חיתוך של פרבולה וישר

בדף זה נסכם את סוגי השאלות בנושא פרבולה וישר.
הסוגים הם:

  1. מציאת נקודת חיתוך של פרבולה וישר.
  2. שאלה הפוכה: נתונה נקודת חיתוך מצאו את משוואת הישר.
  3. מספר נקודות החיתוך של פרבולה וישר.
  4. שאלה הפוכה: כתבו משוואת ישר שיש לו 0,1,2 נקודות חיתוך עם פרבולה.
  5. סיכום.
  6. נספח: מציאת משוואת פרבולה שיש לה 0,1,2 נקודות חיתוך עם ישר.
  7. פרבולה וישר חישוב שטחים (בדף נפרד).

תקציר

בשרטון הוידאו תמצאו הסבר ל 4 השאלות בהם הדף עוסק.
בטקסט המופיע בתקציר יש סיכום של שתי השאלות המרכזיות.

מציאת נקודות חיתוך של פרבולה וישר
על מנת מנת למצוא נקודת חיתוך של פרבולה (y = x² + 2x – 1) וישר (y = 3x + 4) נפתור את המשוואה
x² + 2x – 1 = 3x + 4

זו משוואה ריבועית ויכולות להיות לה 0 או 1 או 2 פתרונות.
כל פתרון זו נקודת חיתוך.

מציאת מספר נקודות החיתוך של פרבולה וישר על פי גרף
לרוב בשאלות אלו מדובר על ישר המקביל לציר ה x מהסוג y = k.

במקרה זה ניתן לקבוע את מספר נקודות החיתוך על פי ערך ה y של הקודקוד ועל פי האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.

משורטטת פרבולת מינימום שהקודקוד שלה נמצא בנקודה (3-, 2).
מספר נקודות החיתוך הם:

  1. 0 נקודות חיתוך: y = – 4   (וגם עבור כל ישר y = k שבו k < -3).
  2. נקודת חיתוך אחת עבור  y = -3.
  3. שתי נקודות חיתוך:  y = -2  (וגם עבור כל ישר y = k שבו k > -3).

משורטטת למטה פרבולה מקסימום עם נקודות קודקוד (4, 1-).
מספר נקודות החיתוך הם:

  1.   0 נקודות חיתוך: y = 5 (וגם עבור כל ישר y = k שבו k > 4).
  2.   1 נקודות חיתוך: y = 4
  3.   2 נקודות חיתוך: y = 3 (וגם עבור כל ישר y = k שבו k < 4).

 

1.כיצד מוצאים נקודת חיתוך של פרבולה וישר


אם יש לנו פרבולה:
f(x) = x² + 3x – 7
וישר:
y = 2x -1
אנו ויוצרים את המשוואה:
x² + 3x – 7 = 2x -1
והפתרונות של משוואה זו הם ערכי ה x של נקודות החיתוך בין הפרבולה והישר.

לאחר שמצאנו את ערכי ה x שהם:
x = -3,  x = 2
אנו נציב את הערכים הללו במשוואת הישר או הפרבולה (לרוב נוח יותר במשוואת הישר) ונקבל את ערכי  ה y של נקודות החיתוך.

דוגמה 2  (פתרון מלא)
נתונה הפרבולה y = 2x² – 3x + 6 והישר y = 3x + 2.
מצאו את נקודת החיתוך שלהם.

נפתור את שתי המשוואות בשיטת ההצבה.
2x² – 3x+6 = 3x+2 / -3x-2
2x² – 6x +4 =0 / :2
x²-3x+2=0
x-2)(x-1)=0)
הפתרונות של משוואה זו הם:
x=2 או  x=1

נמצא את ערך ה y בנקודת החיתוך.
נוח יותר להציב במשוואת הישר מאשר במשוואת הפרבולה.
y= 3*1+2=5
(5, 1)
y = 3*2 +2=8
(8, 2)
תשובה: נקודות החיתוך של הישר והפרבולה הן (5, 1) ו (8, 2).

הערה
מי שרוצה יכול למצוא את נקודות החיתוך גם בשיטת השוואת המקדמים.
אלו שתי המשוואות שלנו:
y = 2x² – 3x + 6
y = 3x + 2
נחסר את משוואת הישר ממשוואת הפרבולה ונקבל:
2x² – 6x +4 = 0
נפתור את המשוואה ונגיע לאותה תשובה.

מציאת נקודות חיתוך של ישרים מקבילים לצירים.
דוגמה 1
y = 2
y = x² – 3x + 1

פתרון
על מנת למצוא את נקודות החיתוך נפתור את המשוואה:
x² – 3x + 1 = 2.

