לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

בעיות מילוליות עם שני נעלמים

בדף זה 19 בעיות מילוליות הנפתרות בעזרת שני נעלמים.

חלקי הדף הם:

  1. בעיות מספרים (תרגילים 1-3).
  2. בעיות קנייה ומכירה (תרגילים 4-8).
  3. בעיות תנועה (תרגילים 9-10).
  4. בעיות אחוזים (תרגילים 11-15).
  5. בעיות נוספות (תרגילים 16-19).

כל התרגילים מתאימים לכיתות ח,ט,י.
מלבד תרגילים 3,9,18  שאינם מתאימים לכיתה ח.

תרגילים 1-4 פתוחים לכולם.
תרגילים 5-18 מיועדים למנויים באתר.

חזרה כיצד לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים יש בקישור.

בהצלחה.

1.בעיות מספרים

תרגיל 1
נתונים שני מספרים שסכומם 32.
אם נחלק את המספר הגדול בקטן נקבל 3.
מצאו את שני המספרים.

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
ניתן לפתור את התרגיל בעזרת שתי משוואות עם שני נעלמים או משוואה עם נעלם אחד.
נתחיל בפתרון שתי משוואות עם שני נעלמים.
שלב א: הגדרת משתנים
x המספר הגדול.
y המספר הקטן.

שלב ב: בניית משוואות
x + y = 32

את המשוואה השנייה נבנה על סמך המשפט "נחלק את המספר הגדול בקטן נקבל 3".

נכפיל את המשוואה השנייה ב y ונקבל:
x = 3y

שלב ג: פתרון המשוואות.
הגענו למשוואות:
x + y = 32
x = 3y

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:
3y + y = 32
4y = 32
y = 8

נמצא את x:
x = 3y
x = 3*4 = 24

תשובה: המספר הגדול הוא 24, המספר הקטן הוא 8.

פתרון עם נעלם יחיד:
x המספר הגדול.

32 – x
המספר הקטן

את המשוואה נבנה על סמך המשפט "נחלק את המספר הגדול בקטן נקבל 3".

x = 96 – 3x
4x = 96
x = 24

תשובה: המספר הגדול 24, המספר הקטן 8.

תרגיל 2
נתונים שני מספרים שההפרש בניהם הוא 10.
אם ניקח את המספר הגדול ונחלק אותו ב 2 נקבל מספר הגדול פי 3 מהמספר הקטן.
מצאו את שני המספרים.

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x המספר הגדול.
y המספר הקטן.

שלב ב: בניית משוואות
משוואה הראשונה:
x – y = 10

נבנה משוואה על סמך המשפט "ניקח את המספר הגדול ונחלק אותו ב 2 נקבל מספר הגדול פי 3 מהמספר הקטן".
0.5x זה המספר הגדול חלקי 2.
3y  זה פי 3 מהמספר הקטן.
לכן המשוואה היא:
0.5x = 3y

שלב ג: פתרון משוואות
שתי המשוואות שקיבלנו:
x – y = 10
0.5x = 3y

נפתח את המשוואה:
0.5x = 3y  / *2
x = 6y
נציב את משוואה זו במשוואה הראשונה:
x – y = 10
6y – y = 10
5y = 10
y = 2

מצאנו כי המספר הקטן הוא 2.
נמצא את המספר הגדול:
x = 6y
x = 6 * 2  =12

תשובה: המספר הגדול הוא 12, המספר הקטן הוא 2.

תרגיל 3
סכום שני מספרים הוא 13 ומכפלתם היא 40.
מצאו את שני המספרים.

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר
x המספר הראשון
y המספר השני

שלב ב: בניית משוואות
סכום שני המספרים הוא 13. לכן:
x + y = 13
y= 13 -x

מכפלת המספרים היא 40, לכן:
x*y = 40

שלב ג: פתרון המשוואות
יש לנו שתי משוואות:
y= 13 -x
x*y = 40
נציב את המשוואה הראשונה בשנייה ונקבל:

x (13 -x) = 40
13x -x² = 40
0 = x² – 13x + 40

נכתוב את המשוואה בצורה שרגילים לכתוב משוואות ריבועיות:
x² – 13x + 40 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת פירוק טרינום או נוסחת השורשים.
פירוק טרינום נראה כך:

x² -5x – 8x + 40 = 0
x (x -5) -8 (x -5) = 0
x – 8) (x -5) = 0)
x = 8  או x = 5.

