בדף זה נסביר את התכונות ונעבור על המשפטים של נקודת מפגש התיכונים במשולש.
חלקי הדף הם:
- הסבר וידאו לתכונות והמשפטים.
- הסבר כתוב לתכונות ולמשפטים.
- שתי הערות על נקודת מפגש התיכונים.
- תרגילים.
1.הסבר וידאו
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
2.הסבר כתוב
תיכונים במשולש מקיימים שני דברים חשובים:
(האותיות מתייחסות לשרטוט שלמטה).
1.שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
המשמעות של המשפט הזה היא שאם שני תיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת אז גם התיכון השלישי חייב לעבור דרך אותה נקודה.
כלומר אם AD, BE תיכונים במשולש שנפגשים בנקודה O.
ואם CF הוא תיכון אז הוא חייב לעבור בנקודה O.
דבר שני:
נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 ,
החלק הגדול יותר קרוב לקודקוד.
כלומר אם O היא נקודת מפגש התיכונים במשולש.
אז אם נגדיר AO =2X
אז צריך להתקיים OD = X.
ואם נגדיר BO = 2Y
אז צריך להתקיים OE = Y.
ואם נגדיר CO = 2Z
אז צריך להתקיים OF = Z.
3.שתי הערות על נקודת מפגש התיכונים
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
4.תרגילים
תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים הדורשים רק היכרות עם המשפטים.
תרגילים 3-6 קשים יותר.
תרגיל 1
במשולש ABC מעבירים את התיכונים AD ו BE הנפגשים בנקודה O.
הישר CF עובר דרך הנקודה O.
הוכיחו AF = BF.
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
עוד באתר בנושאים דומים:
- משפטים בגיאומטריה משולש – משפטים נוספים.
- משפטים בגיאומטריה – רשימת המשפטים הניתנים לשימוש ללא הוכחה בבגרות.
- תיכון במשולש – תכונות.
- בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
- בגרות במתמטיקה 5 יחידות.
אם יש לי נקודה שאני יודע שתיכון אחד עובר דרכה, ויש קטע נוסף שעובר דרכה והיא מחלקת ביחס של 2:1(כמו במשפט) הקטע הוא בהכרח תיכון?
שלום
אם הקטע הנוסף יוצא מקודקוד המשולש והתיכוון מחלק אותו ביחס 2:1 אז הקטע צריך להיות תיכון.
שלום,
אני לא כל כך הבנתי איך בדיוק אני מוכיחה מפגש תיכון?
מכיוון שמבקשים ממני להוכיח שCM=2EM כלומר מפגש תיכונים אך נקודת מפגש התיכונים לא נתון לי.
שלום
אי אפשר לענות מבלי לראות את השאלה.
כמובן, אני מתכוונת לשאול האם יש לי איפשרות או דרך להוכיח מפגש תיכונים?
מכיוון שנתון לי שני קטעים במשולש שכל אחד יוצא מהקודקוד שלו עד לצלע שמולו.
ונתון לי ששניהם נחתכים בנקודה מסויימת.
אין קטע שלישי, האם אני צריכה להוכיח נקודת מפגש תיכונים?
1.האם יש אפשרות להוכיח מפגש תיכונים על פי הנתונים שכתבת?
לא.
2.האם יש אפשרות להוכיח מפגש תיכונים אם נוסיף לנתונים שכתבת נתונים נוספים?
כן, יש אפשרויות רבות.
נק מפגש תיכונים זה רק במשולש?
שלום
נקודת מפגש בין תיכונים יכולה להיות גם בצורות אחרות – אבל התכונות שיש כאן הן רק במשולש.
כמו כן הנושא מופיע בשאלות – 99% במשולש.
צהריים טובים!
במידה ויש לי משולש שבו יש 2 תיכונים ועוד ישר שיוצא מקודקוד ונפגש עם התיכונים בנקודת מפגש התיכונים.
האם במקרה כזה אני יכול להגיד שהישר השלישי הוא גם תיכון?
צהריים טובים
זה נכון, אבל דורש הוכחה.
ההוכחה מוסברת בתרגיל 1 שבדף.
אם אני מוכיך שאחד מן הישרים הוא תיכון ואז אני מוכיח שהיחס בנקודת החיתוך בין התיכון לבין הישר השני שיצא מזווית אחרת של המשולש זה 1:2 אז זה מפגש תיכונים?
