טריגונומטריה במשולש ישר זווית: סינוס, קוסינוס, טנגס

דף זה מיועד לתלמידי 3 יחידות בכול הרמות ותלמידי 4-5 יחידות המתחילים ללמוד טריגונומטריה.

בדף זה:

1. 2 טיפים לפתרון תרגילים.
2. תרגילים – 6 תרגילים קשים יחסית למשולש ישר זווית.

לפני דף זה הייתם צריכים ללמוד:

•  שימוש בסיסי בפונקציות הסינוס קוסינוס טנגס.

2 טיפים לפתרון תרגילים

טיפ ראשון (והחשוב יותר)

הטיפ אומר כך:
לא משנה מה שואלים אותכם בשאלה.
בשלב הראשון עליכם לזהות משולש ישר זווית עם צלע וזווית או במקרים נדירים יותר שתי צלעות. ואז לבצע שימוש בפונקציות הסינוס, קוסינוס, טנגס, משפט פיתגורס על מנת להשיג עוד נתונים.

בשלב הראשון תשומת הלב שלכם צריכה להיות בנתונים ובזיהוי משולש ישר זווית עם צלע וזווית. אתם לא צריכים להתמקד במה ששואלים אותם.

דוגמה 1
בשרטוט הבא ידוע כי:
BD גובה לצלע AC.
B = 90, ∠C = 40.

1. אם AB = 8 באיזה משולש יש לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישובים?
2. אם BD = 6 באיזה משולש יש לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישובים?

פתרון
סעיף א: AB = 8
מכוון שלרוב יש יותר מזווית אחת שיודעים וגם ניתן להשלים זוויות במשולשים שונים.
יותר נוח לחפש משולש ישר זווית שהצלע הידועה שייכת אליו.

אנו יודעים רק צלע אחת. AB = 8.
אז לאיזה משולש ישר זווית הצלע AB שייכת?

למשולש ABC.
לכן, לא משנה מה שואלים אותנו אנו נבצע חישוב קודם במשולש ABC.
ואז אם נמצא למשל את הצלע BC נוכל לבצע חישובים גם במשולש CBD.

סעיף ב: BD = 6
הצלע BD שייכת למשולש CBD, במשולש זה אנו גם יודעים C = 40.
לכן נתחיל לבצע חישובים במשולש CBD.

שימו לב שהיינו יכולים גם למצוא A = 50.
ואז לבצע חישובים במשולש ישר זווית ABD.

דוגמה 2
במשולש ABC מעבירים את הגובה BD ואת הישר BE.
BE = 6.
זווית DBE = 20.
זווית EBA = 35
באיזה משולש נתחיל לבצע חישובים?
כיצד נוכל למצוא את AE?

פתרון
נחפש משולש ישר זווית שבו אנו יודעים זווית וצלע.
הצלע היחידה שאנו יודעים היא BE = 6 והיא שייכת למשולש ישר זווית BDE.
לכן לא משנה מה היו שואלים אותנו היינו מתחילים לבצע חישובים במשולש BDE ומשם מתקדמים.

סעיף ב: מציאת AE
במשולש BDE נוכל למצוא את ED ואת BD.
לאחר שמצאנו את BD אנו יכולים לבצע חישובים גם במשולש BDE ולמצוא את AD.

הצלע המבוקשת AE שווה ל:
AE = AD – ED

שימו לב
כאשר מבקשים שנמצא צלע שלא שייכת לאף משולש ישר זווית, כמו צלע AE סביר להניח שנמצא את הצלע בזו על ידי חיבור צלעות או חיסור צלעות.

טיפ שני

אם בשאלה נתון לכם משולש שווה שוקיים ולא עובר במשולש גובה אל הבסיס, סביר להניח שאתם צריכים להעביר גובה אל הבסיס על מנת לפתור את התרגיל.

הסיבה לכך היא שאנו צריכים משולשים ישרי זווית על מנת לבצע חישובים.
והעברת גובה לבסיס יוצרת לנו שני משולשים ישרי זווית.

ובנוסף הגובה הוא תיכון וחוצה זוויות.

