מקבילית

מקבילית היא אחת הצורות היותר חשובות בהנדסת המישור משום שמלבן, ריבוע ומעוין הם סוגים של מקבילית וכדי להבין אותם צריך להבין מקבילית.

בדף זה נלמד:

  1. הגדרת המקבילית.
  2. זוויות במקבילית.
  3. איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית (5 משפטים).
  4. שטח מקבילית.
  5. מקביליות מיוחדות.
  6. וידאו: 6 הדרכים המרכזיות לפתרון שאלות בנושא מקבילית.
  7. וידאו: 6 מצבים במקבילית שכדאי לכם להכיר.
  8. תרגילים עם פתרונות מלאים.

באתר תוכלו ללמוד גם על הצורות הבאות:

  1. דלתון.
  2. טרפז.
  3. מלבן.
  4. מעוין.
  5. ריבוע.

בנוסף, הנושאים הבאים של אלגברה לכיתה ט:
טרינום, פירוק לגורמים, נוסחאות הכפל המקוצר ועוד בדף מתמטיקה לכיתה ט.

1. הגדרת מקבילית

נהוג להגדיר מקבילית כמרובע שבו יש שני זוגות של צלעות מקבילות.
אבל זה לא ממש חשוב. יש 5 דרכים להוכיח שמרובע הוא מקבילית וכל אחת מהדרכים שימושית ויכולה לשמש כהגדרת המקבילית.

2. זוויות במקבילית

זוויות נגדיות – אלו הן זוויות שאין להן צלע משותפת.
במקבילית אלו זוויות הנמצאות אחת מול השנייה.
A, C אלו זוויות נגדיות.
B,D אלו זוויות נגדיות.
התכונה שלהם:
זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
זה משפט שניתן להשתמש בו ללא הוכחה.

זוויות סמוכות – אלו זוויות הנמצאות ליד אותה צלע.
לכל זוויות במקבילית יש שתי זוויות סמוכות.
הזוויות הסמוכות של A הן D ו B.
הזוויות הסמוכות של D הן A ו C.

התכונה שלהם
זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל 180 מעלות.
וזה בגלל שהן זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים.
אם A = 110
אז D = 70
וגם B = 70

3. איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית?

אלו הם חמשת המשפטים להוכחה שמרובע הוא מקבילית:
1) מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.

מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.

 

2)  מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.

הסבר למשפט הזה: המשפט הזה דורש שלזוג צלעות במקבילית יהיו שתי תכונות גם שוות וגם מקבילות.
לעומת שני המשפטים הקודמים הדורשים תכונה אחת בלבד, שוות או מקבילות, משני זוגות של צלעות במקבילית.

מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות נגדיות שוות בגודלן הוא מקבילית
אם AD=BC וגם AB=CD אז המרובע ABCD הוא מקבילית

 

3) מרובע שבו זוג אחד של צלעות שוות מקבילות הוא מקבילית.

מרובע שיש בו זוג אחד של צלעות שהן גם שוות וגם מקבילות הוא מקבילית
אם AD= BC וגם AD מקביל ל BC אז המרובע ABCD מקבילית.

 

4) מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.
אם AO=OC וגם BO=OD אז מרובע ABCD הוא מקבילית

5) מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
אם A= ∠C∠ וגם B = ∠D∠ אז מרובע ABCD הוא מקבילית

המשפטים הללו הם סופר חשובים משום שגם על מנת להוכיח שמרובע הוא מלבן / מעוין / ריבוע הרבה פעמים מוכיחים קודם שהמרובע הוא מקבילית ואז צריך להשתמש במשפטים הללו.

לפעמים אתם לא בטוחים אם תכונה מתאימה למקבילית או לצורה אחרת?
סרטון זה יעזור לכם לדעת מבלי שתצטרכו לשנן דבר.

4.דרכי מחשבה להוכיח שמרובע הוא מקבילית

הדרכים הללו מוסברות בשני סרטונים. הסרטון המרכזי נמצא כאן. בדף הוכחת מקבילית נמצא גם הסרטון המשני + הסברים בכתב.

סיכום משפטי המקבילית

משפטים בהם משתמשים אם נתונה מקבילית:

  1. במקבילית כל שתי צלעות מקבילות זו לזו.
  2. במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.
  3. במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו.
  4. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה.

