תיכון במשולש טיפים

בשאלות בגיאומטריה יש הרבה תיכונים שלא מופיעה לידם בשאלה המילה "תיכון".

שתי הדוגמאות הבולטות לכך הם האלכסונים במשפחת המקביליות שחוצים זה את זה.
וגם חלק מהישרים היוצאים ממרכז המעגל (מרכז המעגל הוא האמצע של הקוטר).

במקרים הללו אתם תצטרכו לעשות שימוש בתכונות התיכון, לזהות קטע אמצעים במשולש, לזהות נקודת מפגש של תיכונים וזאת מבלי לקרוא בשאלה את המילה "תיכון".

בדף זה ניתן כמה דוגמאות לכך.

הדף מתאים לתלמידי 4-5 יחידות בכיתות י-יב.

דוגמאות

דוגמה 1
המרובע ABCD הוא מקבילית.
האם BO הוא תיכון?

פתרון
BO הוא תיכון במשולש ABC כי אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
כמו כן
AO, CO, DO
הם תיכונים במשולשים המתאימים.

דוגמה 2
במקבילית ABCD ידוע כי
BE = CE.
הוכיחו כי
AF = 2FE.

פתרון
BO וגם AE הם תיכונים במשולש ABC.
לכן הנקודה F היא נקודת מפגש התיכונים.
AF = 2FE כי נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון ביחס 2:1 (כאשר החלק הגדול הוא החלק הקרוב לקודקוד).

דוגמה 3
במקבילית ABCD
AE = DE.
הוכיחו כי
2OE = AB

פתרון
במשולש ABD:

  1. O היא אמצע הצלע BD.
  2. E היא אמצע הצלע AD.
  3. OE הוא קטע אמצעים במשולש כי ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים.
  4. קטע אמצעים במשולש שווה למחצית הצלע אליה הוא מקביל לכן 2OE = AB.

דוגמה 4
במקבילית ABCD
AE = BE
הוכיחו:
3FO = OC

פתרון
במשולש ADB:

  1. AO וגם DE הם תיכונים. לכן הנקודה F היא נקודת מפגש התיכונים.
  2. 3FO = AO כי נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון ביחס 2:1.
  3. CO = AO = 3FO

דוגמה 5
מהנקודה C יוצאים המשיק למעגל CB והחותך CA.
AB הוא קוטר המעגל ו O מרכז המעגל.
D היא אמצע הצלע CA.

  1. הוכיחו כי AOD ∼ ABC.
  2. שטח משולש ABC הוא 10 סמ"ר. מה הוא שטחו של משולש AOD?

פתרון
סעיף א

  1. ABC = 90 זוויות בין רדיוס למיתר בנקודת ההשקה היא 90 מעלות.
  2. OD קטע אמצעים במשולש ABC כי ישר היוצר מאמצע צלע אחת ומגיע לאמצע צלע שנייה הוא קטע אמצעים.
  3. AOC = ABC = 90 זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.

סעיף ב

  1. A זוויות משותפת.
  2. AOC = ABC = 90.
  3. המשולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ג

  1. AO = R,  AR = 2R. אלו צלעות מתאימות בין המשולשים הדומים ולכן יחס הדמיון הוא 2.
  2. יחס השטחים הוא 4 (ריבוע יחס הדמיון) לכן שטח משולש ABC הוא 40 = 4 * 10.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.