גידול ודעיכה

כאשר משהו גדל או קטן באופן קבוע ולאורך זמן זו שאלה שניתן לפתור בעזרת הנוסחה של גידול ודעיכה.

למשל:

1. מחיר של בית העולה כל שנה ב- 10%.
2. מחיר של מכונית היורד כל שנה ב- 10%.
3. כמות אוכלוסייה העולה כל שנה ב- 3%.
4. אדם המשמין כל שנה ב- 2%.

החלקים של דף זה הם:

1. הנוסחה של גידול ודעיכה.
2. כיצד למצוא את q.
3. 2 מכשולים בולטים בשאלות בגרות.
4. 4 שאלות הגנה ברמת בגרות.
5. פתרונות לשאלות מהבגרות.

1.הנוסחה של גידול ודעיכה

הנוסחה שתשמש אותכם לפתרון השאלות היא:

M_t = M₀q^t

M₀ – הכמות בהתחלה, בזמן אפס.
M_t – הכמות המתקבלת לאחר t זמן.
t – הזמן שעבר.
q – קצב הגדילה או הדעיכה.
למשל אם שיעור אוכלוסיה גדל ב 5% בשנה.
אז q=1.05.

1. q הוא תמיד מספר חיובי.
2. כאשר q > 1 הכמות גדלה.
3. כאשר q מספר בין 0 ל- 1 הכמות קטנה.

הערה
שימו לב לסדר פעולות חשבון!
בנוסחה
M_t=M₀q^t
פעולה החזקה קודמת לכל הפעולות האחרות.

אם למשל המשוואה שקיבלתם היא:
m_t = 5*2³
אז הפעולה הראשונה שאתם עושים היא החזקה.
m_t = 5*8
ורק לאחר מיכן מחשבים את הכפל.
m_t = 5*8 = 40

2.כיצד מחשבים את q 

מציאת q כאשר נתונים אחוזים

בשאלות שתפתרו תקבלו את המשתנים M_t, M₀, t מוכנים להצבה בנוסחה M_t=M₀q^t.

אבל את q אתם תצטרכו למצוא.

ברוב השאלות אתם תקבלו מספר אחוזים ואתם תצטרכו להפוך את זה לערך q.

למשל יכתבו קצב גדילה של 12% ואתם תצטרכו להפוך את זה ל q = 1.12
או קטן בקצב של 20% ואתם תהפכו את זה ל q = 0.8

כאשר הכמות גדלה ב %n בשנה הנוסחה היא:

לדוגמה:
כמות הקונים בחנות גדלה ב 7% בשנה. מה הוא q?
נציב בנוסחה שלמעלה ונקבל:

כאשר הכמות קטנה ב %n בשנה הנוסחה היא:

לדוגמה:
ערך רכב קטן בכול שנה ב 15%. מה הוא q?
נציב בנוסחה ונקבל:

דוגמאות מהירות נוספות.
דוגמאות של גידול
8%  ⇐   q = 1.08
15%  ⇐   q = 1.15
50%  ⇐   q = 1.5
3%  ⇐   q = 1.03

דוגמאות של ירידה
8%  ⇐   q = 0.92
14%  ⇐   q = 0.86
50%  ⇐   q = 0.5
10%  ⇐   q = 0.9

זכרו

q > 1
המשמעות שלו היא גדילה.

q < 1
המשמעות שלו היא קטינה.

מציאת אחוז לאחר שמצאנו את q

בחלק מהשאלות לאחר שנמצא את q ישאלו אותנו "מה השינוי באחוזים?".

כאשר q גדול מ 1

כאשר q גדול מ 1 נוריד 1 מ q.

תרגילים בנושא זה

שני התרגילים הראשונים הם מציאת q.
שני התרגילים שלאחר מיכן הם מציאת האחוז.

תרגיל 1

מחיר דירה עולה כל שנה ב 6%, חשבו את q.

תרגיל 2

משקל חיידקים במבחנה יורד כל שנה ב 17%, חשבו את q.

תרגיל 3

q = 1.12

1. האם זה ביטוי לגדילה או דעיכה?
2. מה אחוז השינוי ליחידת זמן?

תרגיל 4

q = 0.87

1. האם זה ביטוי לגדילה או דעיכה?
2. מה אחוז השינוי ליחידת זמן?

3. 3 מכשולים בולטים בתרגילים

4.תרגילי הכנה לבגרות

שישה תרגילים, בכול תרגיל תמצאו רכיב אחר חסר במשוואה M_t=M₀q^t

 

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 3 יחידות – הכנה לשלל הנושאים המופיעים בבחינה.
• שאלון 381 – הכנה לנושאים המופיעים בשאלון.