בנוסף:
שתי זוויות סמוכות על אותה צלע משלימות ל 180 מעלות.
כדוגמה: אם בשרטוט שלמעלה זווית D = 60 אז  A = 120.
זו תכונה שיש לדעת אך צריך להוכיח אותה אם משתמשים בה.
ההוכחה מתבצעת בעזרת זוויות מתאימות / חד צדדיות בין ישרים מקבילים.

משפטים בהם משתמשים אם צריך להוכיח שצורה היא מקבילית:

  1. מרובע שבו שני זוגות זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
  2. מרובע שבו שני זוגות צלעות נגדיות שוות זו לזו הוא מקבילית.
  3. מרובע שבו שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות זו לזו הוא מקבילית.
  4. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
  5. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

משפטים הקשורים לישרים מקבילים בהם ניתן להשתמש ללא הוכחה:

  • כיצד מוכיחים ששני קווים הם מקבילים?
    – אם שני ישרים נחתכים על ידי ישר שלישי ונוצרות זוויות מתאימות ו/או מתחלפות שוות אז הישרים מקבילים.
  • המשפט ההפוך:
    אם שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי אז הזוויות המתאימות שוות זו לזו והזוויות המתחלפות שוות זו לזו.

תרגילים ומידע נוסף בדף תכונות ישרים מקבילים.

סיכום תכונות המקבילית:

צלעות נגדיות שוות, צלעות נגדיות מקבילות, זוויות נגדיות שוות, האלכסונים חוצים זה את זה
צלעות נגדיות שוות, צלעות נגדיות מקבילות, זוויות נגדיות שוות, האלכסונים חוצים זה את זה

תכונה נוספת שקיימת היא שכאשר מעבירים אלכסונים בתוך המקבילית מקבלים שני זוגות של משולשים חופפים.
בבחינה עליכם להוכיח תכונה זו ולא ניתן להישען עליה כמשפט. ניתן להוכיח זאת בקלות על פי צ.צ.צ.
AOB ≅ COD
AOD ≅ COB
מידע על תכונות מקבילית נוספות כולל תכונות אלכסונים תמצאו דף מקבילית תכונות.

4. שטח והיקף מקבילית

  1. שטח מקבילית (s) נתון על ידי מכפלת צלע מקבילית (a) כפול הגובה לצלע. s=a*h
  2. היקף מקבילית שווה לסכום שתי צלעות סמוכות כפול שתיים. (p=2(a+b.
  3. תרגילים בנושא שטח מקבילית יש בקישור.
שטח והיקף מקבילית
שטח והיקף מקבילית

5. מקביליות מיוחדות

מקביליות זו לא רק צורה אחת אלא קבוצה של צורות שלכולם יש את התכונות שכתבנו כאן + תכונות המיוחדות רק להן.

  1. מעוין – מקבילית בה שתי צלעות סמוכות שוות. ו/ או אלכסונים מאונכים ו/ או אלכסונים חוצי זווית.
  2. מלבן – מקבילית שבה הזוויות שוות ל- 90 ו/או אלכסונים שווים באורכם.
  3. ריבוע – מקבילית הכוללת את תכונות המקבילית, מעוין ומלבן.

6. 6 מצבים במקבילית שכדאי לכם להכיר

בסרטון וידאו זה תכירו 6 מצבים ומשפטים שיעזרו לכם לפתור שאלות במרובעים מקבילית, מלבן, מעוין וריבוע.
את כל המצבים והמשפטים אתם צריכים להוכיח כאשר אתם משתמשים בהם. ההוכחה מופיעה בסרטון.
בסוף הסרטון עוד שני טיפים קטנים.

7. מקבילית תרגילים

תרגילים 1-3 הם תרגילים פשוטים לתרגול תכונות המקבילית.
תרגילים 4-7 הם תרגילי הוכחת מקבילית. תרגילים נוספים באותו נושא  תמצאו בדף הוכחת מקבילית.
תרגילים 8-13 הם תרגילים המשתמשים בתכונות המקבילית וצורות אחרות.

תרגיל 1
במקבילית ABCD זוויות:
A=5X∠
D = 4X∠.
חשבו את זוויות המקבילית.

