באלו תנאים פרבולה חיובית תמיד או שלילית תמיד, אי שוויון ריבועי המתקיים תמיד או לא מתקיים אף פעם

בדף זה אנו נלמד :

1. אלו תנאים צריכים להתקיים על מנת שפרבולה תהיה חיובית תמיד או שלילית תמיד.
2. לענות לשאלה כמו:
   עבור אלו ערכי a הפרבולה הבאה חיובית תמיד / שלילית תמיד.
   f(x) = ax² + 6x +9
3. כיצד לבנות משוואת פרבולה שאין לה נקודות חיתוך עם ישר.

על מנת להצליח בדף זה עליכם לדעת:

1. b² – 4ac הוא הביטוי הקובע את מספר הפתרונות של משוואה ריבועית.
2. לפתור אי שוויונות ריבועיים.

הסבר

יש פרבולות שהן חיוביות תמיד או שליליות תמיד.

לדוגמה:

הפרבולה האדומה היא חיובית תמיד והשחורה שלילית תמיד.

 

הפרבולה האדומה משוואתה:

y = x² + 1

לכן אם היינו נתקלים באי שוויון:

x² + 1 > 0

אז היינו יכולים להסיק מהשרטוט שהאי שוויון מתקיים תמיד והפתרון של האי שוויון הוא כל x.

ואם אי השוויון היה:  x² + 1 < 0

אז היינו מסיקים מהשרטוט שאין פתרון לאי שוויון הזה.

נשים לב כי ….

פרבולה שהיא חיובית תמיד חייבת להיות פרבולת מינימום.

אם נרצה לשרטט פרבולת מקסימום שהיא חיובית תמיד פשוט לא נצליח.

כי המשך הקרניים יחתכו את ציר ה x ולפרבולה יהיה חלק שלילי.

ואם נרצה לשרטט פרבולה שהיא שלילית תמיד והיא מינימום לא נצליח.

כי המשך הקרניים יחתכו את ציר ה x ולפרבולה יהיה חלק חיובי.

כיצד נפתור בפועל תרגילים

כאשר נקבל אי שוויון כמו:

-x² + 2x – 2 > 0

ננסה למצוא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.

(על ידי נוסחת השורשים או שימוש בביטוי b² – 4ac).

במקרה זה נגלה שאין למשוואה פתרון – כלומר גם

אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

נזהה שזו פרבולת מקסימום

ועל פי שני התנאים הללו נשרטט.

נזהה שזו פרבולה שלילית תמיד ולכן לאי שוויון

-x² + 2x – 2 > 0

אין פתרון.

דוגמה 2

x² + 1 > 0

במקרה של אי שוויון כזה לא צריך לעבור את כל השלבים.

ניתן להגיד:

x² חיובי או שווה ל 0.

1 חיובי תמיד.

לכן הסכום חיובי לכל x והאי שוויון מתקיים לכל x.

התנאים לכך שפרבולה תהיה חיובית או שלילית תמיד

התנאי הראשון – ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x.

כי חיתוך עם ציר ה x אומר מעבר בין חיוביות ושליליות וששינהם קיימים.

תנאי שני

כדי להיות חיובית תמיד זו חייבת להיות פרבולת מינימום.

כדי להיות שלילית תמיד זו חייבת להיות פרבולת מקסימום.

הוכחה:

נסו לשרטט:

1. פרבולת מינימום.
2. ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x.

שהיא לא חיובית תמיד ותראו שזה לא אפשרי.

בשפה מתמטית:

על מנת שהפרבולה f(x) = ax² + bx + c תהיה חיובית תמיד צריך להתקיים:
b² – 4ac < 0
a > 0

ועל מנת שהפרבולה תהיה שלילית תמיד צריך להתקיים
b² – 4ac < 0
a < 0

אם רוצים שפרבולה תהיה תמיד מעל או מתחת ישר

דוגמאות

דוגמה 1
עבור אלו ערכי a הפרבולה
f(x) = ax² + 6x +9
חיובית תמיד?

פתרון
על מנת שהפרבולה תהיה חיובית תמיד אנו צריכים שלפרבולה יהיה קודקוד מינימום שזה אומר
a > 0
כמו כן לפרבולה לא יכולים להיות נקודות חיתוך עם ציר ה x ולכן:

b² – 4ac  <  0
6² – 4a * 9 < 0
36 – 36a < 0
36 < 36a
1 < a

a צריך לקיים את שני התנאים ולכן
a > 1

דוגמה 2
תנו דוגמה למשוואה פרבולה שהיא שלילית תמיד.

פתרון
אנו צריכים ש:
a < 0
למשל a = -1

ואנו צריכים גם:
b² – 4ac < 0

כאשר a שלילי אנו נרצה גם ש c יהיה שלילי.
על מנת שהביטוי
4ac-
יהיה שלילי.
למשל c = -2

עבור  b נבחר b = 0.
נקבל את משוואת הפרבולה:
f(x) = -x² – 2

הערה
מי שיודע את הנושא של הזזות של פרבולה יכול לפתור את התרגיל במהירות רבה יותר.

*דוגמה 3
עבור אלו ערכים של b הפרבולה
f(x) = -x² +bx – 3 = 0
נמצאת תמיד מתחת לישר y = 6

פתרון
אנו צריכים לפתור את האי שוויון:
x² + bx – 3 < 6-
x² + bx – 9 < 0-

תנאי ראשון הוא
a < 0 (ואת זה יש).
תנאי שני הוא:
b² – 4 *(-1) * (-9) < 0
b² < 36

עוד באתר:

1. אי שוויונות ריבועיים.
2. פתרון אלגברי של אי שוויונות ריבועיים.
3. בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
4. בגרות במתמטיקה 5 יחידות.

תרגילים