתברות שבחרו אדם המבקר בבריכה בחורף?

פתרון
אם:
B נהנה.
A חורף.
מבקשים מאיתנו שנמצא את
(P (A / B
על מנת לעשות זאת עלינו למצוא את
(P (B  ההסתברות לדגום אדם נהנה.
ההסתברות הזו היא:
0.48 = 0.06 + 0.42

כמו כן ענף מספר 3 מציג את האפשרות של "חורף וגם נהנה".
ההסתברות של ענף 3 היא:
P (A ∩ B ) = 0.06

נציב את הנתונים הללו בנוסחת בייס ונקבל:
P (A / B) = 0.06 : 0.48 = 0.125
תשובה: P (A / B) = 0.125

תרגיל 3
שחקן זורק קובייה הוגנת פעמיים.
אם יוצא 1 או 2 השחקן מקבל נקודה אחת.
אם יוצא 3 או מספר גדול יותר השחק מקבל 5 נקודות.
השחקן זרק  את הקובייה פעמיים וקיבל פחות מ- 10 נקודות.
מה ההסתברות שקיבל 5 נקודות בזריקה השנייה?

פתרון
נפתור את השאלה בעזרת דיאגרמת עץ, כי זו הדרך שבה קל יותר להבין את ההסתברות המותנית.
1/3 זו ההסתברות לקבל 1 נקודה (1 או 2 על הקובייה).
2/3 זו ההסתברות לקבל 5 נקודות (מספר 3 או גדול ממנו בקובייה).

דיאגרמת עץ המייצגת את הבעיה
דיאגרמת עץ המייצגת את הבעיה

ידוע לנו שהשחקן קיבל פחות מ- 10 נקודות.
לכן בעולם שלנו קיימים רק הענפים הללו:

ההסתברויות המקיימות פחות מ- 10 נקודות
ההסתברויות המקיימות פחות מ- 10 נקודות

סך כל ההסתברויות בעולם שלנו הן:
5/9

ואם נתייחס לנוסחה

הנוסחה להסתברות מותנית P(A/B)=(P(A∩B))/(P(B))
הנוסחה להסתברות מותנית

אז P (B) = 5/9.

ועכשיו נמצא את ההסתברות המבוקשת, שנקבל 5 נקודות בזריקה השנייה.
ההסתברות נמצאת בענף האמצעי שההסתברות שלו היא 2/9.

מבחינת הנוסחה:
P (A ∩ B) = 2/9

ההסתברות המבוקשת היא:
0.4

B הוא המאורע שיצא לנו פחות מ- 10 נקודות בשתי זריקות.
A הוא המאורע שיצא 5 בזריקה השנייה.
(P (A ∩ B   ההסתברות של המאורע שגם יצא סכום הקטן מ- 10 וגם יצא 5 בזריקה השנייה.

תרגיל 4

ידוע ש- 70% מהתלמידים מתחילים ללמוד בשמונה בבוקר.  וכי 40% מהתלמידים מתחילים ללמוד בשמונה בבוקר וגם הולכים ברגל לבית הספר.
ידוע כי נבחר תלמיד שמתחיל ללמוד בשמונה בבוקר. מה ההסתברות שהוא הולך ברגל לבית הספר?

פתרון:
p(B)=0.7
p(A∩B)=0.4
P(A/B)=0.4:0.7=0.571.

אם נסתכל על השרטוט שלמטה נבין כי כל מה שמעניין אותנו זה החלק הירוק ואנחנו צריכים לחשב כמה החלק הכחול הוא מתוך החלק הירוק.

שרטוט הממחיש את הבעיה

 

תרגיל 5

מאורע A – עבר הסתברותמאורע A¯ – נכשל הסתברות
מאורע B -עבר גיאומטריה0.6=(P(A∩B0.1=(P(A¯∩B0.7=(P(B
מאורע B¯  – נכשל גיאומטריה0.2=(¯P(A∩B0.1=(¯P(A¯∩B0.3=(¯P(B
P(A)=0.8P(A¯)=0.2

מאורע A הוא ציון עבר במבחן הסתברות.
מאורע B הוא ציון עבר במבחן גיאומטריה.

שאלות:

  1. אם ידוע שנבחר תלמיד שנכשל בהסתברות. מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן בגיאומטריה?
  2. אם ידוע שנבחר תלמיד שעבר את המבחן בגיאומטריה. מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן בהסתברות?

