סדרה חשבונית נוסחת האיבר הכללי

נוסחת האיבר הכללי היא נוסחה המאפשרת לנו למצוא איברים בסדרה חשבונית בקלות יחסית.

אם:
a1 האיבר הראשון בסדרה
d  הפרש הסדרה.
n  מיקום האיבר בסדרה
an  האיבר במקום ה n.

אז הנוסחה בעזרתה נבצע את החישוב היא:

an = a1 + (n – 1)d

לחצו להסבר מפורט ולא הכרחי למה הנוסחה נכונה

הסבר לנוסחה:

נניח כי 8 האיברים הבאים הם סדרה חשבונית.
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8

על מנת לעבור לעבור מהאיבר הראשון לשני עלינו להוסיף פעם אחת את d.

ואם נרצה לעבור מהאיבר הראשון לרביעי עלינו להוסיף 3 פעמים את d.

על בסיס אותו עיקרון ניתן להבין שאם נרצה לעבור מאיבר הראשון לאיבר ה 50 נוסיף 49 פעמים את d.

ואם נרצה לעבור מהאיבר הראשון לאיבר ה n (שהוא an) נוסיף n -1 פעמים את d.

וזה בדיוק מה שהנוסחה עושה:
על מנת להגיע ל an אנו לוקחים את a1 ומוסיפים לו n- 1 פעמים את d.
an=a1+ (n-1)d

החלקים של דף זה הם:

  1. 5 מצבים בהם משתמשים בנוסחת האיבר הכללי.
  2. בניית משוואה על פי משפטים.
  3. 12 תרגילים מסוגים שונים.

5 מצבים בהם משתמשים בנוסחת האיבר הכללי

כאשר אומרים "איבר כללי" מתכוונים להגיד "נוסחה שמאפשרת לנו למצוא כל איבר בסדרה".

יש 5 מצבים בהם אנו עושים שימוש בנוסחת האיבר הכללי:

  1. שימוש בסיסי למציאת איבר.
  2. נתון איבר שהוא לא האיבר הראשון.
  3. נתונים שני איברים שהם לא האיברים הראשונים.
  4. נתון סכום של שני איברים שהם לא איברים ראשונים.
  5. שני סוגים נוספים של בעיות.

בחלק זה נסביר אלו משפטים מתאימים לכל אחד מארבעת המצבים הללו וכיצד לפתור תרגילים.

דגש
מבין כל המצבים אני רוצה להדגיש את מצב 2, שבו נתון האיבר שהוא לא הראשון.
זה המצב הנפוץ והבנתו היא נמפתח להבנת מצבים 3-5 הבאים אחריו.

1.שימוש בסיסי

נוסחת האיבר הכללי היא נוסחה המאפשרת לנו למצוא את ערכו של כל איבר בסדרה חשבונית אם אנו יודעים את האיבר הראשון (a1) ואת הפרש הסדרה (d).

נוסחת האיבר הכללי היא:

an = a1 + (n – 1)d

כאשר an הוא האיבר הנמצא במקום ה n.

דוגמה
a1 = 3, d = 4.

1.מצאו את האיבר הנמצא במקום השביעי (a7).
2.מצאו את האיבר במקום ה 12.

פתרון
כאשר אומרים למצוא את האיבר השביעי אנו נציב n = 7

an = a1 + (n – 1)d
a7 = 3 + (7 -1) *4
a7 = 3 + 6 * 4
a7 = 3 + 24 = 27

עבור האיבר במקום ה 12.
an = a1 + (n – 1)d
a12 = 3 + (12 – 1) * 4
a12 = 47

2.כאשר נתון לנו איבר שהוא לא האיבר הראשון 

במצב זה נציב את האיבר שהוא לא האיבר הראשון בנוסחה, נציב גם את n המתאים לאיבר זה.
ונמצא את a1 או d החסרים.

דוגמה
בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא 30 והאיבר התשיעי הוא 86.

  1. מצאו את הפרש הסדרה (מצאו את d).
  2. מצאו את האיבר במקום ה 20.

פתרון
נתון לנו
a9 = 86
ולכן נשתמש בנוסחת האיבר הכללי.
יחד עם הנתונים:

a= 30
n = 9
d = ?

