הזזות של פרבולה

בדף זה נדבר על הזזות של פרבולות ומשפחות של פרבולות.

  1. נסביר כיצד לבצע הזזה לאורך ציר ה y (הזזה אנכית).
  2. הזזה לאורך ציר ה x (הזזה אופקית).
  3. fיצד משלבים בין ההזזות.
  4. וכיצד מבצעים שיקוף של פרבולה. כלומר לוקחים פרבולה עם נקודת מינימום והופכים אותה לפרבולה עם נקודת מקסימום.

כל ההזזות שנדבר עליהן יתייחסו להצגה קודקודית של פרבולה.
הצגה הנראית כך:
f (x) = a(x- p)² + c
וכאשר p =0, a = 1 ההצגה יכולה להיראות גם כך:
f (x) = x² + c

ההסברים שלנו לא יתייחסו להצגה הסטנדרטית של פרבולה:
f (x) = ax² +bx+ c
מהצגה זו לא ניתן ללמוד דבר על ההזזות של הפרבולה.

1.משפחת ƒ(x) = x² + C (הזזה אנכית)

משפחה זו נראית כמו ƒ(x) = x² ואילו הערך C מעלה או מוריד את קודקוד הפונקציה. כאשר ה- C הוא 4+ קודקוד הפרבולה עולה 4 מקומות על ציר ה- Y (ערך ה- X של קודקוד הפרבולה נשאר זהה).
כאשר ה- C= -4 הפרבולה יורדת 4 מקומות.

לסיכום: במשוואת הפרבולה f (x) = ax² + c
ההזזה האנכית תלויה אך ורק ב c.

הפרבולה x² וההזזות שלה 4 למעלה ו 4 למטה
הפרבולה x² וההזזות שלה 4 למעלה ו 4 למטה

דוגמאות נוספות.
f(x) = x² + 2  הקודקוד נמצא 2 יחידות מעל  f(x) = x².
f(x) = x² – 6  הקודקוד נמצא 6 יחידות מתחת  f(x) = x².

2.משפחת ƒ(x) = (x – p)² (הזזה אופקית)

במשפחה זו הפרבולה זזה אופקית (ימין ושמאל).
התזוזה היא כערך ה- P.
כאשר P=3 הפונקציה תזוז 3 יחידות ימינה לכיוון החיובי של ציר ה x. 
שימו לב כי כאשר P=3 הפונקציה נראית ƒ(x) = (x -3)² משום שהביטוי שבתוך הסוגריים הוא P-.

שרטוט הפרבולה ƒ(x) = (x -3)²
שרטוט הפרבולה ƒ(x) = (x -3)²

 

כאשר p = -2 הפרבולה תזוז שמאלה לכיוון השלילי של ציר ה x.
ומשוואת הפרבולה תראה כך:
f (x) = (x – (-2))² 
f (x) = (x + 2)²

שרטוט הפרבולה f (x) = (x + 2)²
שרטוט הפרבולה f (x) = (x + 2)²

דוגמאות
 קודקוד הפרבולה  ƒ(x) = (x – 7)² נמצא 7 צעדים מימין לקודקוד הפרבולה f(x) = x² (בצד החיובי של ציר ה x) .
 קודקוד הפרבולה  ƒ(x) = (x+1)² נמצא 1 צעדים משמאל  לקודקוד הפרבולה f(x) = x² (בצד השלילי של ציר ה x).

3.משפחת הפרבולות f(x) = (x-p)² + k

משפחה זו היא שילוב של שני הקודמות. ה- K מעלה למעלה למטה ואילו ה- P מזיז ימינה שמאלה.

למשל זו הפרבולה f (x) = (x+2)² – 1
בפרבולה זו יש 2 הזזות שמאלה על הציר האופקי והזזה אחת למטה על הציר האנכי.
(1-, 2-) זו נקודת הקודקוד.

וזו הפרבולה f(x) = (x – 4)² +2 
(2,4) זו נקודת הקודקוד.

דוגמאות נוספות:
f (x) = (x+4)² + 2 זו הזזה 4 יחידות שמאלה, 2 יחידות למעלה.
(2, 4-) זו נקודת הקודקוד.

f (x) = (x – 0.5)²  – 6 זו הזזה 0.5 יחידות ימינה, 6 יחידות למטה.
(6-, 0.5) זו נקודת הקודקוד.

