פרבולה מעבר בין הצגה קודקודית, סטנדרטית ומכפלה

לדף זה 4 חלקים:

  1. סיכום.
  2. סוגי ההצגות של פרבולה ומה ניתן ללמוד מיהן.
  3. הסבר כיצד עוברים בין ההצגות השונות.
  4. 6 תרגילים

על מנת להצליח בדף זה עליכם לדעת:

1.סיכום

הצגה סטנדרטית
y =ax² + bx + c
ניתן לעבור להצגה מהצגה קודקודית והצגת המכפלה על ידי פתיחת סוגריים.

הצגה קודקדית
y = a(x -p)² + c
כאשר p,c זו נקודת הקודקוד.
ניתן לעבור להצגה קודקודית על ידי מציאת קודקוד של פרבולה והצבתו במקום p,c.
במקום a נציב את המקדם של x².

למשל עבור הפרבולה
y = 2x² – 4x +5
הקודקוד הוא בנקודה
1,3
ולכן משוואתה בהצגה קודקדית היא:
y = 2(x -1)² + 3

הצגת מכפלה
(y = (x – t) * (x – k
נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
(0, t).
(k, 0)

ניתן לעבור להצגת מכפלה על ידי מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x.
למשל עבור הפרבולה:
y = x² -3x – 10
נקודות החיתוך הן:
(2,0)   (0, 5-)
ולכן הצגת המכפלה היא:
(y = (x + 5) (x – 2

*הערה: מכוון שהצגת המכפלה כוללת את נקודות החיתוך עם ציר ה x אז פרבולות ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x לא יכולות להיות מיוצגות בהצגת המכפלה.

*הערה 2: על מנת לדעת את משוואת המכפלה של פרבולה צריך גם לדעת את המקדם של x² בהצגה הסטנדרטית.
אם נתונות נקודות החיתוך
(2,0)   (0, 5-)
והמקדם של x² הוא 1.
אז המשוואה:
(y = (x + 5) (x – 2

ואם המקדם של x² הוא 4.
אז המשוואה:
(y = 4(x + 5) (x – 2

כלומר, מוסיפים את המקדם של x² לפני הסוגריים.

הצגות חסרות של שלושת סוגי הצגות הפרבולה

בחלק מהמקרים הפרבולות יוצגו בצורות שנתקשה לזהות את סוג ההצגה והתכונה של הפרבולה.

דוגמה 1
(y = x(x -3
ניתן לכתוב את הפרבולה הזו בהצגת מכפלה:
(y = (x – 0) (x – 3
ולהסיק מכך שנקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה ה x הן:
(3,0)  (0,0)

דוגמה 2
y = (x – 4)²
ניתן לכתוב את הפרבולה הזו בהצגה קודקודית
y = (x – 4)² + 0
ולהסיק מכך שנקודת הקודקוד של הפרבולה היא:
4,0

דוגמה 3
y = x² + 10
ניתן לכתוב את הפרבולה הזו בהצגה קודקודית כך:
y = (x – 0)² + 10
ולהסיק מכך שנקודת הקודקוד של הפרבולה היא:
0,10.

2.סוגי ההצגות של פרבולה

בחלק זה נעבור על 3 ההצגות של הפרבולה וכיצד מוצאים בהם את הקודקוד.

הצגה סטנדרטית
y =ax² + bx + c
למשל:
y = 2x² +4x – 3

מהצגה זו קל יחסית להשתמש בנוסחה הבאה ולמצוא את הקודקוד.
קודקוד הפרבולה

הצגה קודקודית
y = a(x – p)² + c
הצגה זו נקראת קודקודית משום שמזהים בקלות את ערך הקודקוד של הפרבולה והוא:
p,c
למשל בפרבולה:
y = 3(x – 4)² + 6
הקודקוד נמצא בנקודה
(6, 4)

הצגת מכפלה
(y = (x – t) * (x – k
בהצגה מסוג זה קל לראות את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x
הנקודות הן:
(0, t).
(k, 0)
למשל:
(y = (x – 4) * (x+2
נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
0, 4
0, 2-

כיצד מוצאים את הקודקוד?
ניתן לפתוח את הסוגריים של הפרבולה ואז למצוא את הקודקוד על פי הנוסחה של ההצגה הסטנדרטית.

