לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

מפגש תיכונים במשולש

בדף זה נסביר את התכונות ונעבור על המשפטים של נקודת מפגש התיכונים במשולש.

חלקי הדף הם:

  1. הסבר וידאו לתכונות והמשפטים.
  2. הסבר כתוב לתכונות ולמשפטים.
  3. שתי הערות על נקודת מפגש התיכונים.
  4. תרגילים.

1.הסבר וידאו

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

2.הסבר כתוב

תיכונים במשולש מקיימים שני דברים חשובים:
(האותיות מתייחסות לשרטוט שלמטה).

1.שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת.

המשמעות של המשפט הזה היא שאם שני תיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת אז גם התיכון השלישי חייב לעבור דרך אותה נקודה.

כלומר אם AD, BE תיכונים במשולש שנפגשים בנקודה O.

ואם CF הוא תיכון אז הוא חייב לעבור בנקודה O.

מפגש תיכונים במשולש

דבר שני:
נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 ,

החלק הגדול יותר קרוב  לקודקוד.

כלומר אם  O היא נקודת מפגש התיכונים במשולש.

אז אם נגדיר AO =2X

אז צריך להתקיים OD = X.

ואם נגדיר BO = 2Y

אז צריך להתקיים  OE = Y.

ואם נגדיר CO = 2Z

אז צריך להתקיים OF = Z.

3.שתי הערות על נקודת מפגש התיכונים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

4.תרגילים

תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים הדורשים רק היכרות עם המשפטים.
תרגילים 3-6 קשים יותר.

תרגיל 1
במשולש ABC מעבירים את התיכונים AD ו BE הנפגשים בנקודה O.

הישר CF עובר דרך הנקודה O.

הוכיחו AF = BF.

שרטוט התרגיל, מפגש התיכונים במשולש

פתרון התרגיל
טענה נימוק
CF הוא תיכון בין שתי נקודות עובר רק ישר אחד.
לכן בין הקודקוד C לנקודת מפגש התיכונים O הישר שעובר חייב להיות תיכון.
לכן CF תיכון.
AF = BF נובע מכך ש CF הוא תיכון.

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

עוד באתר בנושאים דומים:

  1. משפטים בגיאומטריה משולש – משפטים נוספים.
  2. משפטים בגיאומטריה – רשימת המשפטים הניתנים לשימוש ללא הוכחה בבגרות.
  3. תיכון במשולש – תכונות.
  4. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  5. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

54 מחשבות על “מפגש תיכונים במשולש”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. צהריים טובים!
    במידה ויש לי משולש שבו יש 2 תיכונים ועוד ישר שיוצא מקודקוד ונפגש עם התיכונים בנקודת מפגש התיכונים.
    האם במקרה כזה אני יכול להגיד שהישר השלישי הוא גם תיכון?

  2. אם אני מוכיך שאחד מן הישרים הוא תיכון ואז אני מוכיח שהיחס בנקודת החיתוך בין התיכון לבין הישר השני שיצא מזווית אחרת של המשולש זה 1:2 אז זה מפגש תיכונים?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם מצאת את הנקודה שנמצאת ביחס 2:1 על תיכון אז מצאת את נקודת מפגש התיכונים.

  3. היי,
    אני יכולה להגיד שישר העובר דרך תיכון אחר במשולש ונחתך בנקודת המפגש ביניהם ביחס של 2:1 הוא תיכון?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      למיטב הבנתי לא.
      כי יכול להיות ישר שנחתך ביחס 2:1 והוא לא תיכון.
      רק אם הישר חותך את התיכון בנקודה שבה התיכון מתחלק ביחס 2:1 אז זה הופך לכן.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני מניח שאתה מתכוון לכך שאם ישר מקודקוד המשולש עובר דרך נקודת מפגש התיכונים אז הוא תיכון.
      משפט זה נלמד כאן בדף.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כן יש אפשרות והיא קצרה וממוקדת.
      על מנת לעשות זאת צרי אית יקשר במייל או בטלפון

  4. שלום רב,
    לא מצאתי באתר התייחסות לנקודת מפגש הגבהים במשולש. תוכלו לכוון? או להוסיף אם זה עדיין לא באתר?
    תודה רבה מראש.

  5. היי,
    תוכלו לתת פתרון מפורט יותר לתרגיל 1? כאילו משפטים שאוכל לרשום בהוכחות בבקשה

  6. היי כל התיכונים במשולש שווה שוקיים שווים? אם נתון שישנה נקודת מפגש תיכונים, תיכון ושהמשולש שווה שוקיים

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      רק שני התיכונים שמגיעים לשוקיים שווים, התיכון השלישי לא.
      וזה משפט שצריך להוכיח.

  7. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    נתונים לי שני תיכונים, מה המשפט שאני כותב כדי להוכיח שהנקודה היא מפגש התיכונים?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת שהיא נקודת מפגש התיכונים.

