לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

סכום סדרה הנדסית

בדף זה נלמד לחשב סכום של סדרה הנדסית.

הדף כולל תיאוריה המסבירה סוגים שונים של חישובי סכום, לכן תיאוריה מומלץ ללמוד מדף זה.

לאחר מיכן יש תרגילים.

החלקים של דף זה הם:

  1. סיכום וידאו.
  2. נוסחאות.
  3. כללים לחישוב סכום סדרה הנדסית.
  4. תרגילים.

חלקים 1,3 הם החלקים היותר חשובים להבנה.

1.סיכום וידאו

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

2.נוסחאות

סכום n אברים בסדרה הנדסית:

סכום סדרה הנדסית

נוסחאות שימושיות נוספות בסדרה הנדסית הן:

an=a1qn-1

an+1=anq

3.כללים לחישוב סכום סדרה הנדסית

כלל 1
על מנת לפתור תרגילים יש בסך הכל 4 נעלמים: a1, q, sn, n.
על מנת לפתור את התרגילים תצטרכו לרוב ליצור ולפתור שתי משוואות הכוללות את הנעלמים הללו. על מנת להקל עליכם בבניית המשוואות כדאי:
– להכיר את נוסחת הסכום.
– לתרגם באופן מיידי את המידע המילולי למשתנים אותם אתם יכולים להציב בנוסחה.
כלומר לכתוב:
= a1
= q
= n
= s

כלל 2
חישוב סכום סדרה החל באיבר ה k נעשה לרוב על ידי מציאת ערך האיבר במקום k וחישוב הסכום של הסדרה ההנדסית החדשה המתחילה ממנו.

טעויות רבות נגרמות עקב זיהוי לא נכון של האיבר הנמצא במקום ה k, ודאו שזה לא קורה לכם.
אני ממליץ למנות ולרשום את איברי הסדרה החדשה כך שתהיו בטוחים שאין לכם טעות.
למשל:
בסדרה שבה 13 איברים חשבו את סכום 5 האיברים האחרונים.
אז רושמים:
13, 12, 11, 10, 9
חמשת האיברים האחרונים מתחילים במקום התשיעי.

דרך נוספת:
לבצע את החישוב הבא:
8 = 5 – 13
9 = 1 + 8

כלל 3
בחישוב של סכום המקומות הזוגיים / אי זוגיים עליכם לבטא בעזרת a1, q, n של הסדרה המקורית את a1, q, n של סדרת המקומות הזוגיים / אי זוגיים.
שימו לב שאתם עושים זאת בצורה נכונה.

ולאחר שהגדרתם בצורה נכונה שימו לב שאתם מציבים בנוסחה בצורה נכונה.
כללים כיצד לעשות זאת בצורה נכונה תוכלו למצוא בדף סכום סדרה הנדסית מקומות זוגיים ואי זוגיים.

4.תרגילים

התרגילים הללו הם קצת מכל נושא.

אם אתם מכוונים ללמוד נושא ספיציפי אתם יכולים לעשות זאת מהקישורים הבאים:

  1. סכום האיברים האחרונים בסדרה הנדסית.
  2. סכום האיברים הזוגיים והאי זוגיים של סדרה הנדסית.
  3. סכום סדרה הנדסית אינסופית.

תרגיל 1 (הצבה בנוסחה)

נתונה סדרה הנדסית 2,8,32 וכו.
מצאו את סכום 5 האיברים הראשונים.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

a1=2
q=4
n=5
sn=?
נציב בנוסחה:
סכום סדרה הנדסית


תשובה: סכום חמשת האיברים הראשונים הוא 682.

תרגיל 2 (שילוב עם נוסחת האיבר הכללי)

ידוע כי האיבר השלישי של סדרה הנדסית הוא 90 והמנה היא 3.
מצאו את סכום 6 האיברים הראשונים.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

פתרון
q=3
a3=90
n=6
s6= ?

בשאלה זו חסר לנו ה a1 על מנת למצוא את הסכום.
אבל יש לנו את a3=90.  כאשר נתון לנו איבר שהוא לא האיבר הראשון זה רמז משמעותי לכך שעלינו להשתמש בנוסחת האיבר הכללי על מנת למצוא את a1.
ננסה למצוא את a1 בעזרת הנוסחה לאיבר הכללי של סדרה הנדסית.
an=a1qn-1
90=a1
a1=10
עכשיו נחשב בעזרת נוסחת הסכום את s6.
סכום סדרה הנדסית


תשובה: סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה הוא 3640.

 

תרגיל 3 (סכום איברים אחרונים)

בסדרה הנדסית 1.8, 0.6  0.2   יש 14 איברים.
חשבו את סכום 8 האיברים האחרונים.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

שלב 1: מציאת המיקום והערך של האיבר הראשון בסדרה החדשה
בסדרה של סכום 8 האיברים. מה מיקום האיבר הראשון שלה?
האם:
6 = 8 - 14
האם a6 הוא האיבר הראשון?
לא.
a7 הוא האיבר הראשון, תמיד אחד יותר מפעולת החיסור שחישבנו קודם.

