הצגה קודקודית של פרבולה

אנו רגילים שמשוואה של פרבולה נראית כך:

y =ax² + bx + c
למשל:
y = 2x² +2x – 3

אבל יש דרך נוספת להציג פרבולה וזו הצגה קודקודית של פרבולה.
y = a(x -p)² + c

הצגה זו נקראת הצגה קודקודית משום שניתן לראות בה את הקודקוד בבירור ומבלי לעשות חישוב.
הקודקוד הוא (p,c).

כל מה שלמדנו על הזזות של פרבולה היה מבוסס על הצגה קודקודית של פרבולה.
בהצגה:
y = 2(x – 3)² + 5
ניתן לקבוע שהפרבולה זזה 3 יחידות ימינה ו 5 יחידות למעלה.
לעומת זאת אם נכתוב פרבולה בהצגה סטנדרטית:
y = 2x² -6x + 10
לא נוכל להגיד דבר על ההזזות של הפרבולה.

כיצד עוברים מהצגה סטנדרטית להצגה קודקודית?

בהצגה קודקודית יש 3 נעלמים:
a,p,c
כאשר:
a הוא תמיד המקדם של x².
p,c הם ערכי הקודקוד.

לכן אם נדע את ערכי הקודקוד של הפרבולה ואת המקדם של x² נוכל לכתוב את ההצגה הקודקודית.

דוגמה
מצאו את ההצגה הקודקודית של הפרבולה
y = 2x² + 8x -12

פתרון
כבר מההצגה הראשונית אנו רואים שהמקדם של x² הוא 2. לכן במשוואה
y = a(x -p)² + c
אנו יודעים כי
a = 2

מה שנותר לנו למצוא את קודקוד הפרבולה ואז נדע גם את
p, c

ערך ה x של קודקוד הפרבולה מתקבל על ידי המשוואה
קודקוד הפרבולה

x = -8 : 4 = -2
נציב x = -2 במשוואת הפרבולה ונקבל את ערך ה y של הקודקוד.
y = 2x² + 8x -12
y = 2* (-2)² + 8*-2 – 12 = 8 -16 – 12 = -20

נקודת הקודקוד היא:
20-, 2-
לכן משוואת הפרבולה היא:
y = a(x -p)² + c
y = 2(x + 2)² – 20

כיצד עוברים מהצגה קודקודית להצגה סטנדרטית?

על מנת לעשות זאת נפתח את הסוגריים של ההצגה הקודקודית.
נכנס איברים.
ונקבל את ההצגה הסטנדרטית.

דוגמה:
y = (x-2)² + 6

נפתח סוגריים:
y = x² – 4x + 4 + 6
y = x² – 4x + 10
זו ההצגה הסטנדרטית של הפרבולה y = (x-2)² + 6

תרגילים

תרגיל 1
היכן נמצא הקודקוד של הפרבולות הבאות:

  1. y = (x – 5)² – 2
  2. y = (x + 1)² – 6
  3. y = (x – 3)²  + 4
  4. y = x ² + 1
  5. y = (x – 2)²

פתרונות

y = (x – 5)² – 2
הקודקוד (2-, 5)

y = (x + 1)² – 6
הקודקוד (6-, 1-)

y = (x – 3)²  + 4
הקודקוד (3,4)

y = x ² + 1
הפרבולה הזו יכולה להיכתב גם כך:
y = (x +0) ² + 1
הקודקוד (0,1)

y = (x – 2)²
הפרבולה יכולה להיכתב גם כך:
y = (x – 2)² + 0
הקודקוד (2,0)

תרגיל 2
עבור הפרבולה y = ax² + bx + c ידוע כי
a = 3.
אם נקודת הקודקוד של הפרבולה היא
(5, 2)
רשמו את ההצגה הקודקודית של הפרבולה.

פתרון
המבנה הכללי של הצגה קודקודית היא:
y = a(x -p)² + c
אנו יודעים כי:
p = 2, c =5, a =3
לכן ההצגה הקודקודית תהיה:
y = 3(x – 2)² + 5

תרגיל 3
לפרבולה:
y= x² + 2x +4
יש קודקוד בנקודה
(3, 1-)
מצאו את ההצגה הקודקודית של הפרבולה.

פתרון
אנו רואים ש a=1
כמו כן:
p = -1,  c = 3
לכן ההצגה הקודקודית היא:
y = (x + 1)² + 3

תרגיל 4

  1. מצאו משוואה אפשרית לפרבולה עם נקודת מינימום שהקודקוד שלה נמצא בנקודה (2,7).
  2. מצאו משוואה אפשרית לפרבולת מקסימום שהקודקוד שלה נמצא באותה נקודה.

פתרון
יש אינסוף פרבולות מינימום שהקודקוד שלהם בנקודה (2,7).
במשוואה הקודקודית של הפרבולה אנו יודעים כי:
p = 2, c = 7
עבור a אנו יכולים לבחור כל ערך חיובי שנרצה והפרבולה תהיה מתאימה.
y = (x – 2)² + 7
y = 2(x – 2)² + 7
y = 7(x – 2)² + 7

אלו 3 דוגמאות למשוואות של פרבולה הפותרות את התרגיל.

סעיף ב
על מנת שזו תהיה פרבולה עם נקודת מקסימום כל מה שאנו צריכים לעשות הוא להפוך את ה a לשלילי וזו תהיה פרבולת מקסימום:
y = -(x – 2)² + 7
y = -2(x – 2)² + 7
y = -7(x – 2)² + 7

אלו 3 דוגמאות למשוואות של פרבולה הפותרות את התרגיל.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “הצגה קודקודית של פרבולה”

  1. היי אני רוצה לדעת אם הבנתי נכון את ההצגה הקודוקודית, בתרגיל y = (x-4) +15 נק' הקודוקוד היא (15,-4-)?

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.