לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

חיתוך של פרבולה וישר

בדף זה נסכם את סוגי השאלות בנושא פרבולה וישר.

הסוגים הם:

  1. מציאת נקודת חיתוך של פרבולה וישר.
  2. שאלה הפוכה: נתונה נקודת חיתוך מצאו את משוואת הישר.
  3. מספר נקודות החיתוך של פרבולה וישר.
  4. שאלה הפוכה: כתבו משוואת ישר שיש לו 0,1,2 נקודות חיתוך עם פרבולה.
  5. סיכום.
  6. נספח: מציאת משוואת פרבולה שיש לה 0,1,2 נקודות חיתוך עם ישר.
  7. פרבולה וישר חישוב שטחים (בדף נפרד).

תקציר בכתב ובוידאו

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

1.כיצד מוצאים נקודת חיתוך של פרבולה וישר


אם יש לנו פרבולה:
f(x) = x² + 3x – 7
וישר:
y = 2x -1

אנו ויוצרים את המשוואה:
x² + 3x – 7 = 2x -1
והפתרונות של משוואה זו הם ערכי ה x של נקודות החיתוך בין הפרבולה והישר.

לאחר שמצאנו את ערכי ה x שהם:
x = -3,  x = 2
אנו נציב את הערכים הללו במשוואת הישר או הפרבולה (לרוב נוח יותר במשוואת הישר) ונקבל את ערכי  ה y של נקודות החיתוך.

דוגמה 2  (פתרון מלא)
נתונה הפרבולה y = 2x² – 3x + 6 והישר y = 3x + 2.
מצאו את נקודת החיתוך שלהם.

פתרון
נקודות החיתוך הם הפתרונות של המשוואה הבאה:

2x² – 3x+6 = 3x+2 / -3x-2

2x² – 6x +4 =0 / :2
x² – 3x + 2 = 0
x – 2)(x – 1)=0)
הפתרונות של משוואה זו הם:

x = 2 או  x = 1

נמצא את ערך ה y בנקודת החיתוך.
נוח יותר להציב במשוואת הישר מאשר במשוואת הפרבולה.

מציאת נקודת החיתוך עבור x = 1.
y = 3x + 2
y = 3*1 + 2 = 5

(5, 1)

מציאת נקודת החיתוך עבור x = 2.

y = 3x + 2
y = 3*2 + 2 = 8
(8, 2)

תשובה: נקודות החיתוך של הישר והפרבולה הן (5, 1) ו (8, 2).

הערה
מי שרוצה יכול למצוא את נקודות החיתוך גם בשיטת השוואת המקדמים.
אלו שתי המשוואות שלנו:
y = 2x² – 3x + 6
y = 3x + 2
נחסר את משוואת הישר ממשוואת הפרבולה ונקבל:
2x² – 6x +4 = 0
נפתור את המשוואה ונגיע לאותן תשובות.

מציאת נקודות חיתוך של ישרים מקבילים לצירים עם פרבולה

דוגמה 1
מצאו את נקודות החיתוך של הישר y = 2 עם הפרבולה: y = x² – 5x – 2

פתרון

על מנת למצוא את נקודות החיתוך נפתור את המשוואה:

x² – 5x – 2 = 2.

x² – 5x – 4 = 0

הפתרונות של המשוואה הריבועית הזו הם:

x = 4  או   x = 1

ערכי ה y של נקודות החיתוך הם y = 2.

ולכן נקודת החיתוך הן:

(1,2)

(4,2)

דוגמה 2
מצאו את נקודת החיתוך של הישר x = 2 עם הפרבולה y = x² – 3x + 1

פתרון

נציב x = 2 במשוואת הפרבולה

y = x² – 3x + 1

y = 2² – 3 * 2 + 1 = -1

נקודת החיתוך היא:

(1-, 2).

2.בעיה הפוכה: נתונה פרבולה ונקודת חיתוך כיצד מוצאים את משוואת הישר

דוגמה
לפרבולה y = x² – 1 יש נקודת חיתוך עם ישר ששיפועו 2 בנקודה שבה x = 3.

  1. מצאו את משוואת הישר.
  2. מצאו את נקודת החיתוך השנייה של הפרבולה והישר אם יש כזאת.

פתרון
שלב א: מציאת נקודת החיתוך

על מנת למצוא משוואת ישר אנו צריכים שיפוע ונקודה.

את השיפוע של הישר יש לנו (2).

את ערך ה x של הנקודה אנו יודעים.