דוגמה 2
x = 2
y = x² – 3x + 1

פתרון
נציב x = 2 במשוואת הפרבולה
y = 2² – 3*2 + 1 = -1
נקודת החיתוך היא (1-, 2).

2.בעיה הפוכה: נתונה פרבולה ונקודת חיתוך כיצד מוצאים את משוואת הישר

דוגמה
לפרבולה y = x² – 1 יש נקודת חיתוך עם ישר ששיפועו 2 בנקודה שבה x = 3.

  1. מצאו את משוואת הישר.
  2. מצאו את נקודת החיתוך השנייה של הפרבולה והישר אם יש כזאת.

פתרון
שלב א: מציאת נקודת החיתוך
על מנת למצוא משוואת ישר אנו צריכים שיפוע ונקודה.
שיפוע יש לנו (2).
את ערך ה x של הנקודה אנו יודעים.
על מנת למצוא את y נציב את x =3 ונמצא את y בנקודת החיתוך.

y = 3² – 1 = 8
(3,8)  זו נקודת החיתוך.

שלב ב: מציאת משוואת הישר
נציב m = 2 ואת הנקודה 3,8 במשוואת הישר:
(y – y1 = m(x – x1
(y – 8 = 2(x – 3
y – 8 = 2x – 6 / + 8
y = 2x + 2

שלב ג: מציאת נקודת חיתוך נוספת
y = x² – 1
y = 2x + 2
על מנת למצוא האם יש נקודת חיתוך נוספת נפתור את המשוואה:
x² – 1 = 2x +2
x² – 2x -3= 0
x² + x – 3x – 3 = 0
x(x + 1) -3(x + 1) = 0
x – 3) (x + 1) = 0)
הפתרונות של המשוואה הזו הם:
x = -1  או x = 3

את הפתרון x = 3 קיבלנו בנתונים.
לכן בנקודת החיתוך השנייה x =-1
נמצא את y על ידי הצבה במשוואת הישר.
y = 2x + 2
y = 2*-1 + 2 = 0
תשובה: נקודת החיתוך השנייה היא (0, 1-)

3.מספר נקודות החיתוך / פתרונות והמשמעות הגרפית שלהם

כאשר
המשוואה שהגענו אליה 2x²-3x+6 = 3x+2 היא משוואה ריבועית ויכולות להיות לה 2 או 1 או 0 פתרונות.

  • כאשר יש 2 פתרונות הפרבולה חותכת את הישר בשתי מקומות.
  • כאשר יש 1 פתרון הישר משיק לפרבולה.
  • כאשר יש 0 פתרונות הישר נמצא מתחת לפרבולה (ואז הפרבולה חייבת להיות עם נקודת מינימום – מחייכת).
    או שהישר מעל הפרבולה (ואז הפרבולה חייבת להיות עם נקודת מקסימום – בוכה).

בגרף למטה דוגמה כיצד נראים 0,1,2 נקודות חיתוך מבחינה גרפית.

גרף של ישרים היוצרים 0,1,2 נקודות חיתוך עם פרבולה
גרף של ישרים היוצרים 0,1,2 נקודות חיתוך עם פרבולה

4.בעיה הפוכה: נתונה משוואת פרבולה. מצאו משוואת ישר שיש לו 0,1,2 נקודות חיתוך עם פרבולה?

עד עכשיו דיברנו על מצב שבו נותנים לכם משוואת ישר ופרבולה ועלינו למצוא את נקודת החיתוך שלהם.
בשאלות אחרות יתנו לכם פרבולה ויבקשו ממכם למצוא ישר שיש לו 2 או 1 או 0 נקודות חיתוך עם הפרבולה.
לפתרון 3 שלבים:

  1. מוצאים את ערך ה Y של קודקוד הפרבולה.
  2. מזהים אם זו פרבולה עם מינימום (מחייכת) או מקסימום (בוכה).
  3. כותבים משוואת ישר מהסוג y=k (כאשר k הוא מספר) בהתאם למספר הפתרונות אותו אנו רוצים.
    אם אנחנו רוצים 1 פתרונות אז k= ערך ה Y של קודקוד הפרבולה.
    אם אנחנו רוצים 0 פתרונות וזו פרבולת מינימום אז נבחר k קטן יותר יותר מערך ה Y של קודקוד הפרבולה.
    אם אנחנו רוצים 0 פתרונות וזו פרבולת מקסימום אז נבחר k גדול יותר יותר מערך ה Y של קודקוד הפרבולה.
    הדרך הטובה ביותר להבין את מה שהוסבר למעלה היא על ידי התבוננות בגרפים.
פרבולת מינימום וכיצד כותבים משוואות ישר עם 0,1,2 פתרונות
פרבולת מינימום וכיצד כותבים משוואות ישר עם 0,1,2 פתרונות
פרבולת מינימום וכיצד כותבים משוואות ישר עם 0,1,2 פתרונות
פרבולת מינימום וכיצד כותבים משוואות ישר עם 0,1,2 פתרונות

מספר נקודות החיתוך ומספר הפתרונות

אם הישר y = 2 חותך את הפרבולה y = x² + 1 בשתי נקודות זה אומר שמספר הפתרונות של מערכת המשוואות:
y = 2
y = x² + 1
הוא 2.

