קיצון מוחלט

בדף זה נלמד כיצד למצוא נקודות קיצון מוחלט של פונקציה.

החלקים של דף זה הם:

1. הסבר וידאו.
2. הסבר מה הן נקודות קיצות מוחלט והסבר לדברים נוספים.
3. כיצד מוצאים קיצון מוחלט.
4. תרגילים.

1.הסבר וידאו

2.מהן נקודות קיצון מוחלט?

מקסימום מוחלט: ערך ה y הגדול ביותר של הפונקציה.

מינימום מוחלט: ערך ה y הקטן ביותר של הפונקציה.

בניגוד לנקודות קיצון מקומיות, בקיצון מוחלט אין משמעות לערך הנגזרת.
יש משמעות רק לערך ה y.

איך מזהים נקודות בקצה של הפונקציה

נקודות קצה של פונקציה הן נקודות הנמצאות בקצה של הפונקציה (אין קשר בין המילים נקודת קצה לנקודת קיצון).
לא לכל הפונקציות יש נקודות קצה.

דוגמה 1
פונקציה המוגדרת בתחום

1≤ x ≤ 4

הנקודות

x = 1,  x = 4

הן נקודות קצה

דוגמה 2
פונקציה המוגדרת בתחום
-4< x ≤ 7

הנקודה
x = 7
היא נקודת קצה.

הנקודה x = 4 היא לא נקודת קצה כי היא לא חלק מהפונקציה, נקדת קצה צריכה להיות חלק מהפונקציה.

דוגמאות לקיצון מוחלט:

 

 

פונקציות ללא קיצון מוחלט

f(x) = x²
זו פונקציה עם מינימום מוחלט (הקודקוד) אבל ללא מקסימום מוחלט.
כי אין ערך x שעליו ניתן להגיד שהוא הגדול ביותר.

f(x) = x³ זו פונקציה ללא מקסימום מוחלט וללא מינימום מוחלט כי אין ערך x שעבורו ערך הפונקציה הוא הגדול ביותר או הקטן ביותר.

 

3.שלבים למציאת קיצון מוחלט

מציאת נקודות הקיצון המוחלט מתבסס על כך שהערך הגדול או הקטן ביותר של הפונקציה יכול להתקבל רק בקיצון הפנימי או בנקודת הקצה.

נקודה שאינה קיצון פנימי או נקודת קצה לא יכולה להיות מקסימום / מינימום מוחלט כי לכל נקודה כזו יש בוודאות נקודה אחרת עם ערך y גדול יותר וגם נקודה עם ערך y קטן יותר.

בשרטוט שלמטה לנקודות E,F שאינן קיצון פנימי או בקצוות יש בוודאות ערך גבוה או נמוך יותר.

אבל לנקודות A,B,C,D שהן קיצון פנימי או נקודות קצוות אין בהכרח ערך גדול יותר או קטן יותר בפונקציה.

לכן השלבים במציאת קיצון מוחלט:

1. מוצאים קיצון מקומי ואת ערכי ה y של הקיצון.
2. מוצאים את ערכי ה y בקצוות.
3. משווים את ערכי y בין כל הנקודות שמצאנו. הנקודה עם ערך ה y הגדול ביותר היא המקסימום המוחלט. הנקודה עם ערך ה y הקטן ביותר היא המינימום המוחלט.

דוגמה:
מצאו את המינימום והמקסימום המוחלט של הפונקציה f (x) = x³ -1.5x² בתחום

-2 ≤ x ≤ 2

פתרון
חלק א: נמצא מינימום ומקסימום מקומיים (פתרון מקוצר)
f (x) = x³ -1.5x²
f ' (x) = 3x² – 3x
3x² – 3x = 0
x = 0  או x = 1
אלו הנקודות החשודות כקיצון.

f " (x) = 6x – 3
עבור x = 0  זו נקודת מקסימום.
עבור x = 1 זו נקודת מינימום.

נמצא את ערכי ה y בנקודות הללו.
f (x) = x³ -1.5x²
f (0) = x³ -1.5x²  = 0
f (1) = 1³ -1.5*1²  = -0.5

שלבי ב: נמצא את ערכי ה y בקצוות
f (x) = x³ -1.5x²
עבור x = 2
f (2) = 2³ -1.5*2² = 2

עבור x = -2
f (-2) = (-2)³ -1.5*(-2)² = -14

שלב ג: השוואה בין כל הנקודות שמצאנו
ארבעת הנקודות שמצאנו הם:
(A (0,0)  B(1, -0.5)  C(2,2)  D (-2, -14

הנקודה עם ערך ה y הגדול ביותר היא (C(2,2 ולכן היא המקסימום המוחלט.

הנקודה עם ערך ה y הקטן ביותר היא (D(-2, -14 ולכן היא נקודת המינימום המוחלט.

4.תרגילים