מאורעות בלתי תלויים ומאורעות תלויים

דף זה מחולק ל 4 חלקים:

  1. מאורעות בלתי תלויים
  2. מאורעות תלויים.
  3. מאורעות זרים.
  4. תרגילים.

באתר זה מספר דפים איכותיים נוספים בנושא הסתברות:

  1. הסתברות כיתה ט.
  2. דיאגרמת עץ.
  3. טבלה דו ממדית.
  4. נוסחת ברנולי.
  5. הסתברות מותנית.

מאורעות בלתי תלויים

מאורעות בלתי תלויים הם מאורעות שהתרחשות אחד מהם לא משפיעה על התרחשות האחר.

למשל: זורקים קובייה פעמים. המאורע הראשון הוא שיצא בזריקה הראשונה 1.
המאורע השני הוא שיצא בזריקה השנייה 2.
שני המאורעות הם מאורעות בלתי תלויים כי המאורע הראשון לא משפיע על המאורע השני.

דוגמה נוספת: ההסתברות שאני אלבש חולצה לבנה וההסתברות שהמורה שלי להיסטוריה ילבש גם הוא חולצה לבנה אלו מאורעות בלתי תלויים. כי מה שאני לובש לא משפיע על מה שהוא לובש.

דוגמה נוספת: כאשר מוצאים כדור מקופסה וכל פעם מחזירים לקופסה את הכדור שהוצאנו אלו מאורעות בלתי תלויים.
כי הצבע של הכדור שנוציא עכשיו לא משביע על צבע הכדור שנוציא בפעם הבאה.

נוסחאות מתמטיות למאורעות בלתי תלויים
כאשר המאורעות A ו- B הם בלתי תלויים מתקיים:
(p(A/B)=p(A – בגלל שההתרחשות של B לא משפיעה על התרחשות A.

בהסתברות מותנית למדנו את הנוסחה:
(P(A∩B)=P(A/B) * P(B
נציב בנוסחה זו את השוויון
(p(A/B)=p(A
ונקבל:
(P(A∩B)=P(A) * P(B – הנוסחה של מאורעות בלתי תלויים

מאורעות תלויים

מאורעות תלויים אלו הם מאורעות שהתרחשות אחד מיהם משפיעה על ההסתברות האחר.

למשל ההסתברות שאני אלך לישון בשעה הקרובה תלויה בהאם עכשיו לילה או לא. אם עכשיו לילה ההסתברות שאלך לישון גבוהה יותר.

ההסתברות שיש עכשיו עומסי תנועה בכבישים תלויה בשעה של היום. אם עכשיו בוקר או אחר הצהריים ההסתברות גבוהה יותר. אם לילה ההסתברות נמוכה יותר.

ההסתברות שיורד היום גשם תלויה בהאם עכשיו חורף או קיץ. אם ידוע שעכשיו חורף ההסתברות תהיה גבוהה יותר ביחס לאם ידוע שעכשיו חורף.

מאורעות תלויים בכתיבה מתמטית
אם המאורעות A ו B הם מאורעות תלויים אז מתקיים:
(p(A/B) ≠ p(A
כלומר: אם ידוע ש B קרה זה משפיע על ההסתברות ש A יקרה.

האם אתם יודעים לזהות את ההבדל שבין מאורעות תלויים לבלתי תלויים?

לשני חברי הכיתה גדי ודובי יש קופסאות עם כדורים.
שתי הקופסאות זהות ומכילות 10 כדורים שמתוכם 8 כדורים אדומים ו 2 צהובים.
גדי ודובי מוציאים כל פעם כדור מהקופסה שלהם.
גדי מוציא כדור ומחזיר אותו לקופסה (הוצאה עם החזרה).
דובי מוציא כדור ומשאיר אותו בחוץ (הוצאה ללא החזרה).

שניהם מוציאים שני כדורים.

  1. קבעו עבור כל אחד מיהם האם ההסתברות שהם יוציאו כדור שני אדום היא הסתברות תלויה או לא תלויה בצבע שהם הוציאו בכדור הראשון.
  2. אם ידוע שהכדור השני אדום מצאו את ההסתברות שהכדור השני אדום עבור כל אחד מיהם.