לפרבולה y = x² + 1 איך נקודות חיתוך עם הישר y = 0
וזה אומר שלמערכת המשוואות
y = x² + 1
y = 0
אין פתרונות.

 

תרגיל 1
נתונה הפרבולה y = x² – 3.

  1. מצאו את קודקוד הפרבולה.
  2. עבור אלו ערכים לישר המקביל לציר ה x יש 0 או 1 או 2 נקודות חיתוך עם הפרבולה? כתשובה רשמו את טווח הערכים המתאים וכתבו דוגמה.

פתרון
סעיף א: קודקוד הפרבולה
ערך ה x של קודקוד הפרבולה מתקבל על ידי הנוסחה:

נוסחה לקודקוד הפרבולה

x = 0 / 2 = 0

נציב x = 0 במשוואת הפרבולה ונקבל את ערך ה y של הקודקוד.
y = 0² – 3
y = -3
תשובה: נקודת הקודקוד היא (3-, 0).

סעיף ב: מספר נקודות החיתוך של ישר מקביל לציר ה y

0 נקודות חיתוך.
חשוב לשים לב שזו פרבולת מינימום (מחייכת). אם זו הייתה פרבולת מקסימום התשובות שלנו היו משתנות.
על מנת שיהיו 0 נקודות חיתוך בפרבולת מינימום הישרים צריכים להיות מתחת לקודקוד.

לכן אם משוואת הישר שלנו היא y = k
אז כל המספרים הנמצאים בתחום
k < -3 יצרו ישר שאין לא נקודות חיתוך.
למשל y = -5.

נקודת חיתוך אחת.
בפרבולה נקודת חיתוך אחת עם ישר מקביל לציר ה y מתקבלת רק כאשר הישר עובר בנקודת הקודקוד.
זה הישר
y = -3.

שתי נקודות חיתוך
שתי נקודות חיתוך בפרבולת מינימום מתקבלות כאשר הישר המקביל לציר ה y נמצא מעל הקודקוד.
אם משוואת הישר היא y = k
אז כאשר k > -3 מתקבל ישר החותך את הפרבולה בשתי נקודות.
דוגמה:
y = 2

שרטוט הישרים ומספר נקודות החיתוך שלהם עם הפרבולה
שרטוט הישרים ומספר נקודות החיתוך שלהם עם הפרבולה

תרגיל 2
נתון גרף הפונקציה
f(x) = 0.25x³ – 6x²
בתחום:

לפונקציה שתי נקודות קיצון פנימיות:
(B (0,0
(C (4, -8
ובקצה תחום ההגדרה הנקודות הן:
(A (-1, -2
(D(7, 12

  1. מה מספר הפתרונות המקסימלי שיכול להיות לישר מהסוג y = k עם הפונקציה ובאיזה תחום תחום k צריך להיות על מנת לקבל את מספר פתרונות זה?
  2. באיזו תחום לישר y = k יש פתרון יחיד עם הפונקציה.
  3. האם יש מספר פתרונות נוסף שאפשרי? ובאיזה תחום הוא מתקבל?

פתרון
סעיף א: מספר פתרונות מקסימלי
ניתן לראות כי כאשר

לישר y = k יהיו 3 נקודות חיתוך ו 3 פתרונות.
למשל:
y = -1.5

סעיף ב: פתרון יחיד
נקודת חיתוך אחת מופיעה כאשר הישר נמצא מעל הנקודה B.
כמו כן הפונקציה מוגדרת עד הנקודה D שבה y =12.
לכן k צריך להיות בתחום:

למשל הישר y = 6.

סעיף ג: אפשרות נוספת
ניתן לראות שבין הנקודות A  ו C יש לישר שתי נקודות חיתוך ושתי פתרונות.
בנקודה A ערך ה y הוא 2-.
בנקודה B ערך ה y הוא 12-.
לכן בתחום הבא יהיו שני פתרונות:

למשל הישר:
k = – 7

עוד באתר:

5.סיכום 4 סוגי השאלות שנלמדות בדף זה

1.מציאת נקודת חיתוך של פרבולה וישר (השאלה הנפוצה והקלה ביותר)
אם יש לנו פרבולה:
f(x) = x² + 3x – 7
וישר:
y = 2x -1
אנו ויוצרים את המשוואה:
x² + 3x – 7 = 2x -1
והפתרונות של משוואה זו הם ערכי ה x של נקודות החיתוך בין הפרבולה והישר.