שרטוט התרגיל
רמז לפתרון
  1. סכום זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים הוא 180 מעלות.
  2. זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
פתרון

שלב 1: מציאת x וזוויות A,D
A + ∠D = 180∠ סכום זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים הוא 180 מעלות.
4x + 5x = 180
9x = 180  / :9
x=20

זווית A:
5x = 100.
זווית D:
4x = 80

שלב 2: מציאת זוויות B,C
C = ∠A = 100∠
D = ∠ B = 80∠
זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

 

תרגיל 2
במקבילית ABCD ידוע כי:
D = Y+20∠
B = 2Y-20∠
AB = 2X
CD = 3X-10
DA = X
חשבו את זוויות וצלעות המקבילית.

שרטוט התרגיל

רמז לפתרון
  1. זוויות נגדיות וצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. סכום זוויות חד צדדיות בין קווים מקבילים הוא 180.

 

פתרון

שלב 1: מציאת הזוויות
זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו. לכן:
y+20= 2y – 20 / +20-y
y=40
D = ∠B = 40+20=60∠

נמצא את זוויות A,C בעזרת תכונת זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים
A = ∠C = 180-60 = 120∠  זוויות חד צדדיות במקבילית.

שלב 2: מציאת הצלעות
צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו, לכן:
AB=CD

2X = 3X-10  / -2X+ 10
X=10
AB = CD = 2X=20
AD = BC = X = 10.

 

תרגיל 3
האם יתכן שבמקבילית אורכי האלכסונים יהיו 20 סנטימטר ו 10 סנטימטר ואילו צלע המקבילית תהיה באורך 15 סנטימטר?

פתרון

לא.
התשובה מבססת על כך ש:

  1. אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה, לכן הם אמורים ליצור עם צלע המקבילית משולש שאורך צלעותיו 5,10,15 סנטימטר.
  2. לצלעות המשולש יש תכונה: סכום כל שתי צלעות במשולש גדול יותר מאורך הצלע השלישית. במשולש שקיבלנו סכום שתי הצלעות הקטנות 5,10 שווה לצלע השלישית 15 (ולא גדול). לכן משולש זה אינו אפשרי.
משולשים ADO ו COD הם משולשים שלא יכולים להתקיים במציאות. כי סכום שתי צלעות במשולש חייב להיות גדול יותר מהצלע השלישית.
משולשים ADO ו COD הם משולשים שלא יכולים להתקיים במציאות. כי סכום שתי צלעות במשולש חייב להיות גדול יותר מהצלע השלישית.

תרגיל 4
במקבילית ABCD אורכי הצלעות הן:
BC = 3,  CD = 10
ידוע כי הגובה לצלע BC גדול ב 4.666 סנטימטר מהגובה AE לצלע CD.
מצאו את אורכי הגבהים AE, AF.

פתרון

נגדיר:
x  אורך הגובה AE.
x + 4.666   אורך הגובה AF.

נשתמש בכך שניתן לחשב את שטח המקבילית בשתי דרכים:
S1 = AE * CD = 10x
וגם:
(S2 = AF * CB = 3(x + 4.666

מכוון שהשטח שווה בשני החישובים המשוואה היא:
S1 = S
(10x = 3(x + 4.666
10x = 3x + 3 * 4.666
10x = 3x  + 14
7x = 14  / :7
x = 2

תשובה:
AE = x = 2
AF = x + 4.666 = 6.666
סנטימטר

 

תרגיל 5
במקבילית ABCD נקודת מפגש האלכסונים היא O.
הישר AE חוצה את זווית DAO∠ וגם AE⊥DO.
BC= 5,  AE = 3 ס"מ.
חשבו את אורכי האלכסונים במקבילית.

שרטוט התרגיל


רמז לפתרון
  1. חשבו את DE.
  2. משולש שבו חוצה זווית הוא גם גובה הוא משולש שווה שוקיים. השתמשו גם בתכונת אלכסוני המקבילית.

 

פתרון

מציאת האלכסון AC

 טענהנימוק
1AD=BC = 5צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
2 AOD משולש שווה שוקייםמשולש שבו הגובה הוא חוצה זווית הוא שווה שוקיים
3AO=AD = 5משולש AOD הוא משולש שווה שוקיים.
4AC=10אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.

