לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

נקודות פיתול

החלקים של דף זה הם:

  1. סרטון הסבר.
  2. קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה וכיצד מוצאים אותם.
  3. איך מוצאים נקודות פיתול.
  4. תרגילים.

1.סרטון הסבר

כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.

2.קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה

בדף זה נסביר בקצרה בלבד מה זה קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה של פונקציה.
אם אתם מעוניינים להרחיב תוכלו לעשות זאת בדף קמירות וקעירות של פונקציה.

זו צורה המוגדרת כקעורה כלפי מעלה.
כאשר הפונקציה קעורה כלפי מעלה מתקיים:
f " (x) > 0

לעומת זאת
זו צורה המוגדרת כקעירה כלפי מטה.
כאשר הפונקציה קעורה כלפי מטה מתקיים:
f " (x) < 0

מבחינה מתמטית מוצאים קעירות כלפי מעלה ומטה של פונקציה על ידי:

  • אם בנקודה מסוימת מתקיים f " (x) > 0 , אזי בנקודה זו הפונקציה קעורה כלפי מעלה.
  • אם בנקודה מסוימת מתקיים f " (x) < 0  , אזי בנקודה זו הפונקציה קעורה כלפי מטה.
  • אם בנקודה כלשהי מתקיים f " (x) = 0 , אז נקודה זו חשודה כנקודת פיתול, נרחיב בהמשך הדף.

3.נקודות פיתול

הגדרה: נקודת פיתול היא נקודה בה הפונקציה משתנה מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה, או להפך.

אם הפונקציה גזירה פעמיים בנקודה אז בהכרח בנקודת פיתול מתקיים  f " (x) = 0.
אבל לא כל נקודה שבה הנגזרת השנייה שווה 0 היא נקודת פיתול.

דוגמה: 

שימו לב:
בנקודת פיתול הנגזרת הראשונה יכולה להיות שונה מ 0.
לכן בנקודת פיתול הפונקציה יכולה לעלות/ לרדת או להיות עם שיפוע 0.

איך מוצאים נקודות פיתול?

  1. גוזרים פעמיים את הפונקציה.
  2. נקודות המקיימות  f " (x) = 0  מוגדרות "חשודות לפיתול".
  3. בודקים האם הנקודות החשודות הן אכן נקודות פיתול:
    דרך א'- לפי טבלה (בדומה לתחומי עליה וירידה).
    אם סימן הנגזרת השנייה משתנה בסביבת הנקודה החשודה:
    הפונקציה עוברת מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה , או להפך.
    זוהי נקודת פיתול.
    דרך ב' – לפי נגזרת שלישית.
    גוזרים את הפונקציה פעם נוספת. מציבים את הנקודה בנגזרת השלישית.
    אם הנגזרת השלישית בנקודה שונה מ – 0 , זוהי נקודת פיתול.
    אם הנגזרת השלישית שווה ל- 0 יש להמשיך לגזור ובמידה והנגזרת הראשונה שתהיה שונה מ- 0 היא נגזרת אי זוגית זו נקודת פיתול.

הערה:  בחלק מהמקרים, בנקודת הפיתול הנגזרת הראשונה גם מתאפסת.
כלומר, נקודת הפיתול היא "חשודה לקיצון" – ואז מגלים בעזרת הטבלה שהיא איננה נקודת קיצון.
כלומר, סימן הנגזרת הראשונה אינו משתנה בסביבת הנקודה.

דוגמה
מצאו את נקודת הפיתול של הפונקציה
f(x) = x³ + 2x

פתרון
נגזור את הפונקציה פעמיים:
f ' (x) = 3x² + 2
f " (x) = 6x

נשווה את הנגזרת השנייה ל 0.
6x = 0
x = 0
הנקודה החשודה כפיתול היא x = 0.

נבדוק אם זה אכן פיתול על ידי נגזרת שלישית.
f "'(x) = 6
הנגזרת השלישית שונה מ 0 לכן זו נקודת פיתול.

ניתן לבדוק אם זו נקודת פיתול על ידי טבלה.
נבדוק האם הפונקציה עוברת מקמירות לקעירות או להפך על ידי הצבה בנגזרת השנייה.

ערך x 1 0 1-
ערך הנגזרת השנייה 6 0 6-

אנו רואים שהפונקציה עוברת מקמירות לקעירות ולכן זו נקודת פיתול.

4.המשיק בנקודת פיתול

בחלק מהשאלות נשמע משפט "שיפוע המשיק בנקודת הפיתול הוא …."

צריך לדעת שאין למשפט זה משמעות מיוחדת בגלל נקודת הפיתול.

וכאשר אנו מקבלים משפט כזה צריך להתייחס עליו כמו כל מידע על שיפוע של פונקציה בנקודה.

5.תרגילים

תרגילים 1-3 הם מציאת נקודות פיתול ותחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה.
תרגילים 4-5 משלבים פרמטרים.