נציב בנוסחה

an= a1+ (n – 1)d
86 = 30 + (9 – 1)* d
86 = 30 + 8d
56 = 8d
7  = d

סעיף ב
את האיבר במקום ה 20 נקבל על ידי המשוואה

a20 = 30 + (20 – 1)*7
a20 = 30 + 19*7 = 163
a20  = 163

3.כאשר נתונים לנו שני איברים שהם לא האיברים הראשונים

כאשר נתונים שני איברים שהם לא האיברים הראשונים נציב את שניהם בנוסחת האיבר הכללי
an= a1+ (n – 1)d
ונפתור שתי משוואות עם שני נעלמים.
לרוב הנעלמים יהיו a1, d.

דוגמה 
בסדרה חשבונית האיבר השביעי הוא 60.
האיבר השלישי הוא 80.
מצאו את הפרש הסדרה ואת האיבר הראשון.

פתרון
נגדיר
a1 האיבר הראשון בסדרה.
d הפרש הסדרה.

על בסיס המשפט "האיבר השביעי הוא 60" נבנה את המשוואה:

a7 = a1 + 6d
60 = a1 + 6d

על בסיס המשפט "האיבר השלישי הוא 80" נבנה את המשוואה:

a3 = a1 + 2d
80 = a1 + 2d

קיבלנו שתי משוואות עם שני נעלמים:

60 = a1 + 6d
80 = a1 + 2d

נפתור בשיטת השוואת מקדמים, נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה ונקבל:

20 = -4d
-5 = d

מציאת a1
על מנת למצוא את a1 נציב d = -5 במשוואה הראשונה.

60 = a1 + 6d
60  = a1 + 6 * (-5)
60 = a1 – 30
90 = a1

תשובה: d = -5,   a1 = 90

4.כאשר נתון לנו סכום של שני איברים

כאשר נתון לנו סכום של שני איברים:

  1. נגדיר כל אחד מהאיברים בעזרת a1,d.
  2. נבנה משוואה של סכום על פי המשפט שקיבלנו.

דוגמה קצרה
בסדרה חשבונית סכום האיברים הרביעי והשמיני הוא 100.
כתבו משוואה

פתרון
נגדיר את האיברים הרביעי והשמיני בעזרת a1,d
a4 = a1 +(4 – 1)d
a4 = a1 + 3d

a8 = a1 +(8 – 1)d
a4 = a1 + 7d

נבנה משוואה: סכום האיברים הרביעי והשמיני הוא 100.
a4 + a8 = 100

a1 + 3d + a1 + 7d = 100
a1 + 10d = 100

קיבלנו משוואה עם שני נעלמים.
בשאלות אמיתיות נקבל נתון נוסף איתו נוכל לבנות משוואה נוספת.
ואז נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים.

דוגמה מפורטת

בסדרה חשבונית האיבר ה- 11 הוא 40-.
סכום האיבר הראשון והשלישי הוא 28.
מצאו את האיבר הראשון והפרש הסדרה.

פתרון
הנתונים הם:

a11 = -40
a1 + a3 = 28
a1 = ?
d = ?

על בסיס המשפט "האיבר ה11 הוא 40- " נבנה משוואה בעזרת נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית:

an= a1+ (n – 1)d
a11= a1+ (11-1)*d = -40
a1+ 10d = -40

ידוע כי סכום האיבר הראשון והשלישי הוא 28 ולכן ניתן לבנות משוואה נוספת.
נביע את האיבר השלישי באמצעות נוסחת האיבר הכללי:

a3= a1+ (3-1)d
a3= a1+ 2d

סכום האיברים הוא 28 ולכן:
a1 + a3 = 28
a1 + a1+ 2d = 28
2: /  2a1+ 2d = 28
a1 + d = 14

קיבלנו 2 משוואות עם 2 נעלמים:
a1+ 10d = -40
a1 + d = 14

נפתור בשיטת השוואת מקדמים, נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה ונקבל:

9d = -54
d = -6

מציאת a1
על מנת למצוא את a1 נציב d = -6 במשוואה השנייה.
a1 + d = 14
a1 – 6 = 14
a1 = 20

תשובה: d = -6,   a1 = 20

5.עוד שני סוגי שאלות

קיימים עוד שני סוגי שאלות בהם משתמשים בנוסחת האיבר הכללי.

