בעיות מילוליות עם שני נעלמים

בדף זה 18 בעיות מילוליות הנפתרות בעזרת שני נעלמים.

חלקי הדף הם:

  1. בעיות מספרים (תרגילים 1-3).
  2. בעיות קנייה ומכירה (תרגילים 4-7).
  3. בעיות תנועה (תרגילים 8-9).
  4. בעיות אחוזים (תרגילים 10-14).
  5. בעיות נוספות (תרגילים 15-18).

כל התרגילים מתאימים לכיתות ח,ט,י.
מלבד תרגילים 3,9,18  שאינם מתאימים לכיתה ח.

תרגילים 1-7 פתוחים לכולם.
תרגילים 8-18 מיועדים למנויים באתר.

חזרה כיצד לפתור שתי משוואות עם שני נעלמים יש בקישור.

בהצלחה.

1.בעיות מספרים

תרגיל 1
נתונים שני מספרים שסכומם 32.
אם נחלק את המספר הגדול בקטן נקבל 3.
מצאו את שני המספרים.

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
ניתן לפתור את התרגיל בעזרת שתי משוואות עם שני נעלמים או משוואה עם נעלם אחד.
נתחיל בפתרון שתי משוואות עם שני נעלמים.
שלב א: הגדרת משתנים
x המספר הגדול.
y המספר הקטן.

שלב ב: בניית משוואות
x + y = 32

את המשוואה השנייה נבנה על סמך המשפט "נחלק את המספר הגדול בקטן נקבל 3".

נכפיל את המשוואה השנייה ב y ונקבל:
x = 3y

שלב ג: פתרון המשוואות.
הגענו למשוואות:
x + y = 32
x = 3y

נציב את המשוואה השנייה במשוואה הראשונה ונקבל:
3y + y = 32
4y = 32
y = 8

נמצא את x:
x = 3y
x = 3*4 = 24

תשובה: המספר הגדול הוא 24, המספר הקטן הוא 8.

פתרון עם נעלם יחיד:
x המספר הגדול.

32 – x
המספר הקטן

את המשוואה נבנה על סמך המשפט "נחלק את המספר הגדול בקטן נקבל 3".

x = 96 – 3x
4x = 96
x = 24

תשובה: המספר הגדול 24, המספר הקטן 8.

תרגיל 2
נתונים שני מספרים שההפרש בניהם הוא 10.
אם ניקח את המספר הגדול ונחלק אותו ב 2 נקבל מספר הגדול פי 3 מהמספר הקטן.
מצאו את שני המספרים.

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x המספר הגדול.
y המספר הקטן.

שלב ב: בניית משוואות
משוואה הראשונה:
x – y = 10

נבנה משוואה על סמך המשפט "ניקח את המספר הגדול ונחלק אותו ב 2 נקבל מספר הגדול פי 3 מהמספר הקטן".
0.5x זה המספר הגדול חלקי 2.
3y  זה פי 3 מהמספר הקטן.
לכן המשוואה היא:
0.5x = 3y

שלב ג: פתרון משוואות
שתי המשוואות שקיבלנו:
x – y = 10
0.5x = 3y

נפתח את המשוואה:
0.5x = 3y  / *2
x = 6y
נציב את משוואה זו במשוואה הראשונה:
x – y = 10
6y – y = 10
5y = 10
y = 2

מצאנו כי המספר הקטן הוא 2.
נמצא את המספר הגדול:
x = 6y
x = 6 * 2  =12

תשובה: המספר הגדול הוא 12, המספר הקטן הוא 2.

תרגיל 3
סכום שני מספרים הוא 13 ומכפלתם היא 40.
מצאו את שני המספרים.

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר
x המספר הראשון
y המספר השני

שלב ב: בניית משוואות
סכום שני המספרים הוא 13. לכן:
x + y = 13
y= 13 -x

מכפלת המספרים היא 40, לכן:
x*y = 40

שלב ג: פתרון המשוואות
יש לנו שתי משוואות:
y= 13 -x
x*y = 40
נציב את המשוואה הראשונה בשנייה ונקבל:
x (13 -x) = 40
13x -x² = 40
x² – 13x + 40 = 0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת פירוק טרינום או נוסחת השורשים.
פירוק טרינום נראה כך:

x² -5x – 8x + 40 = 0
x (x -5) -8 (x -5) = 0
x – 8) (x -5) = 0)
x = 8  או x = 5.

פתרון בעזרת נוסחת השורשים נראה כך:
x² – 13x + 40 = 0

נוסחת השורשים
נוסחת השורשים

הפתרונות של המשוואה הזו הם:
x = 8  או x = 5.

שלב ד: מציאת שני הפתרונות ותשובה סופית
אנו יודעים כי:
y= 13 -x
כאשר x = 5
y = 13 – 5 = 8

כאשר x = 8
y = 13 – 8 = 5

תשובה: מצאנו ששני הפתרונות הם בעצם פתרון יחיד וששני המספרים הם 8 ו 5.

