פרבולה קורס מתקדם

באתר קורס בסיסי בנושא פרבולה.
וכאן בדף קורס מתקדם בנושא פרבולה.

לקורס 3 חלקים:

  1. קישורים לדפים.
  2. סיכום.
  3. 11 תרגילים מסכמים.

1.קישורים

  1. מציאת נקודות החיתוך של פרבולה וישר.
  2. פרבולה וישר חישוב שטחים.
  3. שתי פרבולות חיתוך ואי שוויונות.
  4. מציאת נקודות סימטריות.
  5. הזזה של פרבולה.
  6. הצגה סטנדרטית, קודקודית ומכפלה.
  7. משיק לפרבולה.
  8. בעיות בנייה של פרבולה
  9. פרבולה עם פרמטרים חסרים.
  10. פרבולה חיובית תמיד או שלילית תמיד.

2.סיכום בנושא פרבולה

1.חיתוך של פרבולה וישר או חיתוך של שתי פרבולות

אם נתונה פרבולה y=x²+10x-5
וישר y=3x-15
אז נקודות החיתוך שלהם מתקבלת על ידי פתרון המשוואה:
3x-15=x²+10x-5

אם נתונות שתי פרבולות
y=2x²+5x+8
y=x²-3x-7
אז נקודות החיתוך שלהם מתקבלות על ידי המשוואה.
2x²+5x+8 = x²-3x-7

סוג שאלה נוסף:
נתונה לנו משוואת פרבולה ומבקשים מאיתנו למצוא משוואת ישר מהסוג
y = k
שיש לה 0 או 1 או 2 נקודות חיתוך עם הפרבולה.

למשל פרבולת מקסימום שקודקודה נמצא ב y = 1.

במקרה זה:
y = 3 הוא דוגמה לישר עם 0 נקודות חיתוך (כתום).
y = 1  הוא ישר עם נקודת חיתוך אחת (אפור).
y = -1 הוא דוגמה לישר עם שתי נקודות חיתוך (אדום).

2. מציאת נקודות סימטריות על הפרבולה
נקודות סימטריות על פרבולה הן בעלות אותו ערך y וגם נמצאות במרחק שווה על ציר ה x מהקודקוד.
תרגיל לדוגמה:
מצאו את הנקודה הסימטרית לנקודה (7,8)  על הפרבולה שקודקודה הוא (4,2).
פתרון
נמצא את המרחק של הנקודה מהקודקוד על ציר ה x.
3 = 4 – 7
לכן גם הנקודה הסימטרית נמצאת במרחק 3 מהקודקוד
1 = 3 – 4
x = 1
כמו כן לנקודות סימטריות יש ערך y שווה, לכן y = 8
הנקודה הסימטרית היא:
(1,8).

3.הזזה של פרבולה
לפרבולה יש הזזה אנכית, וזו הזזה הנעשית לאורך ציר ה y.
הזזה זו תלויה במספר החופשי של משוואת הפרבולה (המספר שאינו מוכפל ב x).
למשל הפרבולה f (x) = x² + 2x + 2
נמצאת 3 יחידות מתחת לפרבולה  f (x) = x² + 2x + 5

לפרבולה יש הזזה אופקית
הזזה זו נקבעת על ידי הערך p במשוואת הפרבולה
f (x) = (x – p )² + c
למשל:
f (x) = (x – 2 )² + c
פרבולה זו זזה 2 צעדים ימינה מראשית הצירים.
f (x) = (x + 4 )² + c
פרבולה זו זזה 4 צעדים שמאלה מראשית הצירים.

גם למקדם של x² במשוואה הריבועית יש משמעות, ככול שהוא גדול יותר בערכו המוחלט כך השיפוע של הפרבולה גדול יותר.

4. הצגה סטנדרטית, קודקודית ומכפלה

הצגה סטנדרטית
y =ax² + bx + c
ניתן לעבור להצגה מהצגה קודקודית והצגת המכפלה על ידי פתיחת סוגריים.

הצגה קודקדית
y = a(x -p)² + c
כאשר p,c זו נקודת הקודקוד.
ניתן לעבור להצגה קודקודית על ידי מציאת קודקוד של פרבולה והצבתו במקום p,c.
במקום a נציב את המקדם של x².

