הנוסחה להפרש ריבועים

בדף זה נלמד להשתמש בנוסחה
(a² – b²= (a-b)*(a+b
נוסחה זו נקראת הנוסחה להפרש ריבועים.

בדף זה 7 חלקים:

  1. תקציר.
  2. תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים.
  3. תרגילים קשים יותר.
  4. תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים ולהכפיל באיבר נוסף.
  5. תרגילים בהם צריך לסגור סוגריים.
  6. פתרון משוואות בעזרת הנוסחה להפרש ריבועים.
  7. נספח: חישוב תרגילי כפל בעזרת הנוסחה.

באתר עוד שני דפים בנושא נוסחאות הכפל המקוצר:

  1. דו איבר בריבוע – שימוש בנוסחה a+b)²= a²+2ab+b²)
  2. נוסחאות הכפל המקוצר פתרון משוואות בעזרת שלושת הנוסחאות שנלמדו (דף מסכם).

הערה חשובה
ניתן להשתמש בנוסחה להפרש ריבועים רק כאשר יש פעולת חיסור בין האיברים.
למשל:
(x² – 25 = (x + 5) (x – 5

לעומת זאת כאשר יש פעולת חיבור בין האיברים.
למשל:
x² + 25
לא ניתן להשתמש בנוסחה.

תקציר

(a² – b²= (a-b)*(a+b
זו הנוסחה להפרש ריבועים.
שניתן לכתוב אותה גם הפוך:
a – b) (a + b) = a² – b²)
בעזרת נוסחה זו ניתן לעשות מספר דברים:

1.לפתוח סוגריים

a – b) (a + b) = a² – b²)

דוגמה 1
x – 2) (x +2) = x² – 2²)

דוגמה 2
(x + 6)(x – 6)  = x² – 6²

דוגמה 3
כאשר המספר והמשתנה מחליפים מיקום זה לא משנה את החישוב

(5 – x) (5 + x) = 5² – x²

דוגמה 4
כאשר יש שני משתנים משתמשים בנוסחה באותה צורה

(x – y) (x + y) = x²  – y²

דוגמה 5
2x – 4) (2x + 4) = 4x² – 16)

תרגיל זה נשען על כך שכאשר יש חזקה על שני מספרים פותחים סוגריים כך:

(ab)² = a² * b²

(2x)² = 2²x² = 4x

שימו לב שפתיחת סוגריים זו שונה מחיבור או חיסור בתוך הסוגריים

(a + b)² = a² + 2ab + b

דוגמה 6
6x – 3) (6x + 3) = 36x² – 9)

דוגמה 7
כאשר יש מספר לפני הסוגריים קודם נבצע את נוסחת הכפל המקוצר אך נשאיר את הסוגריים.
לאחר מיכן נכפיל את המספר בסוגריים.

4(x + 3) (x – 3) = 4(x² – 9)
4x² – 36

דוגמה 8
מינוס לפני הסוגריים זה כמו המספר 1- לפני הסוגריים.

(x – 4) (x  +4) = –  (x² – 16) –
x² + 16 –

2.ליצור סוגריים

על מנת ליצור סוגריים נשתמש בנוסחה בכיוון הזה:
(a² – b²= (a-b)*(a+b

דוגמה 1
(x² – 25 =(x – 5) (x + 5

נשים לב שלא תמיד ה x נמצא מצד שמאל.

דוגמה 2
16 – x² = (4 + x) (4 – x)

דוגמאות קשות יותר:

דוגמה 3
(9x² – 4  = (3x – 2) (3x +2

דוגמה 4 (הוצאת גורם משותף)
3x² – 12

פתרון
למספרים 3 ו 12 אין שורש עגול, לכן נבדוק את האפשרות להוציא מכנה משותף.
3x² – 12 = 3 (x² – 4) =
3(x +2) (x – 2)

(דוגמה 5 (הפיכת סדר הרישום
(-25 + x²)

פתרון
כאשר האיבר הראשון שלילי והשני חיובי נהפוך את הסדר שלהם על מנת שהביטוי יתאים לנוסחה:

(-25 + x²) = x² – 25
x² – 25 = (x +5) ( x – 5)

מקרים שאינם מתאימים לנוסחה

כאשר יש לנו זוג מספרים שלאחד מיהם או שניהם אין שורש עגול אנו יכולים לנסות להוציא גורם משותף.
ואם אין גורם משותף אז הביטוי לא מתאים לשימוש בנוסחה.