2.בעיות קנייה ומכירה

תרגיל 4
מחיר 2 מסוקי צעצוע ו 3 מכוניות הוא 600 שקלים.
מחיר 3 מסוקי צעצוע ומכונית הוא 550 שקלים.
כמה עולה מסוק וכמה עולה מכונית?

פתרון וידאו

פתרון כתוב
שלב א: הגדרת משתנים
מכוון שאין קשר בין מחיר מסוק למחיר מכונית עלינו לבחור שני משתנים שייצגו כל אחד מהמחירים.
x  מחיר מכונית בשקלים.
y מחיר מסוק בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
המשוואה הראשונה מבוססת על המשפט "מחיר 2 מסוקי צעצוע ו 3 מכוניות הוא 600 שקלים"
2y + 3x = 600

המשוואה השנייה מבוססת על המשפט "מחיר 3 מסוקי צעצוע ומכונית הוא 550 שקלים"
3y + x = 550

שלב ג: פתרון משוואות ותשובה
2y + 3x = 600
3y + x = 550

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נכפיל את המשוואה השנייה פי 3.
2y + 3x = 600
9y + 3x = 1650

נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה ונקבל:
7y = 1050
y = 150

נציב במשוואה השנייה ונמצא את  x.
3y + x = 550
x + 3 * 150 = 550
x + 450 = 550
x = 100

תשובה: מחיר מכונית הוא 100 שקלים, מחיר מסוק 150 שקלים.

תרגיל 4
מחיר של 10 מחקים ו 5 עפרונות הוא 55 שקלים.
מחיר של 2 מחקים ו 4 עפרונות הוא 20 שקלים.
מצאו את המחיר של עיפרון ושל מחק.

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר
y מחיר עפרון בשקלים.
x מחיר מחק בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר של 10 מחקים ו 5 עפרונות הוא 55 שקלים
לכן:
10x + 5y = 55

מחיר של 2 מחקים ו 4 עפרונות הוא 20 שקלים.
לכן:
2x + 4y = 20

שלב ג: פתרון המשוואות
קיבלנו שתי משוואות
10x + 5y = 55
2x + 4y = 20
נפתור אותן בשיטת השוואת מקדמים.

נכפיל את המשוואה השנייה פי 5 ונקבל:
10x + 5y = 55
10x + 20y = 100

נחסר את המשוואה הראשונה ונקבל:
15y = 45  / :15
y = 3

נציב y = 3 במשוואה הראשונה ונקבל:
10x + 5y = 55
10x + 5*3 = 55  / -15
10x = 40  / :10
x = 4

תשובה: מחיר עפרון הוא 3 שקלים, מחיר מחק הוא 4 שקלים.

תרגיל 5 (דומה לתרגיל 4)
מחיר 3 קילו מלפפון ו 1 קילו עגבניות הוא 22 שקלים.
מחיר 2 קילו מלפפון ו 4 קילו עגבניות הוא 28 שקלים.
חשבו את מחיר קילו מלפפונים וקילו עגבניות.

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
נגדיר:
x  מחיר קילו עגבניות בשקלים.
y מחיר קילו מלפפונים בשקלים.

שלב ב: בניית משוואות
מחיר 3 קילו מלפפון ו 1 קילו עגבניות הוא 22 שקלים.
לכן:
x + 3y = 22

מחיר 2 קילו מלפפון ו 4 קילו עגבניות הוא 28 שקלים.
4x + 2y = 28

שלב ג: פתרון שתי משוואות
קיבלנו את המשוואות
x + 3y = 22
4x + 2y = 28

נבודד את x במשוואה הראשונה
x + 3y = 22
x = 22 – 3y

נשתמש בשיטת ההצבה ונציב את הערך של x במשוואה השנייה:
4x + 2y = 28
2y + 4(22 -3y) = 28
2y + 88 – 12y = 28
10y +88 = 28  / -88-
10y = -60  / : -10-
y = 6

נציב y = 6 במשוואה:
x = 22 – 3y
x = 22 – 3*6
x = 22 – 18 = 4

תשובה: מחיר קילו מלפפונים הוא 6 שקלים, מחיר קילו עגבניות הוא 4 שקלים.

תרגיל 6
קנינו 12 כרטיסי קולנוע חלקם במחיר מוזל של 30 שקלים וחלקם במחיר רגיל של 40 שקלים.
סך הכל שילמנו 410 שקלים.
כמה כרטיסי קולנוע קנינו מכל סוג?

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
שלב א: הגדרת משתנים
x  מספר כרטיסי הקולנוע שנקנו במחיר מוזל.
y מספר כרטיסי הקולנוע שנמכרו במחיר רגיל.