למשל עבור הפרבולה
y = 2x² – 4x +5
הקודקוד הוא בנקודה
1,3
ולכן משוואתה בהצגה קודקדית היא:
y = 2(x -1)² + 3

הצגת מכפלה
(y = (x – t) * (x – k
נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
(0, t).
(k, 0)

ניתן לעבור להצגת מכפלה על ידי מציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x.
למשל עבור הפרבולה:
y = x² -3x – 10
נקודות החיתוך הן:
(2,0)   (0, 5-)
ולכן הצגת המכפלה היא:
(y (x + 5) (x – 2

*הערה: מכוון שהצגת המכפלה כוללת את נקודות החיתוך עם ציר ה x אז פרבולות ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x לא יכולות להיות מיוצגות בהצגת המכפלה.

5. מציאת משוואת פרבולה (פרמטרים חסרים)

שיטה ראשונה: הצבת נקודה במשוואת פרבולה
זו השיטה השימושית ביותר.
הכלל הבסיסי של מציאת פרמטר חסר במשוואת פרבולה הוא שאם ידועה לנו נקודה על הפרבולה מציבים את ערכי הנקודה במשוואת הפרבולה וכך מוצאים את הערך החסר.
למשל, אם יש לנו את הפרבולה f(x) = ax² + 3x – 5
העוברת בנקודה 2,3 אז נבנה את המשוואה הבאה:
a*2² + 3*2 – 5 = 3

שיטה שנייה: הצבה במשוואה למציאת נקודת הקודקוד
אם ידועה לנו נקודת הקודקוד אנו יכולים לבנות משוואה נוספת:
קודקוד הפרבולה

כלומר, אם ידועה לנו נקודת הקודקוד נוכל לבנות שתי משוואות עם שני נעלמים; משוואה אחת על ידי הצבה במשוואת הפרבולה ומשוואה שנייה על ידי הצבה במשוואת קודקוד הפרבולה.

שיטה שלישית: שימוש בנקודת החיתוך עם ציר ה y
כאשר ידועות לנו שתי נקודות ואנו צריכים למצוא שני פרמטרים נציב את שתי הנקודות במשוואת הפרבולה ונקבל שתי  משוואות עם שני נעלמים.
האם יש חשיבות לסדר הצבת הנקודות?
בדרך כלל לא.
אבל אם ידועה לנו נקודת החיתוך עם ציר ה y נציב את נקודה זו ראשונה וכך נמצא ישירות את הפרמטר c ונימנע משתי משוואות עם שני נעלמים.

למשל:
מצאו את משוואת הפרבולה f(x) = x² + bx + c העוברת בנקודות (4,10) ו (0,1).
פתרון
נציב קודם את הנקודה 0,1 במשוואת הפרבולה ונקבל:
c + 0² + b*0 = 1
c=1
ולאחר מיכן נציב את הנקודה 4,10
4b + 4² + 1 = 10
קיבלנו משוואה עם נעלם אחד במקום שתי משוואות עם שני נעלמים אילו היינו פועלים הפוך.

שיטה רביעית:הקשר בין מספר פתרונות המשוואה הריבועית למספר נקודות החיתוך עם ציר ה x
f (x) = x² + bx + 16
משוואה של פרבולה היא משוואה ריבועית.
מספר נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x הם מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית.
לכן, אם אומרים לנו שלפרבולה שלמעלה יש פתרון יחיד זה אומר שצריך להתקיים:
b² – 4 *1*16 = 0
b² = 64
b = 8,  b = -8

6. חישוב שטח משולש

בחלק משאלות על פרבולה אתם נדרשים לחשב שטח משולש.
הרעיון הוא שמתוך 3 הקודקודים של המשולש 2 יצרו ישר המקביל לצירים ואתם תחשבו את האורך של ישר זה.
ואז ניתן בקלות יחסית לחשב את הגובה אל ישר זה.

למשל בשרטוט המצורף נחשב את האורך של הצלע AB
ואז את המרחק של C מציר ה x.

משולש שאתם צריכים לדעת לחשב את השטח שלו

ובשרטוט המצורף נחשב את אורך הצלע AC
ואז את המרחק של הנקודה B מהישר x = -2.

שטח משולש שאתם צריכים לדעת לחשב

7.פרבולה חיובית תמיד או שלילית תמיד
על מנת שהפרבולה f(x) = ax² + bx + c תהיה חיובית תמיד צריך להתקיים:
b² – 4ac < 0  (ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x)
a > 0  (פרבולת מינימום)

ועל מנת שהפרבולה תהיה שלילית תמיד צריך להתקיים
b² – 4ac < 0  (ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x)
a < 0  (פרבולת מקסימום).