דוגמה
במשולש שווה שוקיים ABC (כך ש AB = AC).
ידוע כי:
AB = 7
זווית A =40.
חשבו את אורך הבסיס BC.

פתרון
נעביר את AD גובה לצלע BC.
במשולש שווה שוקיים גובה לבסיס הוא גם תיכון וחוצה זווית.

מכוון ש AD הוא גם חוצה זווית:
BAD = CAD = 20

מכוון ש  AD הוא גם תיכון
BD = CD

במשולש ישר זווית ADB נוכל לכתוב:

BD = sin 20 * AB
BD = 0.342 * 7 = 2.394

הצלע המבוקשת BC גודלה 2BD. לכן:
BC = 2* 2.394 = 4.788

טיפ זה נכון גם לטרפז.
אם אתם מקבלים טרפז שאין בו גבהים רוב הסיכויים שאתם צריכים להעביר גבהים על מנת ליצור שני משולשים ישרי זווית (בטרפז רגיל ושווה שוקיים) או משולש ישר זווית אחד (בטרפז ישר זווית).

תרגילים

תרגיל 1 הוא תרגיל בסיסי לחזרה.
תרגילים 4-6 קשים יותר ולא מתאימים לשאלון 182.

תרגיל 1
במשולש ישר זווית אחת הזוויות היא 40 ואורך היתר הוא 10 ס"מ.
חשבו את אורך הניצבים בעזרת הפונקציות הטריגונומטריות סינוס / קוסינוס / טנגנס.

פתרון
נשרטט את הבעיה.

נחשב קודם את AC, הצלע שמול הזווית.
אנו מעוניינים לשלב במשוואה בין הצלע שמול הזווית (AC) לבין היתר BC.

sin (40) * 10 = AC
0.642*10=AC
AC=6.42 ס"מ.

נחשב את BC הצלע שליד הזווית.
פונקציית הקוסינוס היא הפונקציה המתאימה.

BC = 10 * cos 40
BC=0.766*10=7.66 ס"מ.

תרגיל 2
במשולש שווה שוקיים אורך השוק הוא 10 ס"מ ואורך הבסיס הוא 16 ס"מ.

1. חשבו את גודל זווית הבסיס וזווית הראש של המשולש.
2. חשבו או אורך הגובה לבסיס.

הרעיון של הפתרון:

1. במשולש שווה שוקיים בניית עזר נפוצה היא הורדת גובה / תיכון / חוצה זווית לבסיס.
   כי הישר הזה יוצר משולש ישר זווית – שרק בו אנו יודעים לעבוד.
2. בנוסף במשולש שווה שוקיים אותו ישר הוא גובה, תיכון וחוצה זווית לבסיס.
3. משפט פיתגורס הוא משפט שימושי מאוד, הכלי השני בחשיבותו לפתרון בעיות לאחר הפונקציות הטריגונומטריות.

פתרון
נעביר את AD גובה, תיכון וחוצה זווית לבסיס BC.

נסתכל על משולש ADC.
CD=8 – הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון וחוצה את הבסיס לשניים.
AC = 10 נתון.
על מנת למצוא את C∠ נשתמש בפונקציית הקוסינוס:

cos∠c = 0.8
c = 36.86∠

נחשב את זווית DAC∠
היינו לחשב את הזווית על ידי פונקציית הקוסינוס.
cos ∠ DAC = AD / AC
אבל במשולש DAC אנו יודעים כבר שתי זוויות לכן ניתן לחשב את זווית DAC בעזרת הכלל האומר שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.

DAC = 180 – 90 – 36.86 = 53.14∠
AD הוא חוצה זווית לכן זווית A שווה ל:
A = 53.14 * 2 = 106.28∠

תשובה: זוויות משולש ABC הן:
B = ∠C = 36.86∠
A = 106.28∠

סעיף ב: חישוב אורך הגובה AD.
דרך 1:
במשולש ADC על פי משפט פיתגורס.
AD² + DC² = AC²
AD² + 8² = 10²
AD² + 64 = 100 / -64
AD² = 36
AD = 6

דרך 2.
בעזרת אחת מהפונקציות הטריגונומטריות.

