לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

טריגונומטריה 481 מתמטיקה 4 יחידות

לדף זה שני תפקידים:

  1. לתת קישורים לדפים מהם אתם יכולים ללמוד את החומר.
  2. לתת דגשים וטיפים כיצד לפתור תרגילים.
  3. בנוסף, יש כאן פתרונות מלאים לתרגילי בגרות.

1.קישורים

נושאים הנפתרים בעזרת משולש ישר זווית:

  1. שיעור 1: שימוש בסיסי בפונקציית הסינוס קוסינוס טנגס.
  2. שיעור 2: שאלות קשות יותר במשולש ישר זווית.
  3. שיעור 3: טריגונומטריה במשולש שווה שוקיים.
  4. שיעור 4: טריגונומטריה במרובעים המתפרקים למשולש ישר זווית.

נושאים הנפתרים במשולשים שאינם ישרי זווית:

  1. שיעור 5: משפט הסינוסים.
  2. שיעור 6: משפט הקוסינוסים.
  3. שיעור 7: חישוב שטח משולש בעזרת שתי צלעות וזווית.
  4. שיעור 8: שטח מקבילית טריגונומטריה.
  5. שיעור 9: משוואות טריגונומטריות.

2. 7 דגשים בנושא טריגונומטריה

עברתי על 15 בחינות הבגרות האחרונות מהשנים 2015-2019, וכאן אנסה לתת לכם מספר דגשים כיצד להתמודד עם שאלות בטריגונומטריה בבגרות.

1.הרבה סעיפים הם סעיפים פשוטים

הרבה סעיפי תרגילים נפתרים בעזרת הצבה של מספרים בשלושת הנוסחאות הבאות:

  1. משפט הסינוסים.
  2. משפט הקוסינוסים.
  3. חישוב שטח משולש בעזרת שתי צלעות וזווית.

כמובן שצריך לדעת לעשות שימוש גם בפונקציות הסינוס, קוסינוס וטנגס במשולש ישר זווית.

2.תכונות משולש שווה שוקיים

ברוב השאלות מופיע גם משולש שווה שוקיים, ואתם צריכים להשתמש בתכונות של משולש שווה שוקיים על מנת לפתור את השאלה.

התכונה המרכזית של משולש שווה שוקיים שבה משתמשים היא שאם יודעים זווית אחת במשולש ניתן למצוא את הזוויות האחרות.

למשל בשני המשולשים הבאים AB = AC וניתן למצוא בעזרת הזווית המסומנת את שתי הזוויות

3.שאלות עם יחסים

אז יש לנו את:

  1. משפט הסינוסים.
  2. משפט הקוסינוסים.
  3. חישוב שטח משולש על פי שתי צלעות וזווית.

אבל זה לא מספיק כדי ליצור תרגיל ברמת 4 יחידות.
לכן יש מכשולים נוספים.
ואחד המכשולים שאוהבים להכניס בשאלות הוא גדלי צלעות המוגדרים באמצעות משתנים.
למשל, האם בשרטוט הבא ניתן למצוא את הזווית x?

AB =1.5AC
C = 80∠

פתרון
נבנה משוואה על פי משפט הסינוסים.
והפרמטר a יצטמצם לנו.

1.5a *sin x = a * sin 80
1.5sin x = sin 80
sin x = 0.984 : 1.5 = 0.566
x = 41.036  או  x = 138.96
מכוון שהזווית x נמצאת מול הצלע הקטנה יש פתרון יחיד
x = 41.036

4.חישוב מקדים במשולש אחר לצורך פתרון

מכשול נוסף בו אתם יכולים להיתקל הוא שלא יהיו מספיק נתונים במשולש שבו אתם צריכים לבצע חישוב, אבל יהיו נתונים במשולש סמוך, ומהמשולש הסמוך תוכלו למצוא את מה שחסר לכם.

