גידול ודעיכה

כאשר משהו גדל או קטן באופן קבוע ולאורך זמן זו שאלה שניתן לפתור בעזרת הנוסחה של גידול ודעיכה.

למשל:

  1. מחיר של בית העולה כל שנה ב- 10%.
  2. מחיר של מכונית היורד כל שנה ב- 10%.
  3. כמות אוכלוסייה העולה כל שנה ב- 3%.
  4. אדם המשמין כל שנה ב- 2%.

החלקים של דף זה הם:

  1. הנוסחה של גידול ודעיכה.
  2. כיצד למצוא את q.
  3. 2 מכשולים בולטים בשאלות בגרות.
  4. 4 שאלות הגנה ברמת בגרות.
  5. פתרונות לשאלות מהבגרות.

1.הנוסחה של גידול ודעיכה

הנוסחה שתשמש אותכם לפתרון השאלות היא:

Mt = M0qt

M0 – הכמות בהתחלה, בזמן אפס.
Mt – הכמות המתקבלת לאחר t זמן.
t – הזמן שעבר.
q – קצב הגדילה או הדעיכה.
למשל אם שיעור אוכלוסיה גדל ב 5% בשנה.
אז q=1.05.

  1. q הוא תמיד מספר חיובי.
  2. כאשר q > 1 הכמות גדלה.
  3. כאשר q מספר בין 0 ל- 1 הכמות קטנה.

הערה
שימו לב לסדר פעולות חשבון!
בנוסחה
Mt=M0qt
פעולה החזקה קודמת לכל הפעולות האחרות.

אם למשל המשוואה שקיבלתם היא:
mt = 5*23
אז הפעולה הראשונה שאתם עושים היא החזקה.
mt = 5*8
ורק לאחר מיכן מחשבים את הכפל.
mt = 5*8 = 40

2.כיצד מחשבים את q 

בשאלות שתפתרו תקבלו את המשתנים Mt, M0, t מוכנים להצבה בנוסחה Mt=M0qt.
אבל את q אתם תצטרכו למצוא.
ברוב השאלות אתם תקבלו מספר אחוזים ואתם תצטרכו להפוך את זה לערך q.
למשל יכתבו קצב גדילה של 12% ואתם תצטרכו להפוך את זה ל q = 1.12
או קטן בקצב של 20% ואתם תהפכו את זה ל q = 0.8

כאשר הכמות גדלה ב %n בשנה הנוסחה היא:

לדוגמה:
כמות הקונים בחנות גדלה ב 7% בשנה. מה הוא q?
נציב בנוסחה שלמעלה ונקבל:

כאשר הכמות קטנה ב %n בשנה הנוסחה היא:

לדוגמה:
ערך רכב קטן בכול שנה ב 15%. מה הוא q?
נציב בנוסחה ונקבל:

דוגמאות מהירות נוספות.
דוגמאות של גידול
8%  ⇐   q = 1.08
15%  ⇐   q = 1.15
50%  ⇐   q = 1.5
3%  ⇐   q = 1.03

דוגמאות של ירידה
8%  ⇐   q = 0.92
14%  ⇐   q = 0.86
50%  ⇐   q = 0.5
10%  ⇐   q = 0.9

3. 3 מכשולים בולטים בתרגילים

ברוב השאלות אתם צריכים לזהות את m0, mt, q, n בשאלה ולהציב אותם בנוסחה:
Mt=M0qt
זה הכל.

אבל בחלק מהשאלות יש דברים שיכולים להכשיל אותכם, והם כתובים כאן:

1.מה עושים כאשר מבקשים ממכם ללכת שנים לאחור?

כלומר נותנים לכם את הכמות הנוכחית, קצב הגידול ושואלים מה היה לפני 5 שנים?

במקרה זה עליכם להציב 5- בחזקה של q.
q-5 במשוואה, חזקה שלילית תיקח אותכם לאחור.

בנוסף m כלומר הכמות ההתחלתית שמציבים בנוסחה היא הכמות שידועה היום.

