לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

מעוין

בדף זה נלמד על מעוין.

חלקי הדף הם:

  1. סרטון מסכם.
  2. איך מוכיחים שמרובע הוא מעוין?
  3. היקף ושטח מעוין.
  4. תכונות המעוין (כמקבילית ותכונות מיוחדות של מעוין).
  5. שגיאות שכיחות במעוין.
  6. תרגילים עם פתרונות מלאים
  7. נספח: מצבים בשאלות על מעוין שכדאי להכיר מראש.
  8. תרגילים נוספים.

באתר תוכלו ללמוד גם על הצורות הבאות:

  1. מקבילית.
  2. דלתון.
  3. טרפז.
  4. מלבן.
  5. ריבוע.

סרטון מסכם

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

1. הוכחת מעוין

הגדרת המעוין
מקבילית שלה זוג צלעות סמוכות שוות היא מעוין.

בנוסף יש עוד שני משפטים שניתן להוכיח בעזרתם מעוין.
בשניהם עלינו להוכיח קודם כל שהמרובע הוא מקבילית ולאחר מיכן:

  1. מקבילית שבה האלכסון הוא חוצה זווית היא מעוין.
  2. מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין.
הגדרת מעוין כסוג של מקבילית: מעוין הוא מקבילית בעלת שני צלעות סמוכות שוות ו/או מקבילית שהאלכסונים שלה הם חוצי זווית ו/או מקבילית שהאלכסונים שלה מאונכים זה לזה.

2.טיפים לזכירת משפטי המעוין

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

3. היקף ושטח מעוין

היקף מעוין
ארבעת צלעות המעוין שוות.
לכן אם צלע המעוין היא a.
אז היקף המעוין הוא 4a.

שטח מעוין
יש שתי דרכים לחשב את שטח המעוין.

דרך ראשונה
השטח של כל הצורות שהן מקבילית הוא s=a×h.
a – אורך צלע.
h – הגובה לצלע.

דרך שנייה
מכפלת האלכסונים חלקי 2.
אם AC ו BD הם אלכסוני המעוין אז שטח המעון הוא:

(הסבר בשרטוט לנוסחה השני).
הערה: ניתן להשתמש בנוסחה זו של כפל אלכסונים גם במרובעים נוספים שאלכסוניהם מאונכים: דלתון, וריבוע.

שטח מעוין
חישוב שטח מעוין על פי האלכסונים

4.תכונות מעוין

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

מעוין הוא מקבילית

מעוין הוא תת סוג של מקבילית. כלומר כל תכונות המקבילית מתקיימות בו. זו העובדה הבסיסית ביותר שאתם צריכים לזכור בהקשר של מעוין. רצוי ללמוד היטב את תכונות המקבילית לפני שלומדים את תכונות המעוין. אחזור עליהן כאן בקצרה.
מקבילית היא מרובע :
1) שבו זוג צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות.
2) שבו שני זוגות של צלעות מקבילות.
3) שבו שני זוגות של צלעות שוות.
4) שבו האלכסונים חוצים זה את זה. (חוצים כלומר מחלקים לחצי)
5) שבו שתי זוגות של זוויות נגדיות השוות זו לזו.

חמשת המשפטים שבעזרתם מוכיחים שמרובע הוא מקבילית

תכונות שקיימות רק במעוין ולא במקבילית

  1. ארבעת צלעות המעוין שוות (במקבילית רק צלעות נגדיות שוות).
  2. אלכסוני המעוין מאונכים זה זה, חוצים את זוויות המעוין (והם גם כמובן חוצים זה את זה לחצי – אבל זה קיים גם במקבילית).

משני התכונות הראשונות של המעוין נובע כי :
אלכסוני המעוין יוצרים יחד עם צלעות המעוין ארבעה משולשים חופפים וישרי זווית.

סיכום תכונות המעוין

סיכום תכונות המעוין
סיכום תכונות המעוין

5.שגיאות שכיחות במעוין

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

 

3 רמות של תרגילי מעוין

מצורפים כאן 6 תרגילים בנושא מעוין המחולקים ל 3 רמות.
בהתחלה התרגיל כתוב יחד עם שרטוט.
ואם אתם מעוניינים לראות את הפתרון יש להתחיל את הוידאו.

פתרון התרגילים כאן שם דגש על הרעיון שמאחורי הפתרון ושלבי הפתרון.
התרגילים לא מנסים ללמד כתיבה נכונה של פתרון.
לאחר חלק זה מופיעים התרגילים כשהם עם פתרון טקסט, ושם תוכלו ללמוד כתיבה נכונה של פתרון.

