סדרה חשבונית נוסחת האיבר הכללי

פתרון
נכתוב את הנתונים בשפה של סדרה:
a₁ = 8
d = 6
n = 17.

נציב זאת בנוסחה:
a_n = a₁+ (n – 1)d
a₁₇ = 8+ (17 – 1)6
a₁₇ = 8 + 96 = 104

תשובה: האיבר במקום ה 17 הוא 104.

פתרון
סעיף א: מציאת האיבר הראשון

נרשום את הנתונים בצורה המתאימה לסדרות:

a₁₀ = 43
d = 3
n = 10
a₁ = ?

נציב בנוסחת האיבר הכללי:
a_n = a₁+ (n-1)d

43 = a₁ + (10-1)3
a₁ + 27 = 43  /-27
a₁ = 16
תשובה: האיבר הראשון של הסדרה הוא 16.

סעיף ב: מציאת האיבר במקום ה- 20

נציב את הנתונים בנוסחה על מנת למצוא את האיבר במקום ה 20.
a_n = a₁ + (n-1)d

a₂₀ = 16 + (20-1)3
a₂₀=16+57=73
תשובה: האיבר במקום ה 20 הוא 73.

פתרון
סעיף א

נתונים לנו a₄ = 25,   a₇ = 10.
וכאשר נתון לנו איבר שהוא לא האיבר הראשון אנו מציבים את הנתון שלו בנוסחת האיבר הכללי.
a_n=a₁+ (n-1)d

עבור a₄ = 25
n = 4
a_n=a₁+ (n-1)d
a₄ = a₁ + (4 -1)d = 25
a₄ = a₁ + 3d = 25  (משוואה ראשונה).

עבור a₇ = 5
n= 7
a_n=a₁+ (n-1)d
a₇ = a₁ + (7 -1)d = 10
a₇ = a₁ + 6d = 10  (משוואה שנייה).

קיבלנו שתי משוואות:
a₁ + 3d = 25
a₁ + 6d = 10

הדרך הקצרה לפתור אותן היא בשיטת השוואת מקדמים.
נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה.
3d = -15
d = -5

נציב d = -5 במשוואה הראשונה ונקבל:
a₁ + 3d = 25
a₁ -15= 25
a₁ = 40
תשובה: a₁ = 40,  d = – 5.

פתרון המשוואות בשיטת ההצבה נראה כך:

a₁ + 3d = 25
a₁ + 6d = 10

נבודד את a₁ במשוואה הראשונה:

a₁ + 3d = 25
a₁ = – 3d + 25

נציב במשוואה השנייה:

a₁ + 6d = 10
-3d + 25 + 6d= 10
3d + 25 = 10
3d = -15
d = – 5

נציב:

a₁ = – 3d + 25
a₁ = – 3 * -5 + 25
a₁ = 40

פתרון

איברי הסדרה הם המרחקים שהאצן בכל דקה.
100,130,160

נכתוב את הבעיה המילולית בשפה של סדרות:

a₁ = 100
d = 30
n = 10
a₁₀ = ?

מבקשים שנמצא את האיבר העשירי בסדרה ולכן עלינו להציב בנוסחת האיבר הכללי:
a_n = a₁ + (n – 1)d
a_n = 100 + (10 – 1)30
a_n= 100 + 270 = 370

תשובה: בדקה העשירית הרץ יעבור 370 מטרים.

פתרון
המספרים המתחלקים ב 4 הם סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא 4.
d=4.

עלינו למצוא את a₁ שהוא המספר הראשון שגדול מ 50 ומתחלק ב 4.
המספר הזה הוא 52 – ניתן למצוא את המספר הזה על ידי הכפולות של 4 או על ידי הצבה: 50,51,52 ובדיקה האם המספר מתחלק ב 4.

נמצא את המספר האחרון בסדרה על ידי מציאת המספר האחרון שמתחלק ב- 4.
150 לא מתחלק.
149 לא מתחלק.
148 מתחלק.

לכן 148 הוא האיבר האחרון בסדרה.

נסכם את מה שאנו יודעים:
a₁ = 52
a_n = 148
d = 4
n = ?

כאשר ידוע לנו איבר בסדרה כמו a_n = 148 מציבים את הנתונים הקשורים אליו בנוסחת האיבר הכללי.

a_n = a₁+ (n – 1)d

148 = 52 + (n – 1) 4
148  = 52 + 4n – 4
148 = 48 + 4n
100 = 4n
25 = n

תשובה: מספר המספרים שמתחלקים ב 4 בין 50 ל 150 הוא 25.

פתרון
איזו סדרה חשבונית יש לנו?
מספרים המתחלקים ב- 5 נמצאים במרחק 5 אחד מהשני.
כלומר הם יוצרים סדרה חשבונית שה- d שלה הוא 5.
d = 5.

אלו נתונים עלינו למצוא עוד לפני התרגיל?
עלינו למצוא את המספר הראשון בסדרה המתחלק ב- 5 (a₁) ואת המספר האחרון בסדרה המתחלק ב- 5 (a_n).

המספר הראשון הגדול מ-0 המתחלק ב- 5 הוא 5.

המספר הגדול ביותר שקטן מ- 2012 ומתחלק ב- 5:
2012 לא מתחלק.
2011 לא מתחלק.
2010 מתחלק.

