הנושא של מאורעות תלויים ובלתי תלויים הוא נושא ארוך וחשוב.
כאן באתר הוא חולק בצורה הבאה:
חלק ראשון: מאורעות בלתי תלויים
- בעיות בסיסיות.
- מאורעות תלויים בעיות קשות יותר.
בבעיות אלו קשה יותר לזהות את ההסתברויות המבוקשות. - היכרות עם המילים “לפחות” ו “לכל היותר”.
כאשר נשמע את שני המילים הללו הרבה פעמים הסתברות משלימה תקצר את הפתרון. - בעיות בהם יש חשיבות לסדר לעומת בעיות שאין להם חשיבות לסדר.
חלק שני: מאורעות תלויים
מאורעות תלויים מחולקים לשני סוגים עיקריים של בעיות:
- בעיות הוצאה ללא החזרה – מוצאים כדורים מקופסה ללא החזרה, מוציאים אנשים מחדר או מוצאים מספרים בלוטו.
כל אלו בעיות עם רעיון דומה – אחרי שבחרתם במשהו לא ניתן לבחור בו שוב. - בעיות “אם… אז…” בבעיות אלו אומרים שאם יקרה משהו פועלים כך, ואם ישרה משהו אחר פועלים אחרת.
חלק שלישי: בעיות בהם צריך למצוא את מרחב המדגם
כמה אבני דומינו יש? כמה אפשרויות יש כאשר זורקים שתי קוביות?
אלו דברים הנלמדים בחלק זה.
החלקים הראשון והשני חשובים בהרבה מהחלק השלישי.
הנושאים הללו הם גם חלקי הדף.
סיכום וידאו
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
1.מאורעות בלתי תלויים
מאורעות בלתי תלויים הם מאורעות שמאורע אחד לא משפיע על ההסתברות של המאורע השני.
דוגמאות למאורעות שהם לא תלויים:
הוצאת כדורים מקופסה עם החזרה.
כי ההוצאה הראשונה לא משפיעה על מה שיצא בהוצאה השנייה.
היום בשבוע והאם יורד גשם בחוץ.
כי אין קשר בין גשם לימי השבוע.
התוצאה בזריקת קובייה והתוצאה בסיבוב סביבון.
כי הסביבון והקובייה לא משפיעים אחד על השני.
נוסחאות מאורעות בלתי תלויים
אם A,B הם מאורעות בלתי תלויים אז מתקיים.
P (A) = P(A / B)
אם A,B מאורעות בלתי תלויים.
אז הנוסחה לחישוב ההסתברות A,B יקרו ביחד היא:
P (A ∩ B) = P(A) * P (B)
ואם יש 3 מאורעות A,B,C בלתי תלויים אז ההסתברות ששלושתם יקרו היא מכפלת ההסתברויות.
(P (A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C
דוגמאות
בדוגמאות 1-3 קל באופן יחסי לחשב את ההסתברות של כל מאורע בנפרד.
דוגמה 1
בקופסה יש 10 כדורים. 4 מתוכם אדומים והשאר ירוקים.
מוצאים כדור ומחזירים אותו, מוצאים כדור נוסף.
מה ההסתברות שנקבל שני כדורים אדומים?
במקרה זה, עלינו לחשב הסתברות בנפרד עבור כל הוצאה.
חישוב ההסתברות עבור כל הוצאה בנפרד
בשתי ההוצאות המצב בקופסה נראה כך:
בהוצאה הראשונה ההסתברות לאדום היא 4 מתוך 10.
0.4
בהוצאה השנייה ההסתברות לאדום היא 4 מתוך 10.
0.4
חישוב ההסתברות של שני המאורעות ביחד
ההסתברות לשני אדומים מתקבלת על ידי מכפלה של הסתברויות:
0.4 * 0.4 = 0.16
ניתן לכתוב זאת גם בעזרת נוסחה:
(P (A ∩ B) = P(A) * P(B
P(A∩B) = 0.4 * 0.4 = 0.16
ניתן לתאר את התרגיל גם בעזרת דיאגרמת העץ הזו.
כאשר ההסתברות המבוקשת היא של ענף 1.
פתרון בעזרת הנוסחה
A להוציא אדום בהוצאה הראשונה.
B להוציא אדום בפעם השנייה.
P(A) = 0.4
P(B) = 0.4
(P (A∩B) = P(A) * P(B)
P(A∩B) = 0.4 * 0.4 = 0.16
דוגמה 2
בקופסה יש 10 כדורים מתוכם 4 אדומים ו 2 צהובים.
על סביבון רשומות האותיות נ,ג,ה,פ.
