פונקציה קווית ונקודה: 6 שאלות בסיסיות

בדף זה נתחיל את הלימוד של פונקציה קווית ונענה על 6 שאלות חשובות:

  1. איך מוצאים נקודה כלשהי?
  2. אם ידוע ערך x או y של נקודה. כיצד נשלים את הערך החסר של הנקודה?
  3. איך יודעים אם נקודה נמצאת על ישר?
  4. איך יודעים אם ישר עובר דרך ראשית הצירים?
  5. כיצד לשרטט גרף של פונקציה קווית?
  6. כיצד ליצור טבלת ערכים?

שני הסרטונים שלמעלה והתוכן הכתוב שלמטה עונים על ששת השאלות הללו.

בנושאים הללו יש סרטונים נוספים שמלמדים את אותו החומר אבל עם דגשים אחרים.

לחצו לצפייה בסרטונים נוספים המסבירים את אותו החומר

הסרטון הראשון עונה על השאלות בהקשר של ייצוג אלגברי בלבד

הסרטון השני עונה על השאלות בהקשר של ייצוג גרפי בלבד

הסרטון השלישי מסביר כיצד למצוא נקודה על ישר, לשרטוט גרף וליצור טבלת ערכים

 

שתי הדרכים העיקריות לייצג פונקציה קווית

שתי הדרכים העיקריות לייצג פונקציה קווית הם באמצעות:

  1. משוואה (ייצוג אלגברי).
  2. באמצעות גרף.

ייצוג אלגברי של פונקציה קווית הוא ייצוג של משוואה, למשל:
y = x – 2

ייצוג גרפי הוא שרטוט של המשוואה:

גרף y = x - 2
גרף y = x – 2

על שני הייצוגים הללו יש מספר שאלות בסיסיות שניתן לשאול.
נלמד להבין ולענות על השאלות הללו כאן.

לכל אורך הדף נמשיך עם המשוואה y = x – 2 והגרף שלה.

1.כיצד מוצאים נקודה כלשהי?

מצאו נקודה כלשהי על הישר  y = x – 2 או על הגרף המשורטט מעלה.

תשובה קצרה
באמצעות משוואה: נציב ערך x כלשהו במשוואה  y = x – 2 ונמצא ערך y מתאים לנקודה (1-, 1).

באמצעות גרף: נזהה כל נקודה שנרצה על הגרף, למשל (4,2)

נקודה כלשהי במשוואת הישר:
נציב ערך כלשהו של x או y במשוואה.
אנו יכולים לבחור כל ערך שנרצה אבל לרוב נעדיף לבחור מספרים "קלים" כמו 0,1,2.

לרוב נעדיף לבחור ערכי x.

נציב x = 1.
y = x – 2
y = 1 – 2 = -1
הנקודה (1-, 1) נמצאת על הישר.

נקודה כלשהי בגרף:
גם כאן נבחר ערך x או y כלשהו ונסתכל בגרף מה הערך המתאים לו.

עבור y = 2 ערך ה x המתאים הוא 4.
(2,4)  היא נקודה על הגרף.

עבור x =1 ערך ה y המתאים הוא 1-.
(1-, 1) היא נקודה על הגרף.

שימו לב שעבור x = -1 מצאנו y = -1 גם בגרף וגם במשוואת הישר.
וכך זה תמיד: יש התאמה מלאה בין נקודות שמוצאים דרך משוואת הישר לנקודות הנמצאות דרך הגרף.

 

2.אם ידוע ערך x או y של נקודה כיצד מוצאים את הערך החסר של הנקודה?

בנקודה A שעל הישר y = x – 2,  ידוע כי y = – 2.
מצאו את ערך ה x בנקודה A.

 במשוואת הישר
נציב y = -2 במשוואת הישר
אז נציב:

 y = x – 2
-2 = x – 2
0 = x

הנקודה היא (2-, 0).

בגרף
נזהה מתי y = -2 בגרף.
ונמצאת את ערך ה x בנקודה זו.
x = 0.

3.כיצד נדע אם נקודה נמצאת על הישר?

(1,2)B
האם הנקודה B נמצאת על הישר  y = x – 2 ?

בדיקה במשוואת הישר
נציב את הנקודה במשוואת הישר.

y = x – 2
2 = 1 – 2
2 = -1

קיבלנו משהו לא נכון לכן הנקודה לא נמצאת על הישר.

