טבלה דו מימדית סיכום

בדף זה נעבור על 8 נושאים ומכשולים שאתם יכול לפגוש בשאלות על טבלה דו ממדית.

  1. מתי משתמשים בטבלה דו ממדית ומתי בעץ.
  2. מבנה טבלה דו ממדית.
  3. בניית טבלה ממשפטים מילוליים.
  4. חישובים בטבלה.
  5. שילוב של הסתברות מותנית בטבלה.
  6. ניסוחים מיוחדים שצריך להכיר.
  7. מאורעות תלויים ובלתי תלויים בטבלה.
  8. שימוש במשתנים.

נושאים 1-5 וגם השאלה מהסוג הראשון בנושא 7 מיועדים ל תלמידי 4 יחידות.
נושאים 6-8 מיועדים לתלמידי 5 יחידות.

דפים נוספים באתר:

המשיכו לקרוא על מנת לדעת לפתור תרגילים בנושא טבלה דו ממדית.

סיכום וידאו

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.
לחצו כאן כדי לאתר את המנוי המתאים לכם ולצפות בכל הדפים בהם תוכלו לצפות לאחר רכישת מנוי.

2.המבנה של טבלה דו מימדית (חשוב מאוד!)

הסרטון מומלץ, ההסבר שבו טוב יותר מההסבר הכתוב.

חשוב מאוד להבין שהמלבנים הפנימיים של טבלה דו ממידית אלו הן הסתברוית של "וגם".
4 המלבנים שבתוך הטבלה הם (מסומנים בשחור):
(P(A∩B  ההסתברות שהמאורע A וגם המאורע B קרה.
(P(A¯∩B  ההסתברות שהמאורע A לא קרה וגם המאורע B קרה.
(¯P(A∩B
(¯P(A¯∩B

מאורע Aמאורע A¯
מאורע B(P(A∩B(P(A¯∩B(P(B
מאורע B¯(¯P(A∩B(¯P(A¯∩B(¯P(B
(P(A(¯P(A1

הבלבול העיקרי שיכול להיות לכם הוא עם משפטים המתארים הסתברות מותנית.
"70% מהבנים רצים" זה משפט של הסתברות מותנית  (P(A / B
לעומת
"70% הם בנים שרצים" זה משפט של "וגם" המתאים למלבן בטבלה (P(A ∩B.

לכן אני ממליץ לכם להכיר היטב את הניסוחים של הסתברות מותנית. תוכלו לעשות זאת בדפים:

כאשר נתונה לנו הסתברות מותנית נשתמש בנוסחה:
(P (A ∩ B) = P (A / B) * P (B
על מנת למצוא את (P (A ∩ B שהוא איבר שניתן להציב בטבלה.

כמו כן בקצה החיצוני של הטבלה (מסומנים באדום) רשומים ההסתברויות של המאורעות A,B והמראות המשלימים להם.

3.בניית טבלה מנתונים מילוליים

כפי שתראו בהמשך לבצע חישובים בתוך טבלה זה דבר קל.
הדבר הקשה יותר הוא לקחת משפטים ולבנות מיהם טבלה.
וזה בדיוק מה שנעשה בחלק זה.

בתרגילים הבאים יש לכם נתונים, בנו בעזרתם טבלה.

בכול התרגילים יש גם נתון שלא ניתן להציב אותו ישירות בטבלה. נסו לזהות את הנתון הזה ולבצע חישוב בעזרתו תוכלו להכניס נתון לטבלה.
הכנסת הנתון הנוסף הוא שאלה מתקדמת שאינה הכרחית לתלמידים מתחילים.

תרגיל 1
באולם יש 60% בנות והשאר בנים.
70% מהנוכחים באולם לובשים חולצה אדומה והשאר לא.
40% הם בנות הלובשות חולצה אדומה.
25% מתוך הבנים לא לובשים חולצה אדומה.

