משולש ישר זווית התיכון ליתר

 

בדף זה שני חלקים:

  1. משפטים.
  2. תרגילים.

1.משפטים

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

המשפט ההפוך:
אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה אז המשולש ישר זווית.

שרטוט של המשפט הראשי:

במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר
במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר

שרטוט של המשפט ההפוך:

המשפט ההפוך: אם במשולש תיכון שווה למחצית היתר אז המשולש ישר זווית
המשפט ההפוך: אם במשולש תיכון שווה למחצית היתר אז המשולש ישר זווית

דפים נוספים באתר:

2.תרגילים 

מצורפים שלושה תרגילים.
לשלושת התרגילים פתרון וידאו ופתרון כתוב. פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1 הוא תרגיל בסיסי של המשפט הראשון.
תרגיל 2 הוא שאלה קשה יותר על המשפט הראשון.
תרגיל 3 הוא על המשפט השני, כנראה שזה התרגיל היותר קשה.

תרגיל 1: הבנה בסיסית של המשפטים

נתונים שרטוטים של משולש ישר זווית ΔABC שבהם עובר תיכון BD.
השלימו את גודל הצלעות AD, DC, BD, AC.

שרטוט תרגילים

עבור משולש 1
אורך התיכון שווה ל- 5.
לכן גם:
AD=DC=5 –  התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
וגם:
AC=2*5=10
AD=DC=5 – תיכון הצלע AC מחלק את הצלע לשני חלקים שווים.

עבור משולש 2
BD הוא תיכון לכן שתי הצלעות שהוא יוצר הן:
AD=DC=8 – התיכון מחלק את הצלע לשני חלקים שווים.
BD הוא התיכון ליתר ולכן גודלו:
BD=½AC=8 – התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

שרטוט הפתרונות
שרטוט הפתרונות

תרגיל 2: חישוב זוויות בעזרת המשפט

במשולש ישר זווית ΔABC נתון:
∠C=90∠.
A=20∠.
CD תיכון לצלע .

מצאו את שאר זוויות המשולשים.

תרגיל השלמת זוויות במשולש ישר זווית עם תיכון ליתר

הרעיון של הפתרון:
לעשות שימוש בשני המשפטים:

  1. סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
  2. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו.

פתרון מלא:

במשולש ΔBDC מתקיים:
BD=CD – בגלל שהתיכון לייתר שווה למחצית היתר.
לכן ΔBDC הוא משולש שווה שוקיים.

  1. BCD=20∠ – זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
  2. BDC=180-20-20=140∠ – זווית המשלימה ל 180 מעלות במשולש ΔBDC.

במשולש ΔCDA:
CD=AD – בגלל שהתיכון ליתר שווה למחצית היתר.
לכן ΔCDA הוא משולש שווה שוקיים.

  1. DCA=90-20=70∠ – זווית המשלימה ל 90.
  2. CAD=70∠ – זווית הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו (במשולש ΔCDA).
    (ניתן למצוא זווית זו גם באמצעות השלמה ל 180 מעלות במשולש ΔABC).
  3. CDA=180-70-70=40∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔCDA.
    (ניתן למצוא זווית זו גם באמצעות זווית צמודה לזווית BDC∠).
פתרון התרגיל בשרטוט
פתרון התרגיל בשרטוט

תרגיל 3: שימוש במשפט ההפוך

במשולש ΔABC נתון BD הוא תיכון לצלע AC. (צלעות AD=DC).
BE הוא גובה לצלע AC.
DBE=50∠.
EBA=20∠.

הוכיחו: משולש ΔABC הוא משולש ישר זווית.

שרטוט התרגיל
שרטוט התרגיל

פתרון

  1. BAD=180-90-20=70∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔBEA.
  2.  AD=BD – במשולש ΔADB מול זוויות שוות יש צלעות שוות.
  3. AC=2AD=2AC – בגלל ש BD הוא תיכון + נובע מ 2.
  4. על פי המשפט "אם תיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה אז המשולש ישר זווית" משולש ΔABC הוא משולש ישר זווית. (נובע מסעיף 3).

