דמיון משולשים

נושא דמיון משולשים הוא נושא מאוד חשוב, אין בגרות ברמת 4-5 יחידות שבה לא נעשה שימוש בדמיון משולשים.

כאן באתר נושא דמיון המשולשים חולק ל 3:

  1. דמיון משולשים משפטים והוכחה – כיצד להוכיח שמשולשים הם דומים.
  2. יחס הדמיון – מה עושים לאחר שהוכחנו שהמשולשים דומים.
  3. דמיון משולשים כיתה י – נושאים מתקדמים.

דף זה הוא על החלק השני: יחס הדמיון והשימושים שלו.
לכן אם אתם עדיין לא מכירים את משפטי הדמיון עליכם לעבור לדף דמיון משולשים משפטים והוכחה.

דף זה נכתב כך שאם תעברו עליו ותבינו אותו בסופו תדעו את החומר בצורה טובה מאוד (עבור תלמידי כיתה ח).
החלקים של דף זה הם:

  1. כיצד מזהים צלעות מתאימות בין משולשים דומים.
  2. מה זה יחס הדמיון?
  3. כיצד מוצאים את יחס הדמיון?
  4. מה השימושים של יחס הדמיון?
  5. יחס הדמיון ויחס השטחים של משולשים דומים.
  6. יחסי דמיון "קשים" (לא עגולים).
  7. תרגילים + תרגילים מסכמים. לכל התרגילים פתרון כתוב ופתרון וידאו. אם תדעו לפתור את התרגילים אתם במצב טוב.
  8. נספח: תרגילים מעבר לרמה הנדרשת בכיתה ח.

בגלל חשיבות הנושא דף זה מושקע במיוחד.
הושקע בו זמן לאורך שנים וכל חלק מלווה גם בהסבר וידאו.

בנוסף יש שני דפים נוספים העוסקים במציאת זווית, יכולת חשובה מאוד אם תרצו לדעת להוכיח דמיון משולשים בתרגילים קשים יותר:

  1. מציאת זווית.
  2. מציאת זוויות חלק ב.

1.כיצד מזהים "צלעות מתאימות" בין משולשים דומים?

על מנת להצליח לפתור תרגיל בנושא דמיון משולשים אתם חייבים להבין את המושג "צלעות מתאימות"
בחלק זה אנו נלמד רק איך מזהים צלעות מתאימות בין משולשים דומים.
בחלק הבא נלמד אלו שימושים יש לצלעות מתאימות.

מהן צלעות מתאימות?
יש חשיבות עצומה לסדר כתיבת האותיות בדמיון משולשים.
ABC ∼KLH
כאשר כותבים בצורה כזו זה אומר
הצלע AB – האותיות נמצאות במקומות 1,2 לכן הצלע המתאימה לה היא KL.
הצלע AC – האותיות נמצאות במקומות 1,3. לכן הצלע המתאימה לה היא KH.
הצלע BC – האותיות נמצאות במקומות 2,3 לכן הצלע המתאימה היא LH.

כאשר אתם מחפשים צלעות מתאימות:

  1. תמיד תסתמכו על סדר האותיות בכתיבת דמיון המשולשים.
  2. אף פעם אל תסתמכו על שרטוט המשולשים / מראה עיניים.

תרגיל
GRD ∼ KAS
מצאו את הצלעות המתאימות ל:
⇒ GD
⇒ RD
⇒ RG

פתרון
GD ⇒  KS
RD ⇒  AS
RG ⇒  AK

2.מה הוא יחס הדמיון?

יחס הדמיון הוא תכונה של שני משולשים דומים המבטאת פי
כמה גדולה כל צלע במשולש אחד מהצלע המתאימה לה במשולש השני.

למשל, יחס הדמיון בין שני המשולשים הללו הוא 3, כי כל צלע במשולש השמאלי גדולה פי 3 מהצלע המתאימה לה.

באופן כללי ניתן לכתוב כי אם
ABC ∼ DEF
אז יחס הדמיון הוא:

3.כיצד מוצאים את יחס הדמיון?

עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את הגדלים שלהן ולחלק אחת בשנייה:
למשל בדוגמה שלמעלה ABC ∼ DEF
ולכן:

דוגמה
ידוע כי ABC ∼ FTR על פי הנתונים שבשרטוט

מצאו את יחס הדמיון.

פתרון
ABC ∼ FTR
שלב א: מציאת צלעות מתאימות שיודעים את הגודל של שתיהן
עבור TF הצלע המתאימה היא AB ואנו לא יודעים את גודלה של AB.
עבור TR הצלע המתאימה היא BC ואנו יודעים את גודל שתיהן לכן ניתן לחשב באמצעותן את יחס הדמיון.

שלב ב: חישוב יחס הדמיון
נחלק את הצלעות המתאימות.

תשובה: יחס הדמיון בין המשולשים ABC ל FTR הוא 1:4.
וזה אומר שכל צלע במשולש FTR גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.

שימו לב שניתן היה לכתוב את יחס הדמיון גם כך: FTR ל ABC הוא 4:1.

לסיכום מוצאים את יחס הדמיון בשני שלבים:

  1. נמצא שתי צלעות מתאימות (צלע אחת בכול משולש) שאנו יודעים את גודלן.
  2. נחלק אורך צלע אחת באורך צלע שנייה והתוצאה היא יחס הדמיון.

