קיצון מוחלט

לדף זה 3 חלקים:

  1. הסבר מה הן נקודות קיצות מוחלט והסבר לדברים נוספים.
  2. כיצד מוצאים קיצון מוחלט.
  3. תרגילים.

1.מהן נקודות קיצון מוחלט?

מקסימום מוחלט: ערך ה y הגדול ביותר של הפונקציה.
מינימום מוחלט: ערך ה y הקטן ביותר של הפונקציה.

בניגוד לנקודות קיצון מקומיות, בקיצון מוחלט אין משמעות לערך הנגזרת.
יש משמעות רק לערך ה y.

לחצו להגדרה המתמטית של קיצון מוחלט

ההגדרה המתמטית היא:
הנקודה x1 היא מקסימום מוחלט בתחום אם לכל x בתחום מתקיים (f (x1) > f(x
(ובמילים פשוטות: ערך הפונקציה ב x1 גדול יותר מערך הפונקציה בכל x אחר).

הנקודה x1 היא מינימום מוחלט אם לכל x בתחום מתקיים (f (x1) < f(x.
(ובמילים פשוטות: ערך הפונקציה ב x1 גדול יותר מערך הפונקציה בכל x אחר).

איך מזהים נקודות בקצה של הפונקציה

נקודות קצה של פונקציה הן נקודות הנמצאות בקצה של הפונקציה (אין קשר בין המילים נקודת קצה לנקודת קיצון).
לא לכל הפונקציות יש נקודות קצה.

דוגמה 1
פונקציה המוגדרת בתחום
1≤ x ≤ 4
הנקודות
x = 1,  x = 4
הן נקודות קצה

דוגמה 2
פונקציה המוגדרת בתחום
-4< x ≤ 7
הנקודה
x = 7
היא נקודת קצה.

דוגמאות לקיצון מוחלט:

 הנקודה A היא נקודת המינימום המוחלט והנקודה B היא המקסימום המוחלט.
הנקודה A היא נקודת המינימום המוחלט והנקודה B היא המקסימום המוחלט.
הנקודה C היא מקסימום מוחלט, הנקודה D היא מינימום מוחלט
הנקודה C היא מקסימום מוחלט, הנקודה D היא מינימום מוחלט
פונקציות ללא קיצון מוחלט

f(x) = x²
זו פונקציה עם מינימום מוחלט (הקודקוד) אבל ללא מקסימום מוחלט.
כי אין ערך x שעליו ניתן להגיד שהוא הגדול ביותר.

f(x) = x³ זו פונקציה ללא מקסימום מוחלט וללא מינימום מוחלט כי אין ערך x שעבורו ערך הפונקציה הוא הגדול ביותר או הקטן ביותר.

לפונקציה f(x) = x² יש מינימום מוחלט ואין מקסימום מוחלט. לפונקציה f(x) = x³ אין מקסימום מוחלט ואין מינימום מוחלט.
לפונקציה f(x) = x² יש מינימום מוחלט ואין מקסימום מוחלט.
לפונקציה f(x) = x³ אין מקסימום מוחלט ואין מינימום מוחלט.

 

2.שלבים למציאת קיצון מוחלט

מציאת נקודות הקיצון המוחלט מתבסס על כך שהערך הגדול או הקטן ביותר של הפונקציה יכול להתקבל רק בקיצון הפנימי או בנקודת הקצה.

נקודה שאינה קיצון פנימי או נקודת קצה לא יכולה להיות מקסימום / מינימום מוחלט כי לכל נקודה כזו יש בוודאות נקודה אחרת עם ערך y גדול יותר וגם נקודה עם ערך y קטן יותר.

בשרטוט שלמטה לנקודות E,F שאינן קיצון פנימי או בקצוות יש בוודאות ערך גבוה או נמוך יותר.
אבל לנקודות A,B,C,D שהן קיצון פנימי או נקודות קצוות אין בהכרח ערך גדול יותר או קטן יותר בפונקציה.