תרגיל 4

במשולש ABC הזווית B = 90.
מעבירים את BD כך ש
BD = AD
הוכיחו כי AD = DC.

פתרון
ההוכחה מתבססת על ההוכחה כי משולש BDC הוא משולש שווה שוקיים.

מוכיחים כי משולש BDC הוא שווה שוקיים על ידי זוויות.

נגדיר:

∠DBA = y
לכן
∠BAD = y
∠BDC = 180 – 2y

וגם
∠BDC = 2y

DBC = 90 – y משלימה את זווית DBA ל 90.

 ∠DCB = 180 -90 – y = 90 – y
ABC משלימה ל 180 מעלות במשולש

∠DBC = ∠ DCB
לכן

BD = DC = x

ולכן:
AD = BD = DC

בשרטוט שלמטה תמצאו את הזוויות שבעזרתן פתרנו את הבעיה:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

21 מחשבות על “משולש ישר זווית התיכון ליתר”

  1. איך פותרים
    המשולש ABC הוא משולש ישר זווית (זווית ABC=90) BQ הוא הגובה ליתר AC וBP הוא התיכון ליתר AC נתון BQ=1/2
    איך מחשבים את גודל זווית C?

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        שאלות הדורשות שרטוט זה בעייתי כאן
        נסה להגדיר
        BQ = x
        ולהשתמש בדמיון משולשים ואולי פיתגורס ולראות אם הפתרון מגיע.

  2. האם יש אפשרות במשולש ישר זוית שהתיכון ליתר יהיה שווה לתיכון של אחד הניצבים?

  3. אם יש לי משולש ישר זווית אבל לא אומרים שהצלע שיוצאת מהזווית 90 מעלות היא תיכון אני יכולה לכתוב את המשפט התיכון שיוצא שווה למחצית היתר?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני מקווה שאני מבין נכון.
      את המשפט ניתן לכתוב רק על ישר שהוא תיכון.
      ישר שהוא לא תיכון לא ניתן להגיד שיש לו את התכונות של תיכון.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום ראובן
      מגדירים את אחת מזוויות המשולש הישר זווית כ x.
      ואת אחת מהזווית שיוצר התיכון כ y.
      משלימים זוויות ורואים שנוצר משולש ישר זווית.

  4. היי!
    אם הוכחתי שהמשולש הוא ישר זווית, ויש לו בשרטוט קוו שהעבירו ליתר ולא הצהירו שהוא התיכון… אפשר להשתמש בזה על דעת עצמי כביכול שזה התיכון ליתר במשולש יש"ז??

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שיר
      אם לא אמרו לך ולא הוכחת שישר הוא יתר לא ניתן להניח על דעת עצמך שהישר הוא קוטר.

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    האם יש משפט כזה שאפשר להגיד שתיכון חוצה גם את הזווית שממנה הוא יוצא לחצי ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תיכון הוא חוצה זווית במשולש שווה שוקיים.
      אם זה משולש ישר זווית ושווה שוקיים אז התיכון ליתר הוא חוצה זווית.

  6. היי. אם אני רוצה להוכיח תיכון ליתר במשולש ישר זווית, אני יכול להגיד שבגלל שהצלחתי להוכיח משולש שווה שוקיים אחד מתוך השניים אז יש תיכון ליתר?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני חושב שאני מבין אותך. והתשובה היא לא.
      צריך להוכיח שני משולשים שווה שוקיים ואז והשלים את שוויון הצלעות – זה לא משפט.

  7. בבריכה היתה כמות מסוימת של מים. ביום הראשון רוקנו 1/3 מכמות המים שהיתה בה. ביום השני רוקנו 2/5 מכמות המים שנותרה בה לאחר היום הראשון. (המשך השאלה הוסר מהאתר).

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אכתוב את המשוואה, נסי להבין למה היא נכונה.
      x הכמות ההתחלתית של מים בבריכה.
      x – 0.33x – 0.4x – (0.33x + 0.4x – 30) = 0

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.