פתרון
אצל גדי
גדי מוציא כדורים ומחזיר אותם לקופסה לכן לא משנה מה הוא מוציא הקופסה חוזרת למצב ההתחלתי.
מסיבה זו אצל גדי המאורעות הם בלתי תלויים.

כאשר גדי ניגש להוציא את הכדור השני יש לו 10 כדורים בקופסה מתוכם 8 אדומים.
0.8 = 10 : 8

אצל דובי
אם דובי מוציא בכדור הראשון צהוב. אז נשארים לו בקופסה 9 כדורים מתוכם 8 אדומים.
ההסתברות שהשני אדום במקרה זה היא:
0.88 = 9 : 8

לעומת זאת אם בכדור הראשון יצא אדום אז בקופסה נשארו 9 כדורים מתוכם 7 אדומים.
ההסתברות שהשני אדום במקרה זה היא:
0.77 = 9 : 7

אנו רואים שהסתברות להוציא כדור שני אדום משתנה על פי מה שיצא בכדור הראשון ולכן אצל גדי זו הסתברות של מאורעות תלויים.

מאורעות זרים

מאורעות זרים הם שני מאורעות שלא יכולים להתרחש ביחד. אם מאורעות A ו- B זרים אז במידה ו- A התרחש אז B לא יכול להתרחש.
עבור מאורעות זרים מתקיים P(A∩B)=0.
וגם: (P(A∪B)=P(A)+P(B.

האם מאורעות זרים הם מאורעות תלויים או בלתי תלויים?

מאורעות זרים הם תמיד מאורעות תלויים! כי ההתרחשות של A משפיעה על ההתרחשות של B. אם A התרחש אז B לא יכול להתרחש.

אם כך למה המידע על מאורעות זרים מופיע בדף על מאורעות תלויים?
כי הרבה פעמים אנו נשתמש בנוסחה של (P(A∪B)=P(A)+P(B לחיבור מאורעות זרים שיופיעו לנו בתוך השאלה.

לסיכום: אני מציע שלא תסתבכו יותר מידי אם הנושא של מאורעות זרים. לרוב התפיסה האינטואיטיבית שלנו מובילה אותנו לשימוש נכון בנוסחה (P(A∪B)=P(A)+P(B.

תרגילים 

תרגילים 1-6 הם תרגילים במאורעות בלתי תלויים.
תרגילים 7-10 הם תרגילים במאורעות תלויים.

תרגיל 1
זורקים קובייה ומסבבים סביבון שעליו האותיות נ.ג.ה.פ.
מה ההסתברות שנקבל את המספר 3 והאות "פ".

פתרון
ההסתברות למספר 3 היא:
1/6
ההסתברות לאות "פ" היא:
1/4
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא מכפלת ההסתברויות.

תשובה: ההסתברות לקבל 3 וגם "פ" היא 1/24.

תרגיל 2
שירה ונועם ניגשות לבחינה בספרות. ההסתברות ששירה תעבור היא 0.8 וההסתברות שנועם תעבור היא 0.7. ידוע כי ההסתברויות בלתי תלויות.

  1. מה ההסתברות ששתיהן תעבורנה את הבחינה.
  2. מה ההסתברות שאף אחת מהן תעבור את הבחינה.
  3. מה ההסתברות שבדיוק אחת מיהן תעבור את הבחינה.
  4. מה ההסתברות שלפחות אחת מיהן תעבור את הבחינה.

פתרון

סעיף א: שתיהן תעבורנה
נגדיר כ- A את ההצלחה של שירה ו- B כהצלחה של נועם.
נסתמך על הנוסחה (P(A∩B)=P(A) * P(B
P(A∩B)=0.8*0.7=0.56.
ההסתברות ששתיהן תצלחנה בחינה הוא 0.56.

