מציאת משוואת פרבולה

בדף זה נלמד כיצד מוצאים משוואת פרבולה עם פרמטרים חסרים.
נקבל משוואה f(x) = ax² + bx + c ונמצא את הפרמטרים a,b,c.

לדף זה שני חלקים:

  1. 5 שיטות למציאת משוואת פרבולה (השיטה החמישית לא כלולה בסרטון).
  2. 7 תרגילים.

5 שיטות למציאת משוואת פרבולה

שתי השיטות הראשונות הן החשובות והיותר שימושיות.
שיטות 3-4 מיועדות ל 5 יחידות.

1.שיטה ראשונה: הצבת נקודה במשוואת פרבולה (השיטה השימושית ביותר).
הכלל הבסיסי של מציאת פרמטר חסר במשוואת פרבולה הוא שאם ידועה לנו נקודה על הפרבולה מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הפרבולה וכך מוצאים את הערך החסר.

למשל, אם יש לנו את הפרבולה f(x) = ax² + 3x – 5
העוברת בנקודה 2,17 אז נציב את הנקודה במשוואת הפרבולה ונקבל:

a*2² + 3*2 – 5 = 17
4a + 6 – 5 = 17
4a + 1 = 17
4a = 16
a = 4

משוואת הפרבולה היא:
f(x) = ax² + 3x – 5
f(x) = 4x² + 3x – 5

  • תרגילים 1-3 שבהמשך נפתרים בשיטה זו.

שיטה שנייה: הצבה במשוואה למציאת נקודת הקודקוד
אם ידועה לנו נקודת הקודקוד אנו יכולים:

  1. להציב את נקודת הקודקוד במשוואת הפרבולה, כך נקבל משוואה ראשונה.
  2. להציב את ערך x של נקודת הקודקוד בנוסחה למציאת קודקוד וכך נקבל משוואה נוספת.
    קודקוד הפרבולה

כלומר, אם ידועה לנו נקודת הקודקוד נוכל לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים; משוואה אחת על ידי הצבה במשוואת הפרבולה ומשוואה שנייה על ידי הצבה במשוואת קודקוד הפרבולה.

לדוגמה:
מצאו את משוואת הפרבולה f (x) = ax² + bx + 10 שנקודה הקודקוד שלה היא (4,6).
פתרון
משוואה ראשונה תהיה על פי הצבה של הנקודה במשוואת הפרבולה.
a*4² + 6b + 10 = 0

משוואה שנייה תהיה על פי נוסחת הקודקוד.

נפתור שתי משוואות עם שני נעלמים ונמצא את משוואת הפרבולה (הפרמטרים a,b).

  • תרגילים 4-5 שבהמשך נפתרים בשיטה זו.

3. שיטה שלישית: שימוש בנקודת החיתוך עם ציר ה y
כאשר ידועות לנו שתי נקודות ואנו צריכים למצוא שני פרמטרים נציב את שתי הנקודות במשוואת הפרבולה ונקבל שתי  משוואות עם שני נעלמים.
האם יש חשיבות לסדר הצבת הנקודות?
בדרך כלל לא.
אבל אם ידועה לנו נקודת החיתוך עם ציר ה y נציב את נקודה זו ראשונה וכך נמצא ישירות את הפרמטר c ונימנע משתי משוואות עם שני נעלמים.

למשל:
מצאו את משוואת הפרבולה f(x) = x² + bx + c העוברת בנקודות (4,10) ו (0,1).
פתרון
נציב קודם את הנקודה 0,1 במשוואת הפרבולה ונקבל:
c + 0² + b*0 = 1
c=1
ולאחר מיכן נציב את הנקודה 4,10
4b + 4² + 1 = 10
קיבלנו משוואה עם נעלם אחד במקום שתי משוואות עם שני נעלמים אילו היינו פועלים הפוך.

4. שיטה רביעית:הקשר בין מספר פתרונות המשוואה הריבועית למספר נקודות החיתוך עם ציר ה x

משוואה של פרבולה היא משוואה ריבועית.
למשל המשוואה:
f (x) = x² + bx + 16
מספר נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x הם מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית:
x² + bx + 16 = 0

לכן, אם אומרים לנו שלפרבולה שלמעלה יש פתרון יחיד זה אומר שצריך להתקיים:
b² – 4 *1*16 = 0
b² = 64
b = 8,  b = -8

5.שיטה חמישית: הצבת נקודות החיתוך עם ציר ה x בהצגת המכפלה

שיטה זו זו מתאימה רק כאשר נתונות נקודות החיתוך עם ציר ה x, ולאלו המכירים את הצגת המכפלה.

דוגמה
מצאו את ההצגה הסטנדרטית של הפרבולה שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
(4,0)  (1,0).

פתרון
נכתוב את הצגת המכפלה:
(y = (x – 1) (x – 4
נפתח את הסוגריים ונקבל את ההצגה הסטנדרטית.
y = x² – 4x – x + 4
y = x² – 5x + 4

תרגילים

בחלק זה 7 תרגילים הכוללים מציאת פרמטר חסר בפרבולה.
תרגילים 1-4 הם תרגילי הצבה בסיסיים.
תרגילים 5-7 קשים יותר.