1.שאלות בהם מכניסים מספרים בין שני איברים:

אם נתונים שני המספרים 6 ו 22.
ואומרים לנו שהכניסו 3 מספרים בניהם כך שנוצרה סדרה חשבונית ומבקשים שנמצא את הפרש הסדרה עלינו לפעול כך:

יחד עם 3 המספרים קיבלנו סדרה חשבונית שבה 5 איברים כאשר:
a1 = 6
a5 = 22.

כאשר נציב זאת בנוסחת האיבר הכללי נוכל למצוא את d.

an= a1+ (n – 1)d
22 = 6 + (5 – 1)d
22 = 6 + 4d
16 = 4d
4  = d

דוגמה נוספת
בין המספרים 40 ל 130 הכניסו 4 מספרים כך שנוצרה סדרה חשבונית.
מצאו את הפרש הסדרה.

לחצו לצפייה במשוואה

לאחר שהוסיפו 4 מספרים נוצרה סדרה חשבונית עם 6 איברים שבה
a1 = 40
a6 = 130

נציב את הנתונים הללו בנוסחת האיבר הכללי ונמצא את d.

an = a1 + (n – 1)d
130 = 40 + (6 – 1) * d
130 = 40 + 5d
90 = 5d
18 = d

שאלות בהם צריך למצוא כמה מספרים מתחלקים

דוגמה
כמה מספרים מתחלקים ב 7 בין המספר 10 ל 73?

על מנת לענות עלינו לדעת כי המספרים המתחלקים ב 7 הם תמיד סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא 7.
לדוגמה:

7,14,21,28

עלינו לזהות "בעזרת מחשבה" את המספר הראשון והאחרון המתחלקים  ב 7 בתחום 10-73
המספר הראשון הוא 14.
המספר האחרון הוא 70.

ועכשיו יש לנו סדרה חשבונית שבה:
a1 = 14
an = 70
d = 7
n = ?

על מנת למצוא את n נציב את הנתונים הללו בנוסחת האיבר הכללי:

an= a1 + (n – 1)d
70 = 7 + (n – 1)7
70 = 14 + 7n – 7
63 = 7n
9 = n

תשובה: בין 10 ל 73 יש 9 מספרים המתחלקים ב 7.

דוגמה נוספת
מתוך קבוצת המספרים המתחילה ב 12 ומסתיימת ב 202 מצאו כמה מספרים מתחלקים ב 5.

פתרון

קבוצת המספרים המתחלקת ב 5 היא סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא 5.

נזהה בעזרת חשיבה את האיבר הראשון שמתחלק ב 5 והוא 15.
נזהה בעזרת חשיבה את האחרון שמתחלק ב 5 והוא 200.

עכשיו אנו יודעים על הסדרה את הדברים הבאים:

a= 200
a1 = 15
d = 5
n = ?

נציב בנוסחת האיבר הכללי:

an= a1+ (n – 1)d
200 = 15 + (n – 1)*5
200 = 15 + 5n – 5
200 = 10 + 5n
190 = 5n
38 = n

תשובה: מצאנו שבסדרה יש 38 איברים.
כלומר בין 12 ל 202 יש 38 מספרים המתחלקים ב 5.

2.בנו משוואות על פי המשפטים הבאים

בחלק זה עליכם לבנות משוואה מהמשפטים הכתובים.

נניח כי בסדרה חשבונית:
aהאיבר הראשון.
d הפרש הסדרה.
n  מספר האיברים.

בכל אחד מהמשפטים יתנו לנו נתון.
השתמשו בנתון זה וכתבו את המשוואה הנובעת מנתון זה.

משפט 1
בסדרה חשבונית הפרש הסדרה הוא 6.

לחצו לצפייה במשוואה

d = 6

an = a1 + (n – 1)d
an = a1 + (n – 1) * 6

משפט 2
בסדרה חשבונית האיבר במקום השלישי הוא 20-.

לחצו לצפייה במשוואה
a3 = -20
n = 3

an = a1 + (n – 1)d
-20 = a1 + (3 – 1)d

משפט 3
בסדרה חשבונית האיבר האחרון בסדרה עם 24 איברים הוא 100

לחצו לצפייה במשוואה

n = 24
a24 = 100

an = a1 + (n – 1)d
100 = a1 + (24 – 1) * d

משפט 4
בסדרה חשבונית סכום האיברים השני והשביעי הוא 30.
(במשוואה השתמשו רק במשתנים a1, d, n).