דרך שנייה, פחות מוכרת, היא להשתמש בכך שנקודות החיתוך עם ציר ה x הן נקודות סימטריות ביחס לקודקוד, בגלל שיש להם אותו ערך y.
ערך ה x של הקודקוד הוא ממוצע ערכי ה x של נקודות סימטריות (הסבר מורחב בדף נקודות סימטריות).

למשל
(y = (x – 4) * (x+2
נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
0, 4
0, 2-

ערך ה x של הקודקוד הוא ממוצע ערכי ה x של הנקודות הללו.
x = (4 -2) /2 = 1

3.כיצד עוברים בין ההצגות השונות

איך עוברים להצגה סטנדרטית?

הכי קל להגיע אל ההצגה הסטנדרטית ועושים זאת על ידי פתיחת סוגריים.
אם קיבלנו הצגה קודקודית:
y = 2(x+3)² – 4
נפתח סוגריים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר ונגיע אל ההצגה הסטנדרטית.
y = 2(x² +6x + 9) – 4
y = 2x² +12x +18 – 4
y = 2x² +12x + 14

אם קיבלנו הצגת מכפלה:
(y = (x + 2) * (x-5
אז נפתח סוגריים:
y = x² -5x + 2x -10
y = x² -3x – 10

איך עוברים להצגת המכפלה?

על מנת להגיע אל הצגת המכפלה אנו צריכים למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x ואז לבנות את הצגה.
למשל אם נקודות החיתוך הן:
0, 3
0, 5-
אז הצגת המכפלה תהיה:
(y = (x – 3) * (x + 5

שימו לב: לא כל פרבולה ניתן להציג בהצגת מכפלה
כי יש פרבולות שאין להם נקודות חיתוך עם ציר ה x ואז לא ניתן להציג אותן בהצגת המכפלה.
ויש פרבולות שנקודות החיתוך שלהן עם ציר ה x הן נקודות לא "עגולות" למשל
0, 1.43562
במקרה כזה ניתן להציג בהצגת מכפלה אבל זה לא נהוג.

מעבר להצגת מכפלה
אם אנחנו בהצגה קודקודית.

  1. נפתח סוגריים ונגיע אל ההצגה הסטנדרטית.
  2. נוציא גורם משותף במידת האפשר.
  3. נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x באמצעות פירוק טרינום או נוסחת השורשים.
  4. נכתוב את הצגת המכפלה.

אם אנחנו בהצגה סטנדרטית
נדלג על שלב אחד ונבצע את שלבים 2-4.

דוגמה
כתבו את הפרבולה
y =(x – 4)² – 4
בהצגת מכפלה.

פתרון
שלב א: פתיחת סוגריים ומעבר להצגה סטנדרטית
y =(x – 4)² – 4
y = x² – 8x + 16 – 4
y = x² – 8x + 12

זו משוואה ריבועית שניתן למצוא את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה x בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
אני אראה כן את הדרך של פירוק טרינום.
שני מספרים שמכפלתם 12 וסכומם 8- הם 6-, 2-.
לכן:
y = x² – 2x -6x + 12
(y = x (x -2) – 6(x -2
(y = (x – 6) (x – 2
(וזו התשובה).

איך עוברים להצגה קודקודית?

המעבר להצגה קודקודית קשה יותר מהמעברים הקודמים.
אבל אם תבינו את הרעיון גם מעבר זה לא יהיה קשה.

אנו יודעים שההצגה הקודקודית נראית כך:
f (x) = a(x -p)² + c
כאשר:
p, c
זו נקודת הקודקוד.

לכן מה שעלינו לעשות על מנת למצוא את ההצגה הקודקודית הוא למצוא את נקודת הקודקוד ואז נוכל להציב את p,c במשוואה.
המשתנה השלישי בהצגה הקודקודית הוא a. והערך של a הוא בדיוק כמו a בהצגה הסטנדרטית (המקדם של x²).

תרגיל
מצאו את ההצגה הקודקודית של הפרבולה
y = 2x² + 8x -12

פתרון
כבר מההצגה הראשונית אנו רואים שהמקדם של x² הוא 2. לכן במשוואה
y = a(x -p)² + c
אנו יודעים כי
a = 2

מה שנותר לנו למצוא את קודקוד הפרבולה ואז נדע גם את
p, c

ערך ה x של קודקוד הפרבולה מתקבל על ידי המשוואה
קודקוד הפרבולה

x = -8 : 4 = -2
נציב x = -2 במשוואת הפרבולה ונקבל את ערך ה y של הקודקוד.
y = 2x² + 8x -12
y = 2* (-2)² + 8*-2 – 12 = 8 -16 – 12 = -20

נקודת הקודקוד היא:
20-, 2-
לכן משוואת הפרבולה היא:
y = a(x -p)² + c
y = 2(x + 2)² – 20

נתונה לנו הצגת מכפלה: כיצד נעבור להצגה קודקודית?

