בעיות תנועה שוויון דרכים

בדף זה נלמד כיצד פותרים בעיות תנועה בהם עוברים שני גופים או גוף אחד את אותו מרחק.
בעיות אלו נקראות גם "שוויון דרכים" כי הדרך שעוברים שני הגופים שווה.

לדף זה 6 חלקים:

  1. באלו מקרים הבעיה היא שוויון דרכים?
  2. מכשולים הנובעים מזמנים לא ברורים.
  3. דוגמאות לתרגילים.
  4. תרגילים לפתרון.
  5. קישורים.
  6. בעיות עם שני נעלמים.

1.באלו מקרים המשוואה היא "שוויון דרכים"?

משוואות מסוג שוויון דרכים הם משוואות בהם עוברים את אותו מרחק פעמיים.

דוגמה 1
מכונית נוסעת מתל אביב לחיפה במהירות 90 קמ"ש. ביום "מיוחד" אחד היא נסעה במהירות 80 קמ"ש.
במקרה זה נחשב את המרחק שעברה ביום הרגיל והוא יהיה שווה למרחק שנעבר ביום המיוחד.

ניסוח אחר יכול להיות שתי מכוניות הנוסעות מתל אביב לחיפה (במקום מכונית אחת הנוסעת פעמיים).

דוגמה 2
מכונית נוסעת מתל אביב לחיפה במהירות 90 קמ"ש ולאחר מיכן נוסעת בחזרה במהירות 80 קמ"ש.
גם במקרה זה הדרך הלוך שווה לדרך חזור.

ניסוח אחר יכול להיות שמכונית אחת נוסעת מתל אביב לחיפה ומכונית שנייה מחיפה לתל אביב.

2.מכשולים הנובעים מזמנים לא ברורים

במקרה הקל תקבלו במפורש כמה שעות נסע כל כלי רכב. או שיגידו לכם שכלי רכב אחד נסע שעתיים יותר.

בתרגילים קשים יותר יגידו לכם כי כלי רכב אחד "יצא שעה אחרי" או "הגיע שעתיים לפני" ואתם תצטרכו להסיק מזה על הקשר בין הזמנים של כלי הרכב.

עלכם להבים את הכללים הבאים (אלו כללים הגיוניים):
(בכל המקרים נתייחס אל זמן נסיעת המשאית כ x)

  • אם מכונית יוצאת לדרך שעה אחרי משאית ושתיהן מגיעות ביחד ליעד אז זמן הנסיעה של המכונית הוא x -1.
  • אם מכונית יוצאת שעה לפני משאית והם מגיעות ביחד אז זמן הנסיעה של המכונית הוא x +1.
  • אם המכונית והמשאית יוצאות ביחד והמכונית מגיעה שעה לפני המשאית אז זמן נסיעת המכונית הוא x – 1.
  • אם המכונית והמשאית יוצאות ביחד והמכונית מגיעה שעה אחרי המשאית אז זמן נסיעת המכונית הוא x  + 1.

תרגיל 1
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
2 שעות אחרי המכונית יצאה משאית.
המשאית והמכונית הגיעו ביחד לאילת.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
המשאית יצאה אחרי המכונית. לכן הייתה שעתיים פחות בנסיעה.
x – 2 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 2
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
3 שעות לפני המכונית יצאה משאית.
המשאית והמכונית הגיעו ביחד לאילת.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
המשאית יצאה לפני המכונית. לכן הייתה 3 שעות יותר בנסיעה.
x + 3 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 3
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
1 שעות לפני המכונית יצאה משאית.
המשאית הגיעה 3 שעות לאחר המכונית.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
ביציאה המשאית נסעה 1 שעות יותר.
בהגעה המשאית נסעה 3 שעות יותר.
לכן בסך הכל המשאית נסעה 4 שעות יותר.
x + 4 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 4
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
1 שעות לאחר המכונית יצאה משאית.
המשאית הגיעה 2 שעות לפני המכונית.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
ביציאה המשאית נסעה 1 שעות פחות.
בהגעה המשאית נסעה 2 שעות פחות.
סך הכל המשאית נסעה 3 שעות פחות.
x – 3 זה הזמן שנסעה המשאית

מכשול זמן נוסף

במקרים מסוימים גוף ינוע בשתי מהירויות, למשל 80 קמ"ש בדרך הלוך ו 90 קמ"ש בדרך חזור.
ומבחינת זמן נקבל מידע על הזמן של שתי הדרכים יחד. למשל הזמן הלוך חזור היה 8 שעות.