סעיף ב: שתיהן תיכשלנה
ההסתברות ששירה תיכשל:
0.2 = 0.8 – 1
ההסתברות שנועם תיכשל:
0.3 = 0.7 – 1

לכן:
ההסתברות ששתיהן תיכשלנה היא:
0.06 = 0.2 * 0.3

סעיף ג: אחת מיהן תעבור
את ההסתברות שבדיוק אחת מיהן תעבור ניתן לחשב בשתי דרכים:
דרך אחת: זו ההסתברות המשלימה לשתי ההסתברויות הקודמות ולכן:
0.38 = 1-0.56-0.06

דרך שנייה:
לחבר את ההסתברויות ששירה תצליח ונועם תיכשל עם ההסתברות ששירה תיכשל ונועם תצליח.
שירה תצליח ונועם תיכשל:
0.24 = 0.8 * 0.3
שירה תיכשל ונועם תצליח:
0.14 = 0.2*0.7
סכום שתי ההסתברויות הוא:
0.38 = 0.24+0.14
תשובה: ההסתברות שבדיוק אחת מיהן תצליח במבחן היא 0.38.

סעיף ד: מה ההסתברות שלפחות אחת מיהן תעבור את הבחינה?
שאלה זו נשאלה לא רק על מנת שתבצעו חישוב אלא בעיקר על מנת שתקשיבו לניסוחים ולא תתבלבלו. לפעמים ישאלו אותכם על "בדיוק" (כמו בסעיף 3) ולפעמים ישאלו אותכם על "לפחות" – וזו תשובה אחרת לחלוטין. שימו לב שאתם לא טועים.

גם את הסעיף הזה ניתן לפתור בשתי דרכים:
בעזרת ההסתברות המשלימה.
ההסתברות שלפחות אחת תעבור כוללת בתוכה שתי הסתברויות:
אחת תעבור ואחת תיכשל.
שתיהן תעבורנה.

האפשרות היחידה שאינה כלולה במקרה זה היא ההסתברות ששתיהן תיכשלנה.
ולכן ההסתברות המבוקשת היא ההסתברות המשלימה לזה ששתיהן תיכשלנה.
0.94 = 1-0.06

דרך שנייה היא על ידי חישוב.
לפחות אחת תעבור זה אומר שיש אפשרות שאחת תעבור ויש אפשרות ששתיהן תעבורנה.
נשתמש בנוסחה (P(A∪B)=P(A)+P(B.
0.38 – בדיוק אחת תצליח.
0.56 – שתיהן תצלחנה.
0.94 = 0.38+0.56.
תשובה: ההסתברות שהן יעברו לפחות מבחן אחד היא 0.94.

הערה: כפי שראיתם בסעיפים 3 ו- 4 הרבה פעמים קצר יותר לחשב הסתברויות בעזרת ההסתברות המשלימה. אם בכוונתכם לעשות זאת עליכם לוודא היטב שההסתברות "המשלימה" היא באמת "משלימה" ושלא נשארה עוד איזו הסתברות קטנה שלא שמתם לב אליה בתוך מרחב המדגם.

תרגיל 3
בקופסה שבה 12 כדורים, מתוכם 7 צהובים ו 5 לבנים מוצאים כדור, מחזירים אותו ומוציאים כדור נוסף.

  1. מה ההסתברות ששני הכדורים שיוצאו יהיו בצבעים שונים?
  2. מה ההסברות ששני הכדורים יהיו לבנים?
  3. מה ההסתברות ששני הכדורים יהיו צהובים?

פתרון
סעיף א: צבעים שונים
בסעיף זה יש שתי אפשרויות:
הראשון לבן השני צהוב.
הראשון צהוב והשני לבן.
נחשב כל אחת מההסתברויות בנפרד.
נעשה זאת על ידי שימוש בנוסחה:
(P(A∩B) = P(A) * P(B

ראשון לבן שני צהוב.

ראשון צהוב שני לבן:

תשובה: ההסתברות שיצאו שני צבעים שונים היא 70/144

סעיף ב: ההסתברות לשני לבנים
על פי הנוסחה:
(P(A∩B) = P(A) * P(B

תשובה: ההסתברות לשני לבנים היא 25/144

סעיף ג: ההסתברות לשני צהובים
על פי הנוסחה:
(P(A∩B) = P(A) * P(B

תשובה: ההסתברות לשני לבנים היא 49/144

הערה
ניתן היה לשים לב שההסתברות השלישית היא הסתברות משלימה לשתי ההסתברויות הראשונות ולחשב אותה כך:

אבל במקרה זה ההסתברות המשלימה לא חוסכת עבודה.
בהרבה מקרים אחרים כן.