דוגמה
על פי הנתונים שבשרטוט.
חשבו את אורך הצלע CD.

פתרון
הצלע CD נמצאת במשולש ACD ובו אין לנו מספיק נתונים על מנת לבצע חישובים.

תחילה נמצא את זוויות משולש ACD

  1. ACD = 180 – 100 = 80  זוויות משלימות ל 180 מעלות.
  2. ACB = 180 -80 – 30 = 70 סכום הזוויות במשולש ACD הוא 180 מעלות.

עכשיו חסרה לנו צלע אחת במשולש ACD על מנת שנוכל להשתמש במשולש זה במשפט הסינוסים.

אנו יכולים למצוא את הצלע AC במשולש ABC על ידי המשוואה:

ועכשיו ניתן למצוא את CD על ידי משפט הסינוסים במשולש ADC.

תשובה: 4.67 סנטימטר.

5.כיצד לשרטט קטע נוסף באמצע השאלה

בחלק מהשאלות באמצע השאלה יבקשו ממכם להוסיף משהו לשרטוט, לרוב לשרטט ישר, ואז לפתור שאלה.

הטעות היא:
לקחת את השרטוט המקורי הרשום בשאלה ולהוסיף לו את הישר שביקשו מאיתנו.

הדבר הנכון:

  1. לשרטט את השרטוט המקורי שקיבלנו בשאלה.
  2. להוסיף אליו את כל הנתונים שחישבנו בסעיפים קודמים עד עכשיו.
  3. להוסיף את הבנייה שביקשו מאיתנו בסעיף זה.

6.שאלה מעניינת שהייתה על מרכז המעגל החוסם

אתם צריכים לזכור כי ברוב השאלות שבהם מדברים על מרכז המעגל החוסם צריך להשתמש במשפט הסינוסים על מנת למצוא את אורכו.

במועד חורף 2019 ניתנה שאלה מעניינת על מרכז המעגל החוסם והיא הייתה דומה לשאלה הזו:

על פי הנתונים שבשרטוט. האם הנקודה M היא מרכז המעגל החוסם את משולש ABC?

פתרון בדרך ראשונה
על מנת ש M תהיה מרכז המעגל החוסם רדיוס המעגל החוסם צריך להיות שווה למרחק של M מכל אחת מהנקודות A,B,C.
כלומר:
R = MB = MC = MA.
אנו יודעים כי:
MB = MC = 6

לכן בעזרת משפט הסינוסים ניתן לחשב את רדיוס המעגל החוסם ולראות אם הוא שווה 6 (כמו MB, MC).

R = 6.055
מצאנו כי R ≠ 6 לכן:
R ≠ MB = MC
והנקודה M היא לא מרכז המעגל החוסם.

פתרון בדרך שנייה
נשרטט את המעגל החוסם את המשולש.

אם BC היה קוטר המעגל אז זווית BAC היא הזווית ההיקפית הנשענת עליו והיא הייתה צריכה בגודל של 90 מעלות.
מכוון ש:
BAC = 82
BC הוא לא קוטר ולכן גם לא עובר דרך מרכז המעגל, לכן M היא לא מרכז המעגל.

7.שאלות על מרובעים

מתוך 15 שאלות הבגרות שראיתי:

  • 7 שאלות היו על משולשים בלבד.
  • 7 שאלות כללו מרובעים ומשולשים.
  • שאלה אחת כללה מעגל ומשולשים.

בשאלות על מרובעים אתם צריכים לזכור את תכונות המרובעים.
אני לא אעבור כאן על כל תכונות המרובעים רק אזכיר 3 תכונות שימושיות.

1.כאשר מעבירים אלכסון בין ישרים מקבילים כמעט תמיד יש גם שימוש לזוויות המתחלפות השוות שאלכסון זה יוצר.
בטרפז שתי הזוויות המסומנות באדום הן זוויות מתחלפות שוות.
במקבילית שתי הזוויות האדומות הן מתחלפות שוות וגם שתי הזוויות השחורות הן מתחלפות שוות.