דוגמה לפרבולה חיובית תמיד (אדומה) ופרבולה שלית תמיד (השחורה) והתנאים שצריכים להתקיים.

2.תרגילים

בחלק זה 11 תרגילים מסכמים.

תרגיל 1 (חיתוך של ישר ופרבולה)
1.כתבו משוואה עם נעלם אחד שבעזרתה ניתן למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה y= x² – 3x + 8 עם הישר y = 2x +2 (אין צורך בפתרון מלא, רק לבנות משוואה).
2. כמה נקודות חיתוך יכולות להיות בין ישר ופרבולה?

פתרון
y= x² – 3x + 8
y = 2x +2

אלו שתי משוואות עם שני נעלמים שניתן לפתור בשיטת ההצבה על ידי המשוואה הזו:
x² – 3x + 8 = 2x + 2
x² – 5x + 6 = 0

זו משוואה ריבועית שהפתרונות שלה הם x = 2,  x = 3.
ואלו ערכי ה x של נקודות החיתוך של הישר והפרבולה.

על מנת למצוא את ערכי ה y נציב x = 2,  x = 3 במשוואת הישר ונמצא את y
למשל:
y=2*3+2=8
y=8
(2,8)

סעיף ב: בין ישר לפרבולה יכולות להיות 0 או 1 או 2 נקודות חיתוך.
המשמעות של 1 נקודת חיתוך היא שהישר משיק לפרבולה.

תרגיל 2 (הישר y=k)
1.עבור הישר y = 1 כתבו שתי פרבולות שאין להם נקודת חיתוך עמו פרבולה אחת עם נקודת מינימום ופרבולה אחת עם נקודת מקסימום.
2.כתבו משוואה של פרבולה שיש לה נקודת חיתוך אחת עם הישר y = -3.
ניתן לכתוב את משוואת הפרבולות בהצגה סטנדרטית או קודקודית (יותר נוח).

פתרון
על מנת שלא יהיו נקודות חיתוך עם הפרבולה ניתן לבנות פרבולת מינימום (מחייכת) שערך ה y של הקודקוד שלה גדול מ 1.למשל:
y = x² + 3.

או פרבולת מקסימום (בוכה) שערך ה y שלה קטן מ 1. למשל:
y = -x².

 

סעיף ב: פרבולה המשיקה לישר y = -3
על מנת שפרבולה תשיק לישר y= -3 ערך ה y של הקודקוד צריך להיות 3-
זו יכולה להיות הפרבולה f (x) = x² – 3
או f (x) = – x² – 3

הפרבולות f (x) = x² - 3 ו f (x) = - x² - 3
הפרבולות f (x) = x² – 3 ו f (x) = – x² – 3

ואם נרצה לכתוב זאת בהצגה קודקודית ניתן לכתוב
f (x) = (x – p)² -3
או
f (x) = – (x – p)² -3
כאשר p יכול להיות מספר כלשהו.

תרגיל 3 (פרבולה ומשוואת ישר)
הפרבולה f(x) = x² + 2x – 3 חותכת את ציר ה x בנקודות A,B ואת ציר ה y בנקודה C.

  1. מצאו את הנקודות A,B,C
  2. חשבו את שטח המשולש ABC.
  3. מצאו את משוואת הישר AC.
  4. הנקודה D היא אמצע AC. דרך הנקודה D העבירו ישר המאונך ל AC. מצאו את משוואת הישר המאונך.
  5. האם הנקודה B נמצאת על הישר שאת משוואתו מצאתם בסעיף הקודם?

שרטוט התרגיל

פתרון
סעיף א: מציאת הנקודות A,B,C
על מנת למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x נציב y=0 במשוואת הפרבולה.

x² + 2x – 3 =0
זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים או טרינום.
כאן נפתור בדרך של טרינום.

x² + 2x – 3 =0
x²  – x + 3x – 3 = 0
x (x -1) + 3(x -1) = 0
x + 3) (x – 1) = 0)

למשוואה זו שתי אפשרויות פתרון:
x + 3 = 0
x = -3
או
x – 1 =0
x = 1

לכן נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
(A (-3,0)   B(1,0

על מנת למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה y נציב x =0 במשוואת הפרבולה.
f(x) = x² + 2x – 3
y = 0² + 2*0 – 3
y = 0 – 3 = -3

נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:
(C(0,-3

סעיף ב: חישוב שטח משולש ABC
על מנת לחשב שטח משולש אנו צריכים למצוא אורך של צלע ואורך של הגובה אל הצלע.
הצלע שקל לחשב את אורכה היא AB.
(A (-3,0)   B(1,0
האורך של הצלע AB הוא:
4 = (3-) – 1

הצלע AB נמצאת כולה על ציר ה x.
הגובה מהנקודה C אל הצלע AB הוא אורך הישר CO כאשר O זו נקודת ראשית הצירים.
הנקודה (C(0,-3
האורך של CO  הוא:
3 = (3-) – 0

שטח המשולש הוא:
S = (4 * 3) / 2
S = 12 / 2 = 6
תשובה: שטח המשולש הוא 6 יחידות ריבועיות.

סעיף ג: מציאת משוואת הישר AC
(A (-3,0)  C(0,-3
נמצא את משוואת הישר על פי שתי נקודות.

שיפוע הישר הוא:

נמצא את משוואת AC על פי הנקודה (A (-3,0 והשיפוע m = -1.
(y-y1=m(x-x1
(y – 0 = -1 (x + 3
y = -x – 3

סעיף ד: מציאת משוואת הישר המאונך ל AC והעובר ב D.
נמצא את הנקודה D על פי הנוסחה לאמצע קטע.
(A (-3,0)  C(0,-3
ערך ה x של הנקודה D:

ערך ה y של הנקודה D:

הנקודה (D(-1.5, -1.5

נמצא את השיפוע
מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים היא 1-.
השיפוע של AC הוא 1-.
לכן אם שיפוע הישר המבוקש הוא k
אז המשוואה שלנו היא:
k * -1 = -1
k = 1

שיפוע הישר המבוקש הוא 1, והוא עובר בנקודה (D(-1.5, -1.5.
לכן משוואתו:
(y-y1=m(x-x1
(y  + 1.5 = 1(x + 1.5
y + 1.5 = x + 1.5
y = x
תשובה: משוואת הישר המבוקש היא y = x.

סעיף ה: האם הנקודה B נמצאת על הישר
(B(1,0
נציב את ערכי נקודה זו במשוואה y = x.
1 = 0
זו משוואה לא נכונה.
לכן הנקודה B לא נמצאת על הישר.

תרגיל 4 (הזזות של פרבולה)
יצרו את הפרבולה f(x) = (x + 2)² – 3  מהפרבולה f(x) = x².
1.איזו הזזות אופקיות ואנכיות ביצעו?
מה היא נקודת הקודקוד של הפרבולה?
2. כתבו את משוואת פרבולה המקסימום שיש לה את אותו קודקוד.

פתרון
הביטוי f(x) = (x + 2)² תזוזה שמאלה בשתי יחידות.
הביטוי 3- מבטא תזוזה למטה של שלוש יחידות.

לכן קודקוד הפרבולה נמצא בנקודה (3-, 2-).

הזזה של פרבולה

סעיף ב: פרבולת מקסימום
f(x) = (x + 2)² – 3
על מנת להפוך את הפרבולה הזו לפרבולה שיש לה את אותה נקודת קודקוד והיא פרבולת מקסימום נוסיף מינוס בצורה הזו.
f(x) = -(x + 2)² – 3

תרגיל 5 (הזזות של פרבולה)
נתונות 4 משוואות של פרבולת.
זהו את הגרף המתאים לכל משוואה.

  1. f (x) = (x +4)² – 1
  2. f (x) = (x  -1)² + 4
  3. f (x) = (x  – 4)² -1
  4. f (x) = (x  -1)² – 4

גרפים של פרבולות

פתרון
פרבולה A הקודקוד שלה נמצא ב (1-, 4).
לכן היא מתאימה לפרבולה 3 שמשוואתה f (x) = (x  – 4)² -1.

פרבולה B הקודקוד שלה נמצא ב (4-, 1).
לכן היא מתאימה לפרבולה 4 שמשוואתה f (x) = (x  -1)² – 4.

פרבולה C הקודקוד שלה נמצא ב (1-, 4-).
לכן היא מתאימה לפרבולה 1 שמשוואתה f (x) = (x +4)² – 1.