לחצו לצפייה במשוואה

an = a1 + (n – 1)d

a2 = a1 + (2 – 1) * d
a2 = a1 + d

a7 = a1 + (7 – 1) * d
a7 = a1 + 6d

סכום שני האיברים הוא 30 לכן המשוואה היא:

a2 + a7 = 30
a1 + d + a1 + 6d = 30
2a1 + 7d = 30

זו המשוואה

 

משפט 5
האיבר השביעי בסדרה חשבונית גדול פי 10 מהאיבר הרביעי.
(במשוואה השתמשו רק במשתנים a1, d, n).

לחצו לצפייה במשוואה

an = a1 + (n – 1)d

עבור האיבר השביעי n = 7
a7 = a1 + (7 – 1) * d
a7 = a1 + 6d

עבור האיבר הרביעי n = 4
a4 = a1 + (4 – 1) * d
a4 = a1 + 3d

האיבר השביעי גדול פי 10 מהרביעי ולכן:

a7 = 10a4
a1 + 6d = 10(a1 + 3d)

3.תרגילים

תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים.
תרגילים 4-9 הם בעיות חלוקה שונות.
תרגילים 10-12 הם בעיות הדורשות שני נעלמים.

תרגיל 1 (הצבה בנוסחה)

נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הראשונים הם  8,14,20,26.
מצאו את האיבר הנמצא במקום ה 17.

פתרון
a1=8
d=6
n=17.
נציב זאת בנוסחה:
an=a1+ (n-1)d
a17=8+(17-1)6
a17=8+96=104
תשובה: האיבר במקום ה 17 הוא 104.

תרגיל 2 (פתרון בשני שלבים)

בסדרה חשבונית האיבר העשירי הוא 43 והפרש הסדרה הוא 3.
מצאו את האיבר הראשון.
מצאו את האיבר במקום ה 20.

פתרון
a10=43
d=3
n=10
a1=?

נציב בנוסחה:
an=a1+ (n-1)d
43=a1 + (10-1)3
a1+27=43  /-27
a1=16
תשובה: האיבר הראשון של הסדרה הוא 16.

נציב את הנתונים בנוסחה על מנת למצוא את האיבר במקום ה 20.
an=a1+ (n-1)d
a20=16 + (20-1)3
a20=16+57=73
תשובה: האיבר במקום ה 20 הוא 73.

תרגיל 3 (שני איברים שהם לא האיבר הראשון)

בסדרה חשבונית ידוע כי a4 = 25,   a7 = 10
מצאו את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה.

פתרון
נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית היא:
an=a1+ (n-1)d
נציב בנוסחת האיבר הכללי את שני האיברים שקיבלנו.

עבור a4 = 25
n = 4
an=a1+ (n-1)d
a4 = a1 + (4 -1)d = 25
a4 = a1 + 3d = 25  (משוואה ראשונה).

עבור a7 = 5
n= 7
an=a1+ (n-1)d
a7 = a1 + (7 -1)d = 10
a7 = a1 + 6d = 10  (משוואה שנייה).

קיבלנו שתי משוואות:
a1 + 3d = 25
a1 + 6d = 10

הדרך הקצרה לפתור אותן היא בשיטת השוואת מקדמים.
נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה.
3d = -15
d = -5

נציב d = -5 במשוואה הראשונה ונקבל:
a1 + 3d = 25
a1 -15= 25
a1 = 40
תשובה: a1 = 40,  d = -5.

תרגיל 4 (בעיה מציאותית)

רץ עובר בדקת הריצה הראשונה 100 מטרים. לאחר מיכן הוא מאיץ ועובר בכול דקה 30 מטר יותר.
מה המרחק שהרץ יעבור בדקה העשירית (בין 9 ל 10 דקות).

פתרון
נתרגם את הבעיה המילולית למספרים:
a1=100
d=30
n=10
an=?

נציב את הנתונים בנוסחה:
an=a1+ (n-1)d
an=100+ (10-1)30
an=100+270=370
תשובה: בדקה העשירית הרץ יעבור 370 מטרים.

בעיות חלוקה

תרגיל 5: (תרגיל חלוקה)

מצאו כמה מספרים מתחלקים ב 4 בין 50 ל 150.