תרגיל 4
זורקים 3 קוביות.

  1. מה ההסתברות שנקבל לפחות באחת מיהן את המספר 4.
  2. מה ההסתברות שלכל היותר בשתי קוביות נקבל מספר זוגי.

פתרון

אם ננסה לפתור את השאלה כמו שהיא זו שאלה קשה וארוכה.
הרעיון בשאלה הוא לחשב את ההסתברויות המשלימות.

סעיף א: לפחות פעם אחת 4
ההסתברות המשלימה ל- "לפחות אחת מיהן תקבל 4" היא שכלל לא תתקבל הספרה 4.
מה ההסתברות שכלל לא תתקבל הספרה 4 בזריקת קובייה אחת?
5/6
לכן ההסתברות שלא יתקבל 4 בזריקה של 3 קוביות היא:

ההסתברות שאנחנו מחפשים היא ההסתברות המשלימה:
0.422 = 1-0.578
תשובה: ההסתברות שלפחות באחת מיהן יתקבל 4 היא 0.422.

סעיף ב
ההסתברות המשלימה ל "לכול היותר בשתי קוביות יתקבל מספר זוגי" היא שבשלוש קוביות יתקבל מספר זוגי.
נחשב את ההסתברות הזו:
ההסתברות לקבל מספר זוגי בכול זריקת קובייה היא 0.5.
ההסתברות לקבל מספר זוגי בשלושת הקוביות היא:

0.125 = 0.5 * 0.5 * 0.5

ההסתברות שאנחנו מחפשים היא ההסתברות המשלימה:
0.875 = 1-0.125
תשובה: ההסתברות לקבל מספר זוגי לכל היותר ב 2 קוביות היא 0.875.

תרגיל 6
בקופסה 4 כדורים אדומים והשאר צהובים.
מוצאים שני כדורים עם החזרה.
ההסתברות להוציא שני צהובים היא 4/9.
כמה כדורים צהובים יש בקופסה?

פתרון
נגדיר:
x  מספר הכדורים הצהובים.
לכן
x + 4  מספר הכדורים בקופסה (אדומים וצהובים).

ההסתברות להוציא צהוב בהוצאה בודדת היא:

לכן המשוואה שלנו היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + 4)² * 9)

נקבל:
9x² = 4(x + 4)²
(9x² = 4 (x² + 8x + 16
9x² = 4x² + 32x + 64
5x² – 32x – 64 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים ולקבל:
x = 8, x = -1.6
x הוא מספר הכדורים הצהובים, ולכן צריך להיות מספר חיובי
תשובה: מספר הכדורים הצהובים הוא 8.

הערה:
מי שהיה רוצה היה יכול להוציא שורש למשוואה שלמטה.
ולפתור בדרך קצרה יותר.
רק לזכור שכאשר מוציאים שורש יש למשוואה שתי פתרונות.
למשל:
x² = 16
אז לאחר הוצאת השורש נקבל את שני הפתרונות.
x = 4  או  x = -4.

כאשר נפתור את שתי המשוואות נגיע לאותה תשובה.

תרגילים במאורעות תלויים

תרגיל 7
בקופסה 4 כדורים צהובים ו 5 אדומים.
מוצאים כדור אחד ומשאירים אותו בחוץ. מוצאים כדור נוסף.

  1. מה ההסתברות שלשני הכדורים יש את אותו הצבע?
  2. מה ההסתברות שלשני הכדורים צבע שונה?

פתרון
נחשב את ההסתברות לשני צהובים
4/9 זו ההסתברות להוציא צהוב בראשון
3/8 זו ההסתברות להוציא צהוב בשני אם יצא צהוב בראשון.

ההסתברות לשני צהובים מתקבלת על ידי התרגיל:

1/6 זו ההסתברות להוציא שני צהובים.