פתרון

אדומהלא אדומה
בנות0.40.6
בנים0.4
0.70.3

איזה נתון לא יכולנו להציב ישירות בטבלה?
"25% מתוך הבנים לא לובשים חולצה אדומה"
נתון זה הוא הסתברות מותנית, כי זה מתוך קבוצת הבנים, ולא "וגם" כפי שנדרש מנתון המתאים לטבלה.

על מנת להציב נתון זה בטבלה נוכל להשתמש בנוסחה:
(P (A ∩ B) = P (A / B) * P (B
P (A ∩ B) = 0.25 * 0.4 = 0.1

0.1  אלו הם הבנים שלא לובשים חולצה אדומה.
ואז נוכל להציב את ה 0.1 כאן:

אדומהלא אדומה
בנות0.40.6
בנים0.10.4
0.70.3

 

תרגיל 2
תלמידים נבחנו בשני מבחני מתמטיקה. את המבחנים ניתן לעבור או להיכשל.
70% עברו את המבחן הראשון.
60% עברו את המבחן השני.
20% עברו את המבחן הראשון ונכשלו בשני.
1/6 מאלו שעברו את המבחן השני נכשלו במבחן הראשון.

פתרון

שני עברשני נכשל
ראשון עבר0.20.7
ראשון נכשל0.3
0.60.4

איזה נתון לא יכולנו להציב ישירות בטבלה?
"1/6 מאלו שעברו את המבחן השני נכשלו במבחן הראשון"
נתון זה הוא הסתברות מותנית, כי זה מתוך אלו שעברו את המבחן השני, ולא "וגם"כפי שנדרש.

על מנת להציב נתון זה בטבלה נוכל להשתמש בנוסחה:
(P (A ∩ B) = P (A / B) * P (B
P (A ∩ B) =1/6 * 0.6 = 0.1

0.1  אלו הם אלו שעברו את המבחן השני וגם נכשלו במבחן הראשון.
ואז נוכל להציב את ה 0.1 כאן:

שני עברשני נכשל
ראשון עבר0.20.7
ראשון נכשל0.10.3
0.60.4

תרגיל 3
במטע קוטפים בננות חלקן מיועדות ליצוא והשאר לשוק המקומי.
חלק מהבננות אורכן מעל 20 סנטימטר והשאר קצרות יותר.
30% מהבננות מיועדות ליצוא.
80% מהבננות ארוכות מ 20 סנטימטר.
4%  מהבננות מיועדות לשוק המקומי וקצרות מ 20 סנטימטר.
7/15 מהבננות המיועדות ליצוא ארוכות יותר מ 20 סנטימטר.

פתרון

יותר מ 20קצר מ 20
יצוא0.3
מקומי0.040.7
0.80.2

איזה נתון לא יכולנו להציב ישירות בטבלה?
"7/15 מהבננות המיועדות ליצוא ארוכות יותר מ 20 סנטימטר"
נתון זה הוא הסתברות מותנית, כי זה מתוך הבננות במיועדות ליצוא.

על מנת להציב נתון זה בטבלה נוכל להשתמש בנוסחה:
(P (A ∩ B) = P (A / B) * P (B
P (A ∩ B) =7/15 * 0.3 = 0.14

0.14  אלו הם אלו הן בננות המיועדות ליצוא וארוכות מ 20 סנטימטר.
ואז נוכל להציב את ה 0.14 כאן:

יותר מ 20קצר מ 20
יצוא0.140.3
מקומי0.040.7
0.80.2

תרגיל 4
בישוב מסוים חלק מהתושבים צופים בחדשות וחלק לא.
חלק אוהבים  טלוויזיה וחלק לא אוהבים.
15% מהישוב לא צופים בחדשות.
60%  אוהבים טלוויזיה.
5%  אוהבים טלוויזיה אך לא צופים בחדשות.
2/3 מאלו שלא צופים גם לא אוהבים טלוויזיה.