הנוסחה ליחס הדמיון היא צלע במשולש אחד לחלק בצלע המתאימה לה במשולש הדומה = יחס הדמיון

4.מה הם השימושים של יחס הדמיון?

בעזרת יחס הדמיון ניתן למצוא גדלים של צלעות ושטחים (וגם היקפים, גבהים תיכונים … אבל זה שימושי פחות).

נמצא צלע שאנו לא יודעים את גודל הצלע המתאימה שלה ונחשב את הצלע המתאימה בעזרת יחס הדמיון.
בתרגיל הקודם הצלעות שלא מצאנו את גודל הצלעות המתאימות שלהם היו:
TF = 8
AC = 3
ודמיון המשולשים היה:
ABC ∼ FTR
יחס הדמיון
1:4

הצלע המתאימה ל TF היא AB והיא קטנה ממנה פי 4
AB =2
הצלע המתאימה ל AC היא FR והיא גדולה ממנה פי 4 ולכן:
FR = 12

הערה
לרוב משתמשים ביחס הדמיון על מנת למצוא גדלים של צלעות (כפי שלמדנו עכשיו) או גדלים של שטחים (כפי שנלמד בסעיף הבא).
אבל יש משפט המאפשר למצוא גם דברים נוספים.
משפט זה אומר:
"בין שני משולשים דומים היחס של ההיקפים / גבהים / תיכונים / חוצי זווית הוא כיחס הדמיון".

5.יחס השטחים ויחס הדמיון

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

מעבר מיחס הדמיון ליחס השטחים
לכן אם נקבל את יחס הדמיון של משולשים דומים נעלה בריבוע את שני המספרים המרכיבים את יחס הדמיון ונקבל את יחס השטחים.

דוגמאות
יחס דמיון  1:3   יחס שטחים 3² : 1² (שווה ל 1:9).

יחס דמיון 3:5  יחס שטחים  3²:5²  (שווה ל 9:25).

מעבר מיחס השטחים ליחס הדמיון
אם נקבל את יחס השטחים נוציא שורש לשני רכיבי היחס ונקבל את יחס הדמיון.

יחס שטחים  1:16   יחס דמיון  16√ : 1√  (שווה ל 1:4).

יחס שטחים 4:9  יחס דמיון   9√ : 4√  (שווה ל 2:3).

לפעמים יחס השטחים יהיה רשום בצורה הזו:

גם במקרה כזה נוציא שורש לשני הרכיבים ונקבל כי יחס הדמיון בין משולש ABC למשולש DEF הוא 100√ : 4√.
כלומר יחס הדמיון הוא:
2:10.

מה ניתן ללמוד מכך?
אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 1:4 ושטח המשולש הקטן הוא 10 סמ"ר.
אז:
יחס השטחים הוא 1:16
ושטח המשולש הגדול הוא
160 = 16 * 10

אם יחס השטחים של משולשים דומים הוא 1:9.
ואורך צלע במשולש הגדול הוא 27 סנטימטר.
אז:
יחס הדמיון הוא 1:3.
ואורך הצלע המתאימה במשולש הקטן הוא:
9 = 27:3

דוגמאות נוספות לקשר שבין יחס הדמיון ליחס השטחים

*6.יחסי דמיון קשים

כאשר יחסי הדמיון פשוטים, למשל 1:4 קל לנו לעבור מגודל של צלע משולש אחד לצלע משולש שני.
כל שעלינו לעשות הוא להכפיל או לחלק פי 4.

אבל מה נעשה כאשר יחס הדמיון הוא 3:7?

תשובה
אם ידועה לנו הצלע הגדולה ואנו רוצים למצוא את הצלע המתאימה הקטנה נכפיל את הצלע הגדולה פי

אם ידועה הצלע הקטנה ואנו רוצים למצוא את הצלע המתאימה במשולש הגדול נכפיל את הצלע הקטנה פי:

יחס השטחים הוא:

ואם נקבל את שטח המשולש הגדול נכפיל ב 9/49 על מנת לקבל את שטח המשולש הקטן.
ואם נקבל את שטח המשולש הקטן נכפיל ב 49/9 על מנת לקבל את שטח המשולש הגדול.

דוגמה
ידוע כי ABC ∼ DEF.
יחס הדמיון הוא 5:9 כאשר DEF הוא המשולש הגדול יותר.
ידוע כי:
DF = 27
BC = 20
SABC = 50 סמ"ר.

  1. חשבו את הצלעות המתאימות ל DF,BC.
  2. חשבו את שטח משולש DEF.

פתרון
הצלע המתאימה ל DF היא AC כאשר DF היא הגדולה ביותר.
לכן ומכוון שיחס הדמיון שווה ליחס בין צלעות מתאימות ניתן לכתוב את המשוואה.

הצלע המתאימה ל BC היא EF כאשר BC היא הקטנה יותר.

חישוב השטחים:
SABC = 50 סמ"ר.
SDEF גדול יותר.