פרבולה D הקודקוד שלה נמצא ב (4, 1).
לכן היא מתאימה לפרבולה 2 שמשוואתה f (x) = (x  -1)² + 4.

תרגיל 6 (פרמטרים חסרים)
ידוע כי בפרבולה f (x) = 3x² + bx + c הקודקוד נמצא בנקודה (3-, 2)
מצאו את משוואת הפרבולה.

פתרון
יש לנו שני נעלמים ואנו יכולים לבנות שתי משוואות.
משוואה אחת היא ערך ה x של נקודת הקודקוד.
נוסחה לקודקוד הפרבולה


נכפיל את המשוואה ב 6 ונקבל:
b = 12  / : -1-
b = -12

והמשוואה השנייה היא הצבה של הנקודה (3-, 2) במשוואת הפרבולה
c + 3*2² – 12*2 = -3
c + 12 – 24 = -3
c – 12 = -3  / +12
c = 9

תשובה: משוואת הפרבולה היא  f (x) = 3x² – 12x + 9

תרגיל 7 (פרמטרים חסרים)
עבור אלו ערכים של c לפרבולה f(x) = x² + 6x + c
אין נקודות חיתוך עם ציר ה x?
יש שתי נקודת חיתוך עם ציר ה x?

פתרון
סעיף א: אין אף פתרון
לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x כאשר למשוואה הריבועית ממנה מורכבת הפרבולה אין פתרון.
למשוואה ריבועית מהסוג f(x) = ax²+bx+c אין אף פתרון כאשר
b² – 4ac <0
הפרבולה שלנו היא f(x) = x² + 6x + c.
כלומר
a = 1
b = 6
c = c
נציב את הערכים הללו באי השוויון b² – 4ac <0
6²-4c < 0
4c > 36  / :4
c > 9.

תשובה: כאשר c > 9  לפרבולה f(x) = x² + 6x + c אין נקודות חיתוך עם ציר ה x (שמשמעותם שאין למשוואה הריבועית פתרון).

סעיף ב: שתי נקודות חיתוך עם ציר ה x.
שתי נקודות חיתוך עם ציר ה x מתקבלות כאשר b² – 4ac > 0 .
נציב את ערכי הפרבולה שלנו באי שוויון ונקבל:
6²-4c > 0
4c < 36   / : 4
c < 9
תשובה: עבור c < 9 לפרבולה f(x) = x² + 6x + c יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה x (שמשמעותם שני פתרונות למשוואה הריבועית).

תרגילי בונוס: בעיות בנייה של פרבולה

בחלק זה תרגילים שלפעמים נלמדים ולפעמים לא נלמדים בבית הספר.

תרגיל 8
כתבו משוואה של פרבולה שלא חותכת את את הפרבולה y = 2(x+4)² – 6

פתרון
זו הצגה קודקודית של פרבולה.
הקודקוד של הפרבולה הזו נמצא בנקודה (6-, 4-).
וזו פרבולת מינימום.
כך נראית סקיצה של הפרבולה.

הפרבולה שנבנה צריכה לענות על שני תנאים:

  1. צריכה להיות לה נקודת מקסימום. לכן המקדם של x² צריך להיות שלילי.
  2. ערך ה y של הקודקוד צריך להיות נמוך מ 6-.

אינסוף משוואות של פרבולות עונות על התנאים הללו. אני אכתוב רק שתי משוואות.
y = -x² – 7
y = -2(x+4)² – 8

אציין כי קיימות פרבולות שאינן עונות על שני התנאים הכתובים למעלה ואינם חותכות את הפרבולה המקורית. אבל הכתיבה של המשוואה שלהן יותר מסובכת.

סקיצה של גרף הפרבולות שהצעתי נראית כך.

תרגיל 9
עבור הפרבולה f(x) = x² + 5x + 8

  1. כתבו משוואה של פרבולה שלא חותכת את הפרבולה.
  2. כתבו משוואה של פרבולה שיש לה שתי נקודות חיתוך עם הפרבולה.

פתרון
סעיף א
ניתן לפתור כמו בתרגיל הקודם על ידי מציאת קודקוד הפרבולה.
אך הפעם לא קיבלנו את ההצגה הקודקודית של הפרבולה וניתן לפתור שאלות כאלו בצורה מהירה יותר.