פתרון
המספרים המתחלקים ב 4 הם סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא 4. d=4.
עלינו למצוא את a1 שהוא המספר הראשון שגדול מ 50 ומתחלק ב 4.
המספר הזה הוא 52 – ניתן למצוא את המספר הזה על ידי הכפולות של 4 או על ידי הצבה: 50,51,52 ובדיקה האם המספר מתחלק ב 4.
באותה דרך נמצא את המספר האחרון שמתחלק ב 4 והוא 148.
נסכם את מה שאנו יודעים:
a1=52
an=148
d=4
n=?

נציב בנוסחה:
an=a1+ (n-1)d
148=52 + n-1)4)
148=52+4n-4
148=4n+48
4n=100  /:4
n=25
תשובה: מספר המספרים שמתחלקים ב 4 בין 50 ל 150 הוא 25.

תרגיל 6

כמה מספרים גדולים מ- 0 וקטנים מ 2012 ומתחלקים ב- 5.

פתרון
איזו סדרה חשבונית יש לנו?
מספרים המתחלקים ב- 5 נמצאים במרחק 5 אחד מהשני.
כלומר הם יוצרים סדרה חשבונית שה- d שלה הוא 5.
d = 5.

אלו נתונים עלינו למצוא עוד לפני התרגיל?
עלינו למצוא את המספר הראשון בסדרה המתחלק ב- 5 (a1) ואת המספר האחרון בסדרה המתחלק ב- 5 (an).
המספר הראשון הגדול מ-0 המתחלק ב- 5 הוא 5.
המספר הגדול ביותר שקטן מ- 2012 ומתחלק ב- 5 הוא 2010.

הנתונים בשאלה הם:
a1 = 5
an = 2010
d = 5
n = ?

נציב את הנתונים במשוואה:
an = a1 + (n-1)d
פתרון התרגיל n = 402

תשובה: יש 402 מספרים הגדולים מ- 0 קטנים מ- 2012 ומתחלקים ב- 5.

תרגיל 7

בסדרה חשבונית 20, 18, 16 יש 21 איברים. מצאו את המספר הגדול ביותר המתחלק ל 3.

פתרון
הנתונים, אנחנו יודעים:
a1 = 16
d = 2
לכן אנו יכולים למצוא את a21.

נציב את הנתונים בנוסחה:
an = a1 + (n-1)d
an = 16 + (21 -1) 2 = 16 + 40 = 56

מציאת האיבר הגדול ביותר המתחלק ב- 3.
עכשיו נתחיל באיבר הגדול ביותר ונרד כל פעם באבר אחד עד שנגיע לאיבר המתחלק ב 3.
56 – אינו מתחלק ב 3.
האיבר שמתחתיו:
54 – מתחלק ב 3.
18 = 3 : 54.

תשובה: 54 הוא המספר הגדול ביותר בסדרה המתחלק ב- 3.

תרגיל 8

נתונה הסדרה 90 …. 102-,   105-,   108-
מה מספר האיברים החיוביים ומה מספר האיברים השליליים בסדרה.

פתרון
מציאת האיבר השלישי האחרון והחיובי הראשון.
בסדרה d = 3,  a1 = – 108
על מנת לפתור את התרגיל עלינו למצוא את האיבר השלילי האחרון והאיבר החיובי הראשון.
את האיבר השלילי האחרון נמצא על ידי הוספת כפולות של 3 ל- 108.
18 – = 90 + 108 –
צריך להוסיף עוד, נוסיף 105.
3 – = 105 + 108-

מצאנו שהאיבר השלילי הגדול ביותר הוא 3-
ולכן האיבר החיובי הראשון הוא 3.
3 = 6 + 3-

נתוני הסדרה עבור האיברים השליליים
a1 = -108
an = -3
d = 3
n = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
an = a1 + (n-1)d
פתרון התרגיל

תשובה: בסדרה יש 36 איברים שליליים.

נתוני הסדרה עבור האיברים החיוביים
a1 = 3
an = 90
d = 3
n = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
an = a1 + (n-1)d

תשובה: בסדרה יש 30 איברים חיוביים.

תרגיל 9

מצאו כמה מספרים יש בין 129 ל 250 שמשאירים שארית 3 כאשר מחלקים אותם ב 4.