תרגיל 1
f(x) = 3x5 – 5x3

א. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה ותחומי עלייה וירידה.
ב. מצאו את נקודות הפיתול של הפונקציה ותחומי קעירות כלפי מעלה/מטה.

פתרון התרגיל

א. נקודות קיצון + עלייה וירידה :
על מנת למצוא את הנקודות החשודות לקיצון , נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0 :|
f ' (x) = 15x4 – 15x2 = 0
פירוק לגורמים:
15x2(x2 – 1) = 0
בעזרת נוסחאות הכפל המקוצר:
(15x2 (x + 1) (x – 1
למשוואה זו יש שלושה פתרונות:
x = 0 , x = 1 , x = -1
ואלו הן הנקודות החשודות לקיצון.

נבדוק האם הן אכן נקודות קיצון לפי תחומי עלייה וירידה:

נשים לב כי בנקודה x = 0 סימן הנגזרת נשאר זהה בשתי הצדדים, לכן x = 0 איננה נקודת קיצון.
במצב כזה נגדיר אותה כ"נקודה חשודה לפיתול".
נאמת זאת בסעיף ב'.

תשובה לסעיף א':

  • מקסימום: (2 , 1-)
  • מינימום: (2- , 1)
  • עלייה:   x > 1   או   x < -1  
  • ירידה:      או    

ב. נקודות פיתול + קעירות:
יש לנו כבר נקודה אחת חשודה לפיתול , שמצאנו בסעיף א' (על פי f ' (x) =0)
על מנת למצוא עוד נקודות חשודות לפיתול , נגזור את הפונקציה פעם נוספת, ונשווה ל – 0 .

f ' (x) = 15x4 – 15x2
= 60x3 – 30x = 0
פירוק לגורמים:
f " (x) = 30x(2×2 – 1) = 0
למשוואה יש שלושה פתרונות:
x = 0 – אותה כבר מצאנו כחשודה לפיתול
x = √0.5 , x = -√0.5  גם חשודות לפיתול.

בדיקה בעזרת טבלה
נסמן את ערכי הנגזרת השנייה משמאל ומימין לנקודות החשודות

אנו רואים:
עבור x = -√0.5 הפונקציה עוברת מקמירות לקעירות לכן זו נקודת פיתול.
עבור x = 0  הפונקציה עוברת מקעירות לקמירות לכן זו נקודת פיתול.
עבור x = √0.5 הפונקציה עוברת מקמירות לקעירות לכן זו נקודת פיתול.

נקודות הפיתול הן:
(0,0) , (1.237 , 0.5√-)  , (1.237- , 0.5√ )

בדיקת נקודת פיתול בעזרת נגזרת שלישית
(3) (x) = 180x2 – 30

עבור x = -√0.5
(3) (-√0.5) = 45 – 30 = 15 ≠ 0
לכן זו נקודת פיתול.

עבור x = 0
(3) (-0) = 0 – 30 = -30 ≠ 0
לכן זו נקודת פיתול.

עבור x = -√0.5
(3) (√0.5) = 45 – 30 = 15 ≠ 0
לכן זו נקודת פיתול.

תשובה לסעיף ב':

  • פיתול: (0,0) , (1.237 , 0.5√-)  , (1.237- , 0.5√ )
  • קעירות כלפי מעלה:
       או    
  • קעירות כלפי מטה:
       או    

כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.

41 מחשבות על “נקודות פיתול”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. איך אני גוזרת כאשר יש לי נעלם כפול שורש ביטוי עם נעלם לדוגמא:
    2x -8 כפול שורש x-4
    תודה!

  2. מה קורה כשפולינום הנגזרת השניה היא פולינום ממעלה שניה עם מאפס אחד, אז שני צידי המאפס הם חיוביים (לדוגמא), וזה יוצר פונקציה קמורה משני צידי המשוואה, ונגיד שהנגזרת הראשונה עולה. זה גם נקודת פיתול? מצד אחד הנגזרת השניה מתאפסת. אבל מצד שני אין שינוי במגמת הסימן והפונקציה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      נקודת פיתול נקבעת על פי הנגזרת השנייה.
      לכן כל מה שציינת על הפונקציה או הנגזרת הראשונה לא רלוונטי.
      אם תרצה אתה יכול לשלוח דוגמה מספרית שתהיה ברורה יותר.

  3. אולג ברשוב

    הי
    אני ב 4 יחידות לימוד והמורה שלנו אמר אם יש פעמיים פלוס או פעמיים מינוס בטבלה אז זה פיתול .
    הוא לא הסביר על הנגזרת השניה כלל.
    ברגע שאניח צריך לצייר בהנחה שלא עושה את הנגזרת השנייה ,איך אני אדע איך לצייר את הפיתול מקעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה או ההפך.? תודה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש שיטות שמתאימות לתרגילים ברמת 4 יחידות אבל לא לכל התרגילים.
      לכן ומכוון שהמורה שלך בודק אותך, לך לפי המורה.