2.בין שני ישרים מקבילים וישר החותך אותן נוצרות זוויות שסכומם 180 מעלות.
סכום הזוויות האדומות בשרטוט למטה הוא 180 מעלות.
סכום הזוויות השחורות בשרטוט למטה הוא 180 מעלות.

3.במעוין וריבוע האלכסונים הם חוצי זווית.

בדלתון האלכסון הראשי הוא חוצה זווית
(אבל האלכסון המשני הוא לא חוצה זווית).
האלכסון הראשי הוא האלכסון היוצא מקודקוד שני המשולשים שהם שווי שוקיים.

עוד באתר:

 3.פתרון תרגילים מהבגרות בטריגונומטריה

קיץ 2019 שאלה 5

סעיף א
ניצור את המשוואה הזו בעזרת משפט הסינוסים ונקבל:

נמצא כי AC = 15.32

סעיף ב
נמצא את שתי הזוויות האחרות במשולש שווה השוקיים.
מכוון שזוויות הבסיס שוות נמצא כי כל אחת מהזוויות שווה ל 25 מעלות.

עכשיו ניתן למצוא את אורכי השוקיים ולחשב את שטח המשולש בעזרת הנוסחה:
S = 0.5AC*CB * sin 25
S = 27.364

סעיף ג

נסתכל על משולש EBC ונראה שיש לנו את הנתונים למציאת EB.
במשולש זה נבנה את המשוואה:
EB / CB = sin 25
EB = sin 25 * CB
EB = 3.941

קיץ 2019 מועד ב

סעיף א
חישוב זווית BDC נעשה בעזרת משפט הקוסינוסים במשולש BDC.
BDC = 34.77

סעיף ב
קו המחשבה צריך להיות "איך הסעיף הקודם עוזר לנו?"

  1. ABD = DBC  זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  2. מכוון שמשולש ABD הוא משולש שווה שוקיים אנו יודעים את שלושת הזוויות שבו ואנו יודעים גם את הצלע BD. לכן בעזרת משפט הסינוסים נוכל לחשב את AD.
  3.  AD = 3.65

סעיף ג

  1. D = 180 – A = 69.54
  2. במשולש ADF אנו יודעים את AD = 3.65,  S = 8,  FDA = 69.54 ניתן למצוא את DF בעזרת הצבה בנוסחה לשטח משולש.
  3. DF = 4.678

סעיף ד
במשולש ADF אנו יודעים 3 זוויות ושתי צלעות.
בעזרת הצבה במשפט הסינוסים נמצא את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.
R =2.57

חורף 2019

סעיף א
ניתן למצוא את BD בעזרת הצבה של נתונים במשפט הסינוסים או משפט הקוסינוסים.
BD = 11.94.

סעיף ב
במשולש ADC אנו יודעים  DA הוא חצי מ BD. וגם ש DC = 10.
חסרה לנו זווית ADC על מנת לחשב את שטח המשולש.

אבל ניתן למצוא את ADC בעזרת המשולש הצמוד.

  1. נמצא את זוויות CDA באמצעות משפט הסינוסים או הקוסינוסים.
  2. נמצא את הזווית ADC המשלימה אותה ל 180 מעלות.
    ADC = 114.38

סעיף ג
יש שתי דרכים לפתור את השאלה
דרך ראשונה
הנקודה M היא מרכז המעגל החוסם רק אם המרחק שלה משלושת קודקודי משולש BDC הוא שווה.
ניתן לחשב את גודל הרדיוס בעזרת משפט הסינוסים.
אם הוא יוצא 6 אז M היא מרכז המעגל החוסם.
הרדיוס הוא לא 6 לכן M היא לא מרכז המעגל החוסם.