אפשרות אחת היא לעבור להצגה סטנדרטית ואז לפתור כפי שפתרנו קודם לכן.

אפשרות שנייה היא להשתמש בעובדה ששתי נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים הן נקודות סימטריות בפרבולה.
לכן קל בעזרתם למצוא את ערך ה x של הקודקוד (ואין צורך להשתמש בנוסחה על מנת לעשות זאת).

דוגמה:
מצאו את ההצגה הקודקודית של הפרבולה
(y = (3x – 12)*(x + 2

פתרון
נקודות החיתוך של הפרבולה הזו עם ציר ה x הן:
(0, 2-)
(0, 4)
אלו נקודות סימטריות בפרבולה משום שיש להן אותו ערך y.
לכן ערך ה x של קודקוד הפרבולה הוא:
x = (4 + (-2) ) : 2= 1

נציב במשוואת הפרבולה x= 1 ונמצא את ערך ה y
(y = (3x – 12)*(x + 2
(y = (3 -12) * (1 + 2
y = -9 * 3 = -27

מצאנו כי נקודת הקודקוד היא
27-, 1
לכן המשוואה הקודקודית של הפרבולה היא:
y = a(x -p)² + c
y = a(x -1)² – 27

אבל מה הוא הערך של a?
אנו יודעים ש a הוא המקדם של x².
מה הוא המקדם של x² במשוואה:
(y = (3x – 12)*(x + 2

התשובה היא 3. אם נפתח סוגריים נזהה שהמקדם של x² הוא 3.

לכן המשוואה הקודקודית של הפרבולה
(y = (3x – 12)*(x + 2
היא:
y = 3(x -1)² – 27

דוגמאות נוספות למציאת a בלבד במעבר בין הצגת מכפלה להצגה קודקודית.

בתרגילים הבאים נתונה הצגת מכפלה.
מצאו את a אם הייתם צריכים לעבור להצגה קודקודית מהסוג
y = a(x -p)² + c

תרגיל 1
(y = (0.5x + 1)*(8x – 2

פתרון
a = 0.5*8 = 4

תרגיל 2
(y = (x + 1)*(x – 2

פתרון
a = 1*1 = 1

תרגיל 3
y = 4(x + 1)*(x – 2)

פתרון
a = 4*1*1= 4

4.תרגילים

תרגיל 1 הוא שאלה סטנדרטית.
תרגיל 2 הוא מעבר להצגה סטנדרטית.
תרגילים 3-4 הם מעבר להצגת מכפלה.
תרגילים 5-6 הם מעבר להצגה קודקודית.

תרגיל 1 (שאלה תאורטית)
נתונה הפרבולה
y = (x-1)²
איזו סוג של הצגה זו ? (סטנדרטית / קודקודית / מכפלה).

פתרון
ניתן לראות בהצגה זו גם הצגה קודקדית וגם הצגת מכפלה.

זו הצגה קודקודית
כי ניתן לכתוב את המשוואה כך:
y = (x-1)² + 0
קודקוד הפרבולה הוא בנקודה
0, 1

זו גם הצגת מכפלה
כי ניתן ללמוד מהצגה זו מה הם נקודות החיתוך עם ציר ה x.
(y = (x-1)² = (x-1)(x-1
לפרבולה נקודת השקה בודדת עם ציר ה x והיא x = 1.

תרגיל 2 ( מעבר להצגה סטנדרטית)
נתונות שתי פרבולות
y = 3(x +1)² -1
y = (x – 3) *x
כתבו את ההצגה הסטנדרטית של שתי הפרבולות.

פתרון
בשני המקרים כל מה שעלינו לעשות הוא לפתוח סוגריים.

עבור y = 3(x +1)² -1
y = 3(x² +2x +1) – 1
y = 3x² +6x + 3 – 1 = 3x² + 6x +2

עבור y = (x – 3) *x
y =x² -3x

תרגיל 3 (מעבר להצגת מכפלה)
נתון גרף של פרבולה.
נקודת הקודקוד נמצא ב (4, 3-)
כתבו את הצגת המכפלה של הפרבולה.