4.משפחת הפרבולות ƒ(x) = ax² 

ככול שה- a הוא מספר גדול יותר כך שיפוע הפונקציה הריבועית הופך חד יותר.
בשרטוט יש את הגרף של:
f (x) = x² 
לעומת
f (x) = 10x²

השיפוע של f(x) = 10x² הרבה יותר חד משל f(x) = x²
השיפוע של f(x) = 10x² הרבה יותר חד משל f(x) = x²

5.משפחת הפרבולות f(x) = a(x-p)² + k

משפחה זו כוללת את כל המשפחות הקודמות:

  • K מזיז את הגרף אנכית למעלה ולמטה.
  • P מזי את הגרף אופקית (ימינה ושמאלה). יש לזכור שהביטוי שנמצא בתוך הסוגריים הוא -P. כך שכאשר רשום בתוך הסוגריים 3- הפרבולה זזה ימינה, לכיוון החיובי 3 צעדים.
  • a – משפיע על חדות עליית הפרבולה וגם על כיוונה, מינימום או מקסימום במידה והוא שלילי.

6.פרבולות עם נקודות מקסימום / שיקוף של פרבולה

עד עכשיו דיברנו על פרבולות עם נקודת מינימום (פרבולות מחייכת).
אבל אנחנו יודעים שקיימות פרבולות עם נקודת מקסימום (פרבולות בוכות).
כיצד יוצרים ועוברים מפרבולות מסוג זה?

הזזות אופקיות (לאורך ציר ה x)
למשל: נתונה לנו הפרבולה f (x) = -x² כיצד נזיז את הקודקוד 4 צעדים ימינה? (לכיוון החיובי של ציר ה x).

פתרון
הדרך הפשוטה היא לזוז 4 צעדים ימינה כמו שהיינו זזים בפרבולה רגילה. כלומר לכתוב:
f (x) = (x -4)²
ואז לרשום מינוס לפני הביטוי x – 4)²). בצורה הזו:
f (x) = -(x -4)².
הגרף יראה כך:

גרף של פרבולה

הזזות אנכיות (לאורך ציר ה y)
הזזות מסוג זה הם בדיוק כמו בפרבולה רגילה. עם נוסיף למשוואת פרבולה 2 ערך קודקוד הפרבולה יעלה ב 2.
אם נחסר 2 קודקוד הפרבולה ירד ב 2.

סיכום בכמה מילים תאורטיות ומועילות

  • אם הפונקציה היא מינימום או מקסימום זה נקבע אך ורק על ידי ערך ה- a (המקדם של X²). שאר המרכיבים לא משנים.
  • מיקום קודקוד הפרבולה נקבע על ידי a ו- b בלבד. ל- c אין השפעה.
  • לזכור: חיתוך עם ציר ה- X כאשר Y=0. חיתוך עם ציר ה- Y כאשר X=0.
  • כאשר למשוואה הריבועית אין פתרון – אין נקודות חיתוך עם ציר ה- X.
  • חיוביות ושליליות הפונקציה נקבעת על ידי ערכי ה- Y של הפונקציה בלבד.
  • במידה ונותנים שתי נקודות חיתוך עם ציר ה- X האם ניתן לזהות את הפונקציה הריבועית? לא. ניתן להציע מספר אפשרויות מתאימות אבל אי אפשר לדעת בוודאות שפונקציה ריבועית מסוימת היא הפונקציה.
    האם ניתן לזהות את ערך ה- X של קודקוד הפרבולה? כן. בגלל שהוא סימטרי לשתי הנקודות הללו. אם נקודות החיתון הן (0, -2) (0, 4). ערך ה- X של הקודקוד הוא X=1. את ערך ה- Y לא ניתן לדעת.

עוד באתר:
דף זה הוא חלק ממספר דפים העוסקים במשוואה ריבועית ופונקציה ריבועית. הדפים האחרים הם:

  1. פונקציה ריבועית – פירוט של כל הנושאים שאתם צריכים לדעת בנושא פרבולה.
  2. פרבולה תרגילים מסכמים – 13 תרגילים מסכמים.
  3. מתמטיקה כיתה ט – הסברים לתרגילים לחומר הנלמד בשנה זו.
  4. משוואה ריבועית – כיצד לפתור משוואה זו בעזרת נוסחת השורשים, פירוק הטרינום, השלמה לריבוע ועוד.