דרך שנייה
אם M היא מרכז המעגל החוסם אז BC הוא קוטר והזווית BDC היא הזווית ההיקפית הנשענת על הקוטר.
מכוון שגודל זווית BDC הוא לא 90 אז M היא לא מרכז המעגל החוסם.

קיץ 2018 מועד ב

שרטוט התרגיל

סעיף א
tg ∠ADB = 3a : a = 3
ADB = 71.56

סעיף ב
משולש BDC הוא משולש שווה שוקיים.

BDC = 81.56
BCD = ∠DBC = (180 – 81.56) / 2 = 49.22

על פי משופט הסינוסים במשולש זה:
BC / sin 81.56 = BD / sin 49.22
BC = a*sin 81.56 / sin 49.22 = 1.3a

סעיף ג
BDC = 10 +71.56 = 81.56
CBD = ∠BCD = 0.5 (180 – 81.56) = 49.22  על פי סכום זוויות במשולש שווה שוקיים BDC.

ABC = 90 – 49.22 = 40.78

על פי משפט הקוסינוסים במשולש ABC
AC² = AB² + BC² – 2AB*BC*cos 40.78
AC² = 9a² + 1.69a² – 7.8a²*0.757 = 10.69a² – 5.9a²
AC² = 4.79a²
AC = 2.188a

סעיף ד
SABDC = SABC + SBDC
הנתון החסר לנו הוא SABC
דרך הפתרון היא למצוא את a בעזרת המשוואה:
SBDC = 30
ואז לחשב את SABC.

במשולש BDC.
BD = a,  BC = 1.3a,   DBC = 49.22
נחשב את שטח המשולש בעזרת נוסחת הסינוס:
a*1.3a*sin 49.22 * 0.5 = 30
0.49a² = 30  / : 0.49
a² = 60.95
a = 7.8

במשולש ABC
SABC = 3a * 1.3a * sin 40.78 * 0.5
SABC  = 1.27a² = 1.27 * 7.8² = 77.49

SABDC = SABC + SBDC = 77.49 + 30 = 107.49
תשובה: 107.49 סמ"ר.

קיץ 2017 שאלה 5

שרטוט התרגיל טריגונומטריה קיץ 2017

סעיף א. חישוב זווית PAM.
על פי משפט הסינוסים במשולש PAM.
sin MAP / 0.6x = sin MPA / X
sin MAP = 0.6 sin 100 = 0.59
MAP = 36.15∠
האפשרות MAP=180-36.15=143.85∠ אינה אפשרית משום שזווית AMP =100∠ וביחד סכומן במשולש PAM עולה על 1800 מעלות.

חישוב BC.
על פי משפט הסינוסים במשולש ABC.
sin BAC / BC = sin ABC / AC
BC = sin BAC *AC / sin ABC
BC = sin 36.15 * 16 / sin 120 = 10.9
תשובה: BC = 10.9 ס"מ.

ב. חישוב BM.

  1. נמצא את זווית BCM
    במשולש ABC:
    BCM = 180 -120- 36.15 = 23.85
  2. על פי משפט הקוסינוסים במשולש BMC.
    BM² = BC² + CM² – 2BC*MC cos BCM
    BM² = 10.9² + 12² – 2*12*10.9 cos 23.85
    BM² = 118.81 + 144 -239.261 = 23.549
    BM = 4.85
    תשובה: BM=4.85 ס"מ.

ג. מציאת היחס בין שטחי משולשים.
הגובה לצלע AM ולצלע MC  הוא אותו גובה.
לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא היחס בין הבסיסים AM / MC
AM / MC = 4/12 = 1/3
תשובה: היחס הוא 1:3.

חורף 2017 שאלה 5

שרטוט התרגיל
שרטוט התרגיל

סעיף א
במשולש FEA יש לנו מספיק נתונים.