AD = 10 * sin 36.86
AD = 10 * 0.6 = 6
תשובה: אורך הגובה AD הוא 6 סנטימטר.

תרגיל 3
במשולש ABC אורך היתר AB=16 ס"מ (מצורף שרטוט). הזווית B שווה ל- 70 מעלות והישר BD  הוא חוצה הזווית שלה.

1. חשבו את אורך הניצב BC.
2. חשבו את CD.

פתרון

הרעיון של הפתרון
יש לנו בשרטוט שני משולשים ישרי זווית, BCD ו- ABC הכוללים את הצלע המבוקשת BC.
מי ממכם שמסתכל רק על משולש BCD  ומתעקש שמשם הוא יפתור את השאלה לא יצליח.
הפתרון מתחיל במשולש ABC, רק במשולש זה יש מידע על צלע.
לכן אל תהיו מקובעים, אם אין מספיק נתונים במשולש אחד בדקו האם יש משולש ישר זווית אחר שבו יש מספיק נתונים.

במשולש ABC

BC = 16 * cos 70
0.34*16=BC
BC=5.47 ס"מ.

עכשיו עלינו להסתכל על משולש BCD.
DBC=35∠ – נתון BD חוצה זווית של 70 מעלות.

CD = 5.47 * tg 35
CD = 5.47 * 0.7 = 3.83
CD = 3.83 ס"מ.

תשובה: BC=5.47 ס"מ.
CD = 3.83 ס"מ.

 4. תרגילים קשים יותר

השאלות הן ברמת בגרות לשאלון 381. (3 יחידות).
מה שמיוחד בשאלות הללו הוא:

1. צריך לזהות צלע או זוויות השייכים לשני משולשים ישרי זווית.
2. צריך לבצע חישוב במשולש שאינו ישר זווית בעזרת מידע על משולש ישר זווית.

תרגיל 4
(שאלה הלקוחה מתוך המאגר של משרד החינוך).
(לשאלה זו פתרון וידאו לאחר הפתרון הכתוב).

במשולש ישר זווית ABC אורך היתר הוא 40 ס"מ.
והזווית CAB∠ היא בת 44 מעלות.
נקודה D נמצאת על ניצב ADC כך ש ADC = 53∠.
חשבו את אורך הקטע BD.

דרך הפתרון

1. הצלע המבוקשת BD נמצאת במשולש שאינו ישר זווית ואנו לא יודעים לעשות בו חישובים.
   אבל BD = BC – DC. והצלעות CB ו CD כן שייכות למשולשים ישרי זווית, לכן ננסה למצוא אותן.
2. יש כאן שני משולשים ישרי זווית. משולש ABC ומשולש ADC. האיבר המשותף לשני המשולשים הוא הצלע AC (וכמובן גם הזווית הישרה C∠).
3. במשולש ABC יש מספיק מידע על מנת לעשות כל חישוב שנרצה (נחשב את BC ו AC). ולאחר שנחשב את AC נוכל לעשות כל חישוב שנרצה במשולש ADC (נחשב את CD).
4. BD = BC – DC

פתרון

1.   במשולש ABC נחשב את BC.
BC / BA = Sin 44
BC / 40 = 0.694
BC = 0.694 * 40 = 27.786

2.  נחשב את צלע AC במשולש ABC.
ניתן לעשות זאת בעזרת אחת הפונקציות הטריגונומטריות או משפט פיתגורס.
AC² = AB² – BC² = 40² – 27.786²
AC² = 1600 – 772 = 828
AC = 28.77

3. במשולש ADC נחשב את CD.

CD = 28.77 * / tg 53 = 28.77 / 1.327 = 21.68

4. נחשב את BD.
BD = BC – DC
BD = 27.786 – 21.68 = 6.106
תשובה: BD = 6.106 ס"מ.

תרגיל 5
(שאלה הלקוחה מתוך המאגר של משרד החינוך)

במשולש ישר זווית ABC (הזווית ACB = 90∠).
CBA = 40∠. אורך הניצב אל מול זווית זו הוא AC = 7 ס"מ.
CE הוא תיכון ליתר ו CD הוא גובה ליתר.

