בדף זה נלמד כיצד מחשבים הסתברות של שניים או שלוש מאורעות בלתי תלויים.

מה זה מאורעות בלתי תלויים?
אלו מאורעות שאין בניהם קשר, מאורע אחד אינו משפיע על השני.
למשל:
זורקים קובייה וזורקים מטבע. אין קשר בין התוצאה של הקובייה והתוצאה של המטבע ולכן אלו מאורעות בלתי תלויים.

הנוסחה של חישוב ההסתברות של שני מאורעות בלתי תלויים היא:
(P(A ∩ B) = P (A) * P (B
הנוסחה תהיה ברורה כאשר נפתור תרגילים.

תרגילים

תרגיל 1
זורקים מטבע וקובייה.

1. מה ההסתברות שיצא המספר 4 בקובייה ו"פלי" במטבע?
2. מה ההסתברות שיצא מספר זוגי בקובייה ופלי במטבע?

פתרון
סעיף א
הסתברות למספר 4 היא 1/6.
ההסתברות ל "פלי" היא 1/2.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/12.

סעיף ב
ההסתברות למספר זוגי בקובייה היא:
1/2 = 3/6
ההסתברות ל "פלי" היא 1/2.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/4

תרגיל 2
מסובבים רולטה שעליה המספרים 1,2,3 וההסתברות לקבלת כל אחד מהמספרים הללו שווה.
בנוסף זורקים קובייה.
מה ההסתברות שבקובייה יצא המספר 5 או 6 ואילו ברולטה לא יצא המספר 2?

פתרון
2/6 זו ההסתברות שבזריקת קובייה יצא 5 או 6.
בסיבוב הרולטה מבקשים בעצם שיצאו המספרים 1 או 3.
וההסתברות לכך היא:
2/3

ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:

תשובה: 1/3.

תרגיל 3
בקופסה ראשונה יש 4 כדורים צהובים ו 2 אדומים.
בקופסה שנייה יש 1 כדור צהוב ו 3 ירוקים.
בקופסה שלישית יש רק 3 כדורים צהובים.
מוצאים כדור אחד מכל קופסה. מה ההסתברות שיצאו 3 כדורים צהובים?

פתרון
4/6 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה הראשונה.
1/4 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה השנייה.
1 זו ההסתברות להוציא צהוב מהקופסה השלישית.

ההסתברות ששלושת הדברים יקרו היא מכפלת ההסתברויות:

תשובה: ההסתברות להוציא 3 כדורים צהובים היא 1/6.

תרגילים קשים יותר

עד עכשיו כל התרגילים שלנו היו מורכבים ממכפלה של 2 או 3 הסתברויות.
כאשר כל הסתברות בנפרד היה קל יחסית לחשב.
בתרגילים היותר קשים החישוב של כל הסתברות נפרדת הוא לא כל כך קל.

תרגיל 1
זורקים 2 קוביות ומסובבים סביבון שעליו האותיות נ.ג.ה.פ.
מה ההסתברות שסכום המספרים על הקוביות יהיה גדול מ 5 ואילו הסביבון יפול על האותו פ.

פתרון
עבור סכום הגדול מ 5 בשתי הקוביות יש הרבה אפשרויות.
נוח יותר לחשב את ההסתברות לקבל סכום של 5 או פחות.
האפשרויות לקבל 5 או פחות הן:
1,1
1,2
1,3
1,4
2,1
2,2
2,3
3,2
קיבלנו 8 אפשרויות.
סך כל האפשרויות לצירופים בזריקת שתי קוביות ללא חשיבות לסדר המספרים הוא:
36 = 6²
לכן מספר הצירופים שדרכו ניתן לקבל יותר מ 5 הוא:
28 = 8 – 36
וההסתברות לכך היא 28/36.

ההסתברות לקבל "פ" בסביבון היא 1/4.
ההסתברות ששני הדברים יקרו היא:

תרגיל 2
אדם זורק קובייה פעמיים.
אם המספר המתקבל בקובייה הוא 6 אז הוא מקבל 2 נקודות.
אם המספר גדול או שווה ל 4 אך לא 6 הוא מקבל נקודה 1.
אם המספר קטן מ 4 האדם לא מקבל ניקוד.

1. מה ההסתברות שהאדם יזכה בדיוק בשתי נקודות?
2. אם ידוע שהאדם זכה בשתי נקודות. מה ההסתברות שהוא קיבל פעם אחת 6?

פתרון
סעיף א
יש שתי אפשרויות לקבל 2 נקודות.
לקבל 6 ומספר קטן מ 4 או מספר קטן מ 4 ולאחר מיכן 6.
או
לקבל פעמיים את המספרים 4 או 5.
נחשב כל אחת מההסתברויות הללו:

ההסתברות לקבל 6 ולאחר מיכן לקבל מספר קטן מ 4 היא:
1/6  זו ההסתברות לקבל 6.
3/6 זו ההסתברות לקבל מספר קטן מ 4.
ההסתברות ששני הדברים יקרו יחד היא:
1/12 = 3/36 = (3/6) * (1/6)
ההסתברות לקבל מספר קטן מ 4 בזריקה הראשונה ולאחר מיכן 6 שווה להסתברות שחישבנו.

1/6 = 2/12  זו ההסתברות לקבל 2 כאשר באחת הזריקות נקבל 6.

ההסתברות לקבל פעמיים את המספרים 4 או 5 היא:
2/6  זו ההסתברות לקבל 4 או 5 פעם אחת.
לכן ההסתברות לקבל פעמיים היא:
1/9 = 4/36 = 2/6 * 2/6

ההסתברות לקבל 2 היא סכום ההסתברויות שחישבנו:
5/18 = 1/9 + 1/6
תשובה: ההסתברות לקבל שתי נקודות היא 5/18.

סעיף ב
זו הסתברות מותנית.
0.277 = 5/18  זו ההסתברות לקבל 2 נקודות בכול הדרכים יחד.
0.1666 = 1/6  זו ההסתברות לקבל 6 בקובייה וגם לקבל שתי נקודות.

תשובה: אם ידוע שאדם קיבל 2 אז ההסתברות שהוא קיבל 6 באחת מזריקות הקובייה הוא 0.6

עוד באתר:

• הסתברות כיתה ט.
• הסתברות 4 יחידות סיכום.
• הסתברות 5 יחידות.