פתרון

אוהביםלא אוהבים
צופים0.85
לא צופים0.050.15
0.60.4

איזה נתון לא יכולנו להציב ישירות בטבלה?
"2/3 מאלו שלא צופים גם לא אוהבים טלוויזיה"
נתון זה הוא הסתברות מותנית, כי זה מתוך אלו שלא צופים.

על מנת להציב נתון זה בטבלה נוכל להשתמש בנוסחה:
(P (A ∩ B) = P (A / B) * P (B
P (A ∩ B) =2/3 * 0.15 = 0.1

0.1  אלו הם אלו שלא צופים בחדשות וגם לא אוהבים טלוויזיה.
ואז נוכל להציב את ה 0.1 כאן:

אוהביםלא אוהבים
צופים0.85
לא צופים0.050.10.15
0.60.4

 

4.חישובים בטבלה

בישוב מסוים חלק מהתושבים צופים בחדשות וחלק לא.
חלק אוהבים  טלוויזיה וחלק לא אוהבים.
15% מהישוב לא צופים בחדשות.
60%  אוהבים טלוויזיה.
5%  אוהבים טלוויזיה אך לא צופים בחדשות.
2/3 מאלו שלא צופים גם לא אוהבים טלוויזיה.

כפי שכבר הטבלה המתאימה לנתונים הללו היא:

אוהבים (1)לא אוהבים (2)
צופים (3)C D0.85
לא צופים  (4)0.05 E0.15
0.60.4

ובעזרת הנתונים הללו ניתן להשלים את שלושת המלבנים בטבלה.

סכום שני המלבנים הפנימיים של טור מספר 1 חייב להיות שווה ל 0.6. לכן:
C + 0.05 = 0.6
C = 0.55

סכום המלבנים הפנימיים בשורה מספר 4 חייב להיות שווה ל 0.15. לכן:
E + 0.05 = 0.15
E = 0.1

סכום המלבנים הפנימיים בטור 2 חייב להיות 0.4 לכן:
D + E = D + 0.1 = 0.4
D = 0.3

והטבלה המלאה נראית כך:

אוהבים (1)לא אוהבים (2)
צופים (3)0.55 0.30.85
לא צופים  (4)0.05 0.10.15
0.60.4

 

דוגמה 2
בדוגמה זו יהיו חסרים מלבנים פנימיים וגם מלבנים חיצוניים.

אוהבים (1)לא אוהבים (2)
צופים (3)F0.20.4
לא צופים  (4)E0.50.6
DC

פתרון
מלבן C הוא סכום שני המלבנים הפנימיים בטור 2.
C = 0.2 + 0.5 = 0.7

מלבן D ועוד מלבן C צריכים להיות שווים ל 1.
D + 0.7 = 1
D = 0.3

שני המלבנים הפנימיים בשורה מספר 3 שווים ל 0.4 לכן:
F + 0.2 = 0.4
F = 0.2

שני המלבנים הפנימיים בשורה מספר 4 שווים ל 0.6 לכן:
E + 0.5 = 0.6
E = 0.1

והטבלה המלאה נראית כך:

אוהבים (1)לא אוהבים (2)
צופים (3)0.20.20.4
לא צופים  (4)0.10.50.6
0.30.7

הערה
במהלך החישובים כתבתי "סכום שורה 3 צריך להיות…. "  "סכום טור 1 צריך להיות ….".
אם לא ברור לכם מדוע סכום שורה צריך להיות כך ומדוע סכום טור צריך להיות כך, כנסו לקישור הבא:
מבנה של טבלה דו ממדית או צפו בסרטון המופיע בראש דף זה.

דוגמה 3
השלימו את הטבלה (הפתרון של דוגמה זו יוצג בקצרה).

אוהביםלא אוהבים
צופים0.30.7
לא צופים
0.6

פתרון
נשלים קודם את המלבנים החיצוניים

אוהביםלא אוהבים
צופים0.30.7
לא צופים0.3
0.40.6

ואז נשלים את המלבנים הפנימיים:

אוהביםלא אוהבים
צופים0.30.40.7
לא צופים0.10.20.3
0.40.6

 

דוגמה 4
השלימו את הטבלה (הפתרון של דוגמה זו יוצג בקצרה).