תרגיל 1
הפרבולה f(x) = ax² – 3 עוברת בנקודה (19-, 2).
מצאו את a ואת משוואת הפרבולה.

פתרון
נקודות דרכן הפרבולה עוברת מקיימות את משוואת הפרבולה.
לכן נציב את הנקודה (19-, 2) במשוואת הפרבולה ונשאר עם נעלם אחד שהוא a.
a*2² – 3= -19
4a – 3 = -19   / + 3
4a = -16  / :4
a = -4

תשובה: a = -4 ומשוואת הפרבולה היא  f(x) = -4x² – 3.

תרגיל 2
משוואת פרבולה היא f (x) = x² + 3x + c. ידוע כי הפרבולה חותכת את ציר ה y כאשר y = -6.
מצאו את c ואת משוואת הפרבולה.

פתרון
בנקודת החיתוך עם ציר ה y מתקיים x= 0.
לכן נקודת החיתוך היא:
(6-, 0).
נציב את הנקודה במשוואת הפרבולה:
c + 0² + 3*0 = -6
c = -6.

תשובה: c = -6 ומשוואת הפרבולה היא  f (x) = x² +3x -6.

הפרבולה f (x) = x² +3x -6 ונקודת החיתוך שלה עם ציר ה y
הפרבולה f (x) = x² +3x -6 ונקודת החיתוך שלה עם ציר ה y

תרגיל 3
הפרבולה f(x) = ax² +c   עוברת דרך הנקודות (13, 3) ו (3-, 1).
מצאו את a ו c ואת משוואת הפרבולה.

פתרון
נציב את שתי הנקודות במשוואת הפרבולה ונקבל שתי משוואות עם שני נעלמים.
נציב את (13, 3) ונקבל:
a * 3² + c = 13
9a + c = 13
נציב את (3-, 1) ונקבל:
a*1² + c = -3
a + c = -3

קיבלנו את שתי המשוואות:
9a + c = 13
a + c = -3
נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה.
8a = 16   / :8
a = 2

נציב a = 2 במשוואה a + c = -3 ונקבל:
c + 2 = -3   / -2
c = -5

תשובה: קיבלנו a = 2,  c = -5 ולכן משוואת הפרבולה היא:
f (x) = 2x² – 5

הפרבולה f (x) = 2x² - 5 ושתי הנקודות שנמצאות עליה.
הפרבולה f (x) = 2x² – 5 ושתי הנקודות שנמצאות עליה.

תרגיל 4
ידוע כי בפרבולה f (x) = 3x² + bx + c הקודקוד נמצא בנקודה (3-, 2)
מצאו את משוואת הפרבולה.

דרך פתרון ראשונה
יש לנו שני נעלמים ואנו יכולים לבנות שתי משוואות.
משוואה אחת היא ערך ה x של נקודת הקודקוד.
נוסחה לקודקוד הפרבולה
b : 2*3 = 2-
b = 12  / : -1-
b = -12

והמשוואה השנייה היא הצבה של הנקודה (3-, 2) במשוואת הפרבולה
c + 3*2² – 12*2 = -3
c + 12 – 24 = -3
c – 12 = -3  / +12
c = 9

תשובה: משוואת הפרבולה היא  f (x) = 3x² – 12x + 9

דרך פתרון שנייה
דרך פתרון זו מיועדת למי שמכיר את ההצגה הקודקודית של פרבולה.

ההצגה הקודקודית של פרבולה נראית כך:
y = a(x – p)² + c
כאשר קודקוד הפרבולה הוא
(p,c)
במקרה שלנו
a = 3
ונקודת הקודקוד היא
(2, -3)

נציב ונקבל:
y = a(x – p)² + c
y = 3(x – 2)² – 3

נפתח סוגריים ונקבל:
y = 3(x² -4x + 4) – 3
y = 3x² -12x + 12 – 3
y = 3x² -12x + 9

תרגיל 5
משוואת פרבולה היא:
f(x) = 4x² + ax  + 3
בנקודת הקודקוד y = -1.
קודקוד הפרבולה נמצא ברביע הרביעי.
מצאו את a.

פתרון
אם נציב y=-1 במשוואת הפרבולה נקבל משוואה עם שני נעלמים.
4x² + ax  + 3 =-1
(הנעלמים הם a,x)

לכן עלינו להציב את נתוני הפרבולה בעוד משוואה, כך נקבל שתי משוואות עם שני נעלמים.
משוואה זו תהיה משוואת הקודקוד.

ממשוואה זו ניתן לקבל:
a = -8x

נציב את המשוואה הזו במשוואה הראשונה שקיבלנו:
4x² – 8x * x + 3 = -1
4x² – 8x²  = -4
4x² = -4-
x² = 1
x = 1  או x = -1

מכוון שקודקוד הפרבולה נמצא ברביע הרביעי רק x =1 היא תשובה מתאימה.

