באלו תנאים פרבולה חיובית תמיד או שלילית תמיד, אי שוויון ריבועי המתקיים תמיד או לא מתקיים אף פעם

בדף זה אנו נלמד :

  1. אלו תנאים צריכים להתקיים על מנת שפרבולה תהיה חיובית תמיד או שלילית תמיד.
  2. לענות לשאלה כמו:
    עבור אלו ערכי a הפרבולה הבאה חיובית תמיד / שלילית תמיד.
    f(x) = ax² + 6x +9
  3. כיצד לבנות משוואת פרבולה שאין לה נקודות חיתוך עם ישר.

על מנת להצליח בדף זה עליכם לדעת:

  1. b² – 4ac הוא הביטוי הקובע את מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
  2. לפתור אי שוויונות ריבועיים.

הקדמה: משוואת פרבולה ומשוואה ריבועית זה בדיוק אותו דבר

המשוואה של פרבולה היא משוואה ריבועית.
f(x) = ax² + bx + c
כאשר שואלים אותכם מתי הפרבולה נמצאת מעל ציר ה x זה בדיוק כמו לשאול אותכם.
מתי האי שוויון
ax² + bx + c > 0
מתקיים.

ולשאול מתי הפרבולה נמצאת מתחת לציר ה x זה כמו לשאול מתאי האי שוויון
ax² + bx + c < 0
מתקיים.

1.מה הם התנאים שמשוואת פרבולה צריכה לקיים על מנת שתהיה חיובית / שלילית תמיד

תנאי ראשון: b² – 4ac < 0
כדי שמשוואת פרבולה תהיה חיובית / שלילית תמיד היא לא יכולה לחתוך את ציר ה x.
כי פרבולה החותכת את ציר ה x היא גם חיובית וגם שלילית.

לכן לפרבולה שרוצה להיות חיובית תמיד / שלילית תמיד לא יכולות להיות נקודות חיתוך עם ציר ה x.
לכן עבור הפרבולה  f(x) = ax² + bx + c
התנאי הוא:
b² – 4ac < 0

תנאי שני: a > 0 לפרבולה חיובית תמיד,  a < 0 לפרבולה שלילית תמיד
לאחר התנאי הראשון של  b² – 4ac < 0
נשארנו רק עם פרבולות שאינן חותכות את ציר ה x.

יש בסך הכל שני סוגים של פרבולות מסוג זה שניתן לשרטט:
פרבולת מינימום a > 0 החיובית תמיד.
פרבולת מקסימום  a < 0  השלילית תמיד.

לא ניתן לשרטט פרבולת מינימום שהיא שלילית תמיד, או פרבולת מקסימום שהיא חיובית תמיד.

דוגמה לפרבולה חיובית תמיד (אדומה) ופרבולה שלית תמיד (השחורה) והתנאים שצריכים להתקיים.
דוגמה לפרבולה חיובית תמיד (אדומה) ופרבולה שלית תמיד (השחורה) והתנאים שצריכים להתקיים.

לסיכום

על מנת שהפרבולה f(x) = ax² + bx + c תהיה חיובית תמיד צריך להתקיים:
b² – 4ac < 0
a > 0

ועל מנת שהפרבולה תהיה שלילית תמיד צריך להתקיים
b² – 4ac < 0
a < 0

הערה
יש עוד שני מושגים שמשתמשים בהם
אי שליליות 
זה אומר שהפונקציה לא שלילית.
הפונקציה צריכה להיות גדולה מ 0 או שווה ל 0.
ax² + bx + c ≥ 0

התנאים שבהם אי שוויון זה מתקיים הם:

  1. b² – 4ac ≤ 0
  2. a > 0

מבחינת שרטוט גרף הפרבולה זה אומר שקודקוד הפרבולה יכול להיות על ציר ה x.

אי חיוביות
זה אומר שהפונקציה לא חיובית.
הפונקציה צריכה להיות קטנה מ 0 או שווה ל 0.
ax² + bx + c ≤ 0

התנאים שבהם אי שוויון זה מתקיים הם:

  1. b² – 4ac ≤ 0
  2. a < 0

מבחינת שרטוט גרף הפרבולה זה אומר שקודקוד הפרבולה יכול להיות על ציר ה x.