במקרה זה ניתן להגדיר שני נעלמים:
x  הזמן בשעות בדרך הלוך.
y הזמן בשעות בדרך חזור.
ואז
x + y = 8
וגם
80x  זו הדרך הלוך.
90y  זו הדרך חזור.

ומכוון שהדרכים שוות המשוואה השנייה היא:
80x = 90y

וניתן גם להגדיר נעלם אחד.
x הזמן בשעות בדרך הלוך.

זה הזמן בדרך חזור.

ובנוסף:
80x  הדרך הלוך

הדרך חזור.

ומכוון ששתי הדרכים שוות המשוואה היא:
(80x = 90(8 – x

3.דוגמאות לבניית משוואות

דוגמה 1
מטוס טס בדרך הלוך במהירות קבועה במשך 5 שעות.
בדרך חזור הוא מגדיל את מהירותו ב 200 קמ"ש ולכן דרכו נמשכת 4 שעות.

  1. בנו משוואה למציאת מהירות המטוס ואורך הטיסה.
  2. אם המטוס מגביר את מהירותו ב 100 קמ"ש וטיסתו נמשכת 4.5 שעות. בנו משוואה.

פתרון
המהירויות
x  המהירות בדרך הלוך בקמ"ש.
x + 200 המהירות בדרך חזור בקמ"ש.

הדרך
5x אורך הדרך הלוך
x + 200) *4)  אורך הדרך חזור.

המשוואה:
שתי הדרכים שוות לכן המשוואה היא:
(5x = 4(x + 200
5x = 4x + 800  / -4x
x = 800

המהירות בדרך הלוך היא 800 קמ"ש ומשך הטיסה הוא 5 שעות. לכן הדרך היא:
4000 = 5 * 800

חלק שני
x + 100 מהירות הטיסה בחזור.
4.5 שעות זמן הטיסה חזור.
(5x = 4.5(x + 100

דוגמה 2
מטוס טס בדרך הלוך במהירות קבועה במשך 8 שעות.
מטוס אחר טס את אותה הדרך במהירות 100 קמ"ש פחות ולכן זמן טיסתו ארוך בשעה.
חשבו את מהירות המטוס ואת מרחק הטיסה.

פתרון
המהירויות
x המהירות בקמ"ש של המטוס הראשון.
x – 100  המהירות בקמ"ש של המטוס השני.

המרחקים
8x  הדרך של המטוס הראשון.
x – 100) * 9)  הדרך של המטוס השני.

המשוואה
שתי הדרכים שוות לכן המשוואה היא:
(8x = 9 (x – 100
8x = 9x – 900
x = -900-
x = 900
900 קמ"ש זו המהירות של המטוס הראשון.

המהירות של המטוס הראשון היא 900 קמ"ש והוא טס 8 שעות.
לכן הדרך שעבר היא:
7200 = 8 * 900
תשובה: מהירות המטוס הראשון היא 900 קמ"ש, המרחק בין שתי הנקודות הוא 7200 ק"מ.

דוגמה 3
הולך רגל הלך במהירות 6 קמ"ש בין שתי נקודות.
אדם אחר הולך במהירות הגבוהה ב 3 קמ"ש את אותה דרך בכיוון ההפוך ולכן הדרך שלו נמשכת שעתיים פחות.
חשבו את זמן ההליכה של ההולך הראשון ואת המרחק בין הנקודות.

פתרון
בשאלה זו אנו לא יודעים את הזמנים, לכן הזמן הוא המשתנה.
x  זמן ההליכה בשעות של הולך הרגל הראשון.
x – 2 זמן ההליכה בשעות של הולך הרגל השני.

המרחקים
6x המרחק שעבר הולך הרגל הראשון.
x – 2) *9)  המרחק שעבר הולך הרגל השני.

המשוואה
המרחקים שווים ולכן המשוואה היא:
(6x = 9 (x – 2
6x = 9x – 18  / -9x
3x = -18  / :-3-
x = 6

זמן ההליכה של הולך הרגל הראשון הוא 6 שעות. מהירות ההליכה 6 קמ"ש.
לכן הדרך שעבר היא:
36 = 6 * 6
תשובה: זמן ההליכה של הולך הרגל הראשון הוא 6 שעות והמרחק בין שתי הנקודות הוא 36 ק"מ.

דוגמה 4 (וידאו)

4.תרגילים 

בחלק זה 6 תרגילים.
תרגילים 5-6 קשים יותר מהאחרים.

