בעיות מילוליות עם שני נעלמים

פתרון
ניתן לפתור את התרגיל בעזרת שתי משוואות עם שני נעלמים או משוואה עם נעלם אחד.
נתחיל בפתרון שתי משוואות עם שני נעלמים.
שלב א: הגדרת משתנים
x המספר הגדול.
y המספר הקטן.

שלב ב: בניית משוואות
x + y = 32

את המשוואה השנייה נבנה על סמך המשפט "נחלק את המספר הגדול בקטן נקבל 3".

נכפיל את המשוואה השנייה ב y ונקבל:
x = 3y

שלב ג: פתרון המשוואות.
הגענו למשוואות:
x + y = 32
x = 3y

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:
3y + y = 32
4y = 32
y = 8

נמצא את x:
x = 3y
x = 3*4 = 24

תשובה: המספר הגדול הוא 24, המספר הקטן הוא 8.

פתרון עם נעלם יחיד:
x המספר הגדול.

32 – x
המספר הקטן

את המשוואה נבנה על סמך המשפט "נחלק את המספר הגדול בקטן נקבל 3".

x = 96 – 3x
4x = 96
x = 24

תשובה: המספר הגדול 24, המספר הקטן 8.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x המספר הגדול.
y המספר הקטן.

שלב ב: בניית משוואות
משוואה הראשונה:
x – y = 10

נבנה משוואה על סמך המשפט "ניקח את המספר הגדול ונחלק אותו ב 2 נקבל מספר הגדול פי 3 מהמספר הקטן".
0.5x זה המספר הגדול חלקי 2.
3y  זה פי 3 מהמספר הקטן.
לכן המשוואה היא:
0.5x = 3y

שלב ג: פתרון משוואות
שתי המשוואות שקיבלנו:
x – y = 10
0.5x = 3y

נפתח את המשוואה:
0.5x = 3y  / *2
x = 6y
נציב את משוואה זו במשוואה הראשונה:
x – y = 10
6y – y = 10
5y = 10
y = 2

מצאנו כי המספר הקטן הוא 2.
נמצא את המספר הגדול:
x = 6y
x = 6 * 2  =12

תשובה: המספר הגדול הוא 12, המספר הקטן הוא 2.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר
x המספר הראשון
y המספר השני

שלב ב: בניית משוואות
סכום שני המספרים הוא 13. לכן:
x + y = 13
y= 13 -x

מכפלת המספרים היא 40, לכן:
x*y = 40

שלב ג: פתרון המשוואות
יש לנו שתי משוואות:
y= 13 -x
x*y = 40
נציב את המשוואה הראשונה בשנייה ונקבל:
x (13 -x) = 40
13x -x² = 40
x² – 13x + 40 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת פירוק טרינום או נוסחת השורשים.
פירוק טרינום נראה כך:

x² -5x – 8x + 40 = 0
x (x -5) -8 (x -5) = 0
x – 8) (x -5) = 0)
x = 8  או x = 5.

פתרון בעזרת נוסחת השורשים נראה כך:
x² – 13x + 40 = 0

הפתרונות של המשוואה הזו הם:
x = 8  או x = 5.

שלב ד: מציאת שני הפתרונות ותשובה סופית
אנו יודעים כי:
y= 13 -x
כאשר x = 5
y = 13 – 5 = 8

כאשר x = 8
y = 13 – 8 = 5

תשובה: מצאנו ששני הפתרונות הם בעצם פתרון יחיד וששני המספרים הם 8 ו 5.

שלב ב: בניית משוואות
המשוואה הראשונה מבוססת על המשפט "מחיר 2 מסוקי צעצוע ו 3 מכוניות הוא 600 שקלים"
2y + 3x = 600

המשוואה השנייה מבוססת על המשפט "מחיר 3 מסוקי צעצוע ומכונית הוא 550 שקלים"
3y + x = 550

שלב ג: פתרון משוואות ותשובה
2y + 3x = 600
3y + x = 550

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נכפיל את המשוואה השנייה פי 3.
2y + 3x = 600
9y + 3x = 1650

נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה ונקבל:
7y = 1050
y = 150

נציב במשוואה השנייה ונמצא את  x.
3y + x = 550
x + 3 * 150 = 550
x + 450 = 550
x = 100

תשובה: מחיר מכונית הוא 100 שקלים, מחיר מסוק 150 שקלים.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר
y מחיר עפרון בשקלים.
x מחיר מחק בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר של 10 מחקים ו 5 עפרונות הוא 55 שקלים
לכן:
10x + 5y = 55

מחיר של 2 מחקים ו 4 עפרונות הוא 20 שקלים.
לכן:
2x + 4y = 20

שלב ג: פתרון המשוואות
קיבלנו שתי משוואות
10x + 5y = 55
2x + 4y = 20
נפתור אותן בשיטת השוואת מקדמים.