אוהביםלא אוהבים
צופים
לא צופים0.10.05
0.25

פתרון
נשלים קודם את המלבנים החיצוניים

אוהביםלא אוהבים
צופים0.85
לא צופים0.10.050.15
0.250.75

ואז נשלים את המלבנים הפנימיים:

אוהביםלא אוהבים
צופים0.150.70.85
לא צופים0.10.050.15
0.250.75

5.השלמת טבלה כאשר נתונה הסתברות מותנית

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.
לחצו כאן כדי לאתר את המנוי המתאים לכם ולצפות בכל הדפים בהם תוכלו לצפות לאחר רכישת מנוי.

8.שימוש במשתנים

חלק זה נועד לתלמידי 5 יחידות.

בחלק מהתרגילים נשתמש במשתנים על מנת לבנות טבלה.
שימו לב
יש שתי אפשרויות עיקריות לבחירת משתנים.

1.הגדרת משתנה שהוא מלבן פנימי בטבלה.
למשל:
P (A∩B) = x

2.הגדרת משתנה שהוא סכום של טור או שורה בטבלה
למשל:
P (A) = y
זה הסוג היותר קשה להבנה, שימו לב לדוגמה בהמשך.

A
Bx
y

דוגמה 1
ההסתברות לעבור את המבחן באנגלית היא 0.8.
ההסתברות לעבור את המבחן במתמטיקה היא 0.7.
ידוע כי ההסתברות לדגום תלמיד שעבר את המבחן במתמטיקה וגם את המבחן באנגלית גדולה פי 3 מההסתברות לדגום תלמיד שכבר את המבחן באנגלית אבל נכשל במבחן במתמטיקה.
בנו טבלה המתאימה לנתוני השאלה.

פתרון
זו הטבלה הבסיסית

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.7
¯B נכשל במתמטיקה0.3
0.80.2

עכשיו נשתמש במשפט: "ההסתברות לדגום תלמיד שעבר את המבחן במתמטיקה וגם את המבחן באנגלית גדולה פי 3 מההסתברות לדגום תלמיד שכבר את המבחן באנגלית אבל נכשל במבחן במתמטיקה".
P (A∩B¯) = 3x
ולכן
P (A∩B) = x

נציב את הנתונים הללו בטבלה:

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה3x0.7
¯B נכשל במתמטיקהx0.3
0.80.2

המשוואה היא
3x + x = 0.8
x = 0.2
ומכאן ניתן להשלים את הטבלה כולה.

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.60.10.7
¯B נכשל במתמטיקה0.20.10.3
0.80.2

 

דוגמה 2
ההסתברות לעבור את המבחן במתמטיקה היא 0.7.
ההסתברות להיכשל במתמטיקה אם עברת את המבחן באנגלית היא 0.25.
ידוע כי ההסתברות להיכשל באנגלית ולעבור במתמטיקה שווה להסתברות להיכשל באנגלית ולהיכשל במתמטיקה.
כתבו טבלה המתאימה לנתוני הבעיה.

רמז לפתרון
אנו יודעים את ההסתברות ל "עובר במתמטיקה" אבל לא יודעים את ההסתברות ל  "עובר באנגלית".
לכן עלינו לבחור את ההסתברות הזו כמשתנה.

פתרון
על מנת להשתמש במשפט "ההסתברות להיכשל במתמטיקה אם עברת את המבחן באנגלית היא 0.25".
עלינו לבחור את ההסתברות ל "עובר באנגלית כמשתנה".
x  ההסתברות לעבור את המבחן באנגלית.

נשתמש במשפט "ההסתברות להיכשל במתמטיקה אם עברת את המבחן באנגלית היא 0.25".
ועל פי הנוסחה:
(P (A ∩ B¯) = P (B¯ / A) * P (A
P (A ∩ B¯) = 0.25x
כך תראה הטבלה עם הנתונים היסודיים הללו.