מציאת האלכסון BD

 טענהנימוק
15² = DE² + 3²
DE² = 16
DE=4
במשולש ADE על פי משפט פיתגורס:
2OD = 2DE = 8במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון.
3BD  = 2*8=16אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.

תשובה: BD =16, AC = 10 סנטימטר.

 

תרגיל 6
נתונה מקבילית ABCD. מאריכים את צלע BA כך ש BA=EA.
הוכיחו: מרובע ACDE הוא מקבילית.

מקבילית, שרטוט התרגיל

 

רמז לפתרון
  1. זהו עוד צלע ששווה לצלע EA.
  2. חפשו משפט המוכיח מקבילית.
פתרון

 

שלב 1: נוכיח DC = AB

 טענהנימוק
1EA=ABנתון
2DC = ABצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
3DC = ABנובע מ- 1 ו- 2.

שלב 2: נוכיח שהמרובע ACDE הוא מקבילית

 טענהנימוק
1DC || EAצלעות נגדיות במקבילית מקבילות. ואם ישר מקביל לצלע (AB) הוא מקביל גם להמשכה (כלל המעבר).
2מרובע ACDE הוא מקביליתמרובע שיש לו זוג צלעות שוות וגם מקבילות הוא מקבילית.

 

תרגיל 7
נתונה מקבילית ABCD .
מורידים שני גבהים AE ⊥ BC ו- CF ⊥ AD.
הוכיחו: מרובע BEDF הוא מקבילית.

מקבילית שרטוט התרגיל

 

רמז לפתרון
  1. הרעיון בתרגיל זה הוא להוכיח צלעות שוות (BE=FD) בעזרת חפיפת משולשים.
  2. מרובע שזוג צלעות שלו שווה ומקביל הוא מקבילית.
פתרון

בחלקים 1-6 נוכיח באמצעות חפיפת משולשים כי BE=FD
בחלקים 7-8 נוכיח כי מרובע BEDF הוא מקבילית

 טענה נימוק
1D = ∠B∠זוויות נגדיות במקבילית ABCD שוות.
2CFD = ∠AEB∠ = 90נתון.
3DCF = 180 – ∠CFD – ∠D = 180 – ∠AEB – ∠B = ∠BAE
DCF =  ∠BAE∠
נובע מ 1-2
4AB=DCצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
5ΔCFD ≅ ΔAEBנובע מ- 1,3,4. על פי ז.צ.ז.
6BE=FDצלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות זו לזו.
7BE  ΙΙ FDצלעות נגדיות (או חלק מצלע) במקבילית ABCD מקבילות זו לזו.
8BEDF מקביליתנובע מ 6 ו- 7. מרובע שבו זוג צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.

 


תרגיל 8
נתונה מקבילית ABCD. דרך נקודת מפגש אלכסוני המקבילית (O) מעבירים קו FH.
הוכיחו: מרובע AHCF הוא מקבילית.

מקבילית, שרטוט התרגיל

 

רמז לפתרון
  1. הוכחה בעזרת חפיפת משולשים ש- FO=OH.
  2. מציאת משפט המוכיח שמרובע הוא מקבילית בעזרת תכונות האלכסונים.
פתרון

בשלבים 1-5 נוכיח בעזרת חפיפת משולשים  ΔHAO ≅ ΔFCO  ש- FO=OH.
בשלב השישי נוכיח שהמרובה מקבילית.

 טענה נימוק
1FCO  = ∠HAO∠זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (BC ו- AD) שוות זו לזו.
2COF = ∠AOH∠זוויות קודקודיות שוות
3CO= AOאלכסוני המקבילית ABCD חוצים זה את זה.
4ΔHAO ≅ ΔFCOנובע מ 1,2,3. על פי ז.צ.ז.
5FO=HOצלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
6מרובע AFCH הוא מקביליתמרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית. ( נובע מ- 3 ו-5).

 


תרגיל 9
נתונה מקבילית ABCD מהקודקודים A ו- C מוציאים ישרים כך שזווית FCD שווה לזווית EAB.
הוכיחו: מרובע AECF הוא מקבילית.