שלום
אם מצאת את הנקודה שנמצאת ביחס 2:1 על תיכון אז מצאת את נקודת מפגש התיכונים.
היי,
אני יכולה להגיד שישר העובר דרך תיכון אחר במשולש ונחתך בנקודת המפגש ביניהם ביחס של 2:1 הוא תיכון?
שלום
למיטב הבנתי לא.
כי יכול להיות ישר שנחתך ביחס 2:1 והוא לא תיכון.
רק אם הישר חותך את התיכון בנקודה שבה התיכון מתחלק ביחס 2:1 אז זה הופך לכן.
שלום רב,
האם יש דף של המשפט ההפוך למשפט תיכונים במשולש.
לתשובתכם אודה.
שלום
אני מניח שאתה מתכוון לכך שאם ישר מקודקוד המשולש עובר דרך נקודת מפגש התיכונים אז הוא תיכון.
משפט זה נלמד כאן בדף.
האם יש אפשרות להתנסות חינמית?
שלום
כן יש אפשרות והיא קצרה וממוקדת.
על מנת לעשות זאת צרי אית יקשר במייל או בטלפון
שלום רב,
לא מצאתי באתר התייחסות לנקודת מפגש הגבהים במשולש. תוכלו לכוון? או להוסיף אם זה עדיין לא באתר?
תודה רבה מראש.
שלום
עד עכשיו לא היה דף כזה כי אין הרבה מה להגיד בנושא.
הוספתי כרגע דף קצר, שמראה איפה נמצאת הנקודה במשולשים שונים.
https://www.m-math.co.il/geometry/triangle/hight-meeting-point/
הי,
אם נקודת מפגש התיכונים יוצרת זוית ישרה המשולש הוא שווה שוקיים?
תודה!
שלום
במבט מהיר אני לא רואה את ההוכחה לכך.
היי,
תוכלו לתת פתרון מפורט יותר לתרגיל 1? כאילו משפטים שאוכל לרשום בהוכחות בבקשה
שלום
כתבתי את זה בצורה של טענה נימוק ומפורט יותר.
מקווה שעזר.
היי כל התיכונים במשולש שווה שוקיים שווים? אם נתון שישנה נקודת מפגש תיכונים, תיכון ושהמשולש שווה שוקיים
שלום
רק שני התיכונים שמגיעים לשוקיים שווים, התיכון השלישי לא.
וזה משפט שצריך להוכיח.
נתונים לי שני תיכונים, מה המשפט שאני כותב כדי להוכיח שהנקודה היא מפגש התיכונים?
שלום
התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת שהיא נקודת מפגש התיכונים.
שלום
אם אני יודע שישר היוצא מקודקוד מחלק תיכון ביחס 2:1 מהי דרך ההוכחה לומר שגם הוא תיכון
שלום
1.מכוון שהנקודה המדוברת מחלקת ביחס של 2:1 זו נקודת מפגש התיכונים.
2.בין שתי נקודות עובר רק ישר אחד.
3.התיכון עובר בין הקודקוד לנקודת המפגש ועל פי סעיף 2 הוא הישר היחיד שעובר בין הנקודות הללו.
4.הישר המדובר עובר בין הנקודות הללו ולכן חייב להיות תיכון.
היי,
אם נתון לי תיכון ששוה 9, איך אני מוצא את הצלעות? לפי איזה תרגיל?
איזה תרגיל צריך לעשות כדי למצוא את היחס?
תודה רבה
שלום
השאלה לא ברורה.
אם אורך התיכון הוא 9 אז מה שניתן הוא למצוא את האורך עד המפגש ואת האורך לאחר המפגש.
בשביל לדעת אורך צלעות צריך לדעת נתונים נוספים.
כן, זו השאלה שלי… איך אני מוצא את האורך עד המפגש ואת האורך אחרי המפגש? איזה תרגיל אני עושה ?
תודה
שני שליש מ 9 זה האורך עד המפגש.
היי שלום
אם נתון לי תיכון אשר בעל נקודת חיתוך עם ישר ובנקודת החיתוך הישר מתחלק ל2:1 אז זה אומר שהישר תיכון והנקודה היא מפגש תיכונים?
שלום
אם הישר יוצר מהקודקוד אז כן.
זה נכון אבל אם צריך לכתוב את זה כהוכחה אז צריך לפרט יותר.
