אי שוויונות עם ערך מוחלט

בדף זה נלמד אי שוויונות עם ביטוי אחד הנמצא בערך המוחלט. בהתאם לנדרש בשאלון 581.

אנו לומדים לפתור אי שוויון שבו יש ערך מוחלט בצד אחד ומספר בצד השני.
השיטה הנלמדת כאן טובה רק לאי שוויון מסוג הזה.
מגיעים לכאן גם תלמידי מכינה ואוניברסיטה הנתקלים באי שוויונות קשים יותר, שיש בהם יותר אפשרויות פתרון.
למשל מצב בו המשתנים נמצאים משני צדדי האי שוויון. או מצב שבו יש שתי אי שוויונות.
דף זה לא מתאים להם. (מצטער).

בדף הקודם למדנו משוואות עם ערך מוחלט.

לדף זה שני חלקים:

  1. תקציר.
  2. תרגילים.

1.תקציר

1.המטרה

המטרה שלנו באי שוויונות עם ערך מוחלט היא להוריד את הערך המוחלט ולהישאר עם אי שוויון ללא ערך מוחלט.

על מנת להוריד את הערך המוחלט נבדיל בין שני אי שוויונות:
x| >a|
x| < a|

2.אי שוויונות מהסוג x| > a|

נסתכל על האי שוויון הבא:
x| >3|

במקרה זה יש שני תחומים הפותרים אותו:
x > 3
או
x < 3

וזה נכון עבור כל אי שוויון מהסוג:

x| >a|

זו הדרך להורדת הערך המוחלט:

כך מורידים את הערך המוחלט
כך מורידים את הערך המוחלט

 

דוגמה

x + 2| > 10|

אז התחום הראשון של הפתרון יהיה:
x  + 2 > 10
x > 8
והתחום השני של הפתרונות יהיה:
x + 2< -10
x < – 12

3.אי שוויונות מהסוג x| < a|

נסתכל על האי שוויון
x| >3|

תחום המספרים שפותר אותו נכונה הוא:

-3 < x < 3

וכך זה עבור כל אי שוויון מהסוג:
x| < a|

-a < x < a

כך מורידים את הערך המוחלט
כך מורידים את הערך המוחלט

למשל, אם האי שוויון שלנו הוא:
x + 2| < 10|

אז הפתרון הוא:

-10 < x + 2 < 10

x + 2 < 10
x < 8
וגם
x + 2 > -10
x > -12

-12 < x < 8

2.תרגילים

תרגיל 1
4x +1| >2|

פתרון
יש לנו ערך מוחלט הגדול מביטוי.
אפשרות ראשונה
הביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי או שווה 0.
4x + 1 ≥ 0
x ≥ -0.25
במקרה זה הסרת הערך המוחלט נראית כך:
4x + 1 > 2
4x + 1 > 2  / -1
4x > 1  / :4
x > 0.25

אפשרות שנייה
הביטוי שבתוך הערך המוחלט שלילי.
4x + 1 < 0
x < -0.25
במקרה זה הסרת הערך המוחלט נראית כך:
4x + 1 < -2
4x + 1 < -2  / – 1
4x < -3  / : 4
x <  – 0.75

תשובה: הפתרון הוא x > 0.25 או x < -0.75

תרגיל 2
x  – 5| < 7|

פתרון
באי שוויון זה הביטוי שבערך המוחלט קטן יותר מהביטוי השני.
אפשרות ראשונה
הביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי או שווה 0.
x – 5 ≥ 0
x ≥ 5
במקרה זה הסרת הערך המוחלט נראית כך:
x – 5 < 7
x – 5 < 7  / +5
x < 12
החיתוך של שני האי שוויונות הוא:

אפשרות שנייה
הביטוי שבתוך הערך המוחלט שלילי.
x – 5 < 0
x < 5
במקרה זה הסרת הערך המוחלט נראית כך:
x – 5) < 7)-
x + 5 < 7-
x < 2-
x > -2
החיתוך של שני האי שוויונות הוא:

קיבלנו שני תחומים:

וניתן לכתוב אותם כתחום אחד, וזו התשובה הסופית:

 

תרגיל 3
x + 6| > -4-|

פתרון
ביטוי בערך מוחלט גדול תמיד מ- 0 ולכן גם גדול תמיד מ- 4-.
לכן האי שוויון הזה מתקיים תמיד.
תשובה: אי השוויון מתקיים עבור כל x.

תרגיל 4
x + 6| < -4-|

פתרון
ביטוי בתוך ערך מוחלט אף פעם לא קטן ממספר שלילי.
תשובה: אי השוויון לא מתקיים אף פעם.

תרגיל 5
3x + 1| > 13-|

פתרון
אפשרות ראשונה
הביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי או שווה 0.
3x + 1 ≥ 0-
x ≤ 0.33
במקרה זה הסרת הערך המוחלט נראית כך:
3x + 1 > 13-
3x + 1 > 13    / -1-
3x > 12  / :  – 3-
x < -4

אפשרות שנייה
הביטוי שבתוך הערך המוחלט שלילי.
3x + 1 < 0-
x > 0.33
במקרה זה הסרת הערך המוחלט נראית כך:
3x – 1 > 13
3x > 14
x > 4.666

תשובה: הפתרון מורכב משני התחומים:
x > 4.666
x < -4

עוד באתר:

נספח: אי שוויונות עם שני ערכים מוחלטים

ככול הידוע לי חלק זה אינו נדרש בבחינות הבגרות אבל תלמידי אוניברסיטה שואלים עליו ולכן הוא נוסף לדף.

המטרה שלנו היא להשמיט את הערכים המוחלטים והשאלה שאנו תמיד שואלים היא האם הביטוי שבתוך הערך המוחלט חיובי או שלילי.
אם הוא חיובי משמיטים את הערך המוחלט מבלי לשנות דבר.
אם הביטוי שבתוך הערך המוחלט שלילי צריך להפוך את הסימן שבתוך הערך המוחלט.

דוגמה:
x – 3| + |x+5| > 10|

המספרים המאפסים את הערכים המוחלטים הם x = 3,  x = -5.
לכן נחלק את הערך התחומים ל:
x  > 3

x < -5

נבדוק את הערך של האי שוויון עבור כל אחד מהתחומים הללו.
עבור  x > 3
שני הערכים המוחלטים חיוביים ולכן ניתן להסיר את הערכים המוחלטים מבלי לשנות דבר.
x – 3+ x + 5 > 10
2x +2 > 10
2x > 8
x > 4

יש לנו מערכת וגם של
x > 3
x > 4
ולכן התשובה המתקבלת מתחום זה הוא
x > 4

עבור 
בתחום זה הביטוי x – 3 הוא שלילי.
לכן נהפוך את סימניו ונקבל את האי שוויון הבא:
x + 3 + x + 5 > 10-
10 < 8
זה אי שוויון שלא נכון אף פעם.

עבור x < -5
בתחום זה שני הערכי המוחלט שליליים, לכן על מנת להסיר את את הערכים המוחלטים צריך להפוך את הסימנים בשני הערכים המוחלטים.
x + 3 – x – 5 > 10-
2x – 2 > 10-
2x > 12-
x < -6

קיבלנו מערכת וגם של שני אי שוויונות.
x < -5
x < -6
שהפתרון שלה הוא x < -6.

תשובה: האי שוויון מתקיים עבור
x > 4
x < – 6

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.