מפגש תיכונים במשולש

בדף זה נסביר את התכונות ונעבור על המשפטים של נקודת מפגש התיכונים במשולש.

חלקי הדף הם:

  1. הסבר וידאו לתכונות והמשפטים.
  2. הסבר כתוב לתכונות ולמשפטים.
  3. שתי הערות על נקודת מפגש התיכונים.
  4. תרגילים.

1.הסבר וידאו

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

2.הסבר כתוב

תיכונים במשולש מקיימים שני דברים חשובים:
(האותיות מתייחסות לשרטוט שלמטה).

1.שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
המשמעות של המשפט הזה היא שאם שני תיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת אז גם התיכון השלישי חייב לעבור דרך אותה נקודה.
כלומר אם AD, BE תיכונים במשולש שנפגשים בנקודה O.
ואם CF הוא תיכון אז הוא חייב לעבור בנקודה O.

מפגש תיכונים במשולש

דבר שני:
נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 ,
החלק הגדול יותר קרוב  לקודקוד.

כלומר אם  O היא נקודת מפגש התיכונים במשולש.
לכן אם AO =2X אז OD = X.
אם BO = 2Y  אז OE = Y.
אם CO = 2Z אז OF = Z.

3.שתי הערות על נקודת מפגש התיכונים

הערה 1.
אם שני תיכונים במשולש נפגשים בנקודה O.
ומהקודקוד השלישי של המשולש יוצא ישר נוסף (CF) העובר גם הוא דרך הנקודה O.
אז הישר CF הוא תיכון במשולש.
הוכחה של דבר זה בתרגיל 1 שבהמשך.

ובשפה מתמטית
AD, BE תיכונים הנפגשים בנקודה O.
אז אם CF עובר דרך O אז O חייב להיות תיכון.

הערה 2.
שימו לב לשילוב של משפט התיכונים במשולש יחד עם משפטים נוספים בגיאומטריה.
תיכון הוא אמצע קטע.
לכן בהרבה מהשאלות המשלבות "תיכון" תמצאו גם את המשפט על קטע אמצעים במשולש.
שילוב נוסף, קצת פחות נפוץ הוא עם המשפט "במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר".

  • באתר עלה דף מיוחד הנקרא "תיכון במשולש טיפים" ובו טיפים לזיהוי תיכון כאשר המילה תיכון לא מוזכרת. ממליץ לכם לקרוא את הדף.

באתר תוכלו ללמוד גם על הצורות הבאות:

  1. משולש זהב.
  2. דלתון.
  3. טרפז.
  4. מקבילית.
  5. מלבן.
  6. מעוין.
  7. ריבוע.

בנוסף, הנושאים הבאים של אלגברה לכיתה ט:
טרינום, פירוק לגורמים, נוסחאות הכפל המקוצר, חוקי חזקות ועוד.

4.תרגילים

תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים הדורשים רק היכרות עם המשפטים.
תרגילים 3-6 קשים יותר ומיועדים למנויים באתר.

תרגיל 1
במשולש ABC מעבירים את התיכונים AD ו BE הנפגשים בנקודה O.
הישר CF עובר דרך הנקודה O.
הוכיחו AF = BF.

שרטוט התרגיל, מפגש התיכונים במשולש

פתרון

  1. בין הנקודה C לנקודה O יכול לעבור רק קו ישר אחד והוא התיכון לצלע AB.
  2. מכוון ש CF עובר בין C ל O הוא חייב להיות תיכון לצלע AB. מתקיים AF = BF.

תרגיל 2
במשולש ΔABC התיכונים BD ו CE נפגשים בנקודה O.
BO=10 ס"מ.
OE=4 ס"מ.
מצאו את CO, CE, OD

שרטוט התרגיל

פתרון
נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכונים ביחס 1:2 כאשר החלק הגדול יותר קרוב לקודקוד.

מציאת CO.
CO=2OE=8

מציאת CE
CE = CO + OE
CE = 8 + 4  =12

מציאת OD
OD=0.5BO=5

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

20 מחשבות על “מפגש תיכונים במשולש”

  1. שלום רב אשמח לעזרה בשאלה הנל
    במשולש ABC הקודקוד A הוא (-5, 2). התיכונים היוצאים מהקודקודBו C הם בהתאמה.
    (המשך השאלה הוסר מהאתר).

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ההשוואה יכולה להיות כך
      x – 3y = 0
      x = 3y

      4x + 5y = 0
      12y + 5y = 0

      בנוגע לסעיף ב צריך להשתמש בתכונת נקודת מפגש התיכונים שמחלקת את התיכון ביחס 2:1. וכך למצוא נקודות על צלעות המשולש ולבנות את משוואות הצלעות.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה תלוי בנתונים שיש.
      בעיקרון הגובה הוא תיכון וגם יוצר משולש ישר זווית.
      אז הרבה פעמים משתמשים במשפט פיתגורס או בטיגונומטריה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יוגב
      מצטער על העיכוב, התגובה הסתובבה בין תגובות אחרות.

      אני מניח שהתכוונת אם ישר מחלק תיכון ביחס 1:2 אז הוא תיכון.
      אין משפט כזה.
      אבל זה נכון.

      כי:

      בין שתי נקודות עובר רק ישר אחד.
      לכן בין נקודת מפגש התיכונים לבין קודקוד המשולש עובר רק ישר אחד והוא תיכון, על פי המשפט של התיכונים.

  2. יש קשר בין נקודת מרכז המעגל החסום במשולש ונקודת מפגש התיכונים?
    או שהנקודה מתלכדת רק כאשר מדובר בנקודת מפגש חוצי הזוית במעגל חסום

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הנקודות מתלכדות כאשר שלושת חוצה הזווית במשולש הם גם תיכונים – משולש שווה צלעות.
      והנקודות נמצאות על ישר אחד כאשר חוצה זווית הוא תיכון – משולש שווה שוקיים.

  3. נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1, זה המשפט המתמטי או שבהוכחה צריך לכתוב משפט בנוסח אחר?
    תודה,
    אחמד

  4. בתירגול של חמש יחידות 2018 סעיף א) אמרתם במשולש ישר זווית ADP התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
    איפו התיכון הזה זה צלע DP? במשולש ADP אני לא רואה תיכון ליתר אז על איזה תיכון מדובר.

  5. היי, שמעתי על משפט שכשהתיכונים נפגשים הם יוצרים שישה משולשים שווי שטח. אפשר הסבר למה?

  6. האם אני יכולה להוכיח שנקודה היא נקודת מפגש התיכונים ?
    על ידי:
    2 הישרים (שיהיו תיכונים ) שכבר נתון לי עליהם היחס 2:1 מתחיל מהקודקוד של משולש.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום עדי.
      יש אתה יודע ששני ישרים הם תיכונים.
      וישר שלישי יוצא מקודקוד המשולש ועובר דרך נקודת המפגש שלהם אז הוא חייב להיות תיכון.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.