מוצאים כדור מהקופסה ומסובבים את הסביבון.
מה ההסתברות שנקבל:
- כדור אדום ואות “נ”?
- כדור אדום או צהוב ולא את האות פ?
המצב בקופסא והסביבון נראה כך:
במקרה זה, עלינו לחשב הסתברות של הוצאת הכדור ובחירת אות מהסביבון:
חישוב כל הסתברות בנפרד
ההסתברות לאדום.
0.4
ההסתברות לאות נ’
0.25
ההסתברות ששני הדברים יקרו
ההסתברות לשני הדברים היא:
0.4 * 0.25 = 0.1
ניתן לפתור גם בעזרת הנוסחה:
(P (A∩B) = P(A) * P(B
P(A∩B) = 0.4 * 0.25 = 0.1
ניתן לתאר את התרגיל בעזרת דיאגרמת העץ הבאה:
כאשר ההסתברות המבוקשת היא של ענף 1.
תשובה: ההסתברות לכדור אדום ואות “נ” היא 0.1.
פתרון בעזרת הנוסחה
A להוציא אדום בהוצאה הראשונה.
B לבחור אות נ’ בהוצאה ראשונה.
P(A) = 0.4
P(B) = 0.25
(P (A∩B) = P(A) * P(B
P(A∩B) = 0.4 * 0.25 = 0.1
סעיף ב
ההסתברות לאדום או צהוב
0.6
ההסתברות לא לקבל את האות “פ” היא 3 מתוך 4.
0.75
ההסתברות לשני הדברים היא:
P (A∩B) = P(A) * P(B)
0.6 * 0.75 = 0.45
ניתן לתאר את התרגיל בעזרת דיאגרמת העץ הבאה:
כאשר ההסתברות המבוקשת היא של ענף 2.
פתרון בעזרת הנוסחה
A להוציא אדום או צהוב בהוצאה הראשונה.
B לבחור אות שהיא לא האות פ’ בהוצאה ראשונה.
P(A) = 0.6
P(B) = 0.75
P (A∩B) = P(A) * P(B)
P(A∩B) = 0.6 * 0.75 = 0.45.
דוגמה 3 (שלושה מאורעות)
בקופסה ראשונה יש 4 כדורים צהובים ו 2 אדומים.
בקופסה שנייה יש 1 כדור צהוב ו 3 ירוקים.
בקופסה שלישית יש רק 3 כדורים צהובים.
מוצאים כדור אחד מכל קופסה. מה ההסתברות שיצאו 3 כדורים צהובים?
המצב בשלושת הקופסאות נראה כך:
קופסא 1: 
קופסא 2: 
קופסא 3: 
4/6 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה הראשונה.
1/4 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה השנייה.
1 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה השלישית.
ההסתברות ששלושת הדברים יקרו היא מכפלת ההסתברויות:
תשובה: ההסתברות להוציא 3 כדורים צהובים היא 1/6.
פתרון בעזרת הנוסחה
A להוציא צהוב מהקופסא הראשונה בהוצאה ראשונה.
B להוציא צהוב מהקופסא השניה בהוצאה ראשונה.
C להוציא צהוב מהקופסא השלישית בהוצאה ראשונה.
P(A) = 4/6
P(B) = 1/4
P(C) = 3/3=1
(P (A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C
P(A∩B∩C) = 4/6 * 1/4 * 1 = 1/6.
2.מאורעות בלתי תלויים תרגילים קשים יותר
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
3.לפחות ולכל היותר: שני מושגים שצריך לשים לב
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
4.כאשר יש שני דברים זהים יש חשיבות לסדר
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
5.מאורעות תלויים
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
6.בעיות אם.. אז…
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
7.תרגילים בהם מרחב המדגם קשה לחישוב
הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.
יש לי שאלה ואשמח אם תוכל לעזור לי : על מדף יש ספרים ב – 3 שפות. סה”כ יש 100ספרים. 40 באנגלית , 35 בצרפתית והשאר באיטלקית. בוחרים באקראי ספר אחד ומחזירים אותו. לאחר מכן בוחרים שוב באקראי ספר אחר.
1) מה ההסתברות ששני הספרים שנבחרו הם בשפה האנגלית ?
2) מה ההסתברות ששני הספרים שנבחרו, הם באותה שפה ?
3) מה ההסתברות ששני הספרים שנבחרו הם בשפות שונות ?
שלום, יש לכם אולי הסבר על הסתברות של מאורע שהוא כן תלוי?
שלום
חלקים 5 ו- 6 בדף זה.
אוקי,תודה רבה!