EF=COS 62 * 0.6a=0.281a

חלק שני
נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש EFB.
1. ∠EFB=180-62=118 – זוויות צמודות משלימות ל 180 מעלות.
2. על פי משפט הקוסינוסים במשולש EFB:
BE²=a² + (0.281a)²-2a*0.281a*cos118
BE²=a² +0.0789a² + 0.264a²=1.3429a²
BE=1.15a

סעיף ב
1. EF=0.281*5=1.45
2. FB=0.6*5=3
3. BE=1.15*5=5.75
4. על פי משפט הסינוסים במשולש EFB:

EBF=12.71∠ (התשובה יכולה להיות מעט שונה בהתאם "לעיגולים" שעשיתם בדרך).

חלק שני
הרעיון הוא למצוא את BG ו EG ואז לחשב שטח משולש על פי שתי צלעות וסינוס הזווית שבניהן.
∠EAF=180-90-62=28 – משלימה ל 180 מעלות במשולש EAF.
AB=0.6a + a =5+3=8
tan 28 = BG/AB
BG=tan 28*AB=4.254

על פי משפט פיתגורס במשולש GBA.
AG²= AB²+BG²=8²+4.254²=64+18.1=82.1
AG=9.06

על פי משפט פיתגורס במשולש AEF.
AE²=AF²-EF²=3²-1.45²=6.9
AE=2.63
EG=AG-AE=9.06-2.63=6.41
נחשב את שטח משולש EGB:

תשובה: שטח המשולש 12.035 יחידות ריבועיות.

קיץ 2016 שאלה 5

שרטוט התרגיל
שרטוט התרגיל

סעיף א
על פי משפט פיתגורס במשולש CAG.
CG²=CA²+AG²=6²+6²
CG=√72
על פי משפט פיתגורס במשולש EBC.
CE²=EB²+BC²=4²+4²
CE=√32

סעיף ב
ניתן לפתור זאת בעזרת משפט הקוסינסים במשולש ABC.
נגדיר a זווית בסיס.
AB²=AC²+BC²-2AC*BC*COS a


cos a = 16/48=1/3
a=70.53
תשובה: זווית הבסיס שווה ל 70.53 מעלות.

סעיף ג
נחשב את שטחי המשולשים בעזרת שתי צלעות וסינוס הזווית שבניהם.
במשולש ABN.
AB=6.
BN=(√32)/2=√8 – אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה לשני חלקים שווים.
ABN=70.53+45=115.53∠
שטח המשולש הוא:

במשולש BCM.
BC=4
CM=(√72)/2=√18 – אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה לשני חלקים שווים.
BCM =70.53+45=115.53∠
שטח המשולש הוא:

תשובה: שטח שני המשולשים הוא 7.657 והוא זהה.

סעיף ד
נעשה זאת בעזרת משפט הקוסינוסים במשולש ABN.
AN²=AB²+BN²-2*AB*BN*COS 115.53
AN²=6²+8-2*6*√8*COS 115.53
AN²=44+14.628=58.628
AN=7.656