7.תרגילים

בחלק זה 9 תרגילים.
תרגילים 1-4 הם תרגילי הכנה שנועדו לוודא שאתם יודעים את החומר.
תרגילים 5-9 הם תרגילים מסכמים, אם תדעו לפתור אותם זה טוב.

לכל התרגילים יש פתרון וידאו לאחר הפתרון הכתוב.

בהתחלה יופיעו כל התרגילים ברצף, לאחר מיכן יופיעו התרגילים עם הפתרונות שלהם.

תרגיל 1 (טבלה ויחס הדמיון נתון)
ידוע כי ABC ∼ DEF.
יחס הדמיון בין משולש DEF למשולש ABC הוא 1:5
(ABC הוא המשולש הגדול יותר)
השלימו את הטבלה הבאה:

צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC61575
משולש DEF2

תרגיל 2: השלמת טבלה

צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC2410
משולש DEF20160

תרגיל 3: השלמת טבלה

צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC4510
משולש DEF36

*תרגיל 4
ידוע כי המשולשים ABC ∼ DEF
רשומים כאן יחסי שטחים בין משולשים.
רשמו את יחס הדמיון בן המשולשים וחשבו את הנדרש.


  1. חשבו את יחס הדמיון.
    אם צלע AB = 17 סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה.
    היקף משולש DEF הוא 20 סנטימטר, מצאו את היקף משולש ABC.

  2. חשבו את יחס הדמיון.
    אם ED = 24 סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה.
  3. *
    חשבו את יחס הדמיון.
    אם צלע EF = 6  סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה.

תרגיל 5
יחס הדמיון בין המשולשים ABC ∼ KFT הוא 3 : 1 (כאשר KFT הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר).
ידוע כי צלעות משולש ABC הן AB = 2, AC=4, BC = 5 סנטימטר.
מצאו את אורכם של הצלעות  FT,  TK

תרגיל 6
נתונים המשולשים הדומים ATG∼FRE.
אורכי הצלעות הן: AT=8, TG=12, RE=6, FE=3.

  1. מצאו את יחס הדמיון של המשולשים.
  2. השלימו בכול משולש את גדלי צלעות שלושת המשולשים.

שרטוט דמיון המשולשים

תרגיל 7 (יחס דמיון שלא ניתן לצמצם)
יחס הדמיון בין המשולשים DEF ∼ KHT הוא 3:7
DE = 3,  HT = 14,  TK =21
חשבו את אורכי הצלעות החסרות.

תרגיל 8: מציאת יחס הדמיון וחישוב השטחים
נתונים המשולשים הדומים ABC ∼ EDF.
AC = 12,  AB= 9, DF = 2, ED = 3

  1. חשבו את יחס הדמיון בין המשולשים.
  2. שטח משולש ABC הוא 24 סמ"ר. חשבו את שטח משולש DEF.

דמיון משולשים שטח

תרגיל 9
נתון כי היחס בין שטחי משולשים דומים ΔABC ∼ ΔDEF  הוא 1/4.

 היחס בין שטחי משולשים דומים ΔABC ∼ ΔDEF הוא 1/4.

  1. אם שטח ΔDEF הוא 8 סמ"ר מה הוא שטחו של ΔABC?
  2. מה הוא יחס הדמיון בין המשולשים?
  3. נתון כי אורך הצלע BC הוא 6 ס"מ. מצאו את אורך הצלע המתאימה במשולש ΔDEF.

פתרונות

תרגיל 1 (טבלה ויחס הדמיון נתון)
ידוע כי ABC ∼ DEF.
יחס הדמיון בין משולש DEF למשולש ABC הוא 1:5
(ABC הוא המשולש הגדול יותר)
השלימו את הטבלה הבאה:

צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC61575
משולש DEF2

פתרון
כל צלע במשולש ABC גדולה פי 5 מהצלע המתאימה לה במשולש DEF.

כמו כן יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:
25 = 5²
כלומר שטח משולש ABC גדול פי 25 משטח משולש DEF.
לכן הטבלה המלאה תראה כך:

צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC6101575
משולש DEF1.22325

תרגיל 2 (טבלה שבה צריך למצוא את יחס הדמיון)
בטבלה מוצגים נתונים של המשולשים הדומים ABC ∼ DEF.

  1. השלימו את הנתונים החסרים בטבלה.
  2. קבעו מה היקף כל אחד מהמשולשים.
צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC2410
משולש DEF20160

פתרון
סעיף א: השלמת הטבלה
על מנת למצוא את יחס הדמיון בטבלה עלינו למצוא מקום בטבלה שבו יש לנו מידע על שני המשולשים וזה השטח.
אנו רואים ששטח משולש אחד גדול פי 16 משטח משולש שני.
יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים:
4 = 16√
יחס הדמיון הוא 1:4.
כל צלע במשולש הגדול גדולה פי 4 מצלע במשולש הקטן.
לכן הטבלה תראה כך:

צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC24510
משולש DEF81620160

סעיף ב: חישוב ההיקף
על פי הנתונים בטבלה ניתן לראות שהיקף משולש ABC הוא:
11 = 5 + 4 + 2
היקף משולש DEF הוא:
44 = 20 + 16 + 8

תרגיל 3 (טבלה עם יחס דמיון "לא עגול")
ידוע כי ABC ∼ DEF
מצאו את יחס הדמיון על פי הטבלה והשלימו את החלקים החסרים.

צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC4510
משולש DEF36

פתרון
יחס הדמיון נקבע על ידי שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלם.
במקרה הזה יחס הדמיון הוא:
4:6
וניתן לצמצם.
2:3
כל צלע במשולש DEF גדולה פי 1.5 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.
שטח משולש DEF גדול פי:
2.25 = 1.5²

לכן הטבלה היא:

צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC24510
משולש DEF367.522.5

הערה
אלו ממכם שלא מסתדרים עם המשפט "כל צלע במשולש DEF גדולה פי 1.5 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC".
ניתן לכתוב למשל עבור מציאת הצלע הגדולה:

יחס הצלעות שווה ליחס הדמיון בין משולשים ולכן:

*תרגיל 4
ידוע כי המשולשים ABC ∼ DEF
רשומים כאן יחסי שטחים בין משולשים.
רשמו את יחס הדמיון בן המשולשים וחשבו את הנדרש.


  1. חשבו את יחס הדמיון.
    אם צלע AB = 17 סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה.
    היקף משולש DEF הוא 20 סנטימטר, מצאו את היקף משולש ABC.

  2. חשבו את יחס הדמיון.
    אם ED = 24 סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה.
  3. *
    חשבו את יחס הדמיון.
    אם צלע EF = 6  סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה.

פתרון
על מנת למצוא יחס הדמיון נוציא שורש לכל אחד מהיחסים שקיבלנו.

תרגיל א

על מנת לחשב את יחס הדמיון נוציא שורש לשני חלקי יחס השטחים:

חישוב הצלע המתאימה ל AB
יחס הדמיון הוא 4:1 כאשר משולש ABC הוא הגדול יותר.
הצלע המתאימה ל AB היא DE והיא קטנה ממנה פי 4.
DE = 17:4 = 4.25

חישוב היקף משולש ABC
היקף משולש DEF הוא 20 סנטימטר והוא המשולש הקטן.
יחס ההיקפים הוא כיחס הדמיון ולכן היקף משולש ABC הוא:
80 = 4 * 20

תרגיל ב

על מנת לחשב את יחס הדמיון נוציא שורש לשני חלקי יחס השטחים:

יחס הדמיון הוא 2:10.
ניתן לצמצם ולקבל את היחס 1:5.
הצלע המתאימה ל ED היא BA והיא קטנה ממנה פי 5.
BA = 245 = 4.8

תרגיל ג

על מנת לחשב את יחס הדמיון נוציא שורש לשני חלקי יחס השטחים:

יחס הדמיון הוא 3:5
הצלע המתאימה ל EF היא BC כאשר BC היא הקטנה יותר.
EF = 6

היחס של צלעות מתאימות הוא כיחס הדמיון:

תרגילים מסכמים

תרגיל 5
יחס הדמיון בין המשולשים ABC ∼ KFT הוא 3 : 1 (כאשר KFT הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר).
ידוע כי צלעות משולש ABC הן AB = 2, AC=4, BC = 5 סנטימטר.
מצאו את אורכם של הצלעות  FT,  TK

פתרון
עבור הצלע FT
האותיות של הצלע FT נמצאות במקומות 2-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא הצלע BC שאורכה 5 סנטימטר.
הצלע FT גדולה פי 3 ולכן אורכה 15 סנטימטר.

ניתן למצוא את הצלע FT גם על ידי בניית המשוואה הבאה.
היחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון, לכן:

FT = 3BC
FT = 3 * 5 = 15

עבור הצלע TK
האותיות של הצלע TK נמצאות במקומות 1-3.
לכן הצלע המתאימה לה היא AC שגודלה 4 סנטימטר.
TK גדולה ממנה פי 3 ולכן גודלה 12 סנטימטר.

ניתן למצוא את הצלע FT גם על ידי בניית המשוואה הבאה.
היחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון, לכן:

TK = 3AC
TK = 3 * 4 = 12

תרגיל 6
נתונים המשולשים הדומים ATG∼FRE.
אורכי הצלעות הן: AT=8, TG=12, RE=6, FE=3.

  1. מצאו את יחס הדמיון של המשולשים.
  2. השלימו בכול משולש את גדלי צלעות שלושת המשולשים.

שרטוט דמיון המשולשים

פתרון
סעיף א: מציאת יחס הדמיון
נחלק את ארבעת הצלעות לשני המשולשים, על מנת שיהיה יותר קל לזהות צלעות מתאימות.
הצלעות  AT=8, TG=12 שייכות ל ATG.
הצלעות RE=6, FE=3 שייכות ל FRE.

נחפש צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלם.
AT ⇒ FR אנו לא יודעים את הגודל של FR.
TG ⇒ RE ואנו יודעים את הגודל של שתיהן ולכן ניתן ללמוד מיהם את יחס הדמיון.

2

יחס הדמיון של המשולשים הללו הוא 2. כלומר כל צלע / תיכון / חוצה זווית / גובה במשולש ATG גדולה פי 2 מהצלע המתאימה להם במשולש FRE.

