משיק לפרבולה

יש שני סוגי שאלות מרכזיים בנושא משיק לפרבולה.
בדף זה נלמד וניתן דוגמה לשני הסוגים.

השאלות הללו מתבססות על שני דברים:

  1. למשיק ולפרבולה יש את אותו שיפוע בנקודת ההשקה.
  2. המשיק והפרבולה עוברים דרך נקודת ההשקה, לכן יש להם נקודה משותפת.

הערה 1

נגזרת של פולינום היא דבר שעליכם לדעת על מנת למצוא את השיפוע של הפרבולה.

הערה 2

מה המשמעות של הנתון "ציר ה x משיק לפרבולה"

  1. כאשר אומרים שציר ה x משיק לפרבולה זה אומר שהישר y = 0 משיק לפרבולה, כי זו המשוואה של ציר ה x.
  2. על הישר y = 0  ערך ה y הוא 0 תמיד, לכן בנקודת ההשקה y = 0.
  3. בנוסף השיפוע של הישר  y = 0 הוא 0 ולכן שיפוע הפרבולה בנקודת ההשקה הוא 0 (וזה קורא לפרבולה רק בנקודת הקודקוד).

סוג ראשון: ידוע ערך x או y של נקודת ההשקה

למשל
מצאו את משוואת המשיק לפרבולה y = 2x² – 4x – 6 כאשר x= 2.

במקרה זה אנו יכולים:

  1. להציב את ערך ה x במשוואת הפרבולה ולקבל את נקודת ההשקה.
  2. להציב את ערך ה x בנגזרת הפרבולה ולקבל את שיפוע המשיק.
  3. עכשיו יש את נקודת ההשקה ושיפוע המשיק – נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

פתרון
שלב 1: מציאת נקודת ההשקה.
נציב x = 2 במשוואת הפרבולה ונקבל את ערך ה y בנקודת ההשקה.
y = 2 *2² – 4 *2 – 6
y = 8 – 8 – 6 = -6
נקודת ההשקה היא (6- , 2).

שלב 2: נמצא את שיפוע הפרבולה (והמשיק) בנקודת ההשקה.
נגזור את משוואת הפרבולה.
y = 2x² – 4x – 6
y ' = 4x – 4

נציב x = 2 בנגזרת ונמצא את השיפוע בנקודת ההשקה.
y ' (2) = 4 * 2 – 4 = 8 – 4 = 4

שיפוע המשיק הוא 4.

שלב 3: מציאת משוואת המשיק.
שיפוע המשיק 4, נקודה שדרכה עובר המשיק היא (6-, 2).
נציב את הנתונים הללו במשוואת הישר ונמצא את משוואת הישר.
(y-y1=m(x-x1
(y + 6 = 4 (x – 2
y + 6 = 4x – 8  / -6
y = 4x – 14

שרטוט של המשיק והפרבולה
שרטוט של המשיק והפרבולה

סוג שני: ידועה משוואת המשיק, צריך למצוא את נקודת ההשקה

(תרגיל זה מיועד לתלמידי 4-5 יחידות).

למשל
לפרבולה f(x) = x² + 2 עובר משיק שמשוואתו
y = 6x – 7
מצאו את את נקודת ההשקה.

פתרון
בנקודה ההשקה שיפוע המשיק הוא 6 (כמו שיפוע המשיק).

נגזור את הפונקציה ונמצא מתי הנגזרת שווה ל 6.
f(x) = x² + 2
f ' (x) = 2x

2x = 6
x = 3

בנקודת ההשקה x = 3.
נציב במשוואת במשיק ונמצא את ערך ה y בנקודת ההשקה.

y = 6x – 7
y = 6 * 3 – 7
y = 18 – 7 = 11

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “משיק לפרבולה”

  1. אני יכולה לא להשתמש בנגזרת? פשוט למצוא את הנקודה כמו נקודת החיתוך של פרבולה וישר, כאילו בנקודת השקה יהיה אותו Y, אז רק לפתור את המשוואה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ניתן להשתמש בנגזרת למציאת משוואת המשיק. את המשך השאלה לא הבנתי.

  2. הודיה אלמה

    לא הבנתי מה זאת אומרת שאתה אומר נגזור את הפרבולה (דרך אגב ,תודה האתר ממש עזר לי)

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.