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.75x0.7
¯B נכשל במתמטיקה0.25x0.3
x

נשלים את הטבלה:

A עובר באנגליתנכשל באנגלית
B עובר במתמטיקה0.75x0.7
¯B נכשל במתמטיקה0.25x0.3
x

על מנת לבנות משוואה נשתמש במשפט:
"ידוע כי ההסתברות להיכשל באנגלית ולעבור במתמטיקה שווה להסתברות להיכשל באנגלית ולהיכשל במתמטיקה".
לכן המשוואה היא:

x = 0.8
ולאחר שמצאנו את x אנו יכולים לכתוב טבלה מספרית.

עוד באתר:

  1. דיאגרמת עץ – הסבר כיצד לפתור.
  2. הסתברות מותנית – מה זה בדיוק אומר + תרגילים.
  3. הסתברות – הדף המרכזי שמרכז קישורים לדפים אחרים בנושא.
  4. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  5. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

8 מחשבות על “טבלה דו מימדית סיכום”

  1. שלום,
    יש לי שאלה בנוגע לסעיף 2 בתוך 7- "תלות ואי תלות בין מאורעות". בשאלה אמרו:
    נתונה טבלה. בטבלה מוצגים מספר תלמידים שנכשלו או עברו במבחנים במתמטיקה ואנגלית.
    השלימו את השורה "נכשל במתמטיקה" כך שלא תהיה תלות בין "עובר מתמטיקה" לבין "עובר אנגלית".
    לפני כן, בסעיף 1, כתבת:
    כאשר בשאלה אומרים לנו שיש אי תלות בין המאורעות A,B אז אנו נשתמש בנוסחה:
    (P (A ∩ B) = P (A ) * P (B
    לעומת מקרה של תלות בין המאורעות A,B שבו אנו משתמשים בנוסחה:
    (P (A ∩ B) = P (A / B) * P (B
    לפי נוסחאות אלו, ניסיתי לפתור את השאלה. אבל כשביקשו אי תלות, אתה פתרת לפי הנוסחה שלפני כן אמרת שהיא מייצגת תלת. איך זה הגיוני?
    תודה רבה:-)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      בסעיף 2 של שאלה 7 כתובה הנוסחה
      (P (A / B) = P(A
      זו לא אחת מהנוסחאות שרשמת למעלה.
      הנוסחאות שאת רשמת וגם הנוסחה הזו נכונה.
      יש בסך הכל 3 נוסחאות וביחד רשמנו את כולן.
      אם יש אי הבנה חזרי אליי.

  2. היי אשמח לעזרה בשתי שאלות
    1: הסיכוי לקבל מבחן ללא תיקון היא 0.8 , מה הסיכוי לקבל בדיוק חמש מבחנים ללא תיקונים ברצף?
    2. ישנם 40 תלמידים במהלך השיעור נעשו 3 ניסויים ס בניסוי הראשון השתתפו 3 ובשני 5 ובשלישי 12 מה הסכוי שתלמיד אחד השתתף בשלושתם

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אלו שאלות שיותר קשורות לנוסחת ברנולי.
      לגבי החלק הראשון ההסתברות היא 0.8 אז ההסתברות לפגוע 5 פעמים היא 0.8 בחזקת 5.
      בדיוק כמו שבזריקת קובייה ההסתברות שיצא אותו מספר פעמיים ברצף היא שישית כפול שישית.

      לגבי השאלה השנייה זה ברנולי.
      לגבי ה 12 צריך לחשב את ההסתברות שמתוך 12 ניסיונות 1 יהיה מוצלח כאשר ההסתברות להצלחה היא 3/40.
      ואת זה צריך להכפיל בהסתברות שמתוך 5 ניסיונות אחד יהיה מוצלח.
      עוד על נוסחת ברנולי ניתן ללמוד כאן:
      https://www.m-math.co.il/probability/bernoulli-equation/

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.