תרגילים למתחילים

תרגיל 1

ABCD היא מקבילית.
נתון: C=100∠.
אלכסון המקבילית מחלק את זווית B כך ש:
B2 =3X+16.
B1 =4X+8
הוכיחו כי המרובע ABCD הוא מעוין.

פתרון וידאו

תרגיל 2

ABCD הוא מעוין.
DE=DF.
הוכיחו:
BE=BF.

פתרון וידאו

תרגילים ברמת אמצע

תרגיל 3

במעוין ABCD מעבירים אלכסונים. על האלכסון AC בוחרים נקודה כלשהי E ומעבירים ממנה ישרים אל קודקודי המעוין B ו D.
הוכיחו כי המשולש EAC הוא משולש שווה שוקיים.

פתרון וידאו

תרגיל 4

במקבילית ABCD מעבירים שני חוצי זווית. AE ו DF.
הוכיחו כי מרובע AFED הוא מעוין.

פתרון וידאו

תרגילים קשים

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

62 מחשבות על “מעוין”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. אורך האלכסון במעוין הוא 34 וגובה המעוין הוא 21 חשב את זוויות המעוין ואת אורך צלעו תודה רבה הצלתם אותי

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      צריך לשרטט מעוין, להעביר גובה ואלכסון ולהשתמש במשולש הכולל אותם במשפט פיתגורס.

  2. היי, צהריים טובים.
    יש לי מבחן מסכם במתמטיקה כיתה י' 5 יח"ל. הוא הולך ךהיות על כל הנושאים בגיאומטריה חוץ ממעגל.
    אשמח אם תוכלו לשלוח לי קובץ שאלות בגיאומטריה לרמה זו.
    תודה ויום טוב.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין לנו שאלות מלבד הדפים המופיעים באתר.
      בהצלחה במבחן.

  3. המרובע ABCD הוא מלבן. הנקודה F נמצאת
    מחוץ למלבן כך שהמרובע DCFE הוא מקבילית.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בעיות הדורשות שרטוט זה משהו שלא נענה כאן.
      מעבר לכך שלא ציינת איפה הנקודה E נמצאת.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      שטח המעוין שווה לצלע כפול גובה.
      לכן אם יש שטח וצלע המעוין ניתן לכתוב
      שטח = ___ * צלע
      כאשר במקום הריק הגודל של הגובה.

        1. לומדים מתמטיקה

          תלוי באיזו כיתה את.
          לרוב זה דרך השטח.
          גם אם יש שני אלכסונים ניתן לחשב שטח והגיע לגובה.

          במקרים מסוימים ניתן להיעזר בפיתגורס או בנתונים אחרים בשאלה כדי למצוא גובה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.
      וגם מחלקים אחד את השני לשני חצאים שווים (חוצים).
      לכן הם יוצרים 4 משולשים ישרי זווית שאתה יכול לדעת את אורכי הניצבים של המשולשים.
      ובעזרת פיתגורס ניתן למצוא את אורך הצלע של המעוין – שהיא היתר במשולשים הללו.

  4. שאול ימיני

    איך מחשבים את אורכי האלכסונים במעוין, לפי היקף והשטח שלו.
    נתון : היקף המעןין – 20 ביחידות אורך
    שטח המעוין – 20 ביחידות שטח

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שאול
      מהיקף המעוין אתה יכול למצוא את צלע המעוין.
      נגדיר
      x חצי אלכסון ראשון
      y חצי אלכסון שני.
      אז בעזרת משפט פיתגורס אתה יכול לבנות משוואה אחת עם שני נעלמים.
      ובעזרת הנוסחה לחישוב שטח מעוין על פי אלכסונים אתה יכול לבנות משוואה שנייה.
      בהצלחה

      1. שאול ימיני

        איך מחשבים את אורכי האלכסונים במעוין, לפי היקף והשטח שלו.
        נתון : היקף המעןין – 20 ביחידות אורך
        שטח המעוין – 20 ביחידות שטח
        לא הבנתי איך לבנות את 2 המשוואות.
        האם אפשר יותר פירוט ?
        תודה מראש

    2. תודה רבה!
      זה ממש עזר לי לפני המבחן והסרטון חידד לי את ההבנה ממליצה בחום למי שמתקשה!