מקבילית, שרטוט התרגיל

 

רמז לפתרון
  1. מוכיחים חפיפת משולשים בעזרת תכונות המקבילית.
  2. יש מספר דרכים להוכיח כאן. כאן תוסבר הדרך המשתמשת במשפט "מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות שוות הוא מקבילית"

 

פתרון

שלב 1: הוכחה ש- FC=AE בעזרת חפיפת המשולשים ΔFCD ≅ ΔEAB

 טענה נימוק
1FCD = ∠EAB∠נתון
2B=∠D∠זוויות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
3AB=DCצלעות נגדיות במקבילית שוות זוז לזו.
4ΔFCD ≅ ΔEABמשולשים חופפים, נובע מ 1,2,3. על פי ז.צ.ז.
5FC=AEצלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות זו לזו.

שלב 2: הוכחה ש- AF = EC בעזרת חיסור צלעות והוכחת מקבילית

 טענה נימוק
6FD=BEצלעות מתאימות במשולשים חופפים.
7AD=BCצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
8AF=AD-FD=BC-BE=EC.נובע מ 1,2.
9AF = ECמשוואה 3
10המרובע AECF הוא מקבילית.מרובע עם שתי זוגות צלעות שוות זו לזו הוא מקבילית. (נובע מ 5,9)

 


תרגיל 10
היקף מקבילית הוא 80 ס"מ. היחס בין אורכי צלעות המקבילית הוא 1:3.
חשבו את אורך צלעות המקבילית.

שרטוט התרגיל
רמז לפתרון
  1. מגדירים את שתי צלעות המקבילית בעזרת משתנה אחד.
  2. מוצאים את המשתנה בעזרת הנוסחה להיקף מקבילית.

 

פתרון

שלב 1: הגדרת משתנה ובאמצעותו הגדרת איברים נוספים
x  אורך הצלע הקצרה של המקבילית
3X אורך הצלע הארוכה.

שלב 2: בניית משוואה
הגדלים של ארבעת צלעות המקבילית הם:
x, x, 3x, 3x

סכום הצלעות הוא 80 לכן המשוואה היא:
x+3x+x+3x = 80
8x=80
x=10
אורך צלעות המקבילית הוא 10 ו 30 ס"מ.

 

תרגיל 11
במקבילית ABCD הישר DE יוצר משולש שווה שוקיים AD= AE.
A = 80∠.
הוכיחו כי DE הוא חוצה זווית D.

שרטוט התרגיל

 

רמז לפתרון
  1. מוצאים את זוויות המשולש ADE.
  2. משתמשים בזוויות מתחלפות בין קווים מקבילים.

 

פתרון

הערה: עלינו בעצם להוכיח EDC = ∠AED∠.

 טענה נימוק
1ADE = ∠AED = 100:2=50∠במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו + סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
2EDC = ∠DEA = 50∠זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
3EDC = ∠AED = 50∠נובע מ 1,2.
לכן DE הוא חוצה זווית.

 

תרגיל 12
במקבילית ABCD נתון כי אורך הצלע הקצרה הוא חצי מאורך האלכסון BD.
נתון כי CO ⊥ DE.
מצאו פי כמה גדול אורך האלכסון CA מהקטע CE.

 

פתרון

בשלבים 1-4 נוכיח כי המשולש DOC הוא משולש שוקיים
בשלבים 5-7 פי כמה גדול אורך האלכסון CA מהקטע CE.

 טענהנימוק
1BD=2Xהגדרה
20.5BD = DO = Xאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
30.5BD = DC = Xנתון
4DO=DCנובע מ- 2 ו- 3.
5CE=½COבמשולש שווה שוקיים DOC הגובה הוא גם תיכון.
6AC = 2COאלכסוני המקבילית חוצים זה את זה.
7CE=¼ACנובע מ 5-6.

תשובה: האלכסון AC גדול פי 4 מהצלע CE.

 

תרגיל 13
במקבילית ABCD הישר AE הוא חוצה הזווית של זווית A ו BE הוא חוצי הזווית של זווית B.
הוכיחו כי AEB = 90∠.

מקבילית, שרטוט התרגיל

 

רמז לפתרון
  1. נגדיר את זוויות המקבילית בעזרת שני משתנים.
  2. נחשב סכום שתי זוויות בעזרת זוויות חד צדדיות בין מקבילים

.