נחשב את ההסתברות לשני אדומים
5/9 זו ההסתברות להוציא אדום בראשון
4/8 זו ההסתברות להוציא אדום בשני אם יצא אדום בראשון.

ההסתברות להוציא שני אדומים מתקבלת על ידי התרגיל:

5/18 זו ההסתברות להוציא שני אדומים.

ההסתברות להוציא שני אדומים או שני צהובים היא סכום ההסתברויות שחישבנו.

תשובה: 4/9 זו ההסתברות להוציא שני כדורים באותו הצבע.

סעיף ב: הוצאת שני כדורים שונה צבע
ההסתברות להוציא 1 צהוב ו 1 אדום זו ההסתברות המשלימה למה שחישבנו קודם לכן
לכן הסתברות זאת שווה ל:

תשובה: 5/9 זו ההסתברות להוציא שני כדורים שונה צבע.

תרגיל 8
שחקן כדורסל זורק לסל.
בזריקה הראשונה הסיכוי שהכדור יכנס לסל הוא 0.6.
אם הוא קולע ההסתברות לקלוע בפעם השנייה היא 0.8.
אם הוא מפספס ההסתברות לקלוע לאחר מיכן היא 0.4.

השחקן זרק פעמיים.
מה ההסתברות שקלע בדיוק פעם אחת?

פתרון
ההסתברות המבוקשת מורכבת משני מקרים:
קליעה ופספוס.
פספוס וקליעה.
נחשב כל אחת מההסתברויות הללו בנפרד.

ההסתברות לקליעה ופספוס
0.6 זו ההסתברות לקלוע בראשונה.
0.2 זו ההסתברות לפספס לאחר מיכן
ההסתברות ששני הדברים יקרו ביחד היא:
0.12 = 0.2 * 0.6

ההסתברות לפספוס וקליעה
0.4 זו ההסתברות לפספס בפעם הראשונה.
0.4 זו ההסתברות לקלוע לאחר הפספוס.
ההסתברות ששני הדברים יקרו ביחד היא:
0.16 = 0.4 * 0.4

ההסתברות ל:
קליעה ופספוס.
או
פספוס וקליעה
היא:
0.28 = 0.16 + 0.12
תשובה: 0.28

תרגיל 9
בחדר 7 אנשים.
מתוכם ל 2 יש חולצה לבנה.
מוציאים אדם ולאחריו עוד אדם (ללא החזרה).

  1. מה ההסתברות שלשני האנשים יש חולצה לבנה?
  2. מה ההסתברות שלפחות לאחד האנשים יש חולצה לבנה?

פתרון
2/7 זו ההסתברות שלראשון חולצה לבנה.
1/6 זו ההסתברות שלשני חולצה לבנה.

ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/21 זו ההסתברות להוציא שניים עם חולצה לבנה.

סעיף ב: לפחות לאחד האנשים יש חולצה לבנה
הדרך הקצרה לפתור סעיף זה היא לחשב את ההסתברות המשלימה.
ההסתברות "שלאף אחד אין אחד אין חולצה לבנה"

תשובה: 11/21 זו ההסתברות המבוקשת.

תרגיל 10
בחדר יש 3 בנות ומספר לא ידוע של בנים.
מוציאים אדם ואז מוציאים עוד אדם. (ללא החזרה).
ההסתברות שיצאו שתי בנות היא 3/10.
כמה בנים יש בחדר?

פתרון
נגדיר:
x מספר הבנים בחדר.
לכן
x + 3 הוא מספר האנשים בחדר.

ההסתברות להוציא בת בפעם הראשונה היא:

ההסתברות להוציא בת בפעם השנייה היא:

לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + 3) (x +2) * 10)
ונקבל:

x + 3) (x + 2) * 3 = 6 * 10)
x² + 2x + 3x + 6)*3 = 60)
x²+ 5x + 6) *3 = 60)

נחלק את שני צדדי המשוואה ב 3.
x²+ 5x + 6 = 20  / -20
x² + 5x – 14 = 0
זו משוואה ריבועית שהפתרונות שלה הם:
x = -7,  x = 2

מכוון ש x הוא מספר הבנים הוא צריך להיות מספר חיובי.
לכן התשובה:
x = 2.