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    מה עם המשפט: ריבוע שצלעותיו שוות- מעוין ?
    לפי ויקיפדיה זהו משפט שניתן להשתמש בו

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      המשפטים הרשומים בדף הזה הם על פי רשימת המשפטים המאושרים לשימוש בבגרות ללא הוכחה כפי שראיתי שפרסם משרד החינוך.
      ויקיפדיה לא מחויבת לרשימה הזו.
      אם יש מרובע שכל צלעותיו שוות ניתן להשתמש בשני משפטים על מנת להוכיח שהוא מעוין.
      1.מרובע עם שני זוגות של צלעות שוות הוא מקבילית.
      2. מקבילית עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
      בהצלחה

  6. אין על האתר הזה! בזכות הציורים של המשפטים הבנתי משםטים שלא הצלחתי אף פעם לקלוט וגם הסברתי לכל הכיתה :)

  7. יש לי מעוין ויש לי רק את אורך האלכסונים אין לי זוויות או אורך של צלע. איך אני מחשבת זווית אחת לפחות או צלע? ממש אשמח אם תעזרו לי!!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני מניח שלמדת טריגונומטריה.
      תריך להשתמש בשתי תכונות של אלכסוני המעוין:
      1. אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה ולכן הם יוצרים 4 משולשים ישרי זווית.
      2. אלכסוני המעוין חוצים זה את זה לשני חלקים שווים.

      לכן נוצרו במעוין 4 משולשים ישרי זווית שאורך כל אחד מהניצבים שווה למחצית מאלכסון הממשיך אותו.
      את הצלע השלישית ניתן למצוא בעזרת פיתגורס. ואת הזוויות בעזרת פונקציות טריגונומטריות.
      מידע על מציאת זוויות בעזרת טריגונמטריה במשולש ישר זווית.
      http://www.m-math.co.il/trigonometry/sin-cos-tan/
      בהצלחה

  8. למה כשהאלכסונים במעויין נחתכים חצאי האלכסונים לא מצויירים כשווים זה לזה? האלכסונים הרי שווים

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      האלכסונים במעוין לא שווים זה לזה.
      האלכסונים במלבן וריבוע שווים זה לזה.
      בהצלחה

  9. אם צריך להוכיח את המשפט אם במקבילית האלכסונים מאונכים זה לזה אז המקבילית היא מעוין איך אני עושה את זה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. כלומר תיכונים.
      הנתון הנוסף שאמרת הוא שהאלכסונים גם מאונכים זה לזה.

      1. עכשיו תשתמש במשפט:
      משולש שבו התיכון הוא גם אנך הוא משולש שווה שוקיים.
      לכן צלעות המקבילית שוות זו לזו.

      2. עכשיו תשתמש במשפט:
      "מקבילית שבה הצלעות הסמוכות שוות זו לזו היא מעוין"
      מקווה שעזרתי, ואם חסר משהו תגיד.
      בהצלחה

  10. אני עולה לכיתה י' אני בחמש יחידות ואנחנו לומדות ברמה מוגברת מאד.רציתי לדעת האם ישנה אפשרות באתר למצוא תרגילים קשים יותר??תודה רבה!!!האתר הזה מעולה!!!!!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום דניאלה.
      בנושא מעוין לא.
      אבל בנושא גיאומטריה יש כמה דברים שהייתי ממליץ:
      להקשיב ל- 4 הסרטונים שעשיתי בנושא מקבילית. סרטון אחד על עקרונות שימושיים בשאלות מקבילית ו- 3 סרטונים על דרכים להוכחת מקבילית.
      יש שם עקרונות שכדאי לדעת.
      בדפים טרפז, קטע אמצעים במשולש וקטע אמצעים בטרפז יש שאלות קשות יותר.

      מקבילית
      http://www.m-math.co.il/geometry/parallelogram/
      טרפז
      http://www.m-math.co.il/math-9th-grade/trapezoid/
      קטע אמצעים במשולש
      http://www.m-math.co.il/math-9th-grade/triangle-middle-line/
      קטע אמצעים בטרפז
      http://www.m-math.co.il/geometry/geometry-sentences/trapezoid-median/
      תודה על השאלה ובהצלחה בהמשך.