פתרון

בשלבים 1-4 נגדיר את זוויות משולש AEB בעזרת משתנה
בשלבים 5-6 שמשולש AEB הוא משולש ישר זווית

 טענהנימוק
1A = 2Xנגדיר
2DAE = ∠EAB = x∠AE הוא חוצה זווית.
3B = 180 – 2X∠זווית B משלימה את זווית A ל- 180 מעלות.
4CBE = ∠EBA= 90 – X∠מכוון ש BE הוא חוצה זווית.
5AEB = 180 – X- (90 – X 
AEB  = 180-90=90
סכום זוויות במשולש AEB הוא 180 מעלות.
6AEB הוא משולש ישר זוויתנובע מ 5

 

תרגיל 14
במקבילית ABCD הנקודה E נמצאת על המשך הצלע DA.
הישר CE חותך את הצלע AB כך ש AF= FB.

  1. הוכיחו EFA ≅ CFB.
  2. הוכיחו EA=AD. (רמז, היעזרו בחפיפת המשולשים)
  3. הוכיחו מרובע ACBE הוא מקבילית.
שרטוט התרגיל

 

פתרון

שלב א: נוכיח את חפיפת המשולשים EFA ≅ CFB 

 טענהנימוק
1FBC = ∠FAE∠זווית מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים (BC ו DE).
2EFA = ∠BFC∠זוויות קודקודיות שוות.
3AF= FBנתון
4EFA ≅ CFBחפיפת משולשים על פי ז.צ.ז.

 

חלק ב:
עלינו לחפש משהו שמקשר בין EA ל AD.
ו"המשהו הזה" הוא BC ששווה לשניהם.

 טענהנימוק
5EA = BCצלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
6AD= BCצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
7EA=ADנובע מ 5,6
8EF = FC צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
9AF= FBנתון
10ACBE מקביליתמרובע שהאלכסונים שבו חוצים זה את זה הוא מקבילית.

 

תרגיל 15: משפט הסינוסים והקוסינוסים במקבילית
(אם אתם צריכים תזכורת למשפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים)

נתונה מקבילית ABCD. מהקודקודים B ו- C העבירו שני ישרים לצלע AD הנפגשים בנקודה E.
נתון EBC=40∠ ו- ECB=60∠.  צלע המקבילית BC=10 ס"מ.
CD=2ED.
חשבו את ED.

שרטוט התרגיל

 

פתרון

הרעיון שמאחורי הפתרון: להשתמש במשולש BEC ובתכונות המקבילית על מנת להוסיף נתונים למשולש CDE כך שנוכל לגלות את אורכי הצלעות והזוויות שלו.

אם אתם תקועים שאלו את עצמכם: האם השתמשתם בתכונות המקבילית? האם מצאתם משולש שבו יש מספיק נתונים כדי להשתמש במשפט הקוסינוסים / סינוסים?

בשלבים 1-3 נוסיף נתונים למשולש CED.
בשלבים 4-6 נפתור התרגיל במשולש CED.

 טענהנימוק
1BEC = 180-60-40=80משלימה ל 180 מעלות במשולש BEC.
2BC / sin 80 = CE / sin 40
CE = BC * sin 40 / sin 80 = 6.52
במשולש BEC על פי משפט הסינוסים
3CED = ∠BCE = 60זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
4DE=X, CD=2X.הגדרה
5CD² = DE² + CE² – 2DE*CE*cos 60
2x)² = x²  + 6.52²  -2x*6.52*cos 60=  x² + 42.51 -6.52x)
3x² +6.52x-42.51 = 0
על פי משפט הקוסינוסים במשולש CED:
6DE=2.83פתרונות המשוואה הריבועית הם 2.83 ו 5-. רק 2.83 יכול להיות אורך של צלע לכן DE=2.83

עוד באתר בנושא טריגונומטריה:

  1. משפט הסינוסים – תיאוריה ותרגילים.
  2. טריגונומטריה – הדף המרכזי בנושא הכולל קישורים לדפים נוספים.

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

32 מחשבות על “מקבילית”

  1. אשמח אם תוכל לעזור לי.
    נתון מקבילית ABCD, ונתון O נקודת מפגש אלכסונים. נתון F נקודה על צלע BC כך … (המשך השאלה הוסר)
    מהו היקף המקבילית.
    אשמח לתשובה. תודה רבה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      OF הוא קטע אמצעים במשולש כי הוא יוצא מאמצע צלע ומקביל לבסיס.
      מכאן השתמשי בתכונות קטע אמצעים עם מנת לענות.