פתרון

1 – מבקשים מאיתנו את P(B/A¯)=X.
על פי הטבלה P(A¯∩B)=0.1
0.2=(¯P(A
0.5=P(B/A¯)=0.1: 0.2

2- מחפשים את (P(A/B
נתון: 0.7=(P(B
P(A∩B)=0.6
0.857=0.6:0.7=(P(A/B

תרגיל 6

בארגז כדורים בשלושה צבעים: ירוק, כחול ואדום. מוציאים כדור ולאחר מיכן בודקים אם הוא נקי או מלוכלך.
ההסתברויות במצבים השונים נתונים בדיאגרמה.
ידוע כי יצא כדור נקי. מה ההסתברות שהוא ירוק?
(את התרגיל המלא + מידע על אופן כתיבת הדיאגרמה תוכלו למצוא בדף דיאגרמת עץ)

דיאגרמת עץ מפורטת

פתרון
A – כדור נקי.
B – כדור ירוק.

מבקשים שנמצא את (P(B/A

ראשית עלינו לחשב מה ההסתברות לקבל "כדור נקי" (P(A.
בעץ הזה יש 3 ענפים הנותנים "כדור נקי" ועלינו לחשב את סכום ההסתברויות שלהם.

0.2*0.1=0.02  – כדור נקי וירוק (P(A∩B.
0.5*0.1=0.05 – כדור נקי וכחול.
0.7*1=0.7 – כדור אדום ונקי.
ההסתברות לקבל כדור נקי היא:
0.77 = 0.02+0.05+0.7 = (P(A
מצאנו גם כי 0.02=(P(A∩B.
0.0259=0.02:0.77=(P(B/A

עוד באתר בנושא הסתברות:

  1. הסתברות – הדף המרכזי הכולל את כל הקישורים.
  2. דיאגרמת עץ – כיצד לפתור תרגילים בשיטה זו.
  3. טבלה דו ממדית – כיצד לפתור תרגילים בשיטה זו.
  4. הסתברות מותנית – מה זה אומר וכיצד פותרים שאלות.

נספח: 8 שאלות ותשובות מהירות

חלק משמעותי מהקושי בשאלות הסתברות מותנית הוא לזהות שמה שכותבים עליו הוא אכן הסתברות מותנית.

על כן כתבתי 8 שאלות ותשובות מהירות שבהם אתם צריכים:

  1. לזהות אם מדובר בהסתברות מותנית או לא
  2. לכתוב את מה שצריך בכתיבה הסתברותית …(P (A / B

שאלות 1-5 אלו הן שאלות שכבר הופיעו במעלה הדף.

שאלות 1-2

בקבוצת אנשים יש קרחים ושעירים, גברים ונשים.
כתבו איזה משפט מייצג הסתברות מותנית ותארו את המשפט באמצעות A,B.

  1. ההסתברות של גבר קרח.
  2. בחרו אדם לא קרח, מה ההסתברות שהוא אישה.

A  נשים
A¯  גברים.
B  קרח
B¯  לא קרח.

פתרון
משפט 1
הסתברות של "וגם" (לא הסתברות מותנית).
הכתיבה של ההסתברות היא   (P (A¯ ∩ B

משפט 2
זו הסתברות מותנית. כי צמצמו את העולם לקבוצת ה "לא קרחים" בלבד.
הכתיבה של ההסתברות היא   (¯P (A / B

שאלה 2
לילד יש שתי אפשרויות משחק: צעצועים ומשחקים אחרים.
הוא משחק בבוקר או בשעות אחרות
מה ההסתברות שילד משחק במשחקים אחרים בשעות שאינן בוקר?
האם משפט זה הוא הסתברות מותנית? תארו את המשפט באמצעות A,B.

A  צעצועים
A¯  משחקים אחרים
B  בשעות הבוקר
B¯  שעות שאינן בוקר

פתרון
הסתברות של "וגם" (לא הסתברות מותנית).
הכתיבה של ההסתברות היא   (¯P (A¯ ∩ B

שאלות 3-6

A  פרח
A¯  צמח שאנו פרח
B  גובה עד 10 סנטימטר.
B¯  גבוה יותר מ 10 סנטימטר.

לגבי המשפטים הבאים קבעו אם הם הסתברות מותנית ותארו אותם באמצעות A,B.

3.מה ההסתברות שאם בחרו פרח
הוא יהיה בגובה של יותר מ 10 סנטימטר.
4. בחרו צמח שגובהו עד 10 סנטימטר.
מה ההסתברות שהוא לא פרח.
5. מה ההסתברות לבחור צמח שגובהו מעל 10 סנטימטר והוא אינו פרח.