2.אם רוצים שפרבולה תהיה תמיד מעל או מתחת ישר

עד עכשיו התייחסנו לפרבולה לעומת ציר ה x.
אבל יכולים לשאול אותנו גם מתי פרבולה נמצאת תמיד מעל / מתחת ישר מהצורה
y = k.

למשל:
עבור אלו ערכים של b הפרבולה
f(x) = -x² +bx – 3 = 0
נמצאת תמיד מתחת לישר y = 6

האי שוויון שמתאים לשאלה הוא:
x² + bx – 3 < 6-

נחסר 6 משני צדדי המשוואה ונקבל.
x² + bx – 9 < 0-

וזה כבר אי שוויון שלמדנו לפתור.
פתרון מלא של התרגיל בדוגמה 3.

3.דוגמאות

דוגמה 1
עבור אלו ערכי a הפרבולה
f(x) = ax² + 6x +9
חיובית תמיד?

פתרון
על מנת שהפרבולה תהיה חיובית תמיד אנו צריכים שלפרבולה יהיה קודקוד מינימום שזה אומר
a > 0
כמו כן לפרבולה לא יכולים להיות נקודות חיתוך עם ציר ה x ולכן:
b² – 4ac < 0

a צריך לקיים את שני התנאים ולכן

דוגמה 2
תנו דוגמה למשוואה פרבולה שהיא שלילית תמיד.

פתרון
אנו צריכים ש:
a < 0
למשל a = -1

ואנו צריכים גם:
b² – 4ac < 0

כאשר a שלילי אנו נרצה גם ש c יהיה שלילי.
על מנת שהביטוי
4ac-
יהיה שלילי.
למשל c = -2

עבור  b נבחר b = 0.
נקבל את משוואת הפרבולה:
f(x) = -x² – 2

הערה
מי שיודע את הנושא של הזזות של פרבולה יכול לפתור את התרגיל במהירות רבה יותר.

*דוגמה 3
עבור אלו ערכים של b הפרבולה
f(x) = -x² +bx – 3 = 0
נמצאת תמיד מתחת לישר y = 6

פתרון
אנו צריכים לפתור את האי שוויון:
x² + bx – 3 < 6-
x² + bx – 9 < 0-

תנאי ראשון הוא
a < 0 (ואת זה יש).
תנאי שני הוא:
b² – 4 *(-1) * (-9) < 0
b² < 36

עוד באתר:

  1. אי שוויונות ריבועיים.
  2. פתרון אלגברי של אי שוויונות ריבועיים.
  3. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
  4. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

4.תרגילים

תרגיל 1
שרטטו סקיצה של פונקציה עבורה מתקיים האי השוויון y<0 תמיד.

פתרון
אי השוויון מתקיים תמיד עבור פרבולות שהן פרבולות מקסימום שהקודקוד שלהם נמצא מתחת לציר ה X.

תרגיל 2
עבור אלו ערכי a הפרבולה y = ax² +3 נמצאת תמיד מעל ציר ה x?

פתרון
תנאי ראשון: פרבולת מינימום
על מנת שהפרבולה תהיה מעל ציר ה x זו צריכה להיות פרבולת מינימום.
לכן:
a > 0.

תנאי שני: ללא פתרונות
במשוואה הריבועית הזו:
a = a
b = 0
c = 3
לכן על מנת שלא יהיו פתרונות צריך להתקיים:
0²-4a*3 < 0
12a < 0-
a > 0

שני התנאים שקיבלנו הם a > 0, לכן כאשר a > 0 הפרבולה חיובית תמיד ונמצאת תמיד מעל ציר ה x.

תרגיל 3
עבור הפרבולה y=  ax² +4x -6 מצאו מה הם ערכי ה a עבורם לאי שוויון y≥0 אין אף פתרון.