אני ממליץ לכם ממש למנות, לספור, לרשום את האיברים האחרונים על מנת שלא תטעו.
בצורה הזו:
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

a7 = a1 * q6 = 0.2*36 = 145.8

שלב 2: רישום נתוני הסדרה החדשה
a7 = 145.8 האיבר הראשון.
n = 8
q = 3
s = ?

נציב את הנתונים בנוסחת הסכום של סדרה חשבונית.
כאשר a7 = 145.8 הוא האיבר הראשון.
סכום סדרה הנדסית

סכום סדרה הנדסית



S = 145.8 * 3280 = 478,224

תשובה: סכום 8 האיברים האחרונים של הסדרה הוא 478,224.

/su_spoiler]

תרגיל 4 (מקומות זוגיים ואי זוגיים)

נתונה סדרה הנדסית עם 10 איברים. מנת הסדרה היא 2.
סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 16368.
מצאו את האיבר הראשון של הסדרה המקורית.

פתרון וידאו

פתרון כתוב

שלב 1: רישום הנתונים והגדרת המשתנה שחסר
עבור הסדרה המקורית
a1  האיבר הראשון של הסדרה השלמה.
q=2
n = 10

עבור סדרת המקומות הזוגיים
a1 * q = 2a1 האיבר הראשון של סדרת המקומות הזוגיים הוא 2a1.
qזוגי = 2² = 4   (מנת הסדרה היא 4)
nזוגי = 5    (מספר האיברים בסדרת המקומות הזוגיים הוא 5)
snזוגי=16,368   (סכום האיברים במקומות הזוגיים).

a1=?   (האיבר הראשון של הסדרה המקורית חסר).

שלב 2: הצבת הנתונים במשוואה.
נציב את נתוני סדרת המקומות הזוגיים במשוואה.

סכום סדרה הנדסית


a1 *682 = 16,368
682a1=16368
a1=24

תשובה: האיבר הראשון של הסדרה המקורית הוא 24.
(שימו לה ש- a1 הוגדר כאיבר הראשון של הסדרה המקורית).

עוד באתר:

8 מחשבות על “סכום סדרה הנדסית”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. נתונה לי סדרה הנדסית, a1=1 q=2/3 . ביקשו את סכום עשרת האיברים הראשונים וכשהצבתי בנוסחה יצא לי מספר שלילי
    S10=1*[2/3^10-1]/9=-0.109 וכשחישבתי ידני את עשרת האיברים הראשונים וחיברתי ביניהם יצא מספר חיובי 2.948
    למה בנוסחה יצא שלילי?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ראשית מכוון ש q = 2/3 ניתן להשתמש בנוסחה של סכום סדרה הנדסית אינסופית שהיא קצרה יותר.
      אבל זו לא הסיבה לטעות.
      הסיבה לטעות היא שבמכנה צריך להיות q – 1.
      אם תעשי זאת המונה והמכנה יהיו שליליים ואז התשובה תהיה חיובית.

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי, זה הגיוני שיצא לי סכום שלילי לסדרה הנסדית? כי בעצם כל האיברים שלה שליליים גם…

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כן.
      אם כל האיברים שליליים הסכום שלילי וגם במקרים אחרים הסכום יכול להיות שלילי.

  3. היי אני חושבת שהפיתרון הסופי שיצא בתרגיל 4 השלב האחרון (24) הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית ולא עונה על השאלה שמבקשים שהוא האיבר הראשון בסדרה המקורית והוא יוצא 12 .אשמח לדעת אם הטעות אצלי או אצלכם .תודה מראש

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שני
      a1 הוגדר כאיבר הראשון של הסדרה המקורית.
      ו 2a1 כאיבר הראשון של הסדרה הזוגית.
      מצאנו את a1 ולכן התשובה נכונה.

  4. תרגיל 3- מקומות זוגיים ואי זוגיים- בדרך רשמתם 2a1(25-1) : 2-1
    למה 2a1 ולא a1? זאת הנוסחה. אני חושב שיש לכם טעות שם.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רז.
      תודה על תשומת הלב ותגובתך.
      השאלה לא הייתה כתובה טוב ותיקנתי.
      אבל המקום שאתה הערת לגביו דווקא היה נכון.
      שים לב ש a1 הוא האיבר הראשון של הסדרה המקורית.
      ושהאיבר הראשון של סדרת המקומות הזוגיים הוא 2a1, כי מנת הסדרה המקורית היא 2 וכל איבר כפול מהקודם לו.
      לכן בנוסחה המדברת על סכום המקומות הזוגיים נציב את האיבר הראשון בסדרת המקומות הזוגיים, במקרה שלנו 2a1.
      קרא את הפתרון שוב, הפכתי אותו לברור יותר.
      תודה ובהצלחה