פתרון
איזו סדרה יש לנו?
סדרת המספרים שמשיארים שארית 3 כאשר מחלקים אותה ב- 4 היא סדרה חשבונית שההפרש שלה הוא 4.

מציאת האיבר הראשון והאחרון בסדרה
גם כאן עלינו למצוא בעזרת ההיגיון את האיבר הראשון של הסדרה.
סימן ההתחלקות של 4 הוא שאם שתי הספרות האחרונות  של מספר מתחלקות ב- 4 אז כל המספר מתחלק ב- 4.
עבור 129 נבדוק האם 29 מתחלק ב- 4?
לא.
וגם אין לו שארית 3 אלא שארית 1.
גם אם אנו לא זוכרים את סימן
נשתמש בהגיון (ובמחשבון) ונמצא ש – 128 מתחלק ב 4.
לכן המספר הראשון בתחום המתחלק ב- 4 עם שארית 3 הוא 131.

על מנת למצוא את המספר האחרון נוסיף ל- 131 כפולות של 4.
120 לא ניתן להוסיף כי
251 = 120 + 131
לכן נוסיף 116
247 = 116 + 131
המספר באחרון בסדרה הוא 247.

הצבה בנוסחה ומציאת המספר האיברים
הנתונים שלנו הם:
a1 = 131
an = 247
d = 4
n = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
an = a1 + (n-1)d
פתרון התרגיל n = 30
תשובה: מספר המספרים הגדולים מ- 129 וקטנים מ- 250 המתחלקים ב- 4 עם שארית 3 הוא 30.

 

בעיות עם שני נעלמים

תרגיל 10

בסדרה חשבונית ידוע כי האיבר השלישי גדול ב 30 מהאיבר השמיני.
מצאו את הפרש הסדרה.

פתרון
שלב א: נגדיר את האיבר השלישי והאיבר השמיני באמצעות a1, d.
עבור a3
n= 3
an=a1+ (n – 1)d
a3 = a1 + (3 – 1)d
a3 = a1 + 2d

עבור a8
n = 8
an=a1+ (n-1)d
a8 = a1 + (8 – 1)d
a8 = a1 + 7d

שלב ב: בניית משוואה
המשוואה מבוססת על המשפט "ידוע כי האיבר השלישי גדול ב 30 מהאיבר השמיני".
a3 = a8 + 30
נציב את a3, a8 כפי שמצאנו אותם קודם:
a1 + 2d = a1 + 7d + 30

נפתור את המשוואה שקיבלנו:
a1 + 2d = a1 + 7d + 30  / -a1
2d = 7d + 30  / -7d
5d = 30-
d = -6
תשובה: הפרש הסדרה הוא 6-.

דוגמה 11 (שני נעלמים)

בסדרה חשבונית האיבר ה- 11 הוא 40-.
סכום האיבר הראשון והשלישי הוא 28.
מצאו את האיבר הראשון והפרש הסדרה.

פתרון
הנתונים הם:

a11 = -40
a1 + a3 = 28
a1 = ?
d = ?

על בסיס המשפט "האיבר ה11 הוא 40- " נבנה משוואה בעזרת נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית:

an= a1+ (n-1)d
a11= a1+ (11-1)*d = -40
a1+ 10d = -40

ידוע כי סכום האיבר הראשון והשלישי הוא 28 ולכן ניתן לבנות משוואה נוספת.
נביע את האיבר השלישי באמצעות נוסחת האיבר הכללי:

a3= a1+ (3-1)d
a3= a1+ 2d

סכום האיברים הוא 28 ולכן:
a1 + a3 = 28
a1 + a1+ 2d = 28
2: /  2a1+ 2d = 28
a1 + d = 14

קיבלנו 2 משוואות עם 2 נעלמים:
a1+ 10d = -40
a1 + d = 14

נפתור בשיטת השוואת מקדמים, נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה ונקבל:

9d = -54
d = -6

מציאת a1
על מנת למצוא את a1 נציב d = -6 במשוואה השנייה.
a1 + d = 14
a1 – 6 = 14
a1 = 20

תשובה: d = -6,   a1 = 20

תרגיל 12 (שני נעלמים וסכום, בעיה זו דורשת ידע בחישוב סכום סדרה)
בסדרה חשבונית שבה 11 איברים.
האיבר ה 11 הוא 102.
סכום אברי הסדרה הוא 577.5.