בדיקה בגרף
נזהה את הנקודה (1,2) במערכת הצירים ונראה אם היא על הגרף.

 

4.איך יודעים אם ישר עובר דרך ראשית הצירים?

האם הישר  y = x – 2 עובר דרך ראשית הצירים.

הערה
זכרו שראשית הצירים היא הנקודה (0,0).

בדיקה בעזרת משוואת הישר
בסעיף הקודם למדנו כי מוצאים אם נקודה נמצאת על ישר על ידי הצבת הנקודה בישר.
וראשית הצירים זו הנקודה (0,0).

נציב (0,0) במשוואת הישר ונקבל:

0 = 0 – 2
0 = – 2

קיבלנו דבר לא נכון ולכן הנקודה לא על הישר.

בדיקה על הגרף
נזהה את הנקודה (0,0) ונראה שהיא לא על הישר.

 

5.כיצד נשרטט גרף של ישר? 

נתונה משוואת הישר  y = x – 2. שרטטו את גרף הפונקציה.
(הערה: בשאלה זו לא נתון גרף אלא צריך לשרטט אותו).

על מנת לשרטט גרף עלינו למצוא 3 נקודות כלשהן על הישר.

בחלק ראשון של דף זה למדנו כיצד מוצאים נקודות כלשהן בעזרת משוואת ישר;
עושים זאת על ידי הצבת ערכי x או y כלשהם במשוואת הישר.

נציב x = 0,1,2 במשוואת הישר ונקבל:

x = 0
y = 0 – 2 = -2
(2-, 0)

x = 1
y = 1 – 2 = -1
(1-, 1)

x = 2
y = 2 – 2 = 0
(0, 2)

נציב את שלושת הנקודות על מערכת הצירים ונעביר בניהן ישר.

6.כיצד נבנה טבלת ערכים?

הערה
טבלת ערכים זה משהו הנלמד בכיתות ז-ח ולאחר מיכן לא משתמשים בו.
לכן זה החלק הפחות חשוב בדף.

1.כיצד עוברים ממשוואת הישר y = x – 2 לטבלת ערכים?

נמצא את מספר הנקודות שאנו רוצים להציב בטבלה.
מכוון שבסעיף הקודם כבר מצאנו 3 נקודות נשתמש בהם.
(2-, 0)
(1-, 0)
(0, 2)

נבנה טבלת ערכים עם מקום ל 3 נקודות.

x
y

נרשום את ערכי הנקודות במקומות המתאימים בטבלה.
נהוג שערך ה x הקטן ביותר נמצא בצד שמאל וכאשר מתקדמים ימינה ערכי ה x גדלים.
ערכי ה y לא משפיעים על מיקום הנקודה בטבלה.

x210
y01-2-

 

2.כיצד עוברים מהגרף שלמטה לטבלת ערכים?

 

נזהה 3 נקודות כלשהן הנמצאות על הגרף, כפי שלמדנו בחלק 1.

 

עכשיו נרשום את הנקודות הללו בטבלת ערכים.

x431
y211-

 

תרגילים

 

תרגיל 1

עבור הישר y=4x-1 ענו על הסעיפים הבאים:
א. מצאו נקודה כלשהי שנמצאת על הישר.
ב. נתון x=3. מה ערך ה y המתאים?
ג. נתון y=7. מה ערך ה x המתאים?

לחצו לצפייה בפתרון

סעיף א'
כל הנקודות על ישר, מקיימות את משוואת הישר.
לכן על מנת למצוא נקודה עליו, עלינו להציב ערך x כלשהו במשוואה ולמצוא את ערך ה y המתאים לו.

נציב x=1:
y = 4*1-1
y = 3

הנקודה (1,3) מקיימת את משוואת הישר ולכן נמצאת עליו.

 

סעיף ב'
כאשר x=3:
נציב ערך זה במשוואת הישר.
y = 4*3 – 1
y = 12 – 1
y = 11

ערך ה y המתאים הוא 11.

 

סעיף ג'
כאשר y=7:
נציב ערך זה במשוואת הישר למציאת הx המתאים.

7 = 4*x – 1
8 = 4*x   /:4
x = 2

ערך ה x המתאים הוא 2.


תרגיל 2

עבור הגרף הנתון ענו על הסעיפים הבאים:
א. מצאו נקודה כלשהי שנמצאת על הישר.
ב. נתון x=1. מה ערך ה y המתאים?
ג. נתון y=2. מה ערך ה x המתאים?