תרגיל 1 
אדם נסע לבקר את קרובי משפחתו. הדרך הלוך נמשכה שעתיים וחצי. בדרך חזור האדם הגדיל את מהירותו ב 15 קמ"ש ולכן דרכו חזרה נמשכה שעתיים.
חשבו את מהירות הנסיעה בדרך הלוך ואת המרחק שהאדם נסע בכיוון אחד.

פתרון
.שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את המהירות של האדם, לכן נבחר בה כמשתנה.
v מהירות הנסיעה בדרך הלוך.
v + 15 מהירות הנסיעה בדרך חזור.

שלב ב: בניית טבלה (לא חובה)
נציב את הנתונים בטבלה ונשלים את הדרך שכל מכונית עברה
בשחור הנתונים שקיבלנו בשאלה, באדום תוצאת ההכפלה של מהירות * זמן.

מהירות זמן דרך
הלוך v 2.5 2.5v
חזור v +15 2 2v + 30

שלב ג: בניית משוואה
2.5v  זו הדרך הלוך.
2v + 30  זו הדרך חזור.
הדרך הלוך שווה לדרך חזור לכן המשוואה היא:

2.5v = 2v +30   / -2v
0.5v =30  / *2
v = 60

נחשב את הדרך שעברה המכונית בכיוון אחד על ידי הצבת v=60
s = 2.5 * 60 = 150

אם נרצה נוכל לבדוק שלא טעינו בפיתוח המשוואות על ידי הצבה של v = 60 גם בביטוי השני של המרחק (s = 2v + 30)
s = 2*60 + 30 = 150
קיבלנו את אותה תשובה בשני הדרכים ולכן התשובה היא נכונה.

תשובה: המהירות בדרך הלוך היא 60 קמ"ש והנסיעה בכיוון אחת היא 150 קמ"ש.

תרגיל 2
משאית נוסעת מאשדוד לאילת במשך 9 שעות במהירות קבועה.
מכונית יצאה מאשדוד 3 שעות לאחר המשאית, אך מכוון שנסעה במהירות הגבוהה ב 20 קמ"ש ממהירות המשאית היא הגיעה יחד עם המשאית לאילת.
חשבו את מהירות המשאית ואת המרחק מאשדוד לאילת.

פתרון
המהירויות
x מהירות המשאית.
x + 20  מהירות המכונית.

הדרכים
9x  זו הדרך בק"מ שעברה המשאית.
המכונית יצאה 3 שעות אחרי אבל הגיעה באותו זמן, לכן הייתה 3 שעות פחות על הכביש.
סך הכל המכונית נסעה 6 שעות.
x + 20) * 6)  זו הדרך שעברה המכונית.

המשוואה
הדרכים שוות לכן המשוואה היא:
(9x = 6(x +20
9x = 6x +120  / -6x
3x = 120  / :3
x = 40

מהירות המשאית היא 40 קמ"ש. זמן הנסיעה של המשאית הוא 9 שעות. לכן הדרך שעברה המשאית:
360 = 9 * 40

תרגיל 3
מכונית עוברת כל יום דרך של 400 ק"מ במהירות קבועה.
יום אחד המכונית האיצה את מהירותה ב 10 קמ"ש במשך במשך 4 שעות לאחר מיכן עצרה למשך 1 שעה וסיימה בנסיעה של 40 דקות במהירות שהיא 75% מהמהירות המקורית.
מה המהירות הרגילה של המכונית?

פתרון
x המהירות הרגילה של המכונית בקמ"ש.
x+10 המהירות שהייתה במשך 4 שעות.
0.75x המהירות במשך 2/3 שעה.

טבלה המייצגת את הבעיה נראית כך:

מהירות זמן דרך
יום רגיל x 400 לחלק ב X  400
נסיעה מהירה x+10 4 4x+40
עצירה 0 1 0
נסיעה איטית 0.75x 2/3 0.5x

המשוואה היא:
400 = 4x+40+0.5x
x=80
תשובה: המהירות הרגילה של המכונית היא 80 קמ"ש.

תרגיל 4
גלי ואבי הולכים מביתם אל הים.
אבי הולך מביתו אל הים במשך 5 שעות.
גלי יצאה שעה אחרי שאבי יצא אך הלכה במהירות הגבוהה ב 2 קמ"ש ממהירותו של אבי ולכן הגיעה לים שעה לפניו.
חשבו את המרחק בית הבית לים.