דוגמאות וידאו לתרגילים קשים יחסית

7.תרגילים

בחלק זה 6 תרגילים.
לתרגילים 1,5 יש גם פתרונות וידאו. פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1
יצרו את הפרבולה f(x) = (x + 2)² – 3  מהפרבולה f(x) = x².
1.איזו הזזות אופקיות ואנכיות ביצעו?
מקמו את קודקוד הפרבולה f(x) = (x + 2)² – 3 במערכת הצירים.
2. כתבו את משוואת פרבולה המקסימום שיש לה את אותו קודקוד.

פתרון
הביטוי f(x) = (x + 2)² תזוזה שמאלה בשתי יחידות.
הביטוי 3- מבטא תזוזה למטה של שלוש יחידות.

לכן קודקוד הפרבולה נמצא בנקודה (3-, 2-).

הזזה של פרבולה

סעיף ב: פרבולת מקסימום
f(x) = (x + 2)² – 3
על מנת להפוך את הפרבולה הזו לפרבולה שיש לה את אותה נקודת קודקוד והיא פרבולת מקסימום נוסיף מינוס בצורה הזו.
f(x) = -(x + 2)² – 3

תרגיל 2
יצרו את הפרבולה f(x) = (x – 1)² + 2  מהפרבולה f(x) = x².
איזו הזזות אופקיות ואנכיות ביצעו?
מקמו את קודקוד הפרבולה f(x) = (x – 1)² + 2 במערכת הצירים.

פתרון
הביטוי f(x) = (x – 1)² מבטה תזוזה אחת ימינה.
2 מבטא שתי תזוזות למעלה.

לכן קודקוד הפרבולה נמצא בנקודה (2, 1).

תרגיל 3
כתבו את משוואת הפרבולה שהקודקוד שלה נמצא בנקודה (5, 3-).

פתרון
ערך ה x הוא 3-.
לכן הפרבולה תהיה מהסוג f(x) = (x + 3)².
ערך ה y הוא 5. לכן משוואת הפרבולה תהיה:
f(x) = (x + 3)² + 5

הזזה של פרבולה

הערה: ניתן לכתוב גם פרבולה עם נקודת מקסימום שהמשוואה שלה היא:
f(x) = -(x + 3)² + 5 וגם בעבורה נקודת הקודקוד היא (5, 3-).

הזזה של פרבולה

תרגיל 4
כתבו את משוואת הפרבולה שהקודקוד שלה הוא (4-, 0).

פתרון
מכוון שערך ה x בקודקוד הוא 0 הפרבולה היא מהסוג
f (x) = x².
ערך ה y בקודקוד הוא 4- לכן הפרבולה היא:
f (x) = x² – 4

הזזה של פרבולה

פרבולה עם נקודת מקסימום שהקודקוד שלה הוא (4-, 0) תהיה:

הזזה של פרבולה

תרגיל 5
נתונות 4 משוואות של פרבולת.
זהו את הגרף המתאים לכל משוואה.

  1. f (x) = (x +4)² – 1
  2. f (x) = (x  -1)² + 4
  3. f (x) = (x  – 4)² -1
  4. f (x) = (x  -1)² – 4

גרפים של פרבולות

פתרון
פרבולה A הקודקוד שלה נמצא ב (1-, 4).
לכן היא מתאימה לפרבולה 3 שמשוואתה f (x) = (x  – 4)² -1.

פרבולה B הקודקוד שלה נמצא ב (4-, 1).
לכן היא מתאימה לפרבולה 4 שמשוואתה f (x) = (x  -1)² – 4.

פרבולה C הקודקוד שלה נמצא ב (1-, 4-).
לכן היא מתאימה לפרבולה 1 שמשוואתה f (x) = (x +4)² – 1.

פרבולה D הקודקוד שלה נמצא ב (4, 1).
לכן היא מתאימה לפרבולה 2 שמשוואתה f (x) = (x  -1)² + 4.

 

תרגיל 6
הזיזו את קודקוד ההפרבולה f (x) = -x²  צעד אחד שמאלה וחצי צעד למעלה.
כתבו את משוואת הפרבולה החדשה שנוצרה.
מה מיקום קודקוד הפרבולה החדשה?

