פרבולה עליה וירידה

בדף זה:

  1. איך מזהים תחומי עליה וירידה בגרף הפרבולה.
  2. איך למצוא תחומי עליה וירידה ללא גרף.
  3. 6 תרגילים.

על מנת להצליח בדף עליכם לדעת:

  1. לזהות פרבולת מינימום לעומת פרבולת מקסימום.
  2. למצוא את נקודת הקודקוד של הפרבולה.

1.איך מזהים תחומי עליה וירידה בגרף הפרבולה

על מנת לזהות תחומי עליה וירידה של פונקציה נסתכל על הפרבולה משמאל לימין.

  1. כאשר אנו רואים עליה הפרבולה עולה.
  2. כאשר אנו רואים ירידה הפרבולה יורדת.

זכרו כי פרבולות מחליפות בין עליה וירידה תמיד פעם אחת וזה קורה בנקודת הקודקוד.

דוגמה
התבוננו בגרפים הבאים ונסו לקבוע מתי הפרבולה עולה ומתי יורדת.

פרבולת המקסימום מצד שמאל
x = -3 זה הערך של הקודקוד.
ניתן לראות שהגרף עולה משמאל לנקודת הקודקוד.
לכן תחום העליה הוא:
x < -3

הגרף יורד מימין לנקודת הקודקוד לכן תחום הירידה הוא:
x > -3

פרבולת המינימום מצד ימין
x = 4 זה הערך של הקודקוד.
ניתן לראות שהגרף יורד משמאל לנקודת הקודקוד.
לכן תחום הירידה הוא:
x < 4

הגרף עולה מימין לנקודת הקודקוד לכן תחום עולה הוא:
x > -3

דוגמה 2 (בקצרה)
קבעו את תחומי העליה והירידה של הפרבולות הבאות.

הפרבולה משמאל (מינימום)
x = -2 זה הערך של הקודקוד.
x < -2  הפרבולה יורדת.
x > -2 הפרבולה עולה.

הפרבולה מימין (מקסימום)
x = 3  זה הערך של הקודקוד.
x < 3 פרבולה עולה.
x > 3  פרבולה יורדת.

2.זיהוי תחומי עליה וירידה כאשר גרף הפרבולה לא נתון

לפעמים נקבל משוואת פרבולה ונצטרך על פי המשוואה למצוא את תחומי העליה והירידה (וללא שנקבל גרף).

במקרה זה נהוג לשרטט סקיצה של פרבולה וכך לקבוע את תחומי העליה והירידה.
השלבים שעל פיהם נפעל:

אתם מורים פרטיים?
אני מציע פרסום תמורת עבודת שדרוג קטנה באתר וללא תשלום.
פרטים כאן

  1. מזהים אם זו פרבולה עם נקודת מינימום (מחייכת) או בוכה (מקסימום).
  2. מוצאים את ערך ה x של קודקוד הפרבולה.
  3. משרטטים סקיצה מהירה.
  4. קובעים על פי הגרף את תחומי העליה והירידה.

הערה
אם השאלה משלבת גם סעיף על תחומי חיוביות ושליליות הסקיצה שאנו צריכים לשרטט מורכבת קצת יותר ממה שנכתוב כאן וניתן ללמוד אותה בדף תחומי חיוביות ושליליות של פרבולה או בדף גרף של פרבולה.

דוגמה
מצאו את תחומי העליה והירידה של הפרבולה
f (x) = x²  + 4x – 6

פתרון
שלב 1: האם זו פרבולת מינימום או מקסימום
זו פרבולת מינימום (מחייכת) אם המקדם של x² חיובי.
זו פרבולת מקסימום (בוכה) אם המקדם של x² שלילי.
פרבולה זו היא פרבולת מינימום כי המקדם של x² הוא חיובי (המקדם הוא 1).

שלב 2: ערך ה x של הקודקוד.
ערך ה x של קודקוד הפרבולה מקבל על ידי הנוסחה
קודקוד הפרבולה

שלב 3: שרטוט סקיצה
על פי נקודת הקודקוד ופרבולת מינימום נשרטט סקיצה.
סקיצה של פרבולה

(את ערך ה y של הקודקוד אנו לא יודעים והוא גם לא חשוב לנו. מה שחשוב לנו זה למקם את הקודקוד ביחס לציר ה x).

שלב 4: פתרון
נסתכל על גרף הפרבולה משמאל לימין.
ניתן לראות שמשמאל לקודקוד הפרבולה יורדת.
לכן:
x < -2
הוא תחום הירידה.