5.פתרונות לתרגילים מהבגרות

בחלק זה מופיעים הפתרונות בלבד.
את השאלונים והשאלות עצמן ניתן למצוא באינטרנט.

בגרות קיץ 2018 שאלה 3

סעיף א
m₀ = 20,000
q = 1.03
t=1
m₁ = ?

המשוואה שלנו היא:
M_t=M₀q^t
M_t = 20,000*1.03 = 20,600

סעיף ב
עבור t = 8  המשוואה תהיה:
M₈ = 20,000*1.03⁸ = 25335.4
תשובה: לאחר 8 שני החוב הוא 25335.4

סעיף ג
4666.6  = 25335.4 – 30,000

סעיף ד
הנתונים הם:
m₀ = 4666.6
t = 2
m₂ = 4758.36
q = ?

4666.6q² = 4758.36  / : 4666.6
q² = 1.09
q = 1.01

תשובה: 1%.

בגרות קיץ 2017 מועד א שאלה 3

א. מחיר הקנייה 120,000 שקלים.
כעבור 4 שנים המחיר 78,7322 שקלים.

ב. נחשב את q על פי הנוסחה
M_t=M₀q^t
הנתונים שלנו הם:
m₀ = 120,000
m_t = 78,732
t=4
q= ?
78,732 = 120,000q⁴
q⁴ = 0.651
q=0.9
תשובה: לכן מחיר המכונית יורד ב 10%% כל שנה.

ג. כעבור 6 שנים הנתונים הם:
m₀ = 120,000
m_t = ?
t=6
q= 0.9
m_t = 120000 * 0.9⁶ = 120000* 0.531 = 63,773
תשובה: מחיר המכונית כעבור 6 שנים הוא 63,773 שקלים.

בגרות קיץ 2016 מועד א שאלה 3

M_t=M₀q^t
M_t – 50,000
M₀ – 40,000
t – 20.
q – ?

המשוואה שלנו היא:
40,000q²⁰ = 50,000  / : 40,000
q²⁰ = 1.25
q=1.0112

עכשיו עלינו להפוך את המספר שקיבלנו לאחוזים.
x  הוא מספר האחוזים שבהם העץ גודל בכול שנה.

תשובה: כמות העץ גדלה בכול שנה ב- 1.12%.

סעיף ב
M₂₀ =50000*1.011220=50000*1.25=62,500
תשובה: 62,500 עצים.

סעיף ג
על מנת לדעת מה היה לפני 5 שנים נציב במשוואה q^-5.
M_-5 =50000*1.0112-5 = 47,291
תשובה: לפני 5 שנים היו 47,291 עצים ביער.

בגרות קיץ 2016 מועד ב שאלה 2

סעיף א
לאחר 4 שנים

לאחר 5 שנים

סעיף ב

טעות שחלק עושים היא לחלק את אחוז העלייה (נניח 50%) במספר השנים (נניח 5). זו טעות משום שהכסף לא גדל כל שנה ב- 10% מהסכום המקורי אלא בכול שנה הוא גדל באחוז מסוים ממה שיש בקופה, שזה יותר מהסכום המקורי.

פתרון.
נפתור זאת בעזרת משוואת גידול.
M_t=M₀q^t
m₀  – 2000
M_t – 2800.
t – 4 שנים.
q – ?

המשוואה היא:
2000q⁴ = 2800
q⁴ = 1.4
q = 1.0877

עבור התוכנית השנייה:
M₀   – 2000 שקלים.
M_t   – 3000.
t –5 שנים.
q  – ?

המשוואה היא:
2000q⁵ = 3000
q⁵ = 1.5
q = 1.0844

תשובה: אנו רואים שה – q בתוכנית הראשונה גדול יותר ולכן גם אחוז הגדילה גדול יותר בתוכנית הראשונה.

בגרות חורף 2016 – שאלה 3

סעיף א
כעבור 2 שנים: 640 גרם.
כעבור 5 שנים: 327.68 גרם.

 סעיף ב
מכוון שקצב הירידה הוא מעריכי קבוע אנו יכולים להתייחס אל "כעבור שנתיים" כאל נקודת ה- 0. ואז:
M_t=640
M₀=327.68
t=3
q=?

נציב במשוואה:
M_t=M₀qⁿ
640q³ = 327.68
q³ = 0.512
q = 0.8

על מנת לתרגם את q לאחוזים עלינו להכפיל ב- 100.
0.8*100=80%
תשובה: קצב הירידה הוא 100-80=20%.

סעיף ג
נציב את הנתונים שקיבלנו כעבור שנתיים על מנת למצוא את M₀.

תשובה: הכמות ההתחלתית הייתה 1000 גרם.