תשובה: מספר הבנים הוא 2.

עוד באתר בנושא הסתברות:

  1. הסתברות 4 יחידות.
  2. הסתברות 5 יחידות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

17 מחשבות על “מאורעות בלתי תלויים ומאורעות תלויים”

  1. בשאלות לדוגמא מהבחינה ב 4 יחידות
    סעיף ד:
    בבית ספר 900 תלמידים. מתוכם 300 גרים מחוץ לעיר
    בכל יום בוחרים תורן. (אותו תלמיד יכול להיבחר ברצף)
    מהי ההסתברות שבמשך 3 ימים רצופים נבחרו לפחות 2 תורנים שדרים מחוץ לעיר

    אפשר לקבל הסבר לפתרון ?
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום דליה
      לא רואה את השאלה כאן בדף.
      נראה שזו שזו שאלה שכוללת את ברנולי.
      בדגימה עיוורת ההסתברות היא 1/3 לדגום משהו מחוץ לעיר.
      ועלייך לחשב את ההסתברות לדגום 2 מתוך 3 בעזרת ברנולי.
      וגם את ההסתברות לדגום 3 מחוץ לעיר (לא חובה ברנולי) ואז לחבר את ההסתברויות.

  2. שאלה
    כתוב שמאורעות זרים הם בהכרח תלויים
    האם מאורעות לא זרים (המינוח המתאים הוא "חופפים"?) הם בהכרח בלתי תלויים ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא, זה לא עובד בכיוון ההפוך.
      מאורעות לא זרים יכולים להיות תלויים או בלתי תלויים.
      מאורעות לא זרים כוללים תחום של הסתברות משותפת אבל לא נהוג לכנות אותם חופפים.

    1. לומדים מתמטיקה

      בדקתי ואין שם טעות.
      זכרי שמאורעות זרים הם תמיד תלויים.
      אם יש משהו ספציפי שהוא לא מובן חזרי אליי.

  3. שלום רב
    אני חושבת שבהסברים יש טעות כל מה שכתוב על בלתי תלויים הוא הסבר לתלויים ולהיפך
    אתה יכול לבדוק שוב??

  4. בתרגיל 4 במאורעות הבלתי תלויים יהיה יותר מהיר ויעיל לעשות שורש על הכל, ואז להכפיל בהצלבה ולפתור, מאשר לעשות משוואה ריבועית.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה קצת יותר מורכב ממה שכתבת.
      באמת ניתן להוציא שורש לשני צדדי המשוואה
      אבל הוצאת שורש היא לא פעולה פשוטה כמו 4 פעולות חשבון.
      והכוונה היא למשל:
      x^2 = 16
      כאשר נוציא שורש
      שתי הפתרונות הם x = 4 או x = -4.
      במשוואה שאתה הצעת להוציא לה שורש קשה יותר לשים לב לשני הפתרונות.
      בשורה התחתונה. זה פתרון טוב :) והחלטתי להוסיף אותו לצד הפתרון הרגיל.
      תודה.

  5. הי, יש לי בשאלה גלגל שעליה שמונה מספרים, 1-8. שואלים אותי האם ההסתברות שהמחוג יעצר על מספר זוגי כשמסובבים את הגלגל וההסתברות שמחוג הגלגל יעצר על מספר גדול מחמש הם בילתי תלויים או לא. בתשובות כתוב לי מלא. למה הם תלויים??
    תודה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שיראל
      ההסתברות לקבל זוגי מכלל המספרים היא 4/8
      המספרים הזוגיים הגדולים מ 5 הם 6,7,8.
      לכן ההסתברות לקבל מספר זוגי מבין המספרים הללו היא 2/3.
      ההסתברות השתנתה בעקבות הבחירה במספר הגדול ב 5 ולכן המאורעות תלויים.
      הערה:
      אם הבחירה הייתה במספר גדול או שווה ל 5 המאורעות היו בלתי תלויים.
      מקווה שעזרתי.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.