הנתונים בשאלה הם:

a₁ = 5
a_n = 2010
d = 5
n = ?

נציב את הנתונים במשוואה:
a_n = a₁ + (n – 1)d

2010 = 5 + (n – 1)5
2010 = 5 + 5n – 5
2010 = 5n
402 = n

תשובה: יש 402 מספרים הגדולים מ- 0 קטנים מ- 2012 ומתחלקים ב- 5.

שלבי הפתרון הם:

1. מציאת האיבר הגדול ביותר בסדרה.
2. “ירידה” באיברים עד שמוצאים איבר המתחלק ב- 3.

פתרון
הנתונים, אנחנו יודעים:
a₁ = 16
d = 2

נמצא את a₂₁.

נציב את הנתונים בנוסחה:

a_n = a₁ + (n – 1)d
a₂₁ = 16 + (21 -1) 2 =
a₂₁ = 16 + 40 = 56

a₂₁  = 56
הוא האיבר הגדול ביותר בסדרה.
56 לא מתחלק ב- 3.
עכשיו “נרד” באיברים עד שנגיע לאיבר שמתחלק ב- 3.

56 – אינו מתחלק ב 3.
האיבר שמתחתיו:
54 – מתחלק ב 3.
18 = 3 : 54.

תשובה: 54 הוא המספר הגדול ביותר בסדרה המתחלק ב- 3.

שלבי הפתרון של מספר האיברים השליליים:

1. מציאה “על ידי מחשבה” את האיבר השלילי האחרון בסדרה.
2. הצבה בנוסחת האיבר הכללי וכך נמצא את n.

פתרון

סעיף א: מציאת מספר האיברים השליליים

מציאת האיבר השלילי האחרון והחיובי הראשון.

בסדרה נתון d = 3,  a₁ = – 108

על מנת לפתור את התרגיל עלינו למצוא את האיבר השלילי האחרון והאיבר החיובי הראשון.

את האיבר השלילי האחרון נמצא על ידי הוספת כפולות של 3 ל- 108.

ננסה להוסיף 90 לאיבר הראשון:
18 – = 90 + 108 –

90 לא מספיק, צריך להוסיף עוד, נוסיף 105.
3 – = 105 + 108-

מצאנו שהאיבר השלילי הגדול ביותר הוא 3-

ולכן האיבר החיובי הראשון הוא 3.
3 = 6 + 3-

נתוני הסדרה עבור האיברים השליליים
a₁ = -108
a_n = -3
d = 3
n = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
a_n = a₁ + (n-1)d

-3 = -108 + (n – 1)3
-3 = -108 + 3n – 3
-3 = -111 + 3n
108 = 3n
36 = n

תשובה: בסדרה יש 36 איברים שליליים

סעיף ב: מציאת מספר האיברים החיוביים

נתוני הסדרה עבור האיברים החיוביים
a₁ = 3
a_n = 90
d = 3
n = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
a_n = a₁ + (n-1)d

90 = 3 + (n -1)3
90 = 3 + 3n – 3
90 = 3n
30 = n

תשובה: בסדרה יש 30 איברים חיוביים.

שלבי הפתרון:

כמו במרבית השאלות מסוג זה עלינו למצוא על ידי חשיבה את האיבר הראשון והאחרון בסדרה.

1. נמצא את האיבר הראשון שמתחלק ב 4.
2. נמצא את האיבר הראשון שמתחלק ב- 4 עם שארית 3.
3. על ידי הוספת כפולות של 4 נמצא את האיבר האחרון שמתחלק ב- 4 עם שארית 3.
4. נציב בנוסחת האיבר הכללי ונמצא את מספר האיברים.

פתרון

איזו סדרה יש לנו?
סדרת המספרים שמשאירים שארית 3 כאשר מחלקים אותה ב- 4 היא סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא 4.

מציאת האיבר הראשון והאחרון בסדרה
גם כאן עלינו למצוא בעזרת ההיגיון את האיבר הראשון של הסדרה.

סימן ההתחלקות של 4 הוא שאם שתי הספרות האחרונות  של מספר מתחלקות ב- 4 אז כל המספר מתחלק ב- 4.
עבור 129 נבדוק האם 29 מתחלק ב- 4?
לא.
וגם אין לו שארית 3 אלא שארית 1.

גם אם אנו לא זוכרים את סימן
נשתמש בהגיון (ובמחשבון) ונמצא ש – 128 מתחלק ב 4.
לכן המספר הראשון בתחום המתחלק ב- 4 עם שארית 3 הוא 131.

על מנת למצוא את המספר האחרון שמתחלק ב- 4 עם שארית 3 נוסיף ל- 131 כפולות של 4.

120 לא ניתן להוסיף כי
251 = 120 + 131

לכן נוסיף 116
247 = 116 + 131
המספר באחרון בסדרה הוא 247.

הצבה בנוסחה ומציאת המספר האיברים

הנתונים שלנו הם:

a₁ = 131
a_n = 247
d = 4
n = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
a_n = a₁ + (n – 1)d

247 = 131 + (n – 1)4
247 = 131 + 4n – 4
247 = 127 + 4n
120 = 4n
30 = n

תשובה: מספר המספרים הגדולים מ- 129 וקטנים מ- 250 המתחלקים ב- 4 עם שארית 3 הוא 30.