5x² – 6

גם כאשר יש פעולת חיבור בין שני איברים זה לא מתאים לנוסחה.

x² + 4.

3.פתרון משוואות

שימוש מרכזי של יצירת סוגריים הוא פתרון משוואות.

דוגמה 1
x² – 9 = 0

פתרון
x² – 9 = 0
x + 3) (x – 3) = 0)

x + 3 = 0
x = -3
או
x – 3 = 0
x = 3
תשובה: x = -3  או  x = 3

דוגמה 2
x² – 16 = 9

פתרון
בתרגיל זה אין טעם להשתמש בנוסחה בשלב הראשון – כי התוצאה לא תהיה שווה 0.

(x + 4) (x – 4) = 9
זה מצב שלא מקדם אותנו לפתרון.
כי אנו צריכים שבצד ימין יהיה 0

לכן דרך הפתרון תהיה:
x² – 16 = 9  / -9
x²  – 25 = 0
(x + 5) (x – 5) = 0

x = 5  או  x = -5

סוף התקציר.
מכאן והלאה נעבור לתרגילים בנושאים השונים:

1.תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים

בשלב בראשון נלמד לעבוד עם הנוסחה בכיוון הזה:
a – b) (a + b) = a² – b²)
כלומר לפתור תרגילים הנראים כך:
= (x – 7) (x + 7)

דוגמה 1
= (x – 2) (x +2)

פתרון
x – 2) (x +2) = x² – 2²)

דוגמה 2
= (x – 5) (x + 5)

פתרון
x – 5) (x +5) = x² – 5²)

תרגילים

  1.     = (x – 3) (x + 3)
  2.    = (x + 6) (x – 6)
  3.  

פתרונות

תרגיל 1
= (x – 3) (x + 3)

פתרון
x – 3) (x + 3) = x² – 3²)

תרגיל 2
= (x + 6) (x – 6)

פתרון
x + 6) (x – 6) = x² – 6²)

תרגיל 3
(8 – x)(8 + x) =

פתרון
(8 – x)(8 + x) = 64 – x²

2.תרגילים קשים יותר

עד עכשיו בכל התרגילים ה x היה לבדו.
בתרגילים שנפתור עכשיו יש מספר הצמוד ל x.

דוגמה 1
= (2x – 4) (2x + 4)

כאשר פותרים תרגיל כזה אנו נעלה את 2x בריבוע. בצורה הזו:
2x)² = 2²*x² = 4x²)

פתרון התרגיל יראה כך:
2x – 4) (2x + 4) = 4x² – 16)

*הערה
פתיחת הסוגריים בצורה הזו:
2x)² = 2²*x² = 4x²)
מבוססת על חוק החזקה:
a*b)² = a²b²)

דוגמה 2
= (5x – 3) (5x + 3)

פתרון
5x – 3) (5x + 3) = 25x² – 3²)

דוגמה 3

(6 – 3x)(6 + 3x) =

פתרון

(6 – 3x)(6 + 3x) = 36 – (3x)²
36 – 9x²

תרגילים

תרגילים 5-7 מיועדים ל 4-5 יחידות.