סעיף ב: מציאת הגודל של הצלעות הנוספות
מציאת הצלע המתאימה ל AT
AT ⇒ FR אלו צלעות מתאימות.
AT=8
FR קטנה פי 2, לכן:
FR = 0.5AT
FR = 8* 0.5 = 4

דרך נוספת ומפורטת יותר למציאת FR היא:
היחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון, לכן:

מציאת הצלע המתאימה ל FE
FE ⇒ AG
FE=3
AG גדולה פי 2.
AG = 2 * FE
AG = 2 * 3 = 6

דרך נוספת ומפורטת יותר למציאת AG היא:
היחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון, לכן:

AG = 2 * FE
AG = 2 * 3 = 6

 

תרגיל 7 (יחס דמיון שלא ניתן לצמצם)
יחס הדמיון בין המשולשים DEF ∼ KHT הוא 3:7
DE = 3,  HT = 14,  TK =21
חשבו את אורכי הצלעות החסרות.

פתרון
עבור הצלע DE
DE  ⇒ KH הן צלעות מתאימות.
DE = 3
על פי יחס הדמיון ניתן לבנות את המשוואה:

נפתור את המשוואה:

KH = 7.

עבור הצלע HT
HT ⇒ EF  אלו צלעות מתאימות.
HT = 14
על פי יחס הדמיון ניתן לבנות את המשוואה:

EF = 6

עבור הצלע TK
TK ⇒ FD  אלו צלעות מתאימות.
TK =21
על פי יחס הדמיון ניתן לבנות את המשוואה

FD = 9

תרגיל 8: מציאת יחס הדמיון וחישוב השטחים
נתונים המשולשים הדומים ABC ∼ EDF.
AC = 12,  AB= 9, DF = 2, ED = 3

  1. חשבו את יחס הדמיון בין המשולשים.
  2. שטח משולש ABC הוא 24 סמ"ר. חשבו את שטח משולש DEF.

דמיון משולשים שטח

פתרון
(לתרגיל זה פתרון ודאו לאחר הפתרון הכתוב)
סעיף א: מציאת יחס הדמיון
ABC ∼ EDF
על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את אורכן.
במשולש ABC אנו יודעים: AC = 12,  AB= 9.
במשולש EDF אנו יודעים: DF = 2, ED = 3.

הצלעות המתאימות הן: AB= 9 ו- ED = 3.
יחס הדמיון בין משולש ABC למשולש EDF הוא:
3 = 3 : 9

סעיף ב: חישוב שטח משולש EDF
נחשב את היחס בין השטחים
היחס בין השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון
9 = 3²

נחשב את שטח משולש EDF
שטח משולש
ABC הוא 24 סמ"ר וגדול פי 9 משטח משולש EDF.
SEDF = 24 : 9 = 2.666
תשובה: שטח משולש EDF הוא 2.666 סמ"ר.

דרך נוספת למצוא את SEDF  היא לבנות את המשוואה בצורה הזו.
יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון ולכן:

תרגיל 9
נתון כי היחס בין שטחי משולשים דומים ΔABC ∼ ΔDEF  הוא 1/4.

 היחס בין שטחי משולשים דומים ΔABC ∼ ΔDEF הוא 1/4.

  1. אם שטח ΔDEF הוא 8 סמ"ר מה הוא שטחו של ΔABC?
  2. מה הוא יחס הדמיון בין המשולשים?
  3. נתון כי אורך הצלע BC הוא 6 ס"מ. מצאו את אורך הצלע המתאימה במשולש ΔDEF.

פתרון
(לתרגיל זה פתרון וידאו לאחר הפתרון הכתוב)

מציאת שטח משולש ABC
נציב את המספר 8 במשוואה הרשומה למעלה:

היחס בין שטחי המשולשים הוא 1/4

SΔABC = 4 * 8 = 32

סעיף ב: מציאת יחס הדמיון
יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.
לכן אם נוציא שורש ליחס בין שטחי המשולשים (1/4) נקבל את יחס הדמיון.
0.5 = 0.25√
תשובה יחס הדמיון הוא 1:2.
המשמעות היא שכל צלע במשולש ABC גדולה פי 2 מהצלע המתאימה לה במשולש DEF.

סעיף ג: מציאת אורך הצלע המתאימה ל- BC=6
הדמיון רשום כך:
ΔABC ∼ ΔDEF.
לכן הצלע המתאימה ל- BC היא EF. כמו כן המשולש ABC גדול יותר.
EF=BC/2
EF = 6 / 2 = 3

מרגישים שאתם יודעים את החומר? בדקו את זה בדף דמיון משולשים בוחן.

נושאים נוספים באתר:

 נספח: תרגילים קשים יותר

בחלק זה תרגילים קשים יותר, לרוב הם מעבר לרמה הנדרשת בכיתה ח.

תרגיל 1: מציאת יחס הדמיון ושימוש בו
נתונים משולשים דומים ΔABC ∼ ΔDEF נתונים אורכי הצלעות:
AB=6 , BC=5, AC=3 וגם DE=12 (אורכי הצלעות בס"מ).
אורכו של הגובה DG הוא 5 ס"מ.

  1. מצאו את יחס הדמיון של המשולשים.
  2. מצאו את אורכי צלעות משולש DEF.
  3. מי הוא הגובה המתאים לגובה DG? ומה אורכו?
  4. מצאו את שטח משולש ΔDEF וגם את שטח משולש ΔABC.

