היכרות עם שתי משוואות עם שני נעלמים

דף זה עושה היכרות עם שתי משוואות עם שני נעלמים.
בדף זה נלמד:

  1. מה זה פתרון של שתי משוואות עם שני נעלמים?
  2. מה המשמעות הגרפית של הפתרון?
  3. מה הרעיון מאחרי שתי השיטות לפתרון?

דף זה הוא דף של הבנה, לא דף מעשי.
אני מקווה שתבינו אותו אבל גם אם לא חשוב שתדעו לבצע את החלק המעשי של הלימוד, שהוא הפתרון בעזרת שתי שיטות:

1.מה זה פתרון? (הסבר אלגברי)

עבור השאלה "מצאו שני מספרים שסכומם הוא 20" ניתן לבנות משוואה:
x + y = 20
כאשר:
x  הוא המספר הראשון.
y  הוא המספר השני.

למשוואה זו יש אינסוף פתרונות, למשל:
x =10,   y = 10
x = 15,     y =5
x = -3   y = 23

עבור השאלה "מצאו שני מספרים שאחד פחות השני שווה ל 10" ניתן לכתוב את המשוואה:
x – y = 10.
גם למשוואה זו יש אינסוף פתרונות, למשל:
x = 20,   y = 10
x = 15,    y = 5
x = 5,   y = -5

כמו כן יכולים לבקש מאיתנו למצוא זוג מספרים המקיימים שני תנאים:

  1. סכומם 20.
  2. ההפרש בניהם 10.

במקרה זה אנו נצטרך למצוא זוג מספרים (x,y) שניתן להציב בשני התנאים:
x + y = 20
x – y = 10.

לשני המשוואות הללו יחד יש פתרון יחיד
x = 15,    y = 5

2.המשמעות הגרפית של הפתרונות

כפי שראינו עבור המשוואה:
x + y = 20
יש זוגות של מספרים שעבורם המשוואה נכונה, למשל:
x = 30,   y = -10
x = 15,     y =5
x =10,   y = 10
x = -3   y = 23

את הנקודות הללו ניתן למקם על מערכת צירים.
וכאשר נחבר את הנקודות הללו נקבל ישר.

כל נקודה הנמצאת על הישר שקיבלנו היא פתרון של המשוואה
x + y = 20

כך גם עבור המשוואה
x – y = 10
כל הנקודות הפותרות את המשוואה הזו יוצרות ישר על מערכת הצירים.

נקודת המפגש של שני הישרים היא הנקודה המקיימת את שתי המשוואות ולכן נקודת המפגש של הגרפים היא הפתרון של שתי המשוואות.

במערכת הצירים ניתן לראות שהנקודה 15,5 נמצאת על שני הגרפים וזו גם הנקודה הפותרת את שתי המשוואות
במערכת הצירים ניתן לראות שהנקודה 15,5 נמצאת על שני הגרפים וזו גם הנקודה הפותרת את שתי המשוואות

3.אפשרויות גרפיות נוספות של פתרון

בשרטוט שלמעלה יש לנו שני ישרים עם נקודת חיתוך אחת – שהיא פתרון יחיד למערכת המשוואות.

קיימים עוד שני מצבים אפשריים בין ישרים.

ישרים מקבלים
אלו ישרים ללא נקודות חיתוך ולכן לשתי משוואות עם שני נעלמים המורכבות מהישרים הללו אין פתרון.
אלו למשל שתי המשוואות:
y = 3x + 1
y = 3x – 4

הגרף של הישרים

ישרים מוכלים, ישרים הנמצאים אחד על השני
אלו ישרים עם אינסוף נקודות משותפות ולכן לשתי המשוואות עם שני הנעלמים המורכבות מהמשוואות שלהם יש אינסוף פתרונות.
למשל:
y = -2x +1
3y = -6x + 3

שרטוט הגרפים

 

2.מה העיקרון של שתי השיטות לפתרון שתי משוואות עם שני נעלמים

יש שתי שיטות לפתרון שתי משוואות עם שני נעלמים:

  1. שיטת השוואות מקדמים.
  2. שיטת ההצבה.

לשתי השיטות הללו עקרון זהה:
"לקחת את שתי המשוואות ולהפוך אותן למשוואה אחת עם נעלם אחד".

בשיטת ההצבה
עושים זאת על ידי בידוד של נעלם אחד והצבתו במשוואה השנייה.
3x + 2y = 6
y – x = 1

ניתן לבודד את y במשוואה השנייה:
y – x = 1
y = x + 1
ואז להציב זאת במשוואה הראשונה:
3x + 2(x + 1) = 6

קיבלנו משוואה עם נעלם אחד שבה ניתן למצוא את x.

בשיטת השוואת המקדמים
עושים זאת על ידי חיבור / חיסור המשוואות כאשר יש לאחד המשתנים מקדם שווה או הפוך בסימן.
2y + 3x = 6
y – x = 1
נכפיל את המשוואה השנייה פי 2, כי שבשתי המשוואות ל y יהיה אותו מקדם.
2y + 3x = 6
2y – 2x = 2

נחסר את המשוואה השנייה מהמשוואה הראשונה:
2y + 3x – (2y – 2x) = 6 – 2
3x – (-2x) = 4
קיבלנו משוואה עם נעלם אחד אותה אנו יודעים לפתור.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.