  11. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום, יש לי שאלה
    האם דלתון בעל זוג צלעות מקבילות הוא מעויין

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      התשובה היא לא.
      מכוון שיש רק זוג אחד של צלעות מקבילות והצלעות הללו אינן שוות המרובע שנוצר הוא לא מקבילית ולא מעוין.
      מה שכן זוג אחד של צלעות מקבילות הופך את שני המשולשים המרכיבים את הדלתון למשולשים דומים.
      אם היה נתון זוג של צלעות מקבילות וגם שוות.
      או שתי זוגות של צלעות מקבילות אז הדלתון היה מקבילית ומעוין.
      בהצלחה

      1. שאהר ג'מאל

        יש לי שאלה ?מעוין וריבוע להן אותן צלעות .
        1) מי מהם בעל ההקף הגדול ?
        2) מי מהם בעל השטח הגדול ההספר בשלושה דרכים שונות

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          היקף הוא סכום כל הצלעות.
          לכן אם צלע המעוין והריבוע היא x אז היקף שתי הצורות הוא 4x.
          כלומר ההיקף שווה.
          לגבי שטח
          שטח הריבוע יהיה
          x * x
          שטח המעוין הוא כפל של צלע המעוין בגובה המגיע אליה.
          אם תוריד גובה לצלע מעוין תראה שנוצר משולש ישר זווית שבו צלע המעוין הוא היתר ולכן הצלע הגדולה ביותר במשולש.
          הגובה לצלע המעוין היא צלע קטנה יותר במשולש. כלומר h < x לכןן h * x < x*x ושטח המעוין יהיה קטן יותר משטח הריבוע. לגבי 3 דרכים איני יודע.....

  12. שלום יש לי שאלה
    במעוין אחד באחד מהמשולשים יש תיכון שהוכחתי כבר קודם לתיכון קוראים OE אומרים לי להוכיח ש OE מקביל ל AE שהוא צלע במעוין אשמח שתענה לי איך להוכיח את זה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום. מכוון שאין את כל הנתונים לא אוכל לתת תשובה מלאה אבל כיווני מחשבה יש.
      הוכחת תיכון, וגם אתה צריך לזכור שאלכסוני המעוין מאונכים זה לזה. איזה משפט כולל את שני הנתונים?

      "במשולש ישר זווית התיכון לייתר שווה למחצית היתר" – סיכוי טוב שהמשפט הוא חלק מהתשובה.

      כמו כן ביקשו ממך להוכיח שישרים הם מקבילים – סביר להניח שתצטרך שתצטרך לעשות זאת על יד הוכחה שהישרים OE ן AE. הם צלעות במקבילית או מעוין.
      ומכוון שיש לך נתון על גודל צלע (מידע הנובע מתיכון) הייתי מנסה להוכיח מקבילית על ידי אחד משולש ממשפטי הוכחת מקבילית שקשורים לגודל צלעות.
      בהצלחה

  13. שלום אין לי תגובה אלא שאלה :
    נתון לי מעוין עם 2 אורכיי האלכסונים ואני צריך למצוא את אורך צלעות המעוין.
    איך פותרים את זה ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום יהודה.
      1) אם אתה יודע את אורכי האלכסונים אז אתה יודע גם את האורך מקודקוד המעוין ועד נקודת מפגש האלכסונים (מחצית האלכסון, האלכסונים חוצים זה את זה).
      2) מכוון שהאלכסונים מאונכים זה לזה כל צלע מצלעות המעוין יוצרת משולש ישר זווית עם שני חצאי האלכסונים – ואתה יכול למצוא את אורך הצלע בעזרת משפט פיתגורס.
      מקווה שעזר.

      1. שלום,
        תודה על האתר המקסים!
        רציתי לשאול, נתון לי מעוין, השטח בו 245 סמר, אורך צלע 19 סמ.
        איך מחשבים זויות ואלכסונים? תודה מראש

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          להגדיר את אורכי האלכסונים כשני נעלמים.
          ואז ניתן לבנות שתי משוואות.
          משוואה אחת היא מכפלת האלכסונים חלקי 2 שווה לשטח.
          על המשוואה השנייה נסה לחשוב בעצמך.
          אם לא תסתדר חזור אליי.

          1. היי שלום
            תודה על התשובה
            המשוואה השניה זה משפט פתיגורס..
            מה שכן הסתכבתי שיוצא לי במשוואה של האלכסונים 2x*2y
            איך פותרים משוואה כזאת ששני הנעלמים מוכפלים אחד בשני?

            1. לומדים מתמטיקה

              2x * 2y = 245
              4xy = 245
              xy = 61.25
              x = 61.25/y
              ואז ניתן להציב במשוואה השנייה.
              אם עשיתי משהו לא ברור חזור אליי.