דוגמה לשאלה
בקופת חסכון כמות הכסף גדלה בקצב של 10% בשנה.
היום יש בקופת החיסכון 1331 שקלים.
כמה שקלים היו בקופת החיסכון לפני 3 שנים?

פתרון
m0 = 1331
זו כמות הכסף שיש עכשיו.

t = -3
מבקשים שנלך 3 שנים אחורה, לכן סימן המינוס.

q = 1.1
זה המספר המבטא גדילה של 10%

m-3 = ?
רוצים לדעת את הסכום לפני 3 שנים.

נציב את הנתונים הללו במשוואה:
Mt=M0qt
m-3 = 1331*1.1-3
m-3 = 1331 * 0.7513
m-3 = 1000

תשובה: הסכום בקופה לפני 3 שנים היה 1000 שקלים.

  • גם תרגיל 3 שבהמשך מתרגל את המכשול הזה.

2.מה עושים כאשר הנעלם הוא t המופיע בחזקה?

מעיון בשאלות המאגר ראיתי שעבור תלמידי 3 יחידות אושרה דרך קלה יחסית להתמודד עם מכשול זה.

אני מציע כי תבדקו שדרך זו אכן מתאימה עם המורה שלכם.

דרך הפתרון
כאשר הנעלם הוא הזמן אתם תגיעו למשוואה הדומה למשוואה הזו.
0.6t = 0.216
כיצד פותרים את משוואה כזו?

ניתן לפתור זאת על ידי הצבה של ערכי t שונים במשוואה:

הצבה
t = 2
0.6² = 0.36
זו לא התשובה

הצבה
t = 3
0.6³ = 0.216
זו  התשובה

כאשר אתם כותבים פתרון בבחינה עליכם להראות את כל ההצבות שעשיתים, ולא רק את ההצבה שהובילה אותכם לפתרון הנכון.

דוגמה 2
פתרו את המשוואה

2t = 8

t = 2
2² = 4
לא הפתרון

t = 3
2³ = 8
זה הפתרון

3.שימו לב לסדר פעולות חשבון

בנוסחה
Mt=M0qt
פעולה החזקה קודמת לכל הפעולות האחרות.

אם למשל המשוואה שקיבלתם היא:
mt = 5*23
אז הפעולה הראשונה שאתם עושים היא החזקה.
mt = 5*8
ורק לאחר מיכן מחשבים את הכפל.
mt = 5*8 = 40

4.תרגילי הכנה לבגרות

ארבעה תרגילים, בכול תרגיל תמצאו רכיב אחר חסר במשוואה Mt=M0qt

 תרגיל 1
במפעל לשבבי עץ כמות השבבים עולה בכול שעה ב 50%.
ידוע כי 5 שעות לאחר תחילה העבודה במפעל כמות השבבים הייתה 303.75.
כמה שבבים היו במפעל בתחילת היום?

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
q=1.5
נובע מ "עולה בכול שעה ב 50%"

t=5
נובע מ "5 שעות"

M5= 303.75
נובע מ "לאחר 5 שעות …. הייתה 303.75"

M0= ?
השאלה היא כמה שבבים היו בהתחלה.

נציב את הנתונים בנוסחה:
M0qt = Mt
303.75 = m0 *1.55

נפתור את המשוואה:
303.75 = m0 *1.55
7.593: / 303.75 = 7.593m0
m0 = 40
תשובה: כמות השבבים בתחילת העבודה הייתה 40.

תרגיל 2
מחיר יצירת אומנות הוא 500 שקלים.
מחירה עולה באחוז קבוע בכול שנה.
כעבור 4 שנים מחיר היצירה יהיה 1036.8 שקלים.
באיזה אחוז מחיר יצירת האומנות עולה בכל שנה?

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
m0 = 500
זה המחיר ההתחלתי של היצירה.

m4 = 1036.8
זה המחיר כעבור 4 שנים.

t = 4
זה הזמן

q = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
M0qt = Mt
500q4 = 1036.8

נפתור את המשוואה
500q4 = 1036.8
500q4 = 1036.8   / :500
q4 = 2.0736
q = 4√2.0736 =1.2

אם q הוא 1.2 אז אחוז הגידול השנתי הוא 20%.
תשובה: 20%.