לנקודות E,F יש בהכרח נקודות אחרות עם ערך y גדול יותר וקטן יותר. אבל הנקודות האדומות יכולות להיות קיצון מוחלט.
לנקודות E,F יש בהכרח נקודות אחרות עם ערך y גדול יותר וקטן יותר.
אבל הנקודות האדומות יכולות להיות קיצון מוחלט.

לכן השלבים במציאת קיצון מוחלט:

  1. מוצאים קיצון מקומי ואת ערכי ה Y של הקיצון.
  2. מוצאים את ערכי ה y בקצוות.
  3. משווים את ערכי y בין כל הנקודות שמצאנו. הנקודה עם ערך ה y הגדול ביותר היא המקסימום המוחלט. הנקודה עם ערך ה y הקטן ביותר היא המינימום המוחלט.

דוגמה:
מצאו את המינימום והמקסימום המוחלט של הפונקציה f (x) = x³ -1.5x² בתחום

-2 ≤ x ≤ 2

פתרון
חלק א: נמצא מינימום ומקסימום מקומיים (פתרון מקוצר)
f (x) = x³ -1.5x²
f ' (x) = 3x² – 3x
3x² – 3x = 0
x = 0  או x = 1
אלו הנקודות החשודות כקיצון.

f " (x) = 6x – 3
עבור x = 0  זו נקודת מקסימום.
עבור x = 1 זו נקודת מינימום.

נמצא את ערכי ה y בנקודות הללו.
f (x) = x³ -1.5x²
f (0) = x³ -1.5x²  = 0
f (1) = 1³ -1.5*1²  = -0.5

שלבי ב: נמצא את ערכי ה y בקצוות
f (x) = x³ -1.5x²
עבור x =2
f (2) = 2³ -1.5*2² = 2
עבור x = -2
f (-2) = (-2)³ -1.5*(-2)² = -14

שלב ג: השוואה בין כל הנקודות שמצאנו
ארבעת הנקודות שמצאנו הם:
(A (0,0)  B(1, -0.5)  C(2,2)  D (-2, -14

הנקודה עם ערך ה y הגדול ביותר היא (C(2,2 ולכן היא המקסימום המוחלט.
הנקודה עם ערך ה y הקטן ביותר היא (D(-2, -14 ולכן היא נקודת המינימום המוחלט.

3.תרגילים

תרגיל 1
עבור הגרף הבא זהו את נקודות המינימום והמקסימום המוחלטים.

פתרון
לנקודה C יש את ערך ה y הקטן ביותר ולכן היא מינמום מוחלט.
לנקודה D יש את ערך ה y הגדול ביותר ולכן זו נקודת מקסימום.

תרגיל 2
עבור הגרף הבא זהו את נקודות המינימום והמקסימום המוחלטים.
עיגול מלא מסמל שהנקודה שייכת לתחום ההגדרה של הפונקציה.
עיגול ריק מסמן שהנקודה אינה שייכת לתחום ההגדרה של הפונקציה.

פתרון
לנקודה C יש את ערך ה y הקטן ביותר ולכן היא מינימום מוחלט.
לעומת זאת לא קיימת נקודה מדויקת שבה ערך הפונקציה הגדול ביותר. ולכן אין לפונקציה מקסימום מוחלט.

תרגיל 3
עבור הפונקציה f (x) = x² -2x + 6
בתחום

מצאו מינימום ומקסימום מקומיים ומוחלטים.

פתרון
נגזור את הפונקציה ונמצא מינימום ומקסימום מקומיים
f (x) = x² -2x + 6
f ' (x) = 2x – 2
2x – 2 = 0
x = 1

נמצא את סוג הקיצון על ידי נגזרת שנייה.
f ' (x) = 2x – 2
f " (x) = 2
זו נקודת מינימום.

לפונקציה קיצון מקומי יחיד בנקודה x =1.
נמצא את ערך ה y בנקודה.
f (1) = 1² -2*1 + 6 = 5
נקודת המינימום המקומי היא (1,5).

