בעיות מינימום מקסימום, בעיות קיצון 4 יחידות

בשאלון 481 יש לרוב שאלה אחת בנושא בעיות מינימום מקסימום. השאלה מופיעה בחלק השלישי של הבחינה יחד עם שאלות בנושא חקירת פונקציות.

לרוב שאלות מינימום מקסימום קצרת בהרבה מבעיות חקירת פונקציות ואם יש לכם בעיות זמן זו בהחלט צריכה להיות העדפה שלכם.

שלבים בפתרון בעיות מינימום מקסימום

א) לבחור משתנה שבאמצעותו ניתן להגדיר את הפונקציה הרצויה.
ב) לבנות פונקציה בעזרת המשתנה הנתון
ג) לגזור את הפונקציה ולמצוא נקודות קיצון (להשוות את הנגזרת ל – 0.
ד) לבדוק האם נקודת / נקודות הקיצון שקיבלנו היא מתאימה לדרישה של השאלה (מינימום או מקסימום).

בדף זה שני חלקים:

  1. 3 שאלות הכנה לבגרות.
  2. פתרונות מלאים לתרגילים מהבגרות.
  • תרגילים נוספים, בעיקר קלים יותר תוכלו למצוא בדף בעיות קיצון.

שאלות הכנה לבגרות

לכל שאלות ההכנה יש גם פתרון וידאו.
פתרון הוידאו מופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

מבין כל המלבנים שהיקפם הוא 40. מה הם
אורכי הצלעות שעבורם שטח המלבן הוא מקסימלי?
חשבו את שטח המלבן המקסימלי.

פתרון
שלב 1: הגדרת צלעות המלבן המבוקשות בעזרת משתנה אחד.
אם אורך צלעות מלבן הוא a,b אז היקף המלבן הוא:
(p = 2(a + b

לכן סכום צלעות המלבן שווה לחצי מהיקף המלבן.
במקרה שלנו חצי מהיקף המלבן הוא 20.
נגדיר:
x1 צלע אחת של המלבן
אורך הצלע השנייה

שלב 2: בניית פונקציה המתארת את שטח המלבן
שטח מלבן שווה למכפלת צלעותיו.
f (x) = x1 (20 – x1) = 20x1 – x1²

שלב 3: מציאת נקודת המקסימום
f (x) =  20x1 – x1²
f ' (x) = 20 – 2x1

2x1 + 20 = 0-
2x1 = 20
x1 = 10
גודל צלע המלבן החשודה כמספקת שטח מקסימלי היא 10.

נבדוק האם הנקודה החשודה כקיצון היא נקודת מקסימום
נעשה זאת בעזרת הנגזרת השנייה.
f ' (x) = 20 – 2x1
f " (x) = -2
נגזרת שלילית משמעותה עבור נקודות קיצון היא מקסימום.

סימן הנגזרת שלילי עבור כל x וגם עבור x = 10.
לכן x1 = 10 היא נקודת מקסימום.

נמצא את צלע המלבן השנייה:
10 = 10 – 20
תשובה: צלעות המלבן הנותנות שטח מקסימלי הן 10,   10. זה ריבוע.

שלב 4: האם שאלו אותנו שאלה נוספת?
ביקשו שנמצא את שטח המלבן המקסימלי.
מכפלת הצלעות היא:
100 = 10 * 10
תשובה: שטח המלבן הוא 100 סמ"ר.

תרגיל 2

על הישר y = -3x + 4 נמצאת הנקודה A ברביע הראשון.
הנקודה A יוצרת עם הצירים מלבן.

  1. מצאו את הנקודה A היוצרת שטח מלבן מקסימלי.
  2. חשבו את שטח המלבן.
שרטוט התרגיל
שרטוט התרגיל

פתרון
חלק ראשון: הגדרת הנקודה A
נגדיר xA ערך ה x בנקודה A.
נציב xA במשוואת הישר  y = -3x + 4 על מנת למצוא את ערך ה y בנקודה A.
y = -3xA + 4
לכן הנקודה A היא (xA,  -3xA + 4)

חלק שני: יצירת פונקציה המחשבת את שטח המלבן
ניצור פונקציה המחשבת את שטח המלבן שהנקודה A יוצרת עם הצירים.
x  הוא רוחב המלבן.
3xA + 4-   הוא גובה המלבן.

שטח המלבן הוא:
f (x) = xA (-3xA + 4) = -3xA² + 4xA
f (x) = -3xA² + 4xA

חלק שלישי: מציאת נקודת מקסימום
על מנת למצוא את שטח המלבן הגדול ביותר נחפש את נקודת המקסימום של הפונקציה.
נגזור:
f ' (x) = -6xA + 4
נשווה את הנגזרת ל 0.
4-6xA = 0
6xA = 4
x= 0.66

הנקודה x= 0.66 חשודה כנקודת מקסימום.
ניתן לבדוק האם זו אכן נקודת מקסימום על ידי הנגזרת השנייה.
f " (x) = -6
הנגזרת השנייה שלילית בנקודה לכן זו נקודת מקסימום.