תרגיל 3
מחיר מכונית לאחר שהיא 5 שנים על הכביש הוא 40,000 שקלים.
בכול שנה מחירה יורד ב 15%.

  1. מה מחיר המכונית כאשר קנו אותה.
  2. מה מחיר המכונית יהיה בעוד שנתיים.
לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
m0 = 40,000
זה המחיר בנקודת ההתחלה.

t = -5
מכוון שמבקשים שנלך לאחור הזמן הוא שלילי.

q = 0.85
מבטא ירידה של 15%.

m-5 = ?
זה הזמן לפני 5 שנים.

נציב את הנתונים בנוסחה:
Mt=M0qt
m-5 = 40000*0.85-5
m-5 = 40000* 2.25
m-5 = 90,000

תשובה: לפני 5 שנים המחיר היה 90,000.

סעיף ב: מה מחיר המכונית בעוד שנתיים
m0 = 40,000
זה המחיר עכשיו

q = 0.85
זה קצב של ירידה ב 15%.

t = 2
הזמן הנדרש הוא שנתיים קדימה.

m2 = ?
המחיר בעוד שנתיים לא ידוע.

נציב בנוסחה:
Mt=M0qt
m2 = 40000 * 0.85² = 28900

תשובה: מחיר המכונית בעת הקנייה היה 90,000 שקלים. מחיר המכונית בעוד שנתיים יהיה 28,900 שקלים.

תרגיל 4
מחיר מכונית הוא 50,000 שקלים והוא יורד בכול שנה ב 10%.
כעבור כמה שנים מחיר המכונית יהיה 32,805 שקלים?

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
M0= 50,000
זה המחיר בזמן ההתחלתי.

Mt= 32,805
זה המחיר לאחר t שנים.

q=0.9
המחיר יורד ב 10% כל שנה.

t=?
מספר השנים חסר.

נציב את הנתונים בנוסחה:
Mt=M0qt

נציב את הנתונים בנוסחה:
M0qt = Mt
32805 = 50000 * 0.9t
0.9= 32805 : 50000
0.9t = 0.6561
t lan 0.9 = lan 0.651
t = lan 0.651  :  lan 0.9 = 4.07

תשובה: כעבור 4.07 שנים מחיר המכונית יהיה 32.805 שקלים.

תרגיל 5
משקלו של חומר הוא 2 קילוגרם.
כל 10 שנים משקל החומר יורד ב 20%.
כעבור כמה עשרות שנים משקל החומר יהיה מחצית ממשקלו המקורי?

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
m0 = 2
זה המשקל בנקודת ההתחלה.

mt = 1
זה המשקל בסוף התהליך (מחצית מ 2).

q = 0.8
קצב ירידה של 20%.

t = מספר עשרות השנים שיעברו עד שמשקל החומר יהיה 1 ק"ג
הערה: מכוון שבשאלה קצב הירידה נתון ב 10 שנים. אז גם יחידת הזמן שלנו היא "מספר עשרות שנים".

נציב את הנתונים בנוסחה.
M0qt = Mt
1=0.8t*2
0.8t= 0.5
ln0.8t = ln 0.5
t*ln0.8 = ln0.5
0.22t = -0.69   / : – 0.22-
t = 3.13
תשובה: כעבר 3.13 עשרות שנים משקל החומר יהיה מחצית ממשקלו המקורי.

עוד באתר:

5.פתרונות לתרגילים מהבגרות

בחלק זה מופיעים הפתרונות בלבד.
את השאלונים והשאלות עצמן ניתן למצוא באינטרנט.

בגרות קיץ 2018 שאלה 3

סעיף א
m0 = 20,000
q = 1.03
t=1
m1 = ?

המשוואה שלנו היא:
Mt=M0qt
Mt = 20,000*1.03 = 20,600

סעיף ב
עבור t = 8  המשוואה תהיה:
M8 = 20,000*1.038 = 25335.4
תשובה: לאחר 8 שני החוב הוא 25335.4

סעיף ג
4666.6  = 25335.4 – 30,000

סעיף ד
הנתונים הם:
m0 = 4666.6
t = 2
m2 = 4758.36
q = ?