לחצו לצפייה בפתרון

סעיף א'
נקודה שנמצאת על הישר-
ניתן לראות מהגרף שהישר חותך את ציר הy בנקודה 4.
בנקודה זו ערך ה x הוא 0 ולכן הנקודה (0,4) נמצאת על הישר.

סעיף ב'
כאשר x=1:
ערך ה y המתאים הוא 6.

סעיף ג'
כאשר y=2:
ערך ה x המתאים 1-.

 


תרגיל 3
עבור הגרף הנתון ענו על הסעיפים הבאים:
א. מצאו נקודה כלשהי שנמצאת על הישר.
ב. נתון x= 0. מה ערך ה y המתאים?
ג. נתון y= -4. מה ערך ה x המתאים?

לחצו לצפייה בפתרון

סעיף א'
נקודה שנמצאת על הישר-
כאשר x= -1, הישר עובר דרך y=5.
לכן הנקודה (1,5-) נמצאת על הישר.

סעיף ב'
כאשר x=0:
ערך ה y המתאים הוא 2.

סעיף ג'
כאשר y= -4:
ערך ה x המתאים 2.

 

תרגיל 4
נתונה משוואת הישר y=5x+3.
א. האם הנקודה (2,6-) נמצאת על הישר?
ב. האם הנקודה (1,8) נמצאת על הישר?

לחצו לצפייה בפתרון

סעיף א'
על מנת לבדוק האם נקודה כלשהי נמצאת על הישר, נציב אותה במשוואת הישר.

y = 5x + 3
6 = 5*(-2) + 3
6 = -10 + 3
6 = -7

קיבלנו שוויון שאינו מתקיים ולכן הנקודה (2,6-) לא נמצאת על הישר.

 

סעיף ב'

על מנת לבדוק אם הנקודה נמצאת על הישר, נציב אותה במשוואת הישר.

y = 5x + 3
8 = 5*1 + 3
8 = 5 + 3
8 = 8

מתקיים שוויון ולכן הנקודה (1,8) נמצאת על הישר.

 

תרגיל 5

עבור הגרף הנתון ענו על הסעיפים:
א. האם הנקודה (1,3-) נמצאת על הישר?
ב. האם הנקודה (1,4) נמצאת על הישר?

 

לחצו לצפייה בפתרון

סעיף א'
מהגרף ניתן לראות שהישר עובר דרך הנקודה (1,3-)
לכן היא נמצאת על הישר.


סעיף ב'

מהגרף ניתן לראות שכאשר x=1, ערך הy הוא 5.
הנקודה (1,4) לא נמצאת על הישר.

 

תרגיל 6

נתונים 2 ישרים:
1. y=2x-5
2. y=3x
מי מהישרים הללו עובר דרך ראשית הצירים?

לחצו לצפייה בפתרון

למדנו כי מוצאים אם נקודה נמצאת על ישר על ידי הצבת הנקודה בישר.
וראשית הצירים זו הנקודה (0,0).

נציב (0,0) בכל אחד מהישרים וכך נדע האם הם עוברים דרך הנקודה.

נציב (0,0) במשוואת הישר הראשון:

y = 2x – 5
0 = 2*0 – 5
0 = -5

השוויון אינו מתקיים ולכן הישר y=2x-5 לא עובר דרך ראשית הצירים.

עבור הישר השני:

y = 3x
0 = 3*0
0 = 0

השוויון מתקיים ולכן הישר y=3x עובר דרך ראשית הצירים.

 

תרגיל 7
בגרף 4 ישרים.
מצאו מי מהישרים הללו עובר דרך ראשית הצירים:

 

לחצו לצפייה בפתרון

ראשית הצירים נמצאת בנקודה (0,0).
בעזרת הגרף ניתן לזהות שישרים 1 ו-4 עוברים דרכה:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

5 מחשבות על “פונקציה קווית ונקודה: 6 שאלות בסיסיות”

  1. היי,
    כשאני מסדרת נקודות בטבלת ערכים אני צריכה שזה יהיה בסדר עולה משמאל לימין? ואם כן, מה עולה, הx או הy

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בדרך כלל משמאל לימין, אם כי ראיתי גם טבלאות מימין לשמאל וזה לא פסול.

      מה שעולה הוא ה x.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.