לאחר שמצאנו את ערכי ה x שהם:
x = -3,  x = 2
אנו נציב את הערכים הללו במשוואת הישר או הפרבולה (לרוב נוח יותר במשוואת הישר) ונקבל את ערכי  ה y של נקודות החיתוך.

2.מציאת משוואת ישר כל פי נקודת חיתוך
לפרבולה y = x² – 1 יש נקודת חיתוך עם ישר ששיפועו 2 בנקודה שבה x = 3.
מצאו את משוואת הישר החותך את הפרבולה.

פתרון
על מנת למצוא את משוואת ישר אנו צריכים שיפוע ונקודה.
שיפוע (2) יש לנו.
חסרה לנו נקודה.
נמצא את הנקודה על ידי הצבת x = 3 במשוואת הפרבולה.
זו נקודת החיתוך ולכן היא נמצאת גם על הפרבולה וגם על הישר.
כאשר נעשה זאת נקבל כי הנקודה היא (3,8) ועכשיו יש לנו נקודה ושיפוע על מנת למצוא משוואת ישר.

3.מספר נקודות חיתוך בין פרבולה וישר (פתרון אלגברי)
בסעיף 1 הגענו אל המשוואה
x² + 3x – 7 = 2x -1
כדי למצוא את נקודות החיתוך שבין פרבולה וישר.
לאחר שנעביר אגפים נקבל משוואה ריבועית
x² + x – 6 =0
מספר הפתרונות של משוואה ריבועית זו הוא מספר נקודות החיתוך.
מספר הפתרונות מתקבל על ידי:
b² – 4ac

4.מספר נקודות החיתוך של פרבולה וישר (פתרון גרפי)
אם נתון לנו גרף פרבולת מקסימום שערך ה y של הקודקוד שלו נמצא ב y = 1.
ואנו מעבירים לו ישר מהצורה y = k.
אז כאשר k > 1
לפרבולה ולישר יהיו 0 נקודות חיתוך
(למשל y = 2 כתום בשרטוט)

כאשר k = 1
יהיו לפרבולה ולישר נקודת חיתוך אחת.
(y = 1 אפור בשרטוט)

כאשר k < 0
יהיו לפרבולה ולישר שתי נקודות חיתוך.
(למשל y = -1  אדום בשרטוט)

בנספח של דף זה מופיע סוג בעיות נוסף.

6.נספח: הציעו משוואת פרבולה וישר שיש להם k נקודות חיתוך

דוגמה 1
כתבו משוואת פרבולה ומשוואת ישר שאין להם נקודות חיתוך.

פתרון
הדרך הפשוטה היא לקבוע משוואת פרבולה שקל לנו לזהות את הקודקוד שלה.
למשל f(x) = x² + 8
הקודקוד יהיה בנקודה (0,8) וזו פרבולת מינימום.
לכן ישרים כמו
y = 7
y = 0
אין נקודות חיתוך עם הפרבולה הזו.

פתרון נוסף
f(x) = -x² + 8
זו פרבולת מקסימום ולכן לישרים כמו:
y = -7
y = 1
אין נקודות חיתוך עם פרבולה זו.

7.נספח: נקודות חיתוך של פרבולה וישר עם פרמטרים

תרגיל
עבור אלו ערכים של a לפרבולה:
f(x) = x² – kx + 1
ולישר:
y = 2x + 1
יש נקודת חיתוך אחת.

פתרון
את נקודות החיתוך של הפרבולה והישר מוצאים על ידי פתרון המשוואה:
x² – kx + 1 = 2x + 1
x² -kx – 2x = 0
x² – x (k+2) = 0

זו משוואה ריבועית.
אנו צריכים שלמשוואה ריבועית זו יהיה פתרון אחד.
מספר הפתרונות של משוואה ריבועית מתקבל על ידי:
b² – 4ac
כאשר ביטוי זה שווה ל 0, למשוואה ריבועית יש פתרון יחיד.

עבור המשוואה שלנו פתרון יחיד יתקבל כאשר:
k + 2)² – 4*1*0 = 0)
k + 2)² = 0)
k = -2
תשובה: עבור k = -2 לפרבולה ולישר יש פתרון יחיד.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

5 מחשבות על “חיתוך של פרבולה וישר”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.