קיץ 2016 מועד ב שאלה 5

נתונים
AD ו CE תיכונים הנפגשים בנקודה M.
AG=12, CE=9 ס"מ.
CMD=40∠

שרטוט התרגיל טריגונומטריה קיץ 2016 מועד ב

  1.  סעיף א. ? =MC, MD.
    נקודת המפגש של התיכונים מחלקת את התיכונים ביחס של 1:2.
    לכן אם AM=X אז MD=2X.
    AM+MD=3X=12
    X=4
    לכן  MD=4.
    EM=Y, MC=2Y
    EM+MC=3Y=9
    Y=3
    לכן MC=6.
  2. סעיף ב. BC=?
    במשולש ΔCMD על פי משפט הקוסינוסים:
    (DC² = MD² + CM² -2MD*CM* COS(∠CMD
    (DC² = 4² + 6² – 4*6*2*COS (40
    DC²=16+36-48*0.766
    DC²=52-36.768
    DC²=15.232
    DC=3.9
    BC=2DC=2*3.9=7.8
    תשובה: BC=7.8 ס"מ.
  3. סעיף ג. CMD∠ = ?
    על פי משפט הסינוסים במשולש ΔMCD.
    MD / sin MCD = DC / sin DMC
    sin MCD =(MD * sin DMC) / DC
    sin MCD = (4* sin 40) / 3.9
    sin MCD = 0.66
    MCD = 41.3∠ או 138.7
    138.7 אינה אפשרית משום שבמשולש מול הצלע הגדולה נמצאת הזווית הגדולה והצלע MC=6 ס"מ וגדולה יותר מהצלע MD=4 ס"מ לכן MCD∠ לא יכולה להיות זווית קהה.
  4. סעיף ד. SADB = ?
    MDB= 180- ∠CMD – ∠MCD∠
    98.7=180-40-41.3 – סכום זוויות ב ΔMDB שווה ל 180 מעלות.
  5. BDA=180-∠MDB=180-98.7=81.3∠ – סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות.
  6. SADB = (BD*AD*SIN BDA) :2
    SADB = (3.9*12*SIN 81.3) :2
    SADB = (3.9*12*SIN 81.3) :2 =46.26
    תשובה: שטח המשולש הוא 46.26 סמ"ר.

הרעיון בשאלה: לזהות את השימוש במשפט התיכונים, הקוסינוסים, הסינוסים וחישוב שטח משולש.

חורף 2016 שאלה 5

שרטוט התרגיל טריגונומטריה חורף 2016

נתונים:
משולש ישר זווית ΔABC. זווית B=90∠.
CE גובה ליתר.
AD חוצה זווית.
AC=10 ס"מ.
CAB=50∠ מעלות.

א. חישוב שטח משולש CFD.
על מנת לפתור זאת עלינו למצוא צלע במשולש ΔCFD.
ולאחר מיכן נמצא גם זוויות.

  1. במשולש ΔACD.
    tan 25 = CD/AC
    CD= tan 25 * AC
    CD=O.466*10=4.66
  2. CAD=50/2=25∠ – מכוון ש AD הוא חוצה זווית.
  3. במשולש ΔACD.
    CDA=180-90-25=65∠ – סכום זוויות במשולש הוא 180.
  4. במשולש ΔAFE
    EFA = 180-90-65=25∠ – סכום זוויות במשולש הוא 180.
  5. CFD=∠EFA=65∠ – זוויות קודקודיות שוות.
  6. FC=CD=4.66 – במשולש ΔFCD מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות.
  7. FCD=180-65-65=50∠ – סכום הזוויות במשולש ΔFCD הוא 180 מעלות.
  8. SFCD= (4.66²*sin 50) :2
    SFCD= 16.657:2=8.32

ב. מציאת אורך הקטע FB.

  1. במשולש ΔABC.
    tan 50 = BC / AC
    BC = AC * tan 50
    BC = 10 * 1.19=11.9
  2. במשולש ΔCFB על פי משפט הקוסינוסים:
    FB²=CB² + FC²-2FC*CB*cos 50
    FB²=11.9²+4.66²-2*11.9*4.66*0.64
    FB²=141.61+ 21.715-70.98
    FB²=92.345
    FB=9.61

ג. חישוב הרדיוס החוסם של משולש ΔFEB.

  1. משולש ΔFEB הוא משולש ישר זווית FEB=90∠.
  2. FB הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש – זווית היקפית השווה ל 90 מעלות נשענת על קוטר.
  3. r=FB/2=9.61:2=4.805.

2 מחשבות על “טריגונומטריה 481 מתמטיקה 4 יחידות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים (AB=AC)
    AD ו-BE הם תיכוניים היוצאים בהתאמה מהקודקודים A ו-B
    (השאלה עצמה הוסרה)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אילנית
      הבעיה בשאלות שלך היא שצריך לשרטט אותן, לכן לא ניתן לענות עליהן.