חלק רביעי: מציאת ערך ה y של הנקודה A
נמצא את ערך ה y של הנקודה A.
yA = -3*0.66 + 4 = -2 + 4 = 2
הנקודה A היא (2, 0.66).

סעיף ב: חישוב שטח המלבן
שטח המלבן הוא:
S = 2 * 0.66 = 1.333
תשובה: שטח המלבן המקסימלי הוא 1.333 יחידות ריבועיות.

דרך נוספת לבדוק היא על ידי בדיקת סביבת הנקודה.
נציב ערכים הנמצאים בסביבת הנקודה נגזרת.
נציב x= 0.7,  x= 0.33.
f ' (0.33) = -6*0.33 + 4 = 2 > 0
f ' (0.33)  > 0  משמאל לנקודה הפונקציה עולה.
f ' (0.7) = -6*0.7 + 4 = -0.2< 0
f ' (1) < 0  מימין לנקודה הפונקציה יורדת.

מצאנו שמשמאל לנקודה הפונקציה עולה, מימין לנקודה הפונקציה יורדת. לכן זו נקודת מינימום.

הנקודה A במקום היוצר שטח מלבן מקסימלי
הנקודה A במקום היוצר שטח מלבן מקסימלי

 

הרחבה של שאלה 2

בשאלה 3 חישבנו את שטח המלבן של הישר y = -3x + 4 עם הצירים.
כיצד היינו פותרים את אותה שאלה אם היינו צריכים למצוא את שטח המלבן המקסימלי הנוצר עם הישרים y = -1, x = 0.5?
לא נפתור את השאלה במלואה, אלא רק נראה כיצד בונים פונקציה המתארת את השטח במצב הזה.

שרטוט התרגיל

במקרה זה הערכים של הנקודה A נשארים כמו שהיו:
(A (xA,  -3xA + 4

חישוב אורכי צלעות המלבן
אורך הצלע מהנקודה A ועד הישר x= 0.5 היא:
xA – 0.5
אורך הצלע מהנקודה A ועד הישר y = -1 היא:
3xA + 4 + 1-

הפונקציה המתארת את שטח המלבן
(f (x) = (xA – 0.5) * (-3xA + 4 + 1
לפני שנגזור נפתח את הסוגריים:
f (x) = -3xA² + 5xA + 1.5xA – 2.5
f (x) = -3xA² + 6.5xA – 2.5

ומכאן אנו נמשיך כמו בשאלה המקורית: מציאת נקודת מקסימום וכו.

 

תרגיל 3

במשולש ישר זוויות סכום אורכי הניצבים הוא 12 סנטימטר.
מה צריכים להיות אורכי הניצבים על מנת שאורך היתר יהיה מינימלי?

פתרון

שלב 1: הגדרת המספרים המבוקשים באמצעות משתנה אחד.
נסמן:  x – אורך אחד הניצבים במשולש בסנטימטרים.
סכום אורכי הניצבים = 12 ס"מ.
לכן אורך הנציב השני יהיה  .

 

שלב 2: בניית הפונקציה המבוקשת.
הפונקציה המבוקשת מתארת את אורך היתר.
נבטא את אורך היתר באמצעות x , ע"י שימוש במשפט פיתגורס.
לכן:

הביטוי שבתוך השורש מורכב משני ביטויים חיוביים תמיד.
x², (12 – x)²
ולכן הפונקציה מוגדרת לכל x.

שלב 3: מציאת הנקודות עבורם הנגזרת מתאפסת.
נגזור את הפונקציה ונשווה ל – 0:

המכנה שונה מ – 0 (כי אם הוא מתאפס הביטוי אינו מוגדר)
לכן:
4x – 24 = 0
4x = 24
x = 6

כלומר אורך הניצב החשוד שגורם לערך הפונקציה להיות מינימלי הוא 6.

שלב 4: בדיקה האם הנקודה שמצאנו היא מינימום או מקסימום.

הביטוי שבמכנה מורכב משורש של מספר שהוא תמיד חיובי (אם הביטוי שבתוך השורש שלילי השורש אינו מוגדר).
כפול המספר 2 שגם הוא תמיד חיובי.
לכן המכנה חיובי בכול תחום ההגדרה ואינו משפיע על סימן הנגזרת.

סימן הנגזרת נקבע אך ורק על ידי המונה 4x – 24.
נבדוק את סימן הנגזרת עבור
הערכים x= 5, x = 7
הנמצאים בסביבת הנקודה ועל פיהם נחליט אם זו נקודת מינימום.
4- = 24 – 5*4
כאשר x = 5 סימן הנגזרת שלילי.
4 = 24 – 7*4
כאשר x = 7 סימן הנגזרת חיובי.