אם יש מפגש תיכונים והוסיפו לי עוד ישר שנתון שעובר דרך הנקודה הוא בהכרח תיכון?
שלום
אם הוא יוצא מקודקוד המשולש ועובר במפגש התיכונים אז כן.
האם המשפט הנ”ל תקף גם למשולש שווה צלעות?
תודה מראש
שלום
כן. המשפט נכון לכל המשולשים.
במשולש שווה צלעות נקודת המפגש של התיכונים / מוצה זווית / גבהים היא זהה.
בשאלת בגרות האחרונה לא מצאתי את נתוני השאלה
שלום
בשאלות בגרות לא נכתבים הנתונים ויש לקחת אותם מהשאלון עצמו.
שלום רב אשמח לעזרה בשאלה הנל
במשולש ABC הקודקוד A הוא (-5, 2). התיכונים היוצאים מהקודקודBו C הם בהתאמה.
(המשך השאלה הוסר מהאתר).
שלום
ההשוואה יכולה להיות כך
x – 3y = 0
x = 3y
4x + 5y = 0
12y + 5y = 0
בנוגע לסעיף ב צריך להשתמש בתכונת נקודת מפגש התיכונים שמחלקת את התיכון ביחס 2:1. וכך למצוא נקודות על צלעות המשולש ולבנות את משוואות הצלעות.
איך מחשבים את הגובה במשולש שווה שוקיים
שלום
זה תלוי בנתונים שיש.
בעיקרון הגובה הוא תיכון וגם יוצר משולש ישר זווית.
אז הרבה פעמים משתמשים במשפט פיתגורס או בטיגונומטריה.
שלום, האם יש משפט אם צלע מחלקת תיכון ליחס של 1:2 אז הצלע היא תיכון?
שלום יוגב
מצטער על העיכוב, התגובה הסתובבה בין תגובות אחרות.
אני מניח שהתכוונת אם ישר מחלק תיכון ביחס 1:2 אז הוא תיכון.
אין משפט כזה.
אבל זה נכון.
כי:
בין שתי נקודות עובר רק ישר אחד.
לכן בין נקודת מפגש התיכונים לבין קודקוד המשולש עובר רק ישר אחד והוא תיכון, על פי המשפט של התיכונים.
ואיי ממש עזרת לי 💙
מעולה
יש קשר בין נקודת מרכז המעגל החסום במשולש ונקודת מפגש התיכונים?
או שהנקודה מתלכדת רק כאשר מדובר בנקודת מפגש חוצי הזוית במעגל חסום
שלום
הנקודות מתלכדות כאשר שלושת חוצה הזווית במשולש הם גם תיכונים – משולש שווה צלעות.
והנקודות נמצאות על ישר אחד כאשר חוצה זווית הוא תיכון – משולש שווה שוקיים.
נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1, זה המשפט המתמטי או שבהוכחה צריך לכתוב משפט בנוסח אחר?
תודה,
אחמד
שלום
זה המשפט.
בתרגיל 3 הישר BO תיכון כיוון שאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה?
שלום
כן.
הוספתי את הנימוק בפתרון עצמו.
תודה.
בתירגול של חמש יחידות 2018 סעיף א) אמרתם במשולש ישר זווית ADP התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
איפו התיכון הזה זה צלע DP? במשולש ADP אני לא רואה תיכון ליתר אז על איזה תיכון מדובר.
שלום אבישי.
תודה על התיקון, הכוונה הייתה משולש ADC.
היי, שמעתי על משפט שכשהתיכונים נפגשים הם יוצרים שישה משולשים שווי שטח. אפשר הסבר למה?
שלום
זה מבוסס על כך שתיכון מחלק משולש לשני משולשים שווה שטח.
https://www.m-math.co.il/geometry/triangle/median-divides-triangle-into-two-equal-areas/
ההוכחה קצת יותר מורכבת והיא גם מעניינת. אנסה להעלות אותה כתרגיל באתר עד יום ראשון.
האם אני יכולה להוכיח שנקודה היא נקודת מפגש התיכונים ?
על ידי:
2 הישרים (שיהיו תיכונים ) שכבר נתון לי עליהם היחס 2:1 מתחיל מהקודקוד של משולש.
שלום עדי.
יש אתה יודע ששני ישרים הם תיכונים.
וישר שלישי יוצא מקודקוד המשולש ועובר דרך נקודת המפגש שלהם אז הוא חייב להיות תיכון.