פתרון
צעד אחד שמאלה נראה כך:
f(x) = -( x +1)²
על מנת לעלות חצי צעד למעלה נוסיף 0.5 ונקבל את משוואת הפרבולה:
f(x) = -( x +1)² + 0.5.

נקודת הקודקוד של הפרבולה היא (0.5, 1-).
גרף של פרבולה

תרגיל 7
נתונה הפרבולה  f(x) = -( x – 2)² + 3.
מעוניינים להזיז את הפרבולה הזו 5 מקומות שמאלה ו- 4 מקומות למטה.
מה משוואת הפרבולה החדשה.

פתרון
הזזה של 5 מקומות שמאלה נראית כך:
f(x) = -( x – 2 + 5)²
הזזה של 4 מקומות למטה נראית כך:
1- = 4 – 3
ומשוואת הפרבולה החדשה היא:
f(x) = -( x + 3)²  – 1

גרף הפרבולה

תרגיל 8
נתונה הפרבולה  f (x) = (x – 3)² -3
רוצים להפוך את הפרבולה לפרבולת מקסימום שהקודקוד שלה גבוה ב 7 מקומות מהפרבולה הנוכחית.
מה המשוואה של הפרבולה החדשה?

פתרון
על מנת להפוך את הפרבולה לפרבולת מקסימום נשים מינוס בצורה הזו:
f (x) = -(x – 3)² -3
על מנת שהקודקוד יהיה גבוה ב 7 מקומות נוסיף 7 למספר החופשי ונקבל את משוואת הפרבולה:
f (x) = (x – 3)² + 4

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

38 מחשבות על “הזזות של פרבולה”

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    שלום, אשמח לעזרה בהזזת פרבולה,
    נתונה לי פונקציה: fx= x⁴-2x+1
    שנקודות הקיצון שלה הן: (0, 1), (0, 1-), (1, 0)
    אני צריכה כעת לגלות את נקודות הקיצון של הפונקציה:
    (mx= f(x+4
    אני מבינה שיש להזיז את האיקס ארבעה צעדים שמאלה אך אני לא מצליחה לעלות על הדרך..
    אשמח לעזרה, תודה מראש.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום.
      נראה לי שהכתיבה יצאה לא מסודרת.
      בנוגע לפונקציה הראשונה יש רק נקודת קיצון אחת לפרבולה.
      בנוגע לשנייה, אם המשוואה היא:
      f(x) = (x -4)^2
      אז אז צריכה להבין את משפחה מספר 2 שבדף או להבין את הנושא של הצגה קודקודית של פרבולה וכך לדעת את מיקום הקודקוד.
      בעיקרון ההזזה על ציר ה x הוא במספר ההפוך למה שרשום בסוגריים.
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/parabola/parabola-vertex-display/

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שרית
      לא ניתן לגלות את ההזזה בצורה הזו, אלה צריך לעבור להצגה קודקודית.
      להצגה קודקודית עוברים על ידי מציאת הקודקוד.
      במקרה שלנו הקודקוד הוא 1, 1-
      לכן משוואת הפרבולה היא:
      y = (x +1)^2 + 1
      וההזזה היא 1 שמאלה ואחד למעלה.
      מקווה שעזרתי

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בעזרת נקודת הקודקוד אתה יכול לזהות שהפרבולה זזה שני מקומות שמאלה על ציר ה x ולכן
      p = 3
      כמו כן הפרבולה ירדה 3 מקומות על ציר ה y. לכן
      k = -3
      לכן משוואת הפרבולה היא:
      y=a(x+ 3)^2 -3
      עכשיו יש שתי אפשרויות:
      1) להציב את הנקודה הנוספת במשוואת הפרבולה ואז למצוא את a.
      2) לפתוח סוגריים ואז לבנות משוואה הכוללת את a ומתארת את ערך ה x של קודקוד הפרבולה.
      מקווה שעזרתי.

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום רעות.
          מתנצל על האיחור בתגובה ואת צודקת, הכיתוב שם היה לא ברור.
          היו שם שני שרטוטים בראשון ה p =3 בשני p = -2.
          הוספתי כיתוב מפורט יותר מעל השרטוט השני.
          תודה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.