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    תודה רבה על הנושא מפורט בצורה מעולה
    מפורט ומנומק מכמה זויות ומחשבה

  3. חייבת להגיד שהסרטונים ממש עוזרים להבין תודה רבה ובעייני חסר לי יש שאלות בחוברת על מרובע שהוא מלבן ובתוכו מקבילית ואז לא ידעתי מה לעשות

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נועם. תודה על המחמאה.
      האתר מנסה לתת כלים להתמודד עם בעיות אבל יהיו בעיות שלא יהיו כאן.

      אם יש לך שאלה מסוימת שהיא בעייתית נסי לתאר אותה כאן ואנסה לעזור.

  4. בואנה יגבר אתה לא מבין כמה האתר שלך עוזר לי זה לא פעם ראשונה שאני מוצא את עצמי פה לפני מבחן וזה ממש מציל! תותח!

  5. מעולם לא למדתי מתמטיקה וכאלה.. יש לי חוסר הבנה אולי שטותי אבל אשמח אם מישהו יענה לי. חוק 2 אמר שאם שני זוגות צלעות במרובע שוות זו לזו אז זו מקבילית.
    ולא כתוב שדווקא זוג צלעות מקביל ואם כן אינו נכון ויתכנו זוג צלעות סמוכות באורך x ושתיים אחרות באורך y ואז אין זו מקבילית.!!!???

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום. מי שיורד לדקויות סימן שהוא מבין.

      חוק 2 אומר "מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית" ואני מדגיש "נגדיות". במקרה ושתי צלעות נגדיות שוות אז זו מקבילית.

      אם אלו דווקא צלעות סמוכות שוות אז זו לא מקבילית אלא דלתון.

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        מה שכתבת לא נכון.
        משפט ההוכחה אומר "אם במרובע זוג צלעות שוות ומקבילות אז המרובע הוא מקבילית".
        זה באמת משפט שנוטים להתבלבל בו.
        בהצלחה

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום.
          על דברים כלליים קשה לענות, על דברים ספציפיים יותר קל.
          אם תגידי מה הוא הדבר הראשון בדף שאת לא מבינה אנסה להסביר אותו.

  6. אני יום לפני מבחן די גדול (בערך משקל של 45%) גרועה בגיאומטריה ברמות שמסתכלת על תרגילים שעושים בכיתה ולא מבינה על איזה תכונות ועל מה הם מדברים בכלל ואז מצאתי את האתר הזה וזה כזה טוב!! לקחתי מפה מלא חומרים ומקווה שאצליח לשנן ולהבין את הכל למחר… תודה!

    1. יש לי יום אחרי יום העצמאות מבחן ענק במתמטיקה ואני לא יודעת מתי אני יספיק ללמוד אבל האתר הזה מסביר ממש מושלם

  7. הייתי חייב-
    המילה"זוג" היא בלשון זכר,
    לכן יש לומר "שני זוגות" ולא "שתי זוגות" כמו הטעות הרווחת בדף זה. חבל שכל לומדי המתמטיקה יטעו בעברית הזו….

  8. בתרגיל 5 כתוב בנתונים כי "זווית FCD שווה לזווית AEB" אך בפתרון אתה כותב "FCD = ∠EAB∠ – נתון"

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום תומר. תודה רבה וזו טעות שלי בנתונים היה צריך להיות כתוב EAB∠ במקום מה שהיה כתוב בפועל AEB∠.
      הטעות תוקנה ועכשיו הכיתוב נכון.
      עזרתי לי וגם לאחרים. תודה.

  9. יונתן פיקצונברג

    אהבתי מאד את הסגנון הסבר שלך וכתוצאה מכך למדתי המון על המקבילית. תודה על הקדשת הזמן על דבר זה ואני מודה שלמדתי יותר טוב על המקבילית.

    1. לומדים מתמטיקה

      משמח ומרגש שזה תרם לך. מקווה שתשקיע ותלמד עוד המון בנוסף להמון שכבר למדת. אם בעתיד יהיה משהוא שהוא לא ברור לך אתה יכול לשלוח לכאן שאלה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.