לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

תיכון במשולש

דף זה הוא בנושא תיכון במשולש.

לדף זה שני חלקים:

  1. תקציר בכתב ובוידאו.
  2. תרגילים פתורים בכתב ובוידאו.

עוד באתר:

1.תקציר בכתב ווידאו

לתקציר זה 4 חלקים:

  1. הגדרת תיכון.
  2. נקודת מפגש התיכונים.
  3. התיכון ליתר במשולש ישר זווית.
  4. תיכון במשולש מחלק את המשולש לשני משולשים שווה שטח.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

1.הגדרה של תיכון

תיכון הוא קטע המחבר את קודקוד המשולש עם אמצע הצלע שמולו.

אם AD תיכון אז BD = CD

ולהיפך:

אם CD = BD אז AD תיכון.

תכונות של תיכון

1.מפגש התיכונים

לכול משולש 3 תיכונים והם נפגשים בנקודה אחת.

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת
שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת

2.במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר

סרטון הסבר לחלק זה

היתר היא הצלע הנמצאת מול הזווית שגודלה 90 מעלות.
זו גם הצלע הגדולה ביותר במשולש ישר זווית.

כאשר מעבירים תיכון ליתר במשולש ישר זווית אורכו שווה למחצית היתר.

ובשפה מתמטית:
אם:
B = 90∠
BD תיכון

אז:
AC = 2BD.

3. תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווה שטח.

סרטון הסבר לחלק זה

 

 

תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח

דבר זו או לא משפט אלא תכונה שצריך להוכיח.

מוכיחים את זה כך:
נחשב את שטחי המשולשים ABD,  ACD

נשים לב שההבדל היחיד בחישוב השטחים הוא BD לעומת CD.

ומכוון ש AD תיכון אז:

BD = CD

ושטח המשולשים שווה זה לזה.

SABD = SACD

2.תרגילים עם פתרונות מלאים

בחלק זה 6 תרגילים.
לתרגילים פתרון כתוב ופתרון בוידאו.
פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1
מהקודקוד A מעבירים תיכון אל הצלע BC.
לאיזו נקודה על הצלע BC התיכון יגיע? דרוש נימוק.

פתרון התרגיל

התיכון יגיע אל הנקודה L.
כי יש 3 משבצות משמאל לנקודה ו 3 משבצות מימין לנקודה.
לכן הנקודה L היא אמצע הצלע BC.

סרטון הסבר

תרגיל 2
במשולש ABC נתון כי AD תיכון לצלע BC.
BC=AB
BD=4 ס"מ.
מצאו את אורך הצלע AB.

פתרון התרגיל
1. BD=CD=4 ס"מ – נתון AD תיכון.
2. BC=BD+CD=4+4=8.
3. AB=BD=8  נתון. מצאנו את הדרוש.

סרטון הסבר

תרגיל 3
במשולש ABC הישר AD הוא הגובה לצלע BC.
CE הוא התיכון לצלע AB.
AD =4, BC=9 ס"מ.
חשבו את שטח משולש CEB.

שרטוט התרגיל

פתרון התרגיל
  1. נחשב את שטח משולש ABC:
    18 = 2 : (9*4)
    18 סמ"ר.
  2. תיכון חוצה משולש לשני משולשים שווה שטח. לכן
    CE חוצה את שטח משולש ABC לשני משולשים ששטחם שווה.
    SCEB  = 18:2 = 9
    תשובה: שטח משולש CEB הוא 9 סמ"ר

סרטון הסבר

תרגיל 4
במשולש ABC הישר BD הוא תיכון לצלע AC.
והישר BE הוא תיכון לצלע DC.
AC= 12 ס"מ.

  1. חשבו את אורך הקטע DE.
  2. איזה חלק הוא שטח משולש BEC משטח משולש ABC?

שרטוט התרגיל

פתרון התרגיל

סעיף א

  1. DC = AC :2 = 6   – תיכון מחלק צלע לשני חלקים שווים.
  2. DE = CD :2 = 3   – תיכון מחלק צלע לשני חלקים שווים.
    תשובה: DE=3 ס"מ.

חלק שני
נגדיר את שטח המשולש הגדול:
SABC = x

BD הוא תיכון במשולש ABC ולכן מחלק את שטח משולש ABC לשני חלקים שווים.
לכן:
SBAD = SBCD = 0.5x

BE הוא תיכון במשולש BCD ולכן מחלק את המשולש לשני משולשים שווה שטח.
SBEC = SBED = 0.25x

מצאנו כי SABC = x וגם SBEC = 0.25x לכן שטח משולש BEC הוא רבע משטח משולש ABC.