הפונקציה יורדת משמאל לנקודה x= 6 ועולה מימן לנקודה.
לכן הנקודה x= 6 היא נקודת מינימום.

לכן עבור x = 6  אורך היתר הוא מינימלי.
אורך הניצב השני הוא  , לכן גם שווה ל – 6.
תשובה: אורכי הניצבים עבורם מתקבל אורך יתר מינימלי הם 6 , 6

ניתן להוכיח ש x=6 זו נקודת מינימום גם בעזרת הנגזרת השנייה.

נכפול את המונה והמכנה ב – (2x2 – 24x + 144)√

כאשר מציבים x = 6 מקבלים נגזרת שנייה חיובית.
נגזרת שנייה חיובית => זוהי נקודת מינימום.

לכן עבור x = 6  אורך היתר הוא מינימלי.
אורך הניצב השני הוא  , לכן גם שווה ל – 6.
תשובה: אורכי הניצבים עבורם מתקבל אורך יתר מינימלי הם 6 , 6

שלב 5: בדיקה אם יש עוד סעיף לשאלה
בשאלה זו לא ביקשו מאיתנו לחשב עוד משהו.


הפונקציה (f(x ונקודת המינימום שלה

פתרונות לתרגילים מהבגרות בנושא מינימום מקסימום

קיץ 2018 שאלה 8

א. נרצה למצוא את נקודה A עבורה שטח המשולש ABO הוא מקסימלי.
נשים לב כי זוהי בעיית קיצון.
לכן, נביע את שטח המשולש ABO כפונקציה של שיעורי הנקודה A.
לאחר מכן נגזור את הפונקציה ונמצא את נקודת המקסימום שלה (שטח מקסימלי של המשולש).

נסמן את שיעור ה-x של נקודה A ב-x.
מכיוון שהנקודה A נמצאת על הפונקציה f(x) = x3 , שיעור ה-y שלה יהיה x3. (הצבת שיעור ה-x בפונקציה).
נקודה B נמצאת באותו שיעור y של נקודה A , ושיעור ה-x שלה הוא 2, מכיוון שנמצאת על הישר x = 2.

כעת נמצא את הפונקציה המבטאת את שטח המשולש ABO.
כלומר, נמצא את שטח המשולש באמצעות שיעורי הנקודות שמצאנו.
נשים לב כי מתקיים:
SΔABO = SABCO – SΔBCO

אורכי הצלעות:
AB = 2 – x
CO = 2
BC = x3
לכן שטח הטרפז הוא:
SABCO = (2 + 2 – x)*x3 / 2
SABCO = (4x3 – x4)/2
SABCO = 2x3 – x4/2

  • שטח המשולש BCO:
    2/(SΔ = (BC*CO
    SΔ = 2*x3/2
    SΔBCO = x3

לכן, שטח המשולש ABO:

SΔABO = SABCO – SΔBCO
נציב את השטחים שמצאנו:

SΔABO = 2x3 – x4/2 – x3
SΔABO = x3 – x4/2

נסמן את שטח המשולש כפונקציה, (f(x.
f(x) = x3 – x4/2

כעת נגזור את הפונקציה על מנת למצוא את נקודת המקסימום שלה:
f ' (x) = 3x2 – 2x3 = 0
x2 * (3 – 2x) = 0
x1 = 0  –  נזכור כי x הוא שיעור ה -x של נקודה A , ולכן זה לא הגיוני שהוא שווה 0. לכן אפשרות זו נפסלת.
x2 = 1.5 – כעת נצטרך לוודא כי אכן מדובר בנקודת מקסימום.

זוהי אכן נקודת מקסימום.
לכן, התשובה:
שיעורי הנקודה A שבעבורה שטח המשולש ABO הוא מקסימלי: (x,y) = (1.5 , 3.375)

ב. על מנת למצוא את שטח המשולש המקסימלי, נציב בפונקציית השטח את שיעור ה – x שמצאנו עבור נקודה A.
S = (1.5)3 – (1.5)4 / 2
S = 3.375 – 5.0625/2
S = 0.84375 = 27/32

חורף 2018 שאלה 8

א.
BF הוא אלכסון בריבוע BEFG. לכן, הזווית GBF שווה ל – 45º.
BD הוא אלכסון בריבוע ABCD. לכן, הזווית CBD שווה ל – 45º.

לכן, מחיבור הזויות, הזווית DBF שווה ל – 90º.
לכן המשולש BDF  הוא משולש ישר זווית.

נשים לב כי זוהי בעיית קיצון.
אנו נדרשים למצוא את אורך האלכסון BD עבורו אורך הקטע DF מינימלי.
לכן אנו צריכים לבטא את DF כפונקציה של BD, ואז לגזור את הפונקציה כדי למצוא את נק' המינימום שלה.