פתרון בעזרת נוסחת השורשים נראה כך:
x² – 13x + 40 = 0

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

הפתרונות של המשוואה הזו הם:
x = 8  או x = 5.

שלב ד: מציאת שני הפתרונות ותשובה סופית
אנו יודעים כי:
y= 13 -x
כאשר x = 5
y = 13 – 5 = 8

כאשר x = 8
y = 13 – 8 = 5

תשובה: מצאנו ששני הפתרונות הם בעצם פתרון יחיד וששני המספרים הם 8 ו 5.

2.בעיות קנייה ומכירה

תרגיל 4
מחיר 2 מסוקי צעצוע ו 3 מכוניות הוא 600 שקלים.
מחיר 3 מסוקי צעצוע ומכונית הוא 550 שקלים.
כמה עולה מסוק וכמה עולה מכונית?

פתרון וידאו

פתרון כתוב
שלב א: הגדרת משתנים
מכוון שאין קשר בין מחיר מסוק למחיר מכונית עלינו לבחור שני משתנים שייצגו כל אחד מהמחירים.
x  מחיר מכונית בשקלים.
y מחיר מסוק בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
המשוואה הראשונה מבוססת על המשפט "מחיר 2 מסוקי צעצוע ו 3 מכוניות הוא 600 שקלים"
2y + 3x = 600

המשוואה השנייה מבוססת על המשפט "מחיר 3 מסוקי צעצוע ומכונית הוא 550 שקלים"
3y + x = 550

שלב ג: פתרון משוואות ותשובה
2y + 3x = 600
3y + x = 550

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נכפיל את המשוואה השנייה פי 3.
2y + 3x = 600
9y + 3x = 1650

נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה ונקבל:
7y = 1050
y = 150

נציב במשוואה השנייה ונמצא את  x.
3y + x = 550
x + 3 * 150 = 550
x + 450 = 550
x = 100

תשובה: מחיר מכונית הוא 100 שקלים, מחיר מסוק 150 שקלים.

תרגילים 5-19 הם למנויים באתר.

מנויים לאתר רואים כאן הסבר כתוב.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

44 מחשבות על “בעיות מילוליות עם שני נעלמים”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. שלום יש לי שאלה
    יעל קנתה 14 מחברות ו4 קלסרים
    בסך הכל שילמה יעל על הקנייה 48 שקלים
    חישבו את מחירה של המחברת.
    נתקעתי כי זה סיבך אותי כי זה לא פי 3 זה גבוה ב3

  2. שלום יש לי שאלה
    מוצר ירד פעמיים באותו אחוז המחיר של המוצר היה בהתחלה 16 ובסוף 9 אז
    x זה האחוז שירד אבל איך אני ממשיך מפה לבנות משוואה

  3. שלום שאלה ..
    בית ספר תיכון הזמין 14 משאיות להסעת 480 תלמידים בכל משאית קטנה ניתן להסיע 30 ובכל משאית גדולה 50 תלמידים . כמה משאיות מכל סוג הוזמנו ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הבעיה דומה לבעיה 9 שבדף.
      אם פותרים את השאלה עם שני נעלמים אז מספר המשאיות מכל סוג הם שני המשתנים.
      ואז בעזרת שני המשתנים צריך להגדיר את כמות התלמידים – וזו משוואה ראשונה.
      וסכום המשאיות הוא 14 זו משוואה שנייה.
      שאלות מסוג זה נלמדות בפירוט כאן:
      https://www.m-math.co.il/algebra/word-problems-firsta/word-problems-break-down/

  4. שלום יש לי שאלה סוחר קנה ב60 ש"ח 5 ק"ג עגבניות ו 10 ק"ג מלפפונים המחיר של ק"ג עגבניות גדול בשקל וחצי מהמחיר של ק"ג מלפפונים משווה אחת תהיה
    5x+10y=60 ומשוואה שנייה y+3/2=x האם זה נכון לא הצלחתי לפתור

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      המשוואות נכונות,
      כנראה שיש טעות בדרך.
      y = 3.5
      x = 5
      הם שני המספרים שמתאימים לנתוני השאלה.