שלב ב: בניית משוואות
קנינו 12 כרטיסי קולנוע.
לכן
x + y = 12

במחיר מוזל של 30 שקלים ומחיר רגל של 40 שקלים.
כרטיסים מוזלים: קנינו x כרטיסים במחיר 30 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
30x

כרטיסים רגילים: קנינו y כרטיסים במחיר 40 שקלים לכרטיס.
לכן שילמנו עבורם:
40y

סך הכל שילמנו:
30x + 40y = 410

שלב ג: פתרון המשוואות
x + y = 12
30x + 40y = 410

נכפיל את המשוואה הראשונה פי 30 ונפתור בשיטת השוואת  מקדמים.
x + y = 12  / *30
30x + 30y = 360

30x + 30y = 360
30x + 40y = 410
נחסר את המשוואה הראשונה מהמשוואה השנייה:

10y = 50  / :10
y = 5

נציב y = 5 במשוואה הראשונה שלנו
x + y = 12
x + 5 = 12  / -5
x = 7

תשובה: קנינו 7 כרטיסים במחיר מוזל ו 5 כרטיסים במחיר רגיל.

 

תרגיל 7
קבוצת אנשים תכננו להשכיר אולם ב 2400 שקלים.
לאחר מיכן התברר שהגיעו 20 אנשים יותר ולכן כל אחד שילם 6 שקל פחות ממה שתוכנן.
כמה אנשים התכוונו להשכיר את האולם (לפני שהגיעה תוספת האנשים)?

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
הגדרת משתנים
x  הסכום שכל אחד היה אמור לשלם בשקלים.
y  מספר האנשים שתכננו להשכיר את האולם.

בניית משוואות
על סמך המשפט " קבוצת אנשים תכננו להשכיר אולם ב 2400 שקלים"
x  * y = 2400

על סמך המשפט "שהגיעו 20 אנשים יותר ולכן כל אחד שילם 6 שקל פחות"
y + 20) (x – 6) = 2400)

פתרון המשוואות
x  * y = 2400   (משוואה ראשונה).
y + 20) (x – 6) = 2400)

y + 20) (x – 6) = 2400)
yx – 6y  + 20x -120 = 2400
20x – 6y + xy = 2520

נציב את המשוואה הראשונה במשוואה שקיבלנו.
20x – 6y + 2400 = 2520
20x – 6y +2400 = 2520
20x – 6y = 120
6y = 20x – 120
y = 3.333x – 20

נציב את זה במשוואה הראשונה:
x (3.333x – 20) = 2400
3.333x² – 20x – 2400 = 0
x² -6x – 720 = 0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x = 30 או x = -24
מכוון ש x הוא גודל חיובי, סכום לתשלום התשובה היחידה המתאימה היא x = 30.

ביקשו שנמצא את מספר האנשים שהיו אמורים להשכיר.
x  * y = 2400
30y = 2400
y = 80
תשובה: מספר האנשים שתכננו להשכיר את האולם הוא 80.

מנויים לאתר רואים כאן הסבר כתוב.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

9 מחשבות על “בעיות מילוליות עם שני נעלמים”

  1. היי, בנוגע לשאלה תשע לא היה יותר פשוט ועדיף לחלק את שני הצדדים ב1.5v ? במקום ב1.5? אם עושים זאת ישר מגיעים לתשובה ש v=40 . אשמח לתשובה :)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      נכון, ניתן לחלק ב 1.5v וזה מקצר. רק צריך לכתוב כאשר מחלקים ש v היא מהירות של מכונית נוסעת, ולכן v שונה מ 0 ולכן ניתן לחלק ב 1.5v .
      תודה

      1. רשמת צריך לכתוב הכוונה לכתוב בדרך הפיתרון ? או שבשאלה צריך להיות כתוב? כי לפי הבנת השאלה המכוניות נוסעות ולכן זה שונה מאפס ולא יכול להיות מהירות אפס.

        1. לומדים מתמטיקה

          נכון, לא יכולה להיות מהירות 0 אבל כאשר מחלק ב v אתה צריך לנמק את הסיבה שבגלל מותר לחלק ב v.
          והיא "המכונית נוסעת ומהירותה שונה מ 0".
          את הנימוק צריך לכתוב במהלך כתיבת הפתרון.
          למרות שמי שקורא את הפתרון יודע את זה, אתה צריך להזכיר ולנמק את הפעולה.

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    התרגיל 14 ניתן לפתור בקלי קלות ללא כל השלבים הארוכים :)
    בשיטה של לומדים מתמטיקה המוצגת במפורט בדף של טרינום
    היקף =》 ( 14 )• 2 = a+b) • 2)
    שטח = 》 a • b = 45
    מציאת המספרים שמכפלתם 45 וסכומם 14
    ———————————————————————————
    | 1 | 45 |
    | 3 | 15 |
    תשובה: | 5 | 9 | 5+9=14 5•9=45

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      תודה על התוספת.
      אכן ניתן לפתור כמו שפתרת עם כל מה שאנו רוצים זה להגיע לתשובה הנכונה.
      אבל אם רוצים לכתוב תשובה שתתקבל במבחן צריך להוסיף על דרך הפתרון שלך.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.