מהו שיפוע וקצב שינוי של פונקציה קווית

מהוא שיפוע?

ראשית נאמר שהמילים שיפוע וקצב שינוי אלו הם מילים נרדפות, זהות מבחינת המשמעות שלהם.

מהוא שיפוע?
כאשר אנו מסתכלים על הר או על גג משופע של בית אנו יכולים להגיד שיש להם שיפוע ואנחנו גם יכולים להגיד אם זה שיפוע חד או לא.

כאשר אנו מדברים על שיפוע בפונקציה קווית אנחנו מתכוונים לתאר בדיוק את אותו דבר; עד כמה גרף הפונקציה עולה או יורד.

במתמטיקה כמו במתמטיקה כל דבר הוא מדויק ולכל דבר יש ערך מספרי.
ההגדרה של שיפוע היא: עד כמה ערך ה y משתנה כאשר ערך ה x גדל ב 1.

אנסה להסביר מהוא שיפוע דרך הגרפים הבאים.

בגרף מצד ימין ערך ה x בנקודה A הוא 0 ובנקודה B ערך ה x הוא 1.
כלומר ה x גדל באחד.
לעומת זאת ערך ה y בין שתי הנקודות הללו גדל ב 4.
לכן השיפוע הוא 4.
(אני מזכיר, ההגדרה של שיפוע היא: עד כמה ערך ה y משתנה כאשר ערך ה x גדל ב 1)

בגרף מצד שמאל ערך ה x בין הנקודות C-D גדל ב 1.
ערך ה y גדל גם הוא ב 1.
לכן שיפוע הגרף ההוא הוא 1.

שיפועים שליליים.
קיימים שיפועים שליליים והם נקבעים כאשר ערך ה x עולה ב 1 ולעומת זאת ערך ה y יורד.

בגרף זה ערך ה x בנקודה A הוא 3- ובנקודה B הוא 2-.
כלומר ערך ה x גדל ב 1.
לעומת זאת ערך ה y בנקודה A הוא 6 ובנקודה B הוא 4.
כלומר ה y ירד ב 2.
לכן שיפוע הגרף הזה הוא 2-.

בפונקציה קווית קצב השינוי קבוע.

זו תכונה חשובה מאוד.
וזה אומר:
1.בכל מקום שנבדוק על הגרף נמצא את אותו שיפוע.
2. אם נמדוד גודל של מספר יחידות על ציר ה x עדיין נוכל למצוא את השיפוע.
למה הכוונה?
בדוגמאות למעלה תמיד בחרנו שתי נקודות שהמרחק שלהם על ציר ה x הוא 1.
אבל יכולנו לבחור שתי נקודות שהמרחק בניהם 3 ועדיין למצוא את השיפוע.

אם למשל בנקודה A ה x = 0 ובנקודה B ה x = 3.
ובנקודה A ה y = 2 ובנקודה B ה y= 8.
אז כאשר ה x עלה ב 3 ה y עלה ב 6.
לכן כאשר ה x יעלה ב 1 ה y יעלה ב 2 וזה גם השיפוע.

שיפוע הישר ומשוואת הישר

y =mx + n  זו הצורה הכללית של משוואת ישר.
m,n הם מספרים.
m הוא המספר המייצג את את השיפוע / קצב השינוי.
כלומר אם השיפוע הוא 3 אז משוואת הישר תראה כך:
y = 3x + n
n יכול להיות כל מספר והוא לא משפיע על קצב השינוי.

תרגילים

תרגיל 1 

7	3	2	X
	10	5	Y

ידוע כי טבלת הערכים מייצגת משוואת ישר. מה הוא המספר החסר?

פתרון
כאשר X עולה ב 1. Y עולה ב 5.
לכן כאשר X עולה ב 4 Y יעלה ב 4*5 = 20.
המספר הוא 30.

תרגיל 2

	7	5	X
23-	11-	3-	Y

 

ידוע כי הטבלה מייצגת פונקציה קווית. השלימו את המספר החסר.

פתרון

כאשר ערך ה X עולה  2 ערך ה Y יורד ב 8-.
כלומר כאשר ערך X עולה ב 1 ערך ה Y יורד ב 4-.
לכן כאשר ערך ה Y יורד ב 12 ערך ה X צריך לעלות ב 3. (כי 3 * 4- = 12-).

תרגיל 3

6-	5-	4-	X
15	10	6	Y

 

האם הטבלה הזו מייצגת פונקציה קווית?

פתרון

כאשר X יורד מ 4- ל 5- ערך ה Y עולה ב 4.
כאשר X יורד מ 5- ל 6- ערך ה Y עולה ב 5.
כלומר השינוי אינו קבוע ולכן הטבלה אינה מייצגת פונקציית ישר.

תרגיל 4

עבור כל אחת ממשוואות הישר הבאות ציינו מה הוא קצב השינוי.

1. y=3x-4
2. y= -2x+1
3. y=0.5x

פתרון

1. y=3x-4  – על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y עולים ב- 3.
2. y= -2x+1 –  על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y יורדים ב- 2.
3. y=0.5x   –  על כל יחידה אחת של עליה בערכי ה-X ערכי ה- Y עולים ב- 0.5.

עוד באתר:

1. פונקציה קווית.
2. פונקציה קווית כיתה ח.
3. מתמטיקה כיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.