4666.6q² = 4758.36  / : 4666.6
q² = 1.09
q = 1.01

תשובה: 1%.

בגרות קיץ 2017 מועד א שאלה 3

א. מחיר הקנייה 120,000 שקלים.
כעבור 4 שנים המחיר 78,7322 שקלים.

ב. נחשב את q על פי הנוסחה
Mt=M0qt
הנתונים שלנו הם:
m0 = 120,000
mt = 78,732
t=4
q= ?
78,732 = 120,000q4
q4 = 0.651
q=0.9
תשובה: לכן מחיר המכונית יורד ב 10%% כל שנה.

ג. כעבור 6 שנים הנתונים הם:
m0 = 120,000
mt = ?
t=6
q= 0.9
mt = 120000 * 0.9= 120000* 0.531 = 63,773
תשובה: מחיר המכונית כעבור 6 שנים הוא 63,773 שקלים.

בגרות קיץ 2016 מועד א שאלה 3

Mt=M0qt
Mt – 50,000
M0 – 40,000
t – 20.
q – ?

המשוואה שלנו היא:
40,000q20 = 50,000  / : 40,000
q20 = 1.25
q=1.0112

עכשיו עלינו להפוך את המספר שקיבלנו לאחוזים.
x  הוא מספר האחוזים שבהם העץ גודל בכול שנה.

תשובה: כמות העץ גדלה בכול שנה ב- 1.12%.

סעיף ב
M20 =50000*1.011220=50000*1.25=62,500
תשובה: 62,500 עצים.

סעיף ג
על מנת לדעת מה היה לפני 5 שנים נציב במשוואה q-5.
M-5 =50000*1.0112-5 = 47,291
תשובה: לפני 5 שנים היו 47,291 עצים ביער.

בגרות קיץ 2016 מועד ב שאלה 2

סעיף א
לאחר 4 שנים

לאחר 5 שנים

סעיף ב

טעות שחלק עושים היא לחלק את אחוז העלייה (נניח 50%) במספר השנים (נניח 5). זו טעות משום שהכסף לא גדל כל שנה ב- 10% מהסכום המקורי אלא בכול שנה הוא גדל באחוז מסוים ממה שיש בקופה, שזה יותר מהסכום המקורי.

פתרון.
נפתור זאת בעזרת משוואת גידול.
Mt=M0qt
m0  – 2000
Mt – 2800.
t – 4 שנים.
q – ?

המשוואה היא:
2000q4 = 2800
q4 = 1.4
q = 1.0877

עבור התוכנית השנייה:
M0   – 2000 שקלים.
Mt   – 3000.
t –5 שנים.
q  – ?

המשוואה היא:
2000q5 = 3000
q5 = 1.5
q = 1.0844

תשובה: אנו רואים שה – q בתוכנית הראשונה גדול יותר ולכן גם אחוז הגדילה גדול יותר בתוכנית הראשונה.

בגרות חורף 2016 – שאלה 3

סעיף א
כעבור 2 שנים: 640 גרם.
כעבור 5 שנים: 327.68 גרם.

 סעיף ב
מכוון שקצב הירידה הוא מעריכי קבוע אנו יכולים להתייחס אל "כעבור שנתיים" כאל נקודת ה- 0. ואז:
Mt=640
M0=327.68
t=3
q=?

נציב במשוואה:
Mt=M0qn
640q³ = 327.68
q³ = 0.512
q = 0.8

על מנת לתרגם את q לאחוזים עלינו להכפיל ב- 100.
0.8*100=80%
תשובה: קצב הירידה הוא 100-80=20%.

סעיף ג
נציב את הנתונים שקיבלנו כעבור שנתיים על מנת למצוא את M0.

תשובה: הכמות ההתחלתית הייתה 1000 גרם.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

16 מחשבות על “גידול ודעיכה”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כאשר יש את הנתונים האחרים מציבים אותם בנוסחה ופותרים משוואה עם נעלם אחד, כאשר הנעלם הוא m0.
      יש לכך דוגמה בחלק של הדוגמאות.