נתוני השאלה

תשובות סופיות

  1.  יחס הדמיון הוא 2.
  2. FE=10 ס"מ.  FD=6  ס"מ.
  3. AH=2.5 ס"מ.
  4. שטח משולש ΔDEF הוא 25 סמ"ר
    שטח משולש ΔABC הוא 6.25 סמ"ר.

פתרון מלא
סעיף א:  מציאת יחס הדמיון
על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.
במשולש ΔDEF נתונה לנו רק הצלע 12=DE, נחפש את הצלע הדומה לה:
ΔABC ∼ ΔDEF
DE נמצאת במקומות 1,2 וגם הצלע AB נמצאות במקומות 1,2.
לכן אלו צלעות דומות.
DE:AB=12:6=2.
יחס הדמיון הוא 2. כלומר כל צלע במשולש ΔDEF גדולה פי 2 מהצלע המתאימה לה במשולש ΔABC.

סעיף ב: מציאת אורכי צלעות DEF.
במשולש ABC אנו יודעים את שלושת הצלעות.
AB=6 , BC=5, AC=3
אנו יודעים שהצלעות במשולש ABC קטנות פי 2 מהצלעות במשולש DEF.
לכן ניתן למצוא את שלושת צלעות משולש DEF על ידי הכפלת צלעות ABC פי 2.

FE=CB*2=5*2=10 ס"מ.
FE = 10
FD=AC*2=3*2=6  ס"מ.
FD = 6
הצלע השלישית DE ידועה לנו מהנתונים:
12=DE

סעיף ג: גבהים במשולשים דומים
הגובה המתאים לגובה DG הוא הגובה היוצא מהקודקוד המתאים לקודקוד D וזה הקודקוד A.
לכן נקרא לגובה זה AH.
היחס בין הגבהים במשולשים דומים הוא כיחס הדמיון, 2 במקרה זה.
AH=DG/2=5/2=2.5 ס"מ.

סעיף ד: חישוב שטחי המשולשים
ניתן לחשב את את שטח משולש ΔDEF על פי הנוסחה של צלע כפול גובה לצלע לחלק ב 2.
25=50/2=2/ (10*5)=EF*DG) / 2)

שטח משולש ΔDEF הוא 25 סמ"ר.
יחס שטחי המשולשים הוא כריבוע יחס הדמיון 2²=4.
לכן שטח משולש ABC שווה ל:
SABC = 25 : 4 = 6.25
תשובה: שטח משולש ΔABC הוא 6.25 סמ"ר.

תרגיל 2: הוכחת דמיון, שימוש בדמיון המשולשים
במשולש ישר זווית ΔABC  (זווית B=90∠) מעבירים גובה BD אל היתר.
A=35∠.
א. השלימו את הזוויות בכול המשולשים.
ב. הוכיחו כי קיימים משולשים הדומים למשולש ΔABC.
ג. הוכיחו: AD * DC = DB * BD.

פתרון

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים במשולש ישר זווית

תשובות סופיות
א. C=55, ∠CBD=35, ∠ABD=55∠
ב. ΔABC ∼ ΔADB ∼ ΔBDC
ג. הוכחה.

פתרון מלא

א. C=55∠ – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
CBD=35∠ – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBC.
ABD=55∠ – זווית משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBA.

ב. כך נראית השלמת הזוויות בשרטוט:

השלמת הזוויות בשרטוט

בשלושת המשולשים הזוויות הן: 90,55,35. לכן שלושת המשולשים חופפים על פי משפט ז.ז
ΔABC ∼ ΔADB ∼ ΔBDC

ג. על פי דמיון המשולשים מתקיים:
AD / BD = DB / DC
AD * DC = DB * BD

תרגיל 5
במשולש ΔABC מעבירים ישר DE כך ש DE ΙΙ BC. AD=8, DB=5, DE=6.
א. הוכיחו ומצאו איזה משולש דומה למשולש ΔABC.
ב. אורך של איזו צלע ניתן למצוא?
*ג. נתון EC=5. מצאו את אורכי AE ו AC

. שרטוט התרגיל, דמיון משולשים

פתרון א. נוכיח כי ΔABC ∼ΔADE.

  1. A∠ – היא זווית משותפת ושווה.
  2. ADE=∠ABC∠ – זוויות מתאימות ושוות בין ישרים מקבילים.
  3.  ΔABC ∼ΔADE על פי משפט דמיון ז.ז.

ב. על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו לדעת שתי צלעות מתאימות. בשאלה זו אלו הן AD=8, AB = 13.
יחס הדמיון הוא 8/13.
הנתון הנוסף הוא DE =6. מי הצלע המתאימה ל DE? זו BC.
לכן ניתן למצוא את אורכה של BC.
DE/BC= 8/13 BC = 13DE/8 BC= 13*6/8=9.75
תשובה: BC=9.75 ס"מ.