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את המהירות של אבי, לכן היא תהיה המשתנה.
v  המהירות של אבי בהליכתו לים בקמ"ש.
v +2 המהירות של גלי בהליכתה לים בקמ"ש.

שלב ב: כמה זמן כל אחד מיהם הלך?
בעיה נוספת בשאלה היא לדעת כמה זמן גלי הלכה לים.
אבי הלך 5 שעות. גלי יצאה 1 שעה אחרי והגיעה 1 שעה לפני, לכן היא הייתה בדרך שעתיים פחות.
3 = 1 – 1 – 5
זמן ההליכה של גלי הוא 3 שעות.

שלב ג: בניית טבלה
הנתונים מופיעים בשחור ותוצאת החישוב באדום

מהירות זמן דרך
אבי v 5 5v
גלי v +2 3 3v + 6

שלב ד: בניית משוואה ופתרונה
בטבלה ניתן לראות כי:
5v  המרחק שאבי עבר.
3v + 6  המרחק שגלי עברה.
הדרכים שהם עברו שוות ולכן המשוואה היא:
5v = 3v + 6  /-3v
2v = 6  / :2
v = 3

נשים לב ששאלו אותנו על המרחק בין הבית לים: והוא 5v.
15 = 3 * 5
תשובה: המרחק בין הבית לים הוא 15 ק"מ.

תרגיל 5
שתי רוכבות אופניים יצאו לרכיבה מאותה נקודה.
הרוכבת הראשונה יצאה ב 10 בבוקר במהירות 15 קמ"ש.
הרוכבת השנייה יצאה בשעה 11 בבוקר במהירות 20 קמ"ש.
באיזו שעה הרוכבת השנייה תשיג את הראשונה ב 15 ק"מ? (כלומר באיזו שעה הרוכבת השנייה תעבור 15 ק"מ יותר מהרוכבת הראשונה).

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את הזמן של הרוכבת הראשונה לכן הוא יהיה המשתנה
t זמן הנסיעה של הרוכבת הראשונה בשעות עד לנקודה שבה הרוכבת השנייה השיגה אותה ב 15 ק"מ.
t – 1 זמן הנסיעה של הרוכבת השנייה.

שלב 2: בניית טבלה
הנתונים מופיעים בשחור, תוצאת החישוב באדום.

מהירות זמן דרך
רוכבת א 15 t 15t
רוכבת ב 20 t – 1 20t – 20

שלב ג: בניית משוואה
15t המרחק שעברה רוכבת א.
20t – 20  המרחק שעברה רוכבת ב.

רוכבת ב עברה 15 ק"מ יותר מרוכבת א לכן המשוואה היא:
20t – 20 – 15t = 15

הסבר למשוואה בעיות תנועה
הסבר למשוואה

אפשרות אחרת לבניית המשוואה היא לכתוב את המשוואה כסכום דרכים
המרחק שעברה רוכבת ב = 15 + המרחק שעברה רוכבת א
15t + 15 = 20t – 20

הסבר למשוואה
הסבר למשוואה

שלב ד: פתרון המשוואה
נפתור את המשוואה הראשונה
20t – 20 – 15t = 15
5t – 20 =15  / +20
5t = 35  /:5
t = 7

השאלה הייתה "באיזו שעה?" . 7 שעות לאחר השעה 10 זו השעה 17.
תשובה: בשעה 17 רוכבת ב תשיג את רוכבת א ב 15 ק"מ.

תרגיל 6
הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

  1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
  2. מה המרחק מהבית לים?

פתרון
נפתור את השאלה בשתי דרכים. באמצעות שני משתנים ובאמצעות משתנה אחד.

פתרון בעזרת שני משתנים
נגדיר:
t1  זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.
t2 זמן ההליכה בדרך חזור בשעות.

המשוואה הראשונה היא:
t1 + t2 = 6
t2 = 6 – t1

נשים את הנתונים בטבלה
(הנתונים בשחור, המסקנות באדום)

זמן מהירות דרך
דרך הלוך t1 4 4t1
דרך חזור t2 8 8t2

הדרך הלוך שווה לדרך חזור.
לכן המשוואה השנייה היא:
4t1 = 8t2
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה זו:
(4t1 = 8 (6 – t1
4t1 = 48 – 8t1  /+8t1
12t1 = 48  / :12
t1 = 4

t2 = 6 – t1
t2 = 6 -4 = 2

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.