סרטון הסבר

תרגיל 5
נתון משולש ABC שבו AB= 7 ס"מ ו AC = 4 ס"מ.
AD הוא התיכון לצלע BC.
מה הקשר בין היקף משולש ADC להיקף משולש ADB? (כלומר האם ניתן לבטא ADB באמצעות היקף משולש ADC).

שרטוט התרגיל

פתרון התרגיל

היקף משולש ABD הוא:
7 + BD + AD
היקף משולש ACD הוא:
4 + CD + AD

מכוון ש CD=BD
אז ההפרש בין היקפי המשולשים הוא 3 ס"מ.
תשובה: היקף משולש ABD גדול ב 3 ס"מ מהיקף משולש ACD.

סרטון הסבר

תרגיל 6

במשולש ABC הישר AD הוא תיכון לצלע BC והנקודה E היא נקודת מפגש התיכונים.

הישר BF עובר דרך הנקודה E.
הוכיחו כי BF הוא תיכון.

פתרון התרגיל

הפתרון נשען על המשפט: "דרך שתי נקודות עובר רק ישר אחד".

כמו כן יש דבר שנקרא "הכוחה שבשלילה".
הרעיון של הוכחה זו הוא כזה:

1.נניח הנחה כלשהיא.

2.אם הנחה זו תוביל אותנו למצב שהוא לא אפשרי אז ההנחה אינה נכונה.

הפתרון נכתב כך:

1.נניח ש BF הוא לא תיכון.

2.נעביר ישר אחר BH שהוא תיכון לצלע AC.

3.הישר BH חייב לעבור דרך E (נקודת מפגש התיכונים).

4.קיבלנו שיש שני ישרים העוברים דרך הנקודות B,E והם BF, BH.
מצב זה אינו אפשרי ולכן ההנחה הראשונה שלנו אינה נכונה.

כלומר ההנחה ש BF אינו תיכון לא נכונה ולכן BF הוא תיכון.

44 מחשבות על “תיכון במשולש”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אנונימי/ת

    היי ,
    האם המשפט :"תיכון ליתר שווה למחצית היתר " עובד רק במשולש ישר זוות ?
    צריכ/ה עזרה באנליטית

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זו הרבה פעמים ההוכחה : להוכיח שמשני צדדיו הקטעים שווים.
      ויש גם הוכחות המבוססות על כך שבמשולש שווה שוקיים התיכון הוא גם חוצה זווית וגובה או על נקודת מפגש התיכונים.
      אין הוכחה אחת שמתאימה לכל התרגילים.

  2. שלום,האם חלק מתיכון הוא גם תיכון לצלע אחרת ?
    יש לי משולש ישר זווית ויש בתוכו תיכון ליתר
    אני יכול להוכיח במשולש הקטן שבתוכו שהחלק מתיכון הוא תיכון לצלע אחרת?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      סליחה על העיכוב, התגובה נעלמה בין תגובות.
      כמו כן השאלה / השרטוט לא ברור.
      לרוב כדי להוכיח תיכון מוכיחים כי שתי הצלעות שהוא יוצר שוות זו לזו.

  3. אפשר להוכיח שקטע הוא תיכון לפי זה שהוא יוצא מקודקוד במשולש ועובר דרך נקודת מפגש התיכונים?

  4. איך אני מוכיח תיכון נתון לי הקטע יוצא מזווית ישרה מגיע ליתר ומחלק לשניים זה אומר שזה תיכון??

  5. אני יכולה להגיד: קטע המחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח הוא תיכון?

    1. לומדים מתמטיקה

      המשפט הנכון הוא:
      קטע היוצא מקודקוד המשולש ומגיע לצלע שמולו ומחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח הוא תיכון.
      זה נכון. אבל צריך להוכיח על מנת להשתמש בזה.

  6. שואל אנונימי

    אם שני תיכונים במשולש שווים, האם גם הצלעות שאליהם הם מגיעים שוות?

  7. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    באנליטית האם תיכון הוא הופכי ונגדי אם רוצים למצוא שיפוע

    1. לומדים מתמטיקה

      תיכון מגיע לאמצע צלע בכל התחומים.
      השיפוע לא הופכי ולא נגדי בהכרח לשיפוע הצלע אליה הוא מגיע.

  8. שם אנונימי (לא מזוהה)

    היי, איך אני יכול לחשב את האורך של כל התיכונים במשולש שנתון לי רק אורכי הצלעות של המשולש?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אפשר בעזת משפט הקוסינוס למצוא זוויות.
      ואז שוב בעזרת משפט הקוסינוס למצוא גודל של תיכון.

  9. תודה רבה לך על כל האתר הזה, הוא באמת אתר מעולה והוא עוזר לי מלא. אני עושה חזרות לקראת המבחן הקבצות שיהיה לי והאתר עוזר לי בטירוף.
    תודה רבה!?