פתרון
כאשר לאי שוויון y≥0 אין אף פתרון זה אומר שהאי שוויון y<0 מתקיים תמיד.
על מנת שאי שוויון כזה יתקיים תמיד צריכים להתקיים להתקיים שני תנאים:

  1. המקדם של x² יהיה שלילי.
  2. למשוואה הריבועית לא יהיו פתרונות: וזה אומר שהדלתא קטנה מ 0.   b²-4ac <0

התנאי הראשון מתקיים כאשר a<0.

התנאי השני מתקיים כאשר:
4²-4a(-6) <0
16+24a <0
24a < -16
a< -16/24 = -2/3
קיבלנו מערכת של אי שוויונים "וגם" :
a< -2/3 וגם a<0.
שמתקיימת כאשר a< -2/3.
תשובה: כאשר a< -2/3 ערכי הפונקציה y=  ax² +4x -6 הם שליליים תמיד.

שרטוט גרף הפונקציה 0.67x² +4x-6-
שרטוט גרף הפונקציה
0.67x² +4x-6-

תרגיל 4
שאלות ותשובות מהירות בנושא אי שוויונות שמתקיימים תמיד או אף פעם
1.תנו דוגמה למשוואת פרבולה שגדולה תמיד מהישר y=4.

פתרון
זו צריכה להיות פרבולה עם a>0 וקודקוד שערך ה y שלו גדול מ 4. למשל x²+ 5.

2. תנו דוגמה למשוואת פרבולה שקטנה תמיד מהישר y=10.

פתרון
זו צריכה להיות פרבולה עם a<0 וקודקוד שערך ה y שלו קטן מ 10. למשל x²+5-.

נספח: פתרון אלגברי לאי שוויונות המתקיימים תמיד או לא מתקיימים אף פעם

עד עכשיו הסתמכנו על גרף פרבולה למציאת המצבים בהם האי שוויונות
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
מתקיימים תמיד או לא מתקיימים אף פעם.

האם ניתן לפתור את האי שוויונות בצורה אלגברית ללא שימוש בגרף?
כן.

כיצד עושים זאת?

שלב ראשון
כאשר נקבל אי שוויון ריבועי נבדוק האם:
b² – 4ac < 0
אם כן זה אי שוויון עם אינסוף או אף פתרון.
(כלומר זה אי שוויון שלא עובר מחיוביות לשליליות, אם הוא חיובי הוא נשאר חיובי ואם הוא שלילי אז הוא נשאר שלילי).

שלב שני
נציב x = מספר כלשהו במשוואה הריבועית.
אם קיבלנו שהמשוואה הריבועית חיובית אז היא צריכה להיות חיובית תמיד (כי היא לא עוברת מחיוביות לשליליות)
והאי שוויון
ax² + bx + c > 0
מתקיים תמיד.

ואם קיבלנו שהמשוואה הריבועית שלילית עבור ה x שהצבנו אז היא שלילית תמיד.
והאי שוויון
ax² + bx + c < 0
מתקיים תמיד.

דוגמה
הוכיחו כי האי שוויון
x² + 5x +8 > 0
מתקיים תמיד.

פתרון
שלב 1
נבדוק אם למשוואה הריבועית
x² + 5x +8 = 0
יש פתרון
b² – 4ac = 5² – 4 * 8
0 > 32 – 25
מצאנו כי b² – 4ac < 0 לכן לאי שוויון יש אינסוף פתרונות או אף פתרון.

שלב 2: נמצא נקודה על הפונקציה ונראה אם היא חיובית או שלילית.
f (x) = x² + 5x +8
אם נקודה כלשהי על הפונקציה חיובית אז כל הפונקציה חיובית.
אם נקודה שעל הפונקציה שלילית אז כל הפונקציה שלילית.
נבחר את הנקודה x = 0 ונראה אם הפונקציה חיובית או שלילית בה.
f (0 ) = 0² + 5 * 0 + 8 = 8> 0

הפונקציה חיובית כאשר x =0 וגם למשוואה הריבועית אין פתרון, לכן האי שוויון
x² + 5x +8 > 0
מתקיים תמיד.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.