על מנת למצוא את y נציב את x = 3 ונמצא את y בנקודת החיתוך.

y = 3² – 1 = 8

(3,8)  זו נקודת החיתוך.

שלב ב: מציאת משוואת הישר

נציב m = 2 ואת הנקודה 3,8 במשוואת הישר:

(y – y1 = m(x – x1
(y – 8 = 2(x – 3
y – 8 = 2x – 6 / + 8

y = 2x + 2

זו משוואת הישר.

שלב ג: מציאת נקודת חיתוך נוספת

אלו הן משוואות הפרבולה והישר:

y = x² – 1
y = 2x + 2

על מנת למצוא האם יש נקודת חיתוך נוספת נפתור את המשוואה:

x² – 1 = 2x + 2
x² – 2x -3= 0

x² + x – 3x – 3 = 0
x(x + 1) -3(x + 1) = 0
x – 3) (x + 1) = 0)

הפתרונות של המשוואה הזו הם:

x = -1  או x = 3

את הפתרון x = 3 קיבלנו בנתונים.

לכן בנקודת החיתוך השנייה x = – 1

נמצא את y על ידי הצבה במשוואת הישר.

y = 2x + 2
y = 2*-1 + 2 = 0

תשובה: נקודת החיתוך השנייה היא (0, 1-)

3.מספר נקודות החיתוך / פתרונות והמשמעות הגרפית שלהם

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

4.בעיה הפוכה: נתונה משוואת פרבולה. מצאו משוואת ישר שיש לו 0,1,2 נקודות חיתוך עם פרבולה?

מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

23 מחשבות על “חיתוך של פרבולה וישר”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. כאשר פונקציית הישר נתונה וכן נקודות סימטריות על פרבולה ונקודת קודקוד. האם ניתן למצוא את נוסחת הפרבולה?

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          כאשר ידועה נקודה ונקודת קודקוד יש 3 משוואות שדרכן ניתן למצוא 3 נעלמים:
          1.הצבה בנוסחת של x קודקוד.
          2.הצבת נקודת הקודקוד במשוואת הפרבולה.
          3.הצבת הנקודה שעל הפרבולה במשוואת הפרבולה.

          יש כאן 3 משוואות למציאת 3 נעלמים.
          אם תרצה תשלח לי את השאלה במייל ואולי אזהה דרך קצרה יותר.

  2. היי אם נותנים לי בשאלה אחת למצוא 4 נקודות חיתוך-איך פותרים את ארבעתם?
    תודה רבה!!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בדרך שמפורטת כאן בדף.
      4 נקודות חיתוך זה יותר מישר אחד.
      מוצאים את הנקודות חיתוך עבור כל ישר בנפרד.

  3. תודה רבה לך?
    באמת לא מובן מאליו בכלל שככה אתה עוזר לאנשים ופותח את התוכן בחינם, זה באמת מדהים ועושר כלכך!
    אתה מסביר מעולה וכל מה שלא הבנתי בכיתה, למדתי מהאתר. שוב, תודה ענקיתת

  4. תוכלו לעזור לי בשאלה הבאה?

    נתונות הפונקציות Y=ײ-10×+24
    Y=-4×+24
    חשבו את שיעורי נקודות החיתוך בין הישר והפרבולה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      נקודות החיתוך מתקבלות על ידי פתרון המשוואה הריבועית הזו:
      x^2 – 10x + 24 = -4x + 24

  5. בחלק 6 נספח מופיע שאם מדובר בפרבולת מקסימום לישרים y=-7 y=1 אין נקודת חיתוך
    זה אמור לצאת שלישרים y=8 ומעלה אין נקודת חיתוך, לא?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אכן הייתה שם טעות, תודה רבה על התיקון.
      לישרים מהסוג y = k
      כאשר k > 8
      אין נקודות חיתוך.

  6. רחלי אברגל

    היי,איך אני פותרת משוואות שהמספרים בתוך סוגריים אני צריכה להשוות ביניהם

  7. בסרטון הראשון בשאלה 2: נקודת החיתוך הכוונה לנקודת חיתוך בין הישר לפרבולה? וזה לא טעות ה x שבנקודת חיתוך? הרי כתוב שערך ה x הוא 3 לא?!
    תודה רבה רבה!

  8. לא הבנתי איך מוצאים משוואת ישר אשמח שתסביר או שתשלח אותי לסרטון אחר

  9. כרם צבי מצגר

    יפה מאוד אבל לא מראים כיצד למצוא את המשוואה אם יש גרף שחסרים בו פרטים