נציב x = 1,  y = -1 במשוואת הפרבולה ונמצא את a.
f(x) = 4x² + ax  + 3
a *1 + 4*1² + 3 = -1
a +4 + 3 = -1
a = -8

משוואת הפרבולה היא:
f(x) = 4x² – 8x  + 3

תרגיל 6
ידוע כי נקודת הקודקוד של פרבולה היא (2,6) ונקודת החיתוך של פרבולה עם ציר ה y היא (0,1).
מצאו את משוואת הפרבולה.

פתרון
משוואה סטנדרטית של פרבולה היא:
y = ax² + bx + c
נציב את נקודת החיתוך עם ציר ה y ונקבל:
y = a*0² + b*0 + c = c
y = c
ומכוון ש y בנקודת החיתוך הוא 1 נקבל
c = 1

עכשיו נותר לנו למצוא את a,b.
נציב את הנקודה 2,6 במשוואת הפרבולה ונקבל:
a*2² + 2b + 1 = 6
4a + 2b = 5
(זו משוואה ראשונה).

משוואה שנייה תהיה הצבה במשוואת הקודקוד.
קודקוד פרבולה

4a = -b
(משוואה 2).

קיבלנו את שתי המשוואות
4a + 2b = 5
4a = -b

נציב את משוואה 2 במשוואה 1.
4a + 2b = 5
b + 2b = 5-
b = 5

a = -0.25b = 1.25

תשובה: משוואת הפרבולה היא   y = 1.25x² + 5x + 1.

תרגיל 7
לפרבולה  f(x) = ax² + 6x + 3 יש נקודת השקה עם ציר ה x.
מצאו את משוואת הפרבולה ואת נקודת ההשקה.

פתרון
זה שיש נקודת השקה זה אומר שיש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה x.
כלומר שנציב f(x) = 0 נקבל פתרון יחיד למשוואה.
ax² + 6x + 3 = 0
פתרון יחיד של משוואה ריבועית מתקבל כאשר:
b² – 4ac = 0
6²-4a*3 = 0
36-12a=0
36=12a
a = 3

משוואת הפרבולה היא:
f(x) = 3x² + 6x + 3
נמצא את נקודת הקודקוד על ידי הנוסחה:
נוסחה לקודקוד הפרבולה
x = -6 : (2*3) = -1

מכוון שהקודקוד משיק לציר ה x אנו יודעים שערך ה y בקודקוד הוא y= 0.
נקודת הקודקוד היא (0, 1-).

תשובה: משוואת הפרבולה היא f(x) = 3x² + 6x + 3 נקודת הקודקוד היא (0, 1-).

הערה: היינו יכולים למצוא את ערך ה y של נקודת הקודקוד גם על ידי הצבה x = -1 במשוואת הפרבולה f(x) = 3x² + 6x + 3.

הפתרון של התרגיל הבא הוא אי שוויון.

תרגיל 8
עבור אלו ערכים של c לפרבולה f(x) = x² + 6x + c
אין נקודות חיתוך עם ציר ה x?
יש שתי נקודת חיתוך עם ציר ה x?

פתרון
סעיף א: אין אף פתרון
לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x כאשר למשוואה הריבועית ממנה מורכבת הפרבולה אין פתרון.
למשוואה ריבועית מהסוג f(x) = ax²+bx+c אין אף פתרון כאשר
b² – 4ac <0
הפרבולה שלנו היא f(x) = x² + 6x + c.
כלומר
a = 1
b = 6
c = c
נציב את הערכים הללו באי השוויון b² – 4ac <0
6²-4c < 0
4c > 36  / :4
c > 9.

תשובה: כאשר c > 9  לפרבולה f(x) = x² + 6x + c אין נקודות חיתוך עם ציר ה x (שמשמעותם שאין למשוואה הריבועית פתרון).

סעיף ב: שתי נקודות חיתוך עם ציר ה x.
שתי נקודות חיתוך עם ציר ה x מתקבלות כאשר b² – 4ac > 0 .
נציב את ערכי הפרבולה שלנו באי שוויון ונקבל:
6²-4c > 0
4c < 36   / : 4
c < 9
תשובה: עבור c < 9 לפרבולה f(x) = x² + 6x + c יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה x (שמשמעותם שני פתרונות למשוואה הריבועית).

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “מציאת משוואת פרבולה”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אין פרבולה יחידה שמתאימה לקודקוד. ניתן לבנות אינסוף פרבולות לאותו קודקוד.
      לכן בדרך כלל נתון אחד הפרמטרים.
      בשאלה 4 שבדף זה יש פתרון לשאלה של מציאת משוואת פרבולה על פי קודקוד. ויש שם 2 דרכי פתרון.

      אם לא נתון שם אחד הפרמטרים ואת לא צריכה להגיע למשוואה יחידה אז את יכולה להציב את הקודקוד במשוואה של הצגה קודקודית
      https://www.m-math.co.il/analytic-geometry/parabola/parabola-vertex-display/
      אם משהו לא ברור ניתן לחזור אליי.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.