1. חשבו את אורך היתר AB.
2. חשבו את CD.
3. חשבו את AD.
4. חשבו את שטח משולש CDE.

הדרך לפתרון

1. ניתן לפתור את סעיף ב של השאלה בעזרת תשומת לב לכך שהזווית A∠ וגם הצלע AC משותפים לשני משולשים ישרי הזווית ABC ו ADC.
   האיברים המשותפים הללו מאפשרים לבצע חישובים בשני המשולשים.
2. הקטע DE נחוץ לחישוב שטח משולש CDE. ניתן למצוא את DE על ידי חיסור צלעות.

פתרון

1. חישוב AB.
במשולש ABC.

AB = AC / sin 40
AB = 7 / 0.642 = 10.9

2. חישוב CD.
סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180 ולכן
A = 180 – 90 – 40 = 50∠
במשולש ADC.

CD = AC * sin 50 = 7 * 0.766 = 5.36

3. חישוב AD.
במשולש ADC ניתן לחשב בעזרת פונקציה טריגונומטרית או משפט פיתגורס.
AD² = AC² – CD² = 7² – 5.36²
AD² = 49 – 28.729 = 20.21
AD = 4.5

4. חישוב שטח משולש CDE.
נחשב את DE בעזרת חיסור קטעים ותכונות התיכון.
AE = AB : 2 = 10.9 : 2 = 5.45
DE = AE – AD = 5.45 – 4.5 = 0.95
שטח המשולש הוא:
S_CDE = (DE + CD) / 2 = (0.95 * 5.36) / 2
S_CDE = 5.092 / 2 = 2.546
תשובה: שטח משולש CDE הוא 2.546 סמ"ר.

תרגיל 6
(שאלה הלקוחה מתוך מאגר השאלות של משרד החינוך)

במשולש ישר זווית ABC (זווית B = 90∠) נתון כי
צלע BC = 7 ס"מ.
ACD = 25∠.
על המשך הישר AB נמצאת הנקודה D כך ש CD = 10 ס"מ.
חשבו את:

1. הצלע AC
2. הצלע AB.
3. זווית DAC∠
4. הצלע BD.
5. שטח משולש DAC.

פתרון

סעיף א: חישוב הצלע AC.
במשולש ABC
BC = 7,  ∠ACB = 25
BC היא הצלע שליד הזווית לכן נשתמש בפונקציית הקוסינוס.

AC * COS 25 = 7
AC = 7 / COS 25
AC = 7.723
תשובה: AC = 7.723

סעיף ב: חישוב הצלע AB.
במשולש ABC
ניתן לחשב את AB בעזרת משפט פיתגורס או בעזרת פונקציות הטנגס או הסינוס.

AB = sin 25 * 7.723
AB = 0.422 * 7.723 = 3.2638
תשובה: AB  = 3.2638 ס"מ.

סעיף ג: מציאת DAC∠
במשולש ABC סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות ולכן:
BAC = 180 – 90 – 25 = 65∠

זוויות BAC, ∠DAC∠ הן זוויות צמודות. ולכן משלימות ל 180 מעלות.
DAC + BAC = 180
DAC + 65 = 180   / -65
DAC = 115∠

סעיף ד: מציאת BD.
במשולש DBC אין לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישובים בעזרת סינוס / קוסינוס / טנגס.
ניתן לבצע את החישוב בעזרת משפט פיתגורס.
CD² = BC² + BD²
BD² = CD² – BC² = 10² – 7²
BD² = 51
BD = √51

סעיף ה: חישוב שטח משולש DAC.
נחשב את אורכו של DA.
DA = BD – AB = √51 – 3.2638 = 3.877

הצלע BC = 7  היא גובה לצלע DA. משום שהיא גובה ל DB.
לכן שטח המשולש הוא:

S_DAC = BC * DA / 2
S_DAC = 7 * 3.877 * 0.5 = 13.57

תשובה: שטח המשולש הוא 13.57 סמ"ר.

עוד באתר:

1. בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
2. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
3. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.