  8. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום
    אם אני יודע שישר היוצא מקודקוד מחלק תיכון ביחס 2:1 מהי דרך ההוכחה לומר שגם הוא תיכון

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      1.מכוון שהנקודה המדוברת מחלקת ביחס של 2:1 זו נקודת מפגש התיכונים.
      2.בין שתי נקודות עובר רק ישר אחד.
      3.התיכון עובר בין הקודקוד לנקודת המפגש ועל פי סעיף 2 הוא הישר היחיד שעובר בין הנקודות הללו.
      4.הישר המדובר עובר בין הנקודות הללו ולכן חייב להיות תיכון.

  9. היי,
    אם נתון לי תיכון ששוה 9, איך אני מוצא את הצלעות? לפי איזה תרגיל?
    איזה תרגיל צריך לעשות כדי למצוא את היחס?
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      השאלה לא ברורה.
      אם אורך התיכון הוא 9 אז מה שניתן הוא למצוא את האורך עד המפגש ואת האורך לאחר המפגש.
      בשביל לדעת אורך צלעות צריך לדעת נתונים נוספים.

      1. כן, זו השאלה שלי… איך אני מוצא את האורך עד המפגש ואת האורך אחרי המפגש? איזה תרגיל אני עושה ?
        תודה

  10. היי שלום
    אם נתון לי תיכון אשר בעל נקודת חיתוך עם ישר ובנקודת החיתוך הישר מתחלק ל2:1 אז זה אומר שהישר תיכון והנקודה היא מפגש תיכונים?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם הישר יוצר מהקודקוד אז כן.
      זה נכון אבל אם צריך לכתוב את זה כהוכחה אז צריך לפרט יותר.

  11. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    אם יש מפגש תיכונים והוסיפו לי עוד ישר שנתון שעובר דרך הנקודה הוא בהכרח תיכון?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כן. המשפט נכון לכל המשולשים.
      במשולש שווה צלעות נקודת המפגש של התיכונים / מוצה זווית / גבהים היא זהה.

  12. שלום רב אשמח לעזרה בשאלה הנל
    במשולש ABC הקודקוד A הוא (-5, 2). התיכונים היוצאים מהקודקודBו C הם בהתאמה.
    (המשך השאלה הוסר מהאתר).

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ההשוואה יכולה להיות כך
      x – 3y = 0
      x = 3y

      4x + 5y = 0
      12y + 5y = 0

      בנוגע לסעיף ב צריך להשתמש בתכונת נקודת מפגש התיכונים שמחלקת את התיכון ביחס 2:1. וכך למצוא נקודות על צלעות המשולש ולבנות את משוואות הצלעות.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה תלוי בנתונים שיש.
      בעיקרון הגובה הוא תיכון וגם יוצר משולש ישר זווית.
      אז הרבה פעמים משתמשים במשפט פיתגורס או בטיגונומטריה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יוגב
      מצטער על העיכוב, התגובה הסתובבה בין תגובות אחרות.

      אני מניח שהתכוונת אם ישר מחלק תיכון ביחס 1:2 אז הוא תיכון.
      אין משפט כזה.
      אבל זה נכון.

      כי:

      בין שתי נקודות עובר רק ישר אחד.
      לכן בין נקודת מפגש התיכונים לבין קודקוד המשולש עובר רק ישר אחד והוא תיכון, על פי המשפט של התיכונים.

  13. יש קשר בין נקודת מרכז המעגל החסום במשולש ונקודת מפגש התיכונים?
    או שהנקודה מתלכדת רק כאשר מדובר בנקודת מפגש חוצי הזוית במעגל חסום

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הנקודות מתלכדות כאשר שלושת חוצה הזווית במשולש הם גם תיכונים – משולש שווה צלעות.
      והנקודות נמצאות על ישר אחד כאשר חוצה זווית הוא תיכון – משולש שווה שוקיים.

  14. נקודת חיתוך התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1, זה המשפט המתמטי או שבהוכחה צריך לכתוב משפט בנוסח אחר?
    תודה,
    אחמד

  15. בתירגול של חמש יחידות 2018 סעיף א) אמרתם במשולש ישר זווית ADP התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
    איפו התיכון הזה זה צלע DP? במשולש ADP אני לא רואה תיכון ליתר אז על איזה תיכון מדובר.

  16. היי, שמעתי על משפט שכשהתיכונים נפגשים הם יוצרים שישה משולשים שווי שטח. אפשר הסבר למה?

  17. האם אני יכולה להוכיח שנקודה היא נקודת מפגש התיכונים ?
    על ידי:
    2 הישרים (שיהיו תיכונים ) שכבר נתון לי עליהם היחס 2:1 מתחיל מהקודקוד של משולש.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום עדי.
      יש אתה יודע ששני ישרים הם תיכונים.
      וישר שלישי יוצא מקודקוד המשולש ועובר דרך נקודת המפגש שלהם אז הוא חייב להיות תיכון.