סעיף ב: המרחק מהבית לים.
הוא הלך 4 שעות במהירות 4 קמ"ש.
לכן המרחק הוא:
16 = 4*4
המרחק מהבית לים הוא 16 ק"מ

פתרון באמצעות נעלם אחד
נגדיר
t  זמן ההליכה הלוך בשעות.
לכן:

הוא זמן ההליכה חזור.

הדרכים
4t  זו הדרך הלוך.


זו הדרך חזור.

שתי הדרכים שוות, לכן המשוואה היא:
(4t = 8 (6 – t
4t = 48 – 8t
12t = 48
t = 4

תשובה: הדרך לים נמשכה 4 שעות.

5.קישורים

  1. בעיות סכום דרכים – זה הסוג הבעיות הבא שאתם צריכים ללמוד.
  2. בעיות תנועה עם טבלה.
  3. בעיות תנועה כיתות ח – ט – דף המציג בעיות מסוגים שונים באותה רמה.
  4. בעיות תנועה – הדף המרכזי עם קישורים לדפים קשים יותר.

6.בעיות שוויון דרכים עם שני נעלמים

תרגיל 1
משאית יוצאת לדרך, שעה לאחריה יוצאת מכונית המשיגה את המשאית 3 שעות לאחר שהמשאית יצאה לדרך.
בנוסף:
ביום אחר מדדו ומצאו כי למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה.
מצאו את מהירות המשאית.

פתרון
שלב א: בחירת משתנים
אנחנו לא יודעים את מהירות המכונית ולא את מהירות המשאית.
אנחנו גם לא מקבלים מידע על קשר בין שני המהירויות.
לכן אנו חייבים להשתמש בשני משתנים. משתנה לכל מהירות.

v מהירות המשאית בקמ"ש.
u מהירות המכונית בקמ"ש.

שלב ב: בניית משוואה עבור נקודת הפגישה
3v  הדרך שהמשאית עשתה עד שפגשה במכונית.
2u  הדרך שהמכונית עשתה עד שפגשה במכונית.

הדרך שהמכונית והמשאית עברו שווה ולכן המשוואה היא:
2u = 3v  /:2
u = 1.5v

שלב ג: בניית משוואה עבור המשפט "למשאית לוקח לעבור 180 ק"מ שעה וחצי יותר מאשר למכונית לוקח לעבור מרחק זה".

נגדיר את הזמן שלוקח למשאית ולמכונית לעבור 180 ק"מ.


הזמן של המכונית קצר יותר ב- 1.5 שעות.
לכן עלינו להוסיף 1.5 לזמן לזמן של המכונית על מנת ליצור משוואה.

המשוואה השנייה

נכפיל המכנה המשותף שהוא uv ונקבל:
180u = 180v + 1.5vu

שלב ד: פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים
נציב את המשוואה הראשונה שקיבלנו (u = 1.5v) במשוואה הזו:
1.5v * 180 = 180v + 1.5v * 1.5v  / :1.5
180v = 120v + 1.5v² /  -180v
1.5v² – 60v = 0  /:1.5
v² – 40v = 0
v (v – 40) = 0
v = 0,  v=40
מכוון שהמכוניות נוסעות הפתרון היחידי שאפשרי הוא v= 40.

תשובה: מהירות המשאית היא 40 קמ"ש.

תרגיל 2
הולך רגל הלך במהירות 4 קמ"ש מביתו לים. בדרך חזרה מהים הגביר את מהירותו ל- 8 קמ"ש. סך הכל הליכתו נמשכה 6 שעות.

  1. כמה זמן נמשכה הליכתו לים?
  2. מה המרחק מהבית לים?

פתרון

נגדיר:
t1  זמן ההליכה בדרך הלוך בשעות.
t2 זמן ההליכה בדרך חזור בשעות.

המשוואה הראשונה היא:
t1 + t2 = 6
t2 = 6 – t1

נשים את הנתונים בטבלה
(הנתונים בשחור, המסקנות באדום)

זמן מהירות דרך
דרך הלוך t1 4 4t1
דרך חזור t2 8 8t2

הדרך הלוך שווה לדרך חזור:
4t1 = 8t2
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה זו:
(4t1 = 8 (6 – t1
4t1 = 48 – 8t1  /+8t1
12t1 = 48  / :12
t1 = 4

t2 = 6 – t1
t2 = 6 -4 = 2

תשובה: הליכתו לים נמשכה 4 שעות.

סעיף ב: המרחק מהבית לים.
הוא הלך 4 שעות במהירות 4 קמ"ש.
לכן המרחק הוא:
16 = 4*4
המרחק מהבית לים הוא 16 ק"מ

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.