לכן נסמן – BD = x.
מהנתון: BD + BF = a , נסיק כי:  BF = a – x

המשולש BDF הוא משולש ישר זווית, ולכן נוכל להשתמש במשפט פיתגורס:
DF2 = BD2 + BF2
נציב את ערכי הצלעות שמצאנו לפי x:
DF2 = x2 + (a-x)2
DF2 = x2 + a2 – 2ax + x2
DF2 = 2x2 – 2ax + a2
נוציא שורש: (לא נצטרך לחלק ל – ± מכיוון שאורך של צלע אינו יכול להיות שלילי)
(DF = √(2x2 – 2ax + a2
כעת לשם הנוחות נסמן (DF = f(x – זוהי הפונקציה לה אנו רוצים למצוא נק' מינימום.

כעת נגזור ונשווה ל – 0 על מנת למצוא נקודות חשודות לקיצון:

המנה שווה ל – 0 רק אם המונה מתאפס.
4x – 2a = 0
4x = 2a
x = a/2

זוהי נקודה חשודה לקיצון.
יש כעת לוודא כי היא אכן נקודת מינימום כנדרש בשאלה.
נוודא זאת ע"י טבלה:

לכן x = a/2 היא אכן נקודת מינימום של הפונקציה.
נזכור כי x מסמן את הצלע BD, והפונקציה מסמנת את הצלע DF.

תשובה לסעיף א': אורך האלכסון BD עבורו אורך הצלע DF הוא מינימלי הוא: a/2.

ב.
BD = a/2
נתון כי : BD + BF = a
לכן : BD = BF = a/2.

כלומר, האלכסונים של שני הריבועים שווים.
מכך ניתן להסיק שהריבועים ABCD ו – BEFG זהים.
ולכן צלעות הריבועים הללו שוות.

תשובה לסעיף ב': AB/BE = 1

חורף 2017 שאלה 8

שרטוט התרגיל
שרטוט התרגיל

על פי משפט פיתגורס במשולש ישר זווית KFC.
KF²= 10²-X²

ב. נבנה פונקציה המבטאת את היקף המלבן.
f(x)=2(√(10²-X²)+10) + 4x
נגזור את הפונקציה ונשווה ל 0 על מנת למצוא נקודת מקסימום.

(x²=4(100-x²
5x²=400
x²=80
x=√80 או x=-√80
המספר השלילי אינו מתאים לנתוני השאלה.

מכוון שהעלינו בריבוע עלינו להציב במשוואה שלפני העלאה על מנת לראות אם התשובה נכונה.

עכשיו עלינו לבדוק אם זו נקודת מקסימום.
8.944 = 80√
נציב 9 ו 8 על בנגזרת מנת לבדוק את ערכי הנגזרת בסביבה של הנקודה החשודה כקיצון.

הפונקציה עולה ולאחר מיכן יורדת לכן x=√80 זו נקודת מקסימום.

בשאלה נדרשנו לחשב את BC.
BC=2X=2√80

קיץ 2016 שאלה 8

סעיף א
נבנה פונקציה של סכום שטחי המעגלים.
על פי השרטוט רדיוס מעגל O1 כולל פעמיים את רדיוס O2 ופעמיים את רדיוס O3.
לכן סכום הרדיוסים של O2 ו O3 הוא 10:2=5.

נגדיר
x – אורך רדיוס O2 בס"מ.
5-x – אורך רדיוס O3 בס"מ.

הנוסחה של שטח עיגול היא:
S=₶r²
סכום שטחי המעגלים הוא:
(F(x)=₶x²+₶(5-x)²=₶x²+₶(25-10x+x²=
= ₶x²+25₶-10₶x+₶x²
2₶x²+25₶-10₶x
F'(x)=4₶x-10₶

נבדוק מתי הנגזרת שווה ל 0
4₶x-10₶=0 / :2₶
2x-5=0
2x=5
x=2.5

נבדוק אם זו נקודת מינימום או מקסימום על ידי בדיקה בסביבת הנקודה.
F'(2)=4₶*2 -10₶=-2₶<0
F'(4)=4₶*4 -10₶=6₶>0
הפונקציה יורדת משמאל לנקודה ועולה מימין – לכן זו x=2.5 היא נקודת מינימום.

רדיוסי המעגלים שנותנים שטח מינימלי הם:
O2 – 2.5 ס"מ.
O3 – 5-2.5=2.5 ס"מ.

הנוסחה להיקף מעגל היא:
P=2₶r
סכום ההיקפים הוא:
10₶ = 2*2.5₶ + 2*2.5₶
תשובה: סכום ההיקפים של המעגלים ששטחם מינימלי הוא 10₶.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.