      1. לא הבנתי איפה הטעות ואיך יכול להיות שהמשוואה השנייה נכונה לפי המספרים שכתבתה

  5. היי
    אשמח לעזרה
    בחבית א יש 35 ליטר ובחבית ב יש 10 ליטר כמה ליטר צריך להעביר מחבית א לחבית ב כדי שבחבית א יהיו פי 2 ליטרים מחבית ב?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זו בעיה עם נעלם אחד והוא:
      x מספר הליטרים שצריך להעביר מחבית א לחבית ב כדי שבחבית א יהיו פי 2 ליטרים מחבית ב.
      לאחר מיכן לפתרון שני שלבים:
      1.לכתוב כמה יש בכל חבית לאחר ההעברה.
      2. לבנות משוואה.

  6. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    הי אשמח לעזרה
    מחיר כרטיס כניסה לגן חיות לילד זול ממחיר כרטיס למבוגר
    משפחה המונה שני המבוגרים ו-3 ילדים שילמה 305 שח
    אילו נוספו מבוגר אחד ו2 ילדים היתה משלמת המשפחה 485 שח עבור הכרטיסים
    מהו מחיר כרטיס למבוגר?
    אשמח לדרך לפתרון כי לא הבנתי תודה מראש

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      התרגיל מאוד דומה לתרגילים 4-5 שבדף.
      x מחיר כניסה לילד בשקלים.
      y מחיר כניסה למבוגר בשקלים.
      ואז:
      משפחה המונה שני המבוגרים ו-3 ילדים שילמה 305 שח – ממשפט זה יוצרים משוואה ראשונה.
      אילו נוספו מבוגר אחד ו2 ילדים הייתה משלמת המשפחה 485 שח – ממשפט זה יוצרים משוואה שנייה.

  7. לא ממש הבנתי את הנושא של בעיות תנועה בשתי נעלמים (9.10) יש אולי עד מקום באתר שמסביר את זה?? אשמח מאד. ותודה על הכול!. השיעורים כל כך מובנים!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה.
      יש מקומות במסבירים בעיות תנועה:
      https://www.m-math.co.il/math-8th-grade/word-problems-traphic-8th/
      יהיה הרבה יותר קל לעזור אם תדברי על שלב מסוים שאינו מובן – ואז יהיה ניתן להסביר אותו.
      ניתן גם במייל או בוואטסאפ וגם להסביר שאלה שאת קיבלת ומנסה לפתור.
      כאשר זו אמירה כללית לא ניתן לדעת מה להסביר.

      1. אוקיי. לדוגמא זה- בכל בוקר יוצאת משאית עמוסת סחורה מהמפעל ליעדים שונים קיבוץ חורש-מרוחק מהמפעל 130 ק"מ בדרכה מהמפעל לקיבוץ נסעה המשאית שעתיים בכביש מסודר ושעתיים בכביש משובש. מושב יער- מרוחק מהמפעל 95 ק"מ בדרכה מהמפעל למושב נסעה המשאית 30 דקות בכביש מסודר ו3 שעות בכביש משובש. אשמח מאד אם תחזיר לי תשובה בהקדם האפשרי!!! תודה!

        1. לומדים מתמטיקה

          x מהירות מסודר
          y מהירות משובש.
          2x + 2y = 130
          0.5x + 3y = 95
          עדיף להשתמש בוואטסאפ או במייל, שם יותר קל להבין מה הפריע בשאלה ולא רק לתת תשובה.

  8. יעל קנתה 3 ק״ג ענבים ו2 ק״ג אפרסקים ושילמה 24 שח
    ענת קנתה 9 ק״ג ענבים ו6 ק״ג אפרסקים ושילמה 72 שח .
    בנו מערכת משוואות , כמה עולה קג ענבים וכמה קג אפרסקים ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ממש כמו שאלה 4 שיש לה פתרון כתוב ופתרון וידאו.
      נסי ללמוד ממנה ואם תהיה שאלה על שלב בשאלה נוכל לעזור.

  9. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום.
    איך אני פותרת את התרגיל הזה:
    מחירם של 5 ק"ג שווה למחירם של 6 ק"ג תפוחים.
    מחירם של 3 ק"ג תפוזים ו-10 ק"ג תפוחים הוא 68 ש"ח
    מהו מחירו של 1 ק"ג תפוזים ומהו מחירו של1 ק"ג תפוחים?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מגדירים
      x מחיר קילוגרם תפוזים.
      y מחיר קילוגרם תפוחים.
      ואז משוואה ראשונה על פי המשפט:
      מחירם של 5 ק"ג שווה למחירם של 6 ק"ג תפוחים.
      ומשוואה שנייה לפי המשפט:
      מחירם של 3 ק"ג תפוזים ו-10 ק"ג תפוחים הוא 68 ש"ח
      דומה מאוד לשאלות 4,5,6 שבדף.