נכפיל את המשוואה השנייה פי 5 ונקבל:
10x + 5y = 55
10x + 20y = 100

נחסר את המשוואה הראשונה ונקבל:
15y = 45  / :15
y = 3

נציב y = 3 במשוואה הראשונה ונקבל:
10x + 5y = 55
10x + 5*3 = 55  / -15
10x = 40  / :10
x = 4

תשובה: מחיר עפרון הוא 3 שקלים, מחיר מחק הוא 4 שקלים.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר:
x  מחיר קילו עגבניות בשקלים.
y מחיר קילו מלפפונים בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר 3 קילו מלפפון ו 1 קילו עגבניות הוא 22 שקלים.
לכן:
x + 3y = 22

מחיר 2 קילו מלפפון ו 4 קילו עגבניות הוא 28 שקלים.
4x + 2y = 28

שלב ג: פתרון שתי משוואות
קיבלנו את המשוואות
x + 3y = 22
4x + 2y = 28

נבודד את x במשוואה הראשונה
x + 3y = 22
x = 22 – 3y

נשתמש בשיטת ההצבה ונציב את הערך של x במשוואה השנייה:
4x + 2y = 28
2y + 4(22 -3y) = 28
2y + 88 – 12y = 28
10y +88 = 28  / -88-
10y = -60  / : -10-
y = 6

נציב y = 6 במשוואה:
x = 22 – 3y
x = 22 – 3*6
x = 22 – 18 = 4

תשובה: מחיר קילו מלפפונים הוא 6 שקלים, מחיר קילו עגבניות הוא 4 שקלים.

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x  מספר כרטיסי הקולנוע שנקנו במחיר מוזל.
y מספר כרטיסי הקולנוע שנמכרו במחיר רגיל.

שלב ב: בניית משוואות
קנינו 12 כרטיסי קולנוע.
לכן
x + y = 12

במחיר מוזל של 30 שקלים ומחיר רגל של 40 שקלים.
כרטיסים מוזלים: קנינו x כרטיסים במחיר 30 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
30x

כרטיסים רגילים: קנינו y כרטיסים במחיר 40 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
40y

סך הכל שילמנו:
30x + 40y = 410

שלב ג: פתרון המשוואות
x + y = 12
30x + 40y = 410

נכפיל את המשוואה הראשונה פי 30 ונפתור בשיטת השוואת  מקדמים.
x + y = 12  / *30
30x + 30y = 360

30x + 30y = 360
30x + 40y = 410
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה:

10y = 50  / :10
y = 5

נציב y = 5 במשוואה הראשונה שלנו
x + y = 12
x + 5 = 12  / -5
x = 7

תשובה: קנינו 7 כרטיסים במחיר מוזל ו 5 כרטיסים במחיר רגיל.

פתרון
הגדרת משתנים
x  הסכום שכל אחד היה אמור לשלם בשקלים.
y  מספר האנשים שתכננו להשכיר את האולם.

בניית משוואות
על סמך המשפט " קבוצת אנשים תכננו להשכיר אולם ב 2400 שקלים"
x  * y = 2400

על סמך המשפט "שהגיעו 20 אנשים יותר ולכן כל אחד שילם 6 שקל פחות"
y + 20) (x – 6) = 2400)

פתרון המשוואות
x  * y = 2400   (משוואה ראשונה).
y + 20) (x – 6) = 2400)

y + 20) (x – 6) = 2400)
yx – 6y  + 20x -120 = 2400
20x – 6y + xy = 2520

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה שקיבלנו.
20x – 6y + 2400 = 2520
20x – 6y +2400 = 2520
20x – 6y = 120
6y = 20x – 120
y = 3.333x – 20

נציב את זה במשוואה הראשונה:
x (3.333x – 20) = 2400
3.333x² – 20x – 2400 = 0
x² -6x – 720 = 0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x = 30 או x = -24
מכוון ש x הוא גודל חיובי, סכום לתשלום התשובה היחידה המתאימה היא x = 30.

ביקשו שנמצא את מספר האנשים שהיו אמורים להשכיר.
x  * y = 2400
30y = 2400
y = 80
תשובה: מספר האנשים שתכננו להשכיר את האולם הוא 80.