מצאו את האיבר הראשון בסדרה.

פתרון
הנתונים הם:
n = 11
a11 = 102
S11 = 577.5
? = a1

ידוע כי סכום 11 האיברים בסדרה הוא 577.5.
נבנה משוואה נוספת בעזרת נוסחת סכום סדרה חשבונית:

סכום סדרה חשבונית

11*(a1 + 102) = 1155  /:11
a1 + 102 = 105
a1 = 3

תשובה: האיבר הראשון הוא 3.

 

האיבר החמישי הוא 20

an= a1+ (n-1)d

20= a1+ (5-1)d

סכום האיברים השני והשישי הוא 90

a2 + a6 = 90

a+ d) + (a1 + 5d) = 90)

סכום 17 איברים הוא 100.

a1, d, n

סכום 30 איברים הוא 200

3a1

עוד באתר:

  1. סדרה חשבונית – נושאים נוספים.
  2. סכום סדרה חשבונית – נוסחאות ותרגילים.
  3. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  4. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

11 מחשבות על “סדרה חשבונית נוסחת האיבר הכללי”

  1. בשאלות כמו שאלה 4 אני מחסרת את האיבר במקום הקטן מהאיבר במקום הגדול ומחלקת את ההפרש ביניהם בתוצאה. לדוגמה בשאלה 4:
    8-3=5, 30:5=d.
    השאלה אם זה יתקע אותי בהמשך בשאלות קשות יותר, עדיף להשתמש במשוואות?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את צריכה להבין את הפתרון אחרת.

      התרגיל נפתר כך: בניית שתי משוואות ופתירתן.

      אם תביני כיצד נבנו המשוואות זה יסייע לך בהמשך.

      מה שאת כתבת: זו לא דרך הפתרון שכיוונתי אליה.

  2. מתכנתת לעתיד

    היי תודה ענקית על האתר הזה
    זה עזר לי ברמותתתת
    הכל מוסבר בדרך הכי מדורגת ופשוטה להבנה

  3. שלום אני אשמח אם אפשר להסביר לי את התרגיל
    כתוב בעיה מספר החלקים שהכינו במפעל גדל כל יום במספר קבוע לעומת היום הקודם.
    ביומיים הראשונים הכינו 330 חלקים וביום השישי הכינו פי 2 חלקים מאשר ביום הראשון.
    השאלה היא כמה חלקים הכינו ביום הראשון ואיזה יום הכינו 450 חלקים.
    אשמח עם יש אפשרות לקבל הסבר. כי אני באמת מסתבכת.

  4. תודה רבה על ההסברים הם עזרו לי מאוד לאבין איך לפתור את הסדרות בסדרות רגילות אך עדיין לא איך לפתור את הסדרות בנעלמים.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      חלק גדול מהשאלות שלמעלה הן שאלות עם נעלמים.
      אם יש לך שאלה שאת לא מצליחה לפתור את יכולה לכתוב אותה כאן ותקבלי הדרכה.

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          את צריכה להגדיר שני נעלמים: a1, d.

          משוואה אחת אומרת שסכום האיבר הראשון והשני הוא 300.
          משוואה שנייה אומרת ששהאיבר השישי גדול פי 6 מהאיבר הראשון.

          את כל האיברים צריך לבטא בעזרת a1,d.

  5. אני רשמתי מקודם שאם אפשר להסביר לי תתרגיל ואיתה לי טעות בהקלדה אני רושמת שוב תתרגיל:
    סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה חשבונית הוא 24, האיבר השישי 0, והאיבר האחרון 24-
    בדוגובה הקודמת רשמתי ש האיבר האחרון שווה 24 וזה טעות זה מינוס 24
    תןשה רבהה!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את מגדירה את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה (d) כשני נעלמים.
      מציבה את זה בנוסחת הסכום וזו משוואה אחת.
      מציבה את זה יחדד עם האיבר השישי בנוסחת האיבר הכללי וזו משוואה שנייה.
      ואז פותרת שתי משוואות עם שני נעלמים.
      לאחר מיכן מציבה את האיבר הראשון ו d שמצאת בנוסחת האיבר הכללי עם 24- ומוצאת את n.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.