נמצא את ערכי הפונקציה בקצוות
f (x) = x² -2x + 6
f (2) = 2² -2*2 + 6 = 6
f (-2) = (-2)² -2* (-2) + 6 = 16
הנקודות בקצוות הן:
(2,6)   (16, 2-)

תשובה: נקודת המינימום המוחלט היא (1,5).
נקודת המקסימום המוחלט היא (16, 2-).

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

17 מחשבות על “קיצון מוחלט”

    1. לומדים מתמטיקה

      הנקודה עצמה היא נקודה הנמצאת בקצה תחום ההגדרה של הפונקציה.

      ואם היא קיצון בודקים על פי השלבים הבאים:

      1.מוצאים קיצון מקומי ואת ערכי ה Y של הקיצון.
      2.מוצאים את ערכי ה y בקצוות.
      3.משווים את ערכי y בין כל הנקודות שמצאנו. הנקודה עם ערך ה y הגדול ביותר היא המקסימום המוחלט. הנקודה עם ערך ה y הקטן ביותר היא המינימום המוחלט.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש קיצון מוחלט שהוא שיכול להיות בקצוות.
      במקרה זה הקיצון המוחלט לא נקרא קיצון מקומי.

  1. היי
    אם נתון לי ערך X של נקודות, שהתחום נקודות הקצה שלהם הוא 4≥ איקס ≥2-
    איך אני אמורה לדעת איזה סוג נקודות הן? כאילו אין לי עוד נתון שבעזרתו אני יכולה לדעת (לא נתון ה-Y, ויש לי רק שרטוט של גרף הפונקציה)…

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אני מניח שהתחום שכתוב הוא תחום ההגדרה של הפונקציה.
      הנקודה הנמוכה ביותר בגרף – היא המינימום המוחלט והנקודה הגבוהה – המקסימום המוחלט.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לא בטוח שאני יודע על מה את מדברת אבל העיגולים הללו מסמנים גם תחומי הגדרה ועיגול ריק מסמן נקודה שהפונקציה אינה מוגדרת.

  2. שלום תודה רבה על הסרטונים הם עוזרים מאוד להבנה שלי!
    רציתי לשאול למה כשמחפשים את נקודות הקיצון ע"י השוואת הנגזרת לאפס לא בודקים את סביבתה בנגזרת? הרי היא יכולה להיות נקודת פיתול ואז היא לא יכולה להיות נקודת קיצון….

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אורפז.
      בהחלט בודקים את הנגזרת בסביבת הנקודה.
      זה מה שעושים בטבלה של קיצון.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום נעמה
      קיצון מקומי זה קיצון שהוא גדול או קטן יותר מסביבתו הקרובה – לכן קוראים לו מקומי.
      קיצון מוחלט הוא הנקודה בה ערך ה y הגדול או הקטן ביותר של הפונקציה.

  3. הי .
    יכול להיות לנו מינימום ומקסימום מוחלט בתחום שהוא לא תחום סגור ? או שבמקרה זה כל הקיצון נחשבות לפנימיות ?
    תודה רבה למשיב .

    1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

      זאת אומרת שקיצון מוחלט יכול להיות גם בתחום פתוח . פשוט ערך y הכי גבוהה מקסימום מוחלט או ערך y הכי נמוך מינימום מוחלט ? קיצון מוחלט לא חייב להיות דווקא בתחום סגור . יכול להיות גם בתחום פתוח ?

      1. לומדים מתמטיקה

        התשובה על השאלה הזאת:
        ערך y הכי גבוהה מקסימום מוחלט או ערך y הכי נמוך מינימום מוחלט ?
        היא כן.
        ובלבד שערך ה y מתקבל עבור x מסוים.

        כל השאר לא רלוונטי

    1. לומדים מתמטיקה

      כן. כי ערך קיצון מקסימום מוחלט יש רק אחד.
      אז כל המקסימום המוחלט צריכים להיות עם אותו ערך.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.