  1.   = (4x – 2) (4x + 2)
  2.   = (6x – 1) (6x + 1)
  3.   = (0.5x + 7) (0.5x – 7)
  4.  
  5.   = (xy – 0,2x) (xy + 0.2y)

פתרונות

תרגיל 1
= (4x – 2) (4x + 2)

פתרון
4x – 2) (4x + 2) = 16x² – 4)

תרגיל 2
= (6x – 1) (6x + 1)

פתרון
6x – 1) (6x + 1) = 36x² – 1)

תרגיל 3
= (0.5x + 7) (0.5x – 7)

פתרון
0.5x + 7) (0.5x – 7) = 0.25x² – 49)

תרגיל 4

(2 – 3x)(2 + 3x) =

פתרון
(2 – 3x)(2 + 3x) = 4 – (3x)²
4 – 9x²

תרגיל 5
(1.5 – 0.4x)(1.5 + 0.4x) =

פתרון

(1.5 – 0.4x)(1.5 + 0.4x) = 1.5 – (0.4x)²
2.25 – 0.16x²

תרגיל 6
= (xy – 0,2x) (xy + 0.2y)

פתרון
xy – 0,2x) (xy + 0.2y) = ((xy)² – (0.2x)²)
x²y² – 0.04x²

תרגיל 7

פתרון

3.תרגילים בהם צריך לפתוח סוגריים ולהכפיל באיבר נוסף

דוגמה 1
כיצד נפתור תרגיל הנראה כך:

4(x + 3)(x – 3) =

פתרון
קודם נשתמש בנוסחה a – b) (a + b) = a² – b²)
ורק לאחר מיכן נכפיל פי 4.
בצורה הזו:

4(x + 3)(x – 3) = 4(x² – 9) =
4x² – 36

דוגמה 2
כאשר יש מינוס לפני הסוגריים זה בעצם כמו 1- כפול מה שיש בסוגריים.
= (x – 4) (x  +4) –

פתרון
(x – 4) (x  +4) = –  (x² – 16) –
x² + 16 –

4. תרגילים בהם צריך ליצור סוגריים

בתרגילים מסוג זה ניקח ביטוי כמו:
x² – 16
ונהפוך אותו ל:
(x² – 16 = (x + 4) (x – 4

דוגמה 1
= x² – 9

פתרון
(x² – 9 =(x – 3) (x + 3

דוגמה 2
= x² – 25

פתרון
(x² – 25 =(x – 5) (x + 5

דוגמה 3
16 – x² =

פתרון

16 – x² = (4 + x)(4 – x)

3 סוגים של תרגילים קשים יותר

דוגמה 4
9x² – 4

פתרון
(9x² – 4  = (3x – 2) (3x +2

דוגמה 5 (הוצאת גורם משותף)
3x² – 12

פתרון
למספרים 3 ו 12 אין שורש עגול, לכן נבדוק את האפשרות להוציא מכנה משותף.
(3x² – 12 = 3 (x² – 4) = 3(x +2) (x – 2

דוגמה 6 (הפיכת סדר הרישום)

-25 + x² =

פתרון
כאשר האיבר הראשון שלילי והשני חיובי נהפוך את הסדר שלהם על מנת שהביטוי יתאים לנוסחה:

-25 + x² = x² – 25

(x² – 25 = (x +5) ( x – 5

תרגילים

  1.   = x² – 100
  2.   = x² – 64
  3.   = x² – 6
  4.   = x² – 1
  5.   = x² – 0.25
  6.   = x² – 0.01
  7.   =  x² – b²
  8.   = 25x² – y²
  9.   = 16x² – 16
  10.   = 4x² – 49
  11.   = 100x² – 9y²
  12.   = 3x² – 75
  13.   = 32x² – 200
  14.   = x² + 16-