  1. היי תודה על ההסבר
    דבר אחד שאני תמיד מיסתבחת בו זה איך להפוך את הקיו לאחוזים ? כי אני תמיד מציבה במשווה וזה יוצא לי לא טוב …

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רוני
      בחלק השני יש הסבר למעבר בין q לאחוזים.
      בעיקרון
      q = 1.04
      זה עליה של 4%.

  2. היי אשמח לדעת איך הופכים את האחוז למספר
    למשל אם מחיר של מכונית יורד כל שנה ב10% אז איך הופכים את האחוז למספר רגיל?
    תודה💕

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שילת
      המספר המתאים ל 10% הוא 0.1.
      כאשר 10% יורד זה אומר שצריך להכפיל ב 0.9 כדי לדעת מה נשאר.
      הסרטון השני בדף מסביר כיצד למצוא את q.

  3. היי
    קודם כל חייבת לציין שהאתר הזה ממש טוב ומובן !
    דבר שני …
    לא הצלחתי לפתור את השאלה הזו: במדינה מסוימת מספר התושבים גדל פי 2 בתוך 10 שנים. פי כמה גדלה האוכלוסיה כל שנה?

  4. היי
    קודם כל תודה רבה על האתר המושלם וההסברים הטובים, עוזר הרבה!!!
    לא הבנתי למה בסרטון הראשון הוא הסביר ש50% זה 1.5 איך הוא הגיע לזה?
    זה לא אומר להיות 0.5?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שילת
      מדובר בעליה של 50%. בשביל לחשב עלייה של 50% נכפיל פי 1.5 את הגודל המקורי.

  5. שלום רב.
    רציתי לשאול מה זאת אומרת כאשר רשום
    במבחנה השנייה היו 18000 חיידקים בתחילה. מספר החיידקים במבחנה השנייה גדל באחוז קבוע. כעבור שלוש שבועות במבחנה השנייה יהיו 23958 חיידקים.
    בכמה אחוזים גדל מספר החיידקים במבחנה השניי?
    השאלה שלי מה זה אחוז קבוע כאילו מה הכוונה הם מתכוונים פה לאחוז אחד כאילו ככה1%??
    תודה לעונים

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רון
      בקבוע מתכוונים לכך שבכל שבוע העלייה הייתה באותו אחוז.
      אם בשבוע אחד העלייה הייתה ב 4% אז בכל אחד מהשבועות העלייה הייתה ב 4%.

  6. בשמורת הטבע היו ביום מסויים 10,000 חיות בר. מספר חיות הבר גדל בכל שנה באחוז מסויים ואחרי 10 שנים מהיום המסויים היו בשמורה 20,000 חיות בר.
    רשמתי 20,000-10,000=10,000 לפי פתרון אחר שרשמת ואני חושבת שטעיתי תוכל לעזור בבקשה?
    ובכמה אחוזים גדל מספר חיות הכל שנה.
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בנוסחה הזו
      Mt=M0qt
      בשאלה נתון את כל הפרטים חוץ מ q.
      תציב את הנתונים ותקבל משוואה עם נעלם אחד.

      גם תרגיל מספר 2 שבדף הוא דומה מאוד, נסו להבין אותו.
      אם לאחר שני אלה יש עדיין בעיה ניתן לחזור אליי עם שאלה מדויקת.

  7. רציתי לדעת איך אני מוצאת את ה q שמחיר של מוצר יורד בסכום מסוים של שקלים
    כגון: ערכה של מכונית יורד בכל שנה במספר אחוזים, מחירה של מכונית חדשה 32000 ש"ח , ולאחר 3 שנים
    יורד מחירה ב – 8672 ש"ח ,
    מה היה מחירה לפני 3 שנים , ומהו אחוז הירידה בכל שנה?
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מצאי את המחיר לפני 3 שנים על ידי החישוב
      8672 – 32,000

      ועכשיו יש לך את
      m0 32,000
      mt 32,000 – 8672
      t -3
      תציבי אותם בנוסחה ומצאי את q.

      הליכה שנים אחורה מוסברת בדף תחת הכותרת מכשולים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.