              1. קודם תודה על התשובה.
                במשוואה הראשונה אין לי x אלא רק x²+y²
                איך מכניסים את זה?
                תודה מראש

              2. לומדים מתמטיקה

                אתה צריך להציב את מה שכתבתי במקום x.
                (x = (61.25/y
                ומכוון שזה איקס בריבוע ההצבה עולה בחזקת 2.
                = y^2 + ( 61.25/y)^2

          2. היי שלום.
            תודה על התשובה
            המשוואה השניה זה משפט פתיגורס..
            מה שכן הסתכבתי שיוצא לי במשוואה של האלכסונים 2x*2y
            איך פותרים משוואה כזאת ששני הנעלמים מוכפלים אחד בשני?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום הודיה, שמח לענות.
      אנסה להסביר את הפתרון לשלושת הסעיפים במילים:
      סעיף א. P אמצע צלע בגלל ש EP הוא קטע אמצעים (בגלל שהוא יוצא מאמצע צלע (מפגש אלכסונים) ומקביל).

      סעיף ב. המשולשים דומים ע"פ ז.ז – יש להם זווית משותפת וזווית מתאימה שווה בין ישרים מקבילים (A=∠EPB∠).

      סעיף ג. המרובע הוא טרפז משום שנתון ש EP מקביל לצלע אחת של המלבן ולכן מקביל גם לצלע המקבילה לצלע זו.
      והוא טרפז שווה שוקיים ששניים מזוויותיו שייכות למשולש שווה צלעות, ובמשולש שווה צלעות הזוויות שוות ואם בטרפז זוויות הבסיס שוות אז הטרפז הוא שווה שוקיים.

      עזר?

      1. אתה יודע אולי אם זה קשור לחומר של כיתה ט' כי אני לא מבינה מה זה קטע אמצעי (לחומר של חמש יחידות)

        1. לומדים מתמטיקה

          קטע אמצעים במשולש לרוב נלמד ב ט וחוזרים עליו ב י. אבל יכול להיות שהמורה שלך החליט אחרת. זה נושא גדול שלא סביר שלמדו בכיתה בלי שאפילו תדעי שלימדו אותו. לכן לא כדאי לך ללמוד סתם – בלי שתדעי בוודאות שהוא חלק מהחומר שלך.
          קטע אמצעים במשולש הוא ישר היוצא מאמצע צלע אחת ומגיע אל אמצע צלע שנייה. התכונות שלו הן שהוא מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. חומר הלימוד כולל את המשפט שהזכרתי + 2 משפטים הפוכים. הדף הזה מדבר עליו
          http://www.m-math.co.il/math-9th-grade/triangle-middle-line/
          מקווה שהסתדר. בהצלחה

    1. לומדים מתמטיקה

      לא. במעוין 4 הזוויות אינן שוות.
      במעוין כמו במקבילית זוויות נגדיות (הנמצאות זו מול זו) שוות. כמו כן זוויות סמוכות משלימות ל 180 מעלות – בגלל התכונה של ישרים מקבילים.
      אם הזוויות היו שוות אחת לשנייה אז הן היו צריכות להיות שוות ל 90 מעלות. תכונה זו קיימת במלבן וריבוע בלבד.

  14. מי שעשה את הדבר הזה הוא פשוט הגיבור שלי
    הצלת אותי מלהיכשל במבחן כי במקרה התרגיל השלישי היה במבחן שלי
    פשוט תותח…

    1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

      היי. יש לי שאלה: אני בכיתה ט ויש לי מבחן במתמטיקה בין יתר הנושאים מלבן ומעוין…. מה לדעתך היו השאלות שישאלו (כלומר, הכי נפוצות בד״כ) ואיך כדי להוכיח לפי מה שישאלו? תודה מראש

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        התשובה שלי תהיה איך כדאי ללמוד את נושא המעוין והמלבן, ואני מקווה שזה יעזור לך גם במבחן.
        דבר ראשון צריך לדעת את משפטי המקבילית, המעוין, והמלבן. הם הבסיס לפתרון שאלות.
        באתר יש טיפים כיצד לזכור את משפטי המקבילית והמעוין.
        לא זכרת משפט שמתמשים בו בשאלה? לא תצליח לפתור את השאלה.
        לאחר מיכן השאלות מתחלקות לשני סוגים:
        שאלות בהם נתונה הצורה וצריך להשתמש בתכונות שלה.
        ושאלות בהם בהם צריך להוכיח את הצורה.
        אתה צריך להיות מוכן לשני סוגי השאלות הללו.
        בהצלחה.