ג. EC=5 ס"מ.
הבעיה היא ש EC היא לא צלע באף אחד מהמשולשים.
אבל אם נגדיר את AE=X אז נוכל להגדיר שתי צלעות בשתי המשולשים בעזרת משתנה:
AE=X. AC=X+5.
ואז לבנות משוואה עם נעלם אחד:
X/X+5 = 8/13 13X = 8(X+5)=8X+40 13X=8X+40 /-8X 5X=40 /:5 X=8 AE=X=8 AC=X+5=13.
תשובה: AE=5, AC=13 ס"מ.

תרגיל 6
נתון ΔABC ∼ΔDEF .
כמו כן DE=8 ו AB=2 ס"מ.

  1. מצא פי כמה גדול השטח משולש DEF משטח משולש ABC ?
  2. אם אורכו של DH תיכון במשולש DEF הוא 10 מה אורכו של AG תיכון במשולש ABC?

שרטוט התרגיל בדמיון משולשים

פתרון

סעיף א.
ΔABC ∼ΔDEF
נמצא צלעות מתאימות בין המשולשים
האותיות AB נמצאות במקומות 1-2 וגם האותיות DE נמצאות במקומות 1-2.
לכן הצלעות AB ו- DE הן צלעות מתאימות.

נמצא את יחס הדמיון
יחס הדמיון שווה לחלוקה של צלעות מתאימות.
DE:AB = 8:2=4. כלומר כל צלע במשולש  ΔDEF גדולה פי 4 מהצלע המתאימה במשולש ΔABC.

נמצא את יחס השטחים
היחסים בין השטחים הם כריבוע היחס בין הצלעות לכן שטח משולש ΔDEF גדול פי 4² = 16 משטח המשולש ΔABC.

סעיף ב
היחס בין התיכונים במשולש שווה ליחס בין הצלעות (יחס הדמיון). לכן היחס בין תיכונים מתאימים במשולשים הללו הוא 4.
AG=DH:4=10:4=2.5
תשובה: AG=2.5 ס"מ.

תרגיל 7
בתוך משולש ΔABC מעבירים שני קווים מקבילים כך שנוצרים 3 משולשים דומים:
ΔABC ∼ ΔAFG ∼ΔADE
א. ידוע כי שטח משולש ΔAFG גדול פי 9 משטח משולש ΔADE. פי כמה גדולה הצלע FG מהצלע המתאימה לה במשולש ΔADE? מה יחס הדמיון בין משולש ΔAFG למשולש ΔADE?
ב. ידוע כי AD=2 ס"מ. DB=12 ס"מ.
פי כמה גדול שטח משולש ΔABC משטח משולש ΔADE?
פי כמה גדול שטח משולש ΔABC משטח משולש ΔAFG?
ג. רשמו את יחס הדמיון ויחס השטחים בין שלושת המשולשים (שורה אחת עם יחס הדמיון ושורה אחת עם יחס השטחים).

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים עם שני ישרים מקבילים

תשובות סופיות
א. FG גדולה פי 3 מהצלע DE. יחס הדמיון 3.
ב. SABC= 49SADE
SABC= (49/9)SAFG
ג. יחס השטחים הוא
1:9:49
יחס הדמיון הוא
49√ : 9 : 1

פתרון מלא

  1. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן אם יחס השטחים הוא 9 אז יחס הדמיון הוא 9√ =3.
    לכן FG גדולה פי 3 מהצלע DE.
  2. הצלע הדומה ל AD היא AB.
    AB=AD+DB=12+2=14
    יחס הדמיון בין המשולשים ΔABC ו ΔADE הוא:
    AB : AD = 14:2 = 7
    לכן יחס השטחים הוא 7²=49.
    SABC= 49SADE – זה יחס השטחים.
    נחשב את יחס השטחים בין ΔABC ו ΔAFG.
    SABC= (49/9)SAFG
  3. יחס השטחים הוא
    1:9:49
    יחס הדמיון הוא
    49√ : 9 : 1

תרגיל 8: דמיון משולשים במשולש ישר זווית
במשולש ישר זווית ΔABC (זווית B=90∠) העבירו גובה ליתר BD ⊥ AC.
א. הוכיחו כי נוצרו 2 משולשים הדומים למשולש ΔABC.
ב. האם המשולשים שנוצרו דומים גם בניהם?

דמיון משולשים במשולש ישר זווית

פתרון

  1. נגדיר A=α∠ ונשלים בעזרתה את הזוויות האחרות בכול המשולשים.
  2. C=90-α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔABC.
  3. DBC=α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBC.
  4. DBA=α∠ – משלימה ל 180 מעלות במשולש ΔDBA.

שרטוט הזוויות במשולש ישר זווית

כך נראות הזוויות שהשלמנו:  לכן על פי משפט דמיון ז.ז המשולשים הבאים דומים: ΔABC ∼ ΔBDC ∼ ΔADB כן, שני המשולשים שנוצרו דומים למשולש ΔABC וגם דומים אחד לשני על פי משפט דמיון ז.ז.

תרגיל 9
משולש ΔABC הוא משולש שווה שוקיים (BC=BA). בתוכו מעבירים את הישר CD כך ש CD=CA. BC=10, CA=6 ס"מ.
א. הוכיחו דמיון משולשים.
ב. מצאו את AD.