  4. הי, אשמח לדעת מה קורה כאשר יש נקודה חשודה לפיתול ובבדיקה של הנגזרת השלישית יוצא שהנגזרת השלישית אכן שווה 0. איך זה מתבטא בגרף?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם הנגזרת השנייה וגם השלישית שווה ל- 0 לא ניתן לקבוע אם זו נקודת פיתול ויש להמשיך לגזור ובמידה והנגזרת הראשונה שתהיה שונה מ- 0 היא נגזרת אי זוגית זו נקודת פיתול.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      ב x = 0 הנגזרת הראשונה לא שלילית ולכן הפונקציה לא יורדת.

  5. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי, לא הבנתי איך אני יודע מתי תחום הקעירות הוא כלפי מעלה ומתי כלפי מטה, אשמח להסבר.
    תודה.

  6. שלום,
    מבקשים ממני למצוא את שיעורי האיקס של נקודות הפיתול של הפונקציה f(x). נתון לי גרף בו משורטטות הנגזרת הראשונה והשניה, ובנוסף בסעיף הקודם מצאתי את שיעורי האיקס של נקודות הקיצון בפונקציה f(x) לפי הנקודות של הנגזרת(מהשרטוט) והכלל שמתי שהנגזרת חיובית אז הפונקציה עולה.
    איך אני מוצאת עכשיו את שיעורי האיקס של נקודות הפיתול של הפונקציה f(x)? אני מציבה בטבלה את הנקודות של הנגזרת השניה, ואז איפה שהנגזרת שלילית יש נקודת קיצון שלילית ואז אחרי שאני מגלה את כל הנקודות אני יודעת מה הם נקודות הפיתול?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      את נקודת הפיתול לומדים מגרף הנגזרת השנייה.
      בנקודה שבה הנגזרת השנייה שחותכת את ציר ה x ועוברת מחיוביות לשליליות או להפך יש פיתול.

  7. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    הי
    רציתי לשאול האם נקודה שמתאפסת בנגזרת הראשונה f'(x)=0 ואינה נקודת קיצון (אין מחבר מחיוביות לשליליות של (f'(x) היא בהכרח נקודת פיתול? או שצריך להוכיח זאת ע"י (f"(x?
    תודה!

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      בעיקרון במקרים נדרים נקודת קיצון יכולה להיות מוכחת על ידי נגזרת שהיא לא הנגזרת השנייה.
      מה שאני מכיר כמקובל זו ההוכחה המלאה – אם רוצים להוכיח שנקודה היא נקודת פיתול צריך לעבור את השלבים המופיעים בדף זה ולא ניתן לקצר.
      כמו כן בנקודת פיתול הנגזרת הראשונה לא חייבת להיות שווה ל 0.

  8. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי רציתי לדעת למה אם אין אסימפטוטה אופקית אז אין נקודת פיתול לפונקציה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      המשפט שרשום לא נכון.
      יש פונקציות עם אסימפטוטה אופקית וללא פיתול.

  9. אם יש לי שני x של נק חשודות לפיתול , 1 עם פרמטר והשנייה בלי ,ונתון איזה x גדול יותר, ואני צריך למצוא תחומי קעירות כלפי מטה ומעלה(אסור להשתמש בנגזרת השלישית) אז אני צריך למצוא מה קורה עבור ערך מסוים בפרמטר ואז להניח שתחומי הקעירות שנמצאו תקפים גם לשאר ערכי הפרמטר?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זה לא ברור.
      אני מניח שמכך שאתה יודע איזה ערך x גדול יותר תוכל לדעת טווח ערכים של הפרמטר.

  10. לאה זילברשטרום

    היי
    האם נקודת פיתול נכללת בתחומי עליה וירידה? בנק' פיתול שמשיקה מקביל לציר איקס?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם המשיק מקביל לציר ה x זה אומר שהשיפוע בנקודה שווה 0, והפונקציה לא עולה ולא יורדת.

  11. כתוב שבנקודות פיתול f " (x) = 0 בהכרח ובהמשך כתוב המקיימות f " (x) = 0 מוגדרות "חשודות לפיתול".

    בנקודות פיתול הנגזרת שנייה חייבת להיות 0 או לא??

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נועם
      אין סתירה בין הדברים.
      1.בכל נקודות הפיתול הנגזרת השנייה שווה 0.
      2.אבל יש נקודות בהן הנגזרת השנייה שווה ל 0 והן לא נקודות פיתול.
      לכן לאחר שמוצאים שהנגזרת השנייה שווה ל 0 יש להמשיך ולבדוק.

    1. היי.
      רציתי לשאול מדוע אם מצאנו נקודות פיתול נניח ב3.תרגיל 1 -לא כל הפיתולים משתקפים בגרף אלא רק נקודת הפיתול (0,0) בולטת והשאר לא?זה בגלל שהפונקציה יורדת או עולה אז לכאורה מציינים את הנקודה אבל בגרף זה לא משנה?

      1. לומדים מתמטיקה

        שלום
        בתרגיל 1 חלק 3 יש נקודות פיתול יחידה ולכן היא משורטטת.
        שאר הנקודות שמופיעות בטבלה הן קיצון.