משוואות טריגונומטריות סיכום

בדף זה אתם יכולים ללמוד על משוואות טריגונומטריות בשתי דרכים.
מהסיכום שנמצא בהמשך הדף.
מהקישורים שנמצאים כאן.

חלק טריגונומטרי של הלימוד:

  1. משוואות טריגונומטריות בסיסיות.
  2. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin(bx + c) = a.
  3. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  4. משוואות טריגונומטריות בתחום סגור.

חלק אלגברי של הלימוד

  1. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  2. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  3. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  4. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.

מכאן והלאה יש סיכום.
הסיכום הוא לא קצר – אבל גם הנושא הוא ארוך יחסית.

כמו כן יש כן סרטון המסכם את החומר.

מבוא

אנו רגילים למשוואות עם נעלם אחד הנראות כך:
2x = 4
למשוואה זו פתרון יחיד.

לעומת זאת למשוואה הטריגונומטרית עם נעלם אחד:
sin x = 0.5
יש אינסוף פתרונות.

התכונות המיוחדות של הפונקציות הטריגונומטריות שגורמות להבדל הזה הן מה שמחייב אותנו ללמוד באופן מיוחד את המשוואות הטריגונומטריות.

שני כיוונים של למידה: טריגנומטריה ואלגברה

ללמידה של פתרון משוואות טריגונומטריות יש שני חלקים:

  1. חלק טריגונומטרי: למידת זהויות טריגונומטריות ותכונות בעזרתן פותרים משוואות.
  2. חלק אלגברי: שימוש בכלים אלגבריים: הוצאת גורם משותף, משוואה ריבועית והוצאת שורש לפתרון משוואות.

החלק הטריגונומטרי כולל את המשוואות הבאות:

  1. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin (x) = a.
  2. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin(bx + c) = a.
  3. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  4. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות (חלק זה לא תמיד נדרש, בדקו בתוכנית הלימודים)

בחלקים הללו אנו לומדים להשתמש בתכונות / זהויות טריגונומטריות על מנת לפתור את המשוואות.

לקריאה של ההבדלים בין ארבעת המשוואות לחצו כאן

במספרים 1,2 יש לנו פונקציה טריגונומטרית השווה למספר (a).
במספר 2 יש גם מספרים יחד עם x.
במספר 3 יש פונקציה טריגונומטרית השווה לפונקציה טריגונומטרית אחרת.
במספר 4 יש יותר מפונקציה טריגונומטרית אחת.

בחלק השני אנו לומדים להשתמש בכלים אלגבריים על מנת לפתור משוואות:

  1. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  2. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  3. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית

החלק הטריגונומטרי

בחלק זה אנו נלמד לפתור משוואות כאלו:

sin (x) = a.
sin(bx + c) = a
(sin(bx + c) = sin(dx + e
(sin(bx + c) = – sin(dx + e

אנו נלמד לפתור את המשוואות הללו עבור שלושת הפונקציות הטריגונומטריות sin, cos, tg.

זהויות טריגונומטריות שהכרחי לדעת

לכל פונקציה טריגונומטרית מוזכרות כאן 3 זהויות.
את שתי הזהויות הראשונות עליכם לדעת על מנת לפתור את המשוואות הפשוטות ביותר, אלו שנלמדות בדף זה.
את הזהות השלישית יש לדעת על מנת לפתור תרגילים מורכבים יותר.

פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x

פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
tg(180-x) = – tgx
(tg (-x) = – tg (x

1.פתרון משוואות מהסוג sin x = a

 

עבור פונקציית הסינוס והקוסינוס שלבי הפתרון הם:

  1. מוצאים את הפתרונות בתחום 0-360 מעלות בעזרת מחשבון ובעזרת הנוסחאות
    (sin x = sin (180-x), cos x = cos (-x
  2. מוצאים את הפתרון הכללי על ידי הוספת 360k± לכל אחד מהפתרונות

דוגמה, פתרו את המשוואה:
sin x= 0.5

פתרון
את הפתרון הראשון נקבל מהמחשבון. והוא:
x = 30

ובנוסף אנו יודעים שעבור פונקציית הסינוס:
(sin x = sin (180 – x
לכן
sin 30 = sin 150
אז הפתרון השני הוא
x = 150

אלו הן שתי הפתרונות שבתחום שבין 0 ל 360.
אבל מה עם הפתרונות שיותר גדולים מ 360 או יותר קטנים מ 0?
למשל x = 390 או x = -150
לכן נוסיף 360k± לכל פתרון.

התשובה הסופית תהיה:
x1 = 30 ± 360k,  x2 = 150 ± 360k
יש כאלו המתייחסים אל k כאל מספר היכול לקבל ערכים שליליים ואז הפתרון הוא:
x1 = 30 + 360k,  x2 = 150 + 360k

עבור פונקציית הטנגס שלבי הפתרון הם:
הזהות הטריגונומטרית
(tg x = tg (x + 180
כוללת את שני הפתרונות בתחום 0-360.
לכן נמצא פתרון יחיד בתחום 0-360 ואז נשתמש בזהות.

דוגמה
x = 50 הוא פתרון.
אז גם
x = 230  הוא פתרון.