שרטוט התרגיל, דמיון משולשים במשולש שווה שוקיים

פתרון א. נוכיח כי ΔBCA ∼ ΔCDA

  1. נגדיר A=∠C=α∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ΔABC שוות זו לזו.
  2. ADC=∠A=α∠ – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ΔCDA שוות זו לזו.
  3.  ΔBCA ∼ ΔCDA על פי משפט דמיון ז.ז.

ב. נחשב את יחס הדמיון בין המשולשים. BC/CA=10/6=1.666 – זה יחס הדמיון.

מי הצלע המתאימה ל AD במשולש ΔBCA?
זו CA
. CA / AD = BC/ CA AD = CA² / BC=6²/10=3.6.

תשובה: AD= 3.6 ס"מ.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

43 thoughts on “דמיון משולשים

  1. דנה

    היי, כיצד עלי להוכיח את המשפט: ההיקפים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו הצלעות המתאימות.
    בבקשה תהנה כמה שיותר מהר ותודה מראש אתר מעולה!

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      נניח כי צלעות המשולש הקטן הן x,y,z.
      אם יחס הדמיון 4 אז צלעות המשולש הגדול הן 4x,4y,4z
      תחברי את צלעות משולש אחד ואת המשולש השני בנפרד ותראי שיוצא פי 4, פי יחס הדמיון.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום
      אני מבין שמדובר במשולשים דומים.
      הפתרון מתבסס על המשפט האומר שיחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.
      ואני אענה על שאלה דומה.
      אם שטח משולש אחד הוא 320 ושטח המשולש השני הוא 20 אז יחס השטחים הוא:
      16 = 20 :320
      16 שווה לריבוע יחס הדמיון.
      לכן יחס הדמיון שווה לשורש 16 שזה 4.
      תשובה 4.
      בהצלחה

  2. עילאי

    היי, יש לי שאלה שאני צריך שתענה לי עליה, בבקשה תענה עלייה כמה שיותר מהר. תודה מראש!
    השאלה בקישור הזה כי אין לי ממש איך לשאול אותך:

      1. עילאי

        אני אנסה להסביר. משולש ABE דומה למשולש CDE.
        א. מהו יחס הדימיון?
        ב. שטח משולש ABE הוא 15 סמ"ר.
        מהו שטחו של המשולש הדומה לו?

        1. לומדים מתמטיקה מאת

          אתה צריך למצוא שתי צלעות מתאימות שאתה יודע את אורכן. לחלק אותן אחת בשנייה וזה יחס הדמיון
          דוגמאות כאן
          http://www.m-math.co.il/geometry/triangle/similar-triangles-ratio/
          לגבי סעיף ב
          יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון. לכן אם יחס הדמיון הוא 3 אז יחס השטחים הוא 9.
          הסבר כאן
          http://www.m-math.co.il/geometry/similar-triangles-area/

  3. נועה

    האתר הכי טוב.. כל פעם כשאני צריכה עזרה במתמטיקה אני נכנסת לאתר הזה. בנוסף ההסברים מאוד טובים!!
    תודה ענקית!!

  4. עדי

    אם יש למ שאלה שבה אני צריכה להוכיח משולשים דומים, והצלחתי להוכיח שכל הצלעות של המשולש הקטן שוות לחצי מהשףצלעות של המשולש הגדול, האם אני יכולה להוכיח כך משולשים דומים או שחייבים להוכיח לפי משפט ז.ז.ז??

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום עדי
      אם מצאת פרופורציה שווה בין 3 צלעות את יכולה להשתמש במשפט דמיון שלישי: צ.צ.צ על מנת להוכיח דמיון ואין צורך להשתמש במשפט ז.ז (במשפט זה מספיקות 2 זוויות ואין צורך בשלושה).
      בהצלחה

  5. אלון-ןולא

    וואו.
    האתר הזה הציל לי את החיים בעניין מתמטיקה
    הייתי בפיגור ענקי לפני שמצאתי את האתר והתחלתי לצמצם את הפער בזכותך
    אני לא יודע איך להודות לך
    תבורך/כי ואני מקווה שאת/ה יודע/ת כמה את/ה עוזר לתלמידים שמרגישים אבודים בחומר :>

  6. חנה

    היי,אם נתון לי שמשולש א דומה למשולש ב
    ונותנים לי ששטח משולש א הוא 375 סמ"ר
    ושטח משולש ב הוא 15 סמ"ר
    איך קובעים את יחס הדמיון?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום חנה.
      יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.
      אז אם אנו יודעים את יחס השטחים עלינו לעשות את הפעולה ההפוכה לריבוע על מנת להגיע אל יחס הדמיון – וזו פעולת השורש.
      25 = 15 / 375 (25 הוא יחס השטחים).
      שורש של 25 הוא 5 – ו 5 הוא יחס הדמיון.
      כלומר כל צלע במשולש הגדול גדולה פי 5 מצלע במשולש הקטן.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      המשולשים אינם דומים כי על פי משפט הדמיון צ.צ.צ יחס הדמיון בין כל הצלעות צריך להיות זהה.
      יחס הדמיון בין הצלעות השוות הוא 1:1 ואם יחס הדמיון של הצלעות האחרות אינו כזה – המשולשים אינם דומים.

      1. מושי

        תודה ענקית עזרת לי מאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדדד תבורך !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.