מציאת משיק לפונקציה טריגונומטרית

בדף זה נלמד למצוא משיק לפונקציה טריגונומטרית.

נזכיר את נוסחאות הגזירה של פונקציות טריגונומטריות:

נוסחאות הגזירה של הפונקציות הטריגונומטריות:

f (x) = sinx
f ‘ (x) = cosx

g (x) = cos x
g ‘ (x) = – sinx

h (x) = tg x

בדף זה שני חלקים:

1. חזרה על הדרך למצוא משוואת משיק – כפי שלמדנו בפונקציית פולינום.
2. שני תרגילי מציאת משיק עם פונקציה טריגונומטרית.

1.חזרה על הדרך למציאת משיק

2.תרגילים

בחלק זה שני תרגילים של מציאת משוואת משיק לפונקציה טריגונומטרית.

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = 2x + 4sin x בנקודה x=0.5π.

פתרון

על מנת למצוא את נקודת ההשקה נציב את הנקודה x=0.5π בפונקציה.

f(0.5π) = 2*0.5π + 4sin(0.5π) = π + 4
(sin(0.5π) = sin(90) = 1).

לכן נקודת ההשקה היא : (x,y) =  (0.5π, π+4)

כעת נמצא את שיפוע המשיק בנקודה זו.
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
כלומר:  (m = f ‘ (0.5π.
על מנת למצוא את ערך הנגזרת בנקודה נגזור את הפונקציה.
f ‘ (x) = 2 + 4cosx
נציב את x=0.5π בנגזרת הפונקציה:
f ‘ (0.5π) = 2 + 4cos(0.5π)  =  2
(cos(0.5π) = cos (90) = 0 )
כלומר: m = 2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y₀ = m*(x-x₀ , כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0, y₀) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – (π +4) = 2*(x – 0.5π
y – π – 4 = 2x – π
y = 2x + 4

תרגיל 2
מצאו את משוואת המשיק ששיפועו m = √2 לפונקציה f(x) = sinx – cosx בתחום [0,π]

פתרון

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 2√, לכן נפתור את המשוואה : f ‘ (x) = √2.
f ‘ (x) = cosx + sinx
לכן המשוואה היא :
cosx + sin x =  √2
נעלה את 2 אגפי המשווה בריבוע:
(כאשר מעלים את המשוואה בריבוע נוסף עוד פתרון, לכן לאחר פתרון המשוואה נוודא כי מצאנו פתרון נכון שנמצא בתחום).
cosx + sinx)² = 2)
(נוסחת כפל מקוצר : a+b)² = a² + 2ab + b²) )
cos²x + 2sinx*cosx + sin²x = 2

(זהויות טריגונומטריות:
1. 2sinx*cosx = sin2x
2. cos²x + sin²x = 1)

לכן נקבל :
sin2x + 1 = 2
sin2x = 1
ידוע כי : sin(0.5π) = sin(90) = 1)
לכן : 2x =0.5π 
x = 0.25π
ערך ה-x שמצאנו אכן נמצא בתחום [0,π].
*נציב x = 0.25π במשוואה :
cosx + sin x =  √2
נבדוק שהפתרון שמצאנו אכן פותר את המשוואה הנ”ל.
ואכן, מתקיים :
cos(0.25π) + sin(0.25π) = √2

מצאנו את ערך ה-x המקיים את המשוואה שלנו.
על מנת למצוא את ערך ה-y נציב x = 0.25π בפונקציה.
f(0.25π) = sin(0.25π) – cos(0.25π) = 0
לכן נקודת ההשקה היא :  (x,y) =  (0.25π, 0)

השיפוע נתון לנו בשאלה : m = √2

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y₀ = m*(x-x₀ , כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0, y₀) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :
(y – 0 = √2*(x-0.25π
y = √2*x – √2*0.25π

עוד באתר:

• פונקציה טריגונומטרית – נושאי חקירה נוספים ברמת 4 יחידות.
• פונקציה טריגונומטרית 5 יחידות.
• מציאת משיק – תרגילים בסיסיים (עם פונקציית פולינום).