משוואת פרבולה נראית כך:
f (x) = ax² + bx + c
ואנו רוצים שכאשר נשווה בין המשוואות נקבל משוואה שאין לה פתרון
x² + 5x + 8 = ax² + bx + c

הדרך הפשוטה לעשות זאת היא היא ליצור משוואה שתבטל את x² + 5x ותשאיר מספר מספר k ≠ 8.
למשל משוואת הפרבולה:
f(x) = x² + 5x + 10

כאשר נרצה למצוא את נקודות החיתוך בינה לבין המשוואה המקורית נקבל:
x² + 5x + 8 = x² + 5x + 10
10 = 8
וזו משוואה שאין לה פתרונות

סעיף ב
על פי אותו עיקרון נבנה פרבולה שכאשר נפתור אותה נשאר עם x² ובצד השני מספר חיובי.
למשל:
f(x) = 2x² + 5x – 1
כאשר ננסה למצוא את נקודות החיתוך עם הפרבולה המקורית נקבל:
2x² + 5x – 1 = x² + 5x + 8
x² = 9
x = 3 או x = -3

תרגיל 10
כתבו משוואה של פרבולה החיובית אך ורק בתחומים
x> 2  וגם x < -5

פתרון
רמז לפתרון: פרבולה החיובית בתחומים הללו נראית כך:

האם עכשיו אתם יודעים לבנות את המשוואה?

משוואת הפרבולה המבוקשת צריכה לקיים שני תנאים:

  1. צריכה להיות לה נקודת מינימום.
  2. היא צריכה לחתוך את ציר ה x בנקודות x = 2, x = -5.

למי שמכיר את "תצוגת המכפלה" יש יתרון בבניית פרבולה מהסוג הזה.
משוואת פרבולה כזו יכולה להיות:
y = (x-2) (x+5)
אנו יכולים להוסיף כל מספר חיובי לפני הסוגריים והתשובה תישאר נכונה:
y = 2(x-2) (x+5)
y = 14(x-2) (x+5)

תרגיל 11
כתבו משוואת פרבולה החיובית רק בתחום

פתרון
רמז לפתרון: משוואת פרבולה כזו נראית כך:

האם עכשיו אתם יודעים לכתוב את המשוואה?

פרבולה כזו צריכה לענות על שני תנאים:

  1. זו פרבולה עם נקודת מקסימום.
  2. נקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן x = 1,  x =4.

משוואת פרבולה כזו יכולה להיות:
y = -2(x-1)(x -4)
וכל מספר שלילי שנשים לפני הסוגריים ומשוואת הפרבולה תישאר נכונה.
y = -0.1(x-1)(x -4)
y = -5(x-1)(x -4)

תרגיל 11
כתבו את משוואת הפרבולה שיש לה רק נקודת חיתוך אחת עם הישר y = -1.
ציר הסימטריה שלה הוא x=0.
ואין לה נקודות חיתוך עם ציר ה x.

פתרון
נעבר תנאי תנאי בשאלה ונראה מה המשמעות שלו.

"יש לה רק נקודת חיתוך אחת עם הישר y = -1"
זה אומר שהישר y= -1 משיק לפרבולה, פוגש אותה בקודקוד.
כלומר ערך ה y של קודקוד הפרבולה הוא 1-.
דוגמאות לפרבולה כזו יכולות להיות:

תנאי שני: "ציר הסימטריה שלה הוא x=0."
המשמעות של תנאי זה הוא שערך ה x של הקודקוד הוא 0.
פרבולות כאלו יכולות להיות:

סיכום שני התנאים הראשונים:
נקודת הקודקוד צריכה להיות ב (1-, 0).

תנאי שלישי: "אין נקודות חיתוך עם ציר ה x".
פרבולות שאין להם נקודות חיתוך עם ציר ה x נראות כך:

על מנת שהפרבולה תקיים את שלושת התנאים יחד.
גם נקודת קודקוד ב (1-, 0)
וגם ללא נקודות חיתוך עם הצירים זו צריכה להיות פרבולה עם נקודת מקסימום. (שימו לב שבגרף כל הפרבולות שיש להן נקודת קודקוד מתחת לציר ה x הן פרבולות מקסימום).

דוגמאות למשוואות המקיימות את כל התנאים הללו הן:
y = -x² – 1
כמו כן כל מספר שלילי שנשים לפני x² ייתן לנו משוואה העונה על שלושת התנאים.
למשל:
y = -2x² – 1
y = -8x² – 1

גרף הפרבולה העונה על התנאים נראה כך:

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “פרבולה קורס מתקדם”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.