משיק לפרבולה

יש שני סוגי שאלות מרכזיים בנושא משיק לפרבולה.
בדף זה נלמד וניתן דוגמה לשני הסוגים.

השאלות הללו מתבססות על שני דברים:

1. למשיק ולפרבולה יש את אותו שיפוע בנקודת ההשקה.
2. המשיק והפרבולה עוברים דרך נקודת ההשקה, לכן יש להם נקודה משותפת.

הערה 1

נגזרת של פולינום היא דבר שעליכם לדעת על מנת למצוא את השיפוע של הפרבולה.

הערה 2

מה המשמעות של הנתון “ציר ה x משיק לפרבולה”

1. כאשר אומרים שציר ה x משיק לפרבולה זה אומר שהישר y = 0 משיק לפרבולה, כי זו המשוואה של ציר ה x.
2. על הישר y = 0  ערך ה y הוא 0 תמיד, לכן בנקודת ההשקה y = 0.
3. בנוסף השיפוע של הישר  y = 0 הוא 0 ולכן שיפוע הפרבולה בנקודת ההשקה הוא 0 (וזה קורא לפרבולה רק בנקודת הקודקוד).

סוג ראשון: ידוע ערך x או y של נקודת ההשקה

למשל
מצאו את משוואת המשיק לפרבולה y = 2x² – 4x – 6 כאשר x= 2.

במקרה זה אנו יכולים:

1. להציב את ערך ה x במשוואת הפרבולה ולקבל את נקודת ההשקה.
2. להציב את ערך ה x בנגזרת הפרבולה ולקבל את שיפוע המשיק.
3. עכשיו יש את נקודת ההשקה ושיפוע המשיק – נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

פתרון
שלב 1: מציאת נקודת ההשקה.
נציב x = 2 במשוואת הפרבולה ונקבל את ערך ה y בנקודת ההשקה.
y = 2 *2² – 4 *2 – 6
y = 8 – 8 – 6 = -6
נקודת ההשקה היא (6- , 2).

שלב 2: נמצא את שיפוע הפרבולה (והמשיק) בנקודת ההשקה.
נגזור את משוואת הפרבולה.
y = 2x² – 4x – 6
y ‘ = 4x – 4

נציב x = 2 בנגזרת ונמצא את השיפוע בנקודת ההשקה.
y ‘ (2) = 4 * 2 – 4 = 8 – 4 = 4

שיפוע המשיק הוא 4.

שלב 3: מציאת משוואת המשיק.
שיפוע המשיק 4, נקודה שדרכה עובר המשיק היא (6-, 2).
נציב את הנתונים הללו במשוואת הישר ונמצא את משוואת הישר.
(y-y₁=m(x-x₁
(y + 6 = 4 (x – 2
y + 6 = 4x – 8  / -6
y = 4x – 14

סוג שני: ידועה משוואת המשיק, צריך למצוא את נקודת ההשקה

(תרגיל זה מיועד לתלמידי 4-5 יחידות).

למשל
לפרבולה f(x) = x² + 2 עובר משיק שמשוואתו
y = 6x – 7
מצאו את את נקודת ההשקה.

פתרון
בנקודה ההשקה שיפוע המשיק הוא 6 (כמו שיפוע המשיק).

נגזור את הפונקציה ונמצא מתי הנגזרת שווה ל 6.
f(x) = x² + 2
f ‘ (x) = 2x

2x = 6
x = 3

בנקודת ההשקה x = 3.
נציב במשוואת במשיק ונמצא את ערך ה y בנקודת ההשקה.

y = 6x – 7
y = 6 * 3 – 7
y = 18 – 7 = 11

עוד באתר:

• פרבולה קורס מתקדם.
• פרבולה 381.
• מתמטיקה לכיתה י.