ומימין לקודקוד הפרבולה עולה
לכן
x > -2
זה תחום עלייה.

3.תרגילים

בתרגילים 1-3 נתונה ערך הקודקוד וסיקצה.
בתרגילים 3-6 צריך לשרטט סקיצה.

תרגיל 1
בפרבולה הבאה נקודת הקודקוד נמצאת ב x =2.
מהם תחומי העליה והירידה של הפרבולה הזו?

גרף הפרבולה

פתרון
אם נסתכל על הגרף כולו משמאל לימין נראה שבהתחלה הגרף יורד עד שהוא מגיע אל הנקודה x = 2
לכן נרשום
x < 2 תחום ירידה.

ומשמאל ל x = 2 הגרף עולה.
לכן נרשום
x > 2 תחום עליה.

פתרון בדרך השנייה:
נסתכל על הקודקוד ב x = 2.
מצד שמאל לקודקוד הפונקציה יורדת. ולכן תחום הירידה הוא x < 2.
מצד ימין של הקודקוד הפונקציה עולה ולכן תחום העליה הוא x > 2

תרגיל 2
בפרבולה הבאה נקודת הקודקוד נמצאת ב x = -1.
מהם תחומי העליה והירידה של הפרבולה הזו?

גרף הפרבולה

פתרון
בהסתכלות משמאל לימין אנו רואים שהפרבולה עולה עד הנקודה x = -1 ואז יורדת.
לכן:
x < -1 תחום עליה.
x > -1 תחום ירידה.

פתרון בדרך השנייה
נסתכל על הקודקוד ב x = -1.
מצד שמאל הפונקציה עולה ולכן תחום העליה הוא x < -1.
מצד ימין הפונקציה יורדת ולכן תחום הירידה הוא x > -1.

תרגיל 3
בפרבולה הבאה נקודת הקודקוד נמצאת ב x =0.
מהם תחומי העליה והירידה של הפרבולה הזו?

גרף הפרבולה

פתרון
בהסתכלות על הגרף משמאל לימין אנו רואים שהפרבולה יורדת עד x = 0 ועולה מימין ל x= 0.
לכן:
x < 0  הפרבולה יורדת.
x > 0 הפרבולה עולה.

פתרון בדרך השנייה
נסתכל על הקודקוד ב x = 0.
מצד שמאל הפרבולה יורדת ולכן תחום הירידה הוא x < 0
מצד ימין הפרבולה עולה תחום העליה הוא x > 0.

תרגיל 4
מתי הפרבולה f(x)= -x²+6x+10 עולה ומתי יורדת?

פתרון
שלב 1: מציאת ערך ה x של הקודקוד
ערך ה x של קודקוד הפרבולה.
קודקוד פרבולה

3
x=3

שלב 2: זיהוי מינימום / מקסימום
זאת פרבולה עם נקודת מקסימום המקדם של x² הוא שלילי
a = -1<0

שלב 3: שרטוט סקיצה
נשרטט סקיצה של הפרבולה.

סקיצה של הפרבולה

ניתן לראות בסקיצה כי כאשר:
x<3 הפרבולה עולה.
x>3 הפרבולה יורדת.

תרגיל 5
מצאו את תחומי העליה והירידה של הפרבולה
f(x) = -2x²+1.

פתרון
שלב 1: מציאת ערך ה x בקודקוד.
כאשר b אינו רשום זה אומר שערכו 0.

קודקוד פרבולה
x = 0
x=0

שלב 2: זיהוי האם זו פרבולת מינימום או מקסימום
a = -2 <0 ולכן פרבולת מקסימום.

שלב 3: שרטוט סקיצה

סקיצה של גרף הפרבולה

ניתן לראות בסקיצה כי כאשר:
x<0 עולה.
x>0 יורדת.

 תרגיל 6
מצאו את תחומי העליה והירידה של הפרבולה
f(x) = x²+2x-8

פתרון
שלב 1: מציאת ערך ה x בקודקוד הפרבולה
ערך ה x בנקודת הקודקוד הוא:
קודקוד פרבולה

x = -2 /2= -1.

שלב 2: זיהוי מינימום / מקסימום
a=1>0 ולכן זו נקודת מינימום.

שלב 3: שרטוט סקיצה

סקיצה של גרף הפרבולה

ניתן לראות בסקיצה כי כאשר:
x< -1 פרבולה יורדת.
x> -1 פרבולה עולה.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.