      1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

        נכון. אז באיזה שיטה אפשר לפתור את המערכת משוואות ?

        1. לומדים מתמטיקה

          גם בשיטת ההצבה וגם בהשוואת מקדמים.
          יתכן ששיטת ההצבה מהירה יותר כאן.

  10. שלום , יש פעמים שבפתרון בעיות עם שני נעלמים יוצא פסוק אמת. לדוגמא בתרגיל הבא .
    מעוין (4-, 4)אי , בי (6,5) סי (ואיי ,12) (בלתי אפשרי להכניס פה אותיות באנגלית וייצא בצורה מסודרת, אז נאלצתי לכתוב בעברית). צריך למצוא את קודקוד c יש שתי תשובות..
    אופציה אחת לפתרון התרגיל זה להשוות בין אורך קטע (כי במעויין כל הצלעות שוות) זה לא בעיה, אבל שניסתי לפתור בדרך אחרת כגון למצוא משוואה ל-ac בעזרת שיפוע והנקודה ואז לעשות משוואה ל-bc בעזרת שיפוע ונקודה , ואז השוואתי ביניהם את ערך ה-y מכיוון ש-y שווה בשניהם. ואז נוצרה לי משוואה אחת עם שני נעלמים. ומכיוון שלשניהם יש x שווה באותה נקודת מפגש אז הצבתי 12 במשוואה ונותרתי רק עם נעלם של a, אבל לאחר שכינסתי איברים דומים , קיבלתי פסוק אמת ( 48a=48a) . מדוע זה קרה לי אני מנסה להבין מה הטעות פה על מנת ללמוד להבא (למרות שהצלחתי לפתור עם דרך האחרת, חשוב לי להבי מה הבעיה פה) תודה רבה מקווה שהייתי מובן

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ראשית לא כל פעם שהמשתנים מתבטלים הדבר נובע מטעות. רוב הפעמים הדבר נובע נבניית אותו ביטוי אלגברי משני צדדי המשוואה.
      צריך לראות באופן מפורט יותר מה עשית.
      אם אתה מנוי שלח תמונה עם הפתרון שכתבת ושם המנוי שלך לאימייל של האתר.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין חשיבות איזה דבר מוגדר כ y ואיזה דבר מוגדר כ x.
      לא הבנתי בדיוק למה הכוונה במילים : איפה שמים.

  11. היי, בנוגע לשאלה תשע לא היה יותר פשוט ועדיף לחלק את שני הצדדים ב1.5v ? במקום ב1.5? אם עושים זאת ישר מגיעים לתשובה ש v=40 . אשמח לתשובה :)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      נכון, ניתן לחלק ב 1.5v וזה מקצר. רק צריך לכתוב כאשר מחלקים ש v היא מהירות של מכונית נוסעת, ולכן v שונה מ 0 ולכן ניתן לחלק ב 1.5v .
      תודה

      1. רשמת צריך לכתוב הכוונה לכתוב בדרך הפיתרון ? או שבשאלה צריך להיות כתוב? כי לפי הבנת השאלה המכוניות נוסעות ולכן זה שונה מאפס ולא יכול להיות מהירות אפס.

        1. לומדים מתמטיקה

          נכון, לא יכולה להיות מהירות 0 אבל כאשר מחלק ב v אתה צריך לנמק את הסיבה שבגלל מותר לחלק ב v.
          והיא "המכונית נוסעת ומהירותה שונה מ 0".
          את הנימוק צריך לכתוב במהלך כתיבת הפתרון.
          למרות שמי שקורא את הפתרון יודע את זה, אתה צריך להזכיר ולנמק את הפעולה.

  12. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    התרגיל 14 ניתן לפתור בקלי קלות ללא כל השלבים הארוכים :)
    בשיטה של לומדים מתמטיקה המוצגת במפורט בדף של טרינום
    היקף =》 ( 14 )• 2 = a+b) • 2)
    שטח = 》 a • b = 45
    מציאת המספרים שמכפלתם 45 וסכומם 14
    ———————————————————————————
    | 1 | 45 |
    | 3 | 15 |
    תשובה: | 5 | 9 | 5+9=14 5•9=45

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה על התוספת.
      אכן ניתן לפתור כמו שפתרת עם כל מה שאנו רוצים זה להגיע לתשובה הנכונה.
      אבל אם רוצים לכתוב תשובה שתתקבל במבחן צריך להוסיף על דרך הפתרון שלך.