פתרונות

תרגיל 1

= x² – 100

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 100 =(x – 10) (x + 10

תרגיל 2
= x² – 64

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 64 =(x – 8) (x + 8

תרגיל 3
= x² – 6

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 6 =(x – √6) (x + √6

תרגיל 4
= x² – 1

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 1 = (x – 1) (x + 1

תרגיל 5
= x² – 0.25

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 0.25 =(x – 0.5) (x + 0.5

תרגיל 6
= x² – 0.01

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – 0.01 =(x – 0.1) (x + 0.1

תרגיל 7
x² – b²

לחצו לצפייה בפתרון

(x² – b² =  (x + b) (x- b

תרגיל 8
25x² – y²

לחצו לצפייה בפתרון

(25x² – y² = (5x+y) (5x-y

תרגיל 9
= 16x² – 16

לחצו לצפייה בפתרון

(16x² – 16  = (4x + 4) (4x – 4

תרגיל 10
= 4x² – 49

לחצו לצפייה בפתרון

(4x² – 49 =(2x + 7) (2x – 7

תרגיל 11
= 100x² – 9y²

לחצו לצפייה בפתרון

= (100x² – 9y² = (10x – 3y) (10x +3y

תרגיל 12
= 3x² – 75

לחצו לצפייה בפתרון

(3x² – 75 = 3(x² – 25) = 3(x + 5 ) (x – 5

תרגיל 13
= 32x² – 200

לחצו לצפייה בפתרון

(32x² – 200 = 2(16x² – 100) = 2(4x + 10 ) (4x – 10

 

תרגיל 14
= x² + 16-

לחצו לצפייה בפתרון

על מנת לפתור את התרגיל נשנה את סדר הכיתוב:
(x² + 16 = 16 – x² = (4 – x) (4 + x-

5.פתרון משוואות בעזרת הנוסחה

אנו יודעים שאם מכפלת שני איברים שווה ל 0 אז לפחות אחד מהאיברים שווה ל 0.
כלומר אם:
x * y = 0
אז:
x = 0 או y= 0.

לכן ניתן להשתמש בנוסחה להפרש ריבועים על מנת לפתור תרגילים בצורה הזו:

דוגמה 1
x² – 9 = 0

פתרון
x² – 9 = 0
x + 3) (x – 3) = 0)

x + 3 = 0
x = -3
או
x – 3 = 0
x = 3
תשובה: x = -3  או  x = 3

תרגילים

  1.   x² – 36 = 0
  2.   x² – 100 = 0
  3.   x² – 0.49 = 0

פתרונות

תרגיל 1
x² – 36 = 0

פתרון
x² – 36 = 0
x + 6) (x – 6) = 0)

x + 6 = 0
x = -6
או
x – 6 = 0
x = 6
תשובה: x = -6  או  x = 6

תרגיל 2
x² – 100 = 0

פתרון
x² – 100 = 0
x + 10) (x – 10) = 0)

x + 10 = 0
x = -10
או
x – 10 = 0
x = 10
תשובה: x = -10  או  x = 10

תרגיל 3
x² – 0.49 = 0

פתרון
x² – 0.49 = 0
x + 0.7) (x – 0.7) = 0)

x + 0.7 = 0
x = -0.7
או
x – 0.7 = 0
x = 0.7
תשובה: x = -0.7  או  x = 0.7

6.נספח: חישוב תרגילי כפל בעזרת הנוסחה

זה לא נושא חשוב.
אבל יתכן שישאלו אותכם על כך.

ניתן להיעזר בנוסחה (a² – b²= (a-b)*(a+b
על מנת לפתור תרגילים כמו:
7 * 13

עושים זאת בצורה הזו:
(3 – 10) (3 + 10) = 7 * 13
ועכשיו נשתמש בנוסחה ונקבל:
3³ – 10² = (3 – 10) (3 + 10)
91 = 9 – 100

תרגילים

  1.   = 8* 12
  2.   = 16 * 24
  3.   = 47 * 53

פתרונות

תרגיל 1
96 = 2² – 10² = (2 – 10) (2 + 10) = 8* 12

פתרון
= (2 – 10) (2 + 10) = 8* 12
96 = 2² – 10²

תרגיל 2
384 = 16 – 400 = 4² – 20² = (4 – 20)  (4 + 20) = 16 * 24

פתרון
= (4 – 20)  (4 + 20) = 16 * 24
384 = 16 – 400 = 4² – 20²

תרגיל 3
2491 = 9 – 2500 = 3² – 50² = (3 – 50) ( 3+ 50) = 47 * 53

פתרון
= (3 – 50) ( 3+ 50) = 47 * 53
2491 = 9 – 2500 = 3² – 50²

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “הנוסחה להפרש ריבועים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.