פתרון
ניתן לראות שלפרבולה הזו אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.
לכן לא ניתן לכתוב עבור הפרבולה הזו הצגת מכפלה.

הנתון על נקודת הקודקוד נועד לבלבל אותנו ואין לו משמעות.

תרגיל 4 (מעבר אל הצגת מכפלה)
כתבו את הצגת המכפלה של הפרבולות הבאות
y = 3x² – 12x
y= 2x² + 10x +12
כתבו באלו נקודות הפרבולות הללו חותכות את ציר ה x.

פתרון
עבור הפרבולה y = 3x² – 12x 
נוציא גורם משותף ונקבל
y = 3x (x -4)
ממצב זה אין עוד שום דבר שאנו יכולים לעשות. וזו הצגת המכפלה של הפרבולה.

נקודות החיתוך של הפרבולה הזו עם ציר ה x הן:
x=0, x =4
אם זה לא ברור למה אז שימו לב שניתן לכתוב את משוואת הפרבולה גם כך:
(y = (3x – 0) (x-4

עבור הפרבולה y= 2x² + 10x +12
נוציא גורם משותף
(y = 2(x² + 5x + 6

ועכשיו נפרק את הטרינום שבתוך הסוגריים
על מנת למנוע בלבול וריבוי סוגריים נפרק את הטרינום בנפרד ואז נחזיר אותו אל הפונקציה.
x² + 5x + 6
x² + 2x + 3x + 6
(x (x +2) + 3 (x +2
(x+ 3) (x+2)

נחזור אל המשוואה המקורית
(y = 2(x+3)(x+2
זו משוואת הפרבולה.

נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x הם.
0, 3-
0, 2-

תרגיל 5
עבור הפרבולה y = ax² + bx + c ידוע כי
a = 3.
אם נקודת הקודקוד של הפרבולה היא
(6, 0)
רשמו את ההצגה הקודקודית של הפרבולה.

פתרון
המבנה הכללי של הצגה קודקודית היא:
y = a(x -p)² + c
אנו יודעים כי:
p = 0, c =6, a =3
לכן ההצגה הקודקודית תהיה:
y = 3x² + 6

תרגיל 6
כתבו את ההצגה הקודקודית ושרטטו סקיצה של הפרבולה עבור הפרבולה
(y = 3(x – 4)(x+2

פתרון
כפי שלמדנו יש שתי דרכים לעבור מהצגת מכפלה להצגה קודקודית.
אני אראה כאן את הדרך הארוכה יותר, העוברת דרך ההצגה הסטנדרטית.

נפתח סוגריים
(y = 3 (x² +2x -4x -8) = 3(x² -2x – 8
y = 3x² -6x -24

נמצא את קודקוד הפרבולה
קודקוד הפרבולה
x = 6 : 6 = 1
נמצא את ערך ה y של הקודקוד על ידי הצבה x= 1 במשוואת הפרבולה.
y = 3*1² -6*1 -24 = -27

משוואה קודקודית של פרבולה נראית כך
y = a(x -p)² + c
אנו יודעים כי:
p =1
c = -27
a הוא המקדם של x² וניתן לראות שהוא 3.
לכן המשוואה הקודקודית של הפרבולה היא
y = 3(x -1)² -27

סעיף ב: שרטוט גרף הפרבולה
נסכם את הנתונים שאנו יודעים על הפרבולה.

  1. זו פרבולת מינימום.
  2. נקודת הקודקוד היא 27-, 1
  3. נקודות החיתוך עם ציר ה x הן (0, 4)  (0, 2-).

לכן גרף הפרבולה נראה כך:

גרף פרבולה

עוד באתר:

נספח: זיהוי הקודקוד בהצגה קודקודית

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

8 מחשבות על “פרבולה מעבר בין הצגה קודקודית, סטנדרטית ומכפלה”

  1. תומר הובר

    שלום וברכה,
    אני רוצה להעיר הערה.
    במעבר מצורת מכפלה לצורה סטנדרטית, אם רק נותנים לי את נקודות האפס ולא נותנים לי את המופנקציה בצורת מכפלה, אז לא מספיק ישר לכתוב (X-a)(X-b) אלא צריך להיות גם מקדם שאולי היה שם ולא השפיע כשאנחנו משווים מכפלה לאפס.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.