פתרון
סעיף 3
זו הסתברות מותנית כי צמצמו לנו את העולם לפרחים בלבד.
הכתיבה של ההסתברות היא  (P (B¯ / A

סעיף 4
זו הסתברות מותנית כי צמצמו לנו את העולם לצמחים שגובהם עד 10 סנטימטר.
הכתיבה של ההסתברות היא  (P (A¯ / B

סעיף 5
הסתברות של "וגם" (לא הסתברות מותנית)
הכתיבה של ההסתברות היא    (¯P (A¯ ∩ B

שאלות 6-8

6. בחרו סוס, מה ההסתברות שהוא רץ מהר?
7. מה ההסתברות לבחור חמור שרץ מהר?
8. בחרו חיה שרצה מהר, מה ההסתברות שהיא חמור?

A  סוס
A¯  חמור
B רץ מהר
B¯  רץ לאט

פתרון
סעיף 6
הסתברות מותנית. כי צמצמו את מרחב האפשרויות שלנו ל "סוסים" בלבד.
כותבים את ההסתברות כך  (P (B /A

סעיף 7
הסתברות של "וגם" (לא הסתברות מותנית).
הכתיבה של ההסתברות היא  (P (A¯ ∩ B.

סעיף 8
זו הסתברות מותנית כי צמצמו לנו את מרחב האפשרויות ל"חיות הרצות מהר".
הכתיבה של ההסתברות היא  (P (A¯ /  B.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

24 מחשבות על “הסתברות מותנית”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ההסתברות שצריך לחשב בסעיף א היא: מה ההסתברות למעלה מ 30,000 בתנאי שכבר מעל 15,000.
      יש שאלות דומות מאוד בדף.

  1. שלום,
    בתרגיל מס. 1 – לא הבנתי למה ההסתברות שיצא גם מספר בין אחד לארבע וגם אחד זה 1/6, אם לפי נוסחת "וגם" החישוב הוא 1/6*4/6. אודה להסבר

    1. תודה על המענה.

      אם הבנתי נכון, "וגם" הוא חלק מנוסחת בייס:
      P(a^b)/P(b)

      אם כן, מדוע במונה P(b)=1 ובמכנה הוא 1/4?

      1. אז איזו נוסחה יש להציב במאורעות תלויים ל(P(a^b? אני מחפש כלל כדי שאוכל ליישם בתרגילים אחרים.

        1. לומדים מתמטיקה

          הנוסחה היא נוסחת בייס.
          בנוסחה זו יש 3 מרכיבים.
          בכל שאלה אתה אמור לקבל בנתונים 2 מתוך השלוש וכך למצוא את השלישי.

            1. לומדים מתמטיקה

              בשאלות כמו מספר 1 – יודעים את זה, זה נתון.
              ואם אתה לא יודע את זה אתה אמור לדעת את שני האחרים.
              בדיוק כמו בנוסחה של מאורעות בלתי תלויים. יש 3 רכיבים, יודעים 2 מיהם ומוצאים את השלישי.

  2. בתרגיל 1, לא הבנתי איך ההסתברות שגם יצא מספר בין 1 ל-4 וגם יצא 1 היא 1/6, אם לפי נוסחת ה"וגם" זה 4/6*1/6. אשמח להסבר

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יואב
      אתה מבלבל בין הסתברות מותנית להסתברות וגם.
      בשאלה כתוב שידוע שיצא מספר בין 1 ל 4.
      ולא שואלים מה ההסתברות שיצא כך.
      בדף יש סרטון המסביר את ההבדל בין ניסוחים המתאימים להסתברות מותנית לניסוחים המתאימים ל וגם.

  3. שלום, אם יש לי את השאלה הבאה.
    ישנו בניין בעל 3 קומות שבכל קומה ישנם 4 דירות (כל דייר גר בחדר נפרד).
    4 דיירים נפגשים בפתח הבניין.
    מהי ההסתברות ש3 מהם לא מאותה קומה?

    אני לא מצליחה לפתור את השאלה, אשמח להסבר.

    1. לומדים מתמטיקה

      נניח ויש אדם בכניסה.
      ההסתברות שיבוא אדם נוסף שלא בקומה שלו היא 8/11.
      לאחר מיכן ההסתברות שיגיע אדם שהוא לא בקומה של שני הראשונים היא 4/10.
      האדם הרביעי אינו משנה.
      לכן
      (8/11) * (4/10)

        1. לומדים מתמטיקה

          לאחר שעומדים שני אנשים בכניסה נותרו 10 בבניין, מתוכם 4 לא באותה קומה.
          אז ההסתברות ללא באותה קומה היא 4/10

  4. הסברים מעולים!!!!
    הרבה זמן לא הבנתי הסתברות, ושפתחתמ את האתר הזה- החומר הוסבר בצורה ברורה ומלאת סבלנות!!!!
    תודה על זה!!! וכל הכבוד שזה פתוח לציבור הרחב!!!!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.