את הפתרון הכללי כותבים כך:
x = 50 ± 180k

Spoiler title

עבור פונקציית הסינוס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 360 מעלות ומכוון:
(sin x = sin(180 – x
זו תהיה דרך הפתרון.

 

עבור פונקציה הקוסינוס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 360 מעלות ומכוון:
(cos x = cos (-x

 

עבור פונקציית הטנגס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 180 מעלות:

 

2.פתרון משוואת מהסוג sin(bx + c) = a

 

קודם נקבל את הפתרון שמשמאל ולאחר מיכן את הפתרון שמימין
קודם נקבל את הפתרון שמשמאל ולאחר מיכן את הפתרון שמימין

במשוואות מסוג זה יש מקדם ל x.
ועלינו לחלק במקדם הזה.
מה שחשוב לזכור הוא שכאשר מחלקים צריך לחלק גם את

± 360k

דוגמה, פתרו את המשוואה:
cos (2x -10) = -0.17364

בעזרת המחשבון נמצא
2x – 10 = 100
2x – 10 = 100 ± 360k
2x = 110 ± 360k
x = 55 ± 180k

אפשרות שנייה על פי (cos a = cos(-a
2x – 10 = -100 ± 360k
2x = -90 ± 360k
x = -45 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 55 ± 180k,   x2 = -45 ± 180k.

3.משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו סוג

 

דוגמה 1
(cos (2x – 30) = cos (4x  + 10

אפשרות ראשונה על פי הזהות הטריגונומטרית (cos x = cos (x + 360k
2x – 30 = 4x + 10 ± 360k
2x = 40 ± 360k –
x = – 20 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הזהות הטריגונומטרית  (cos a = cos (-a
2x – 30 = – (4x + 10) ± 360k
2x – 30 = -4x – 10 ± 360k
6x = 20 ± 360k
x = 3.33 ± 60k

פתרון פונקציית הסינוס נראה כך:
(sin (3x – 10) = sin (x – 20

אפשרות ראשונה על פי הזהות (sin x = sin (x + 360k
3x – 10 = x – 20 ± 360k
2x = – 10 ± 360k
x = -5 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הזהות הטריגונומטרית (sin x = sin (180-x
3x – 10 = 180 – (x -20) ± 360k
4x =210 ± 360k
x = 52.5 ± 90k

פתרון פונקציית הטנגס נראה כך:
(tg (5x) = tg (2x – 60

הפתרון הוא על פי הזהות (tg x = tg (x + 180k
5x = 2x – 60 ± 180k
3x = -60 ± 180k
x = -20 ± 60k

כאשר הפונקציה זהה אבל יש גם סימן מינוס

 

 

כאשר נקבל משוואה עם פונקציה זהה, אבל עם סימן מינוס באחד הצדדים, למשל כזו:
(sin x = sin (3x – 10

נשתמש בזהויות הטריגונומטריות הבאות על מנת להפוך את האיבר שכולל מינוס לאיבר שאינו כולל מינוס.

  • (sin x = sin (-x-
  • (cos x = cos (180 – x-
  • (tg (x) = tg (-x –

כמו כן נשתמש בזהויות שהשתמשנו על מנות לפתור משוואות פשוטות יותר.

דוגמה 1
sin (3x -10) + sin (4x) = 0 

פתרון
(sin (3x – 10) = – sin (4x

נשתמש בזהות
(sin x = sin (-x-
נקבל:
(sin (3x -10) = sin (-4x

אפשרות ראשונה
3x – 10 = -4x ± 360k
7x = 10 ± 360k
x = 1.428 ± 51.428k

אפשרות השנייה על פי הזהות (sin x = sin (180-x
3x – 10 = 180 – (-4x) ± 360k
x = 190 ± 360k-
x = -190 ± 360k

הפתרונות הם:
x1 = 1.428 ± 51.428k,   x2 = -190 ± 360k.

 4.משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות

יש 4 סוגים של משוואות עם פונקציות טריגונומטריות שונות.

בכל המקרים אנו נרצה לעבור למשוואה עם פונקציה טריגונומטרית אחת.

ניתן לעשות זאת בשתי דרכים:

  1. בחלק מהמקרים חלוקת המשוואה ב cosx מביא אותנו למטרה.
  2. שימוש בזהויות טריגונומטריות:

מעברים הפונקציות הטריגונומטריות השונות
(sin x = cos (90-x
(cos x = sin (90-x
tg x = sin x / cos x

מעברים נוספים:
sin²x + cos²x = 1
כאשר נחלק נוסחה זו ב cos ²x נקבל:
tg²x + 1 = 1/cos²x

מעברים הקשורים לנוסחה
cos2x = cos²x – sin²x

1.משוואת ללא מקדם לפני הפונקציות או עם מקדם זהה.
sin x = cosx
וגם:
7sin x = 7cosx

דרך הפתרון
ניתן לקבל משוואה עם פונקציה זהה על ידי הפיכת הקוסינוס לסינוס בעזרת הזהות
(cos x = sin (90- x

דרך פתרון נוספת היא לחלק את המשוואה ב cos x ולקבל
tg x = 1
ניתן לחלק רק בתנאי שמתנים קודם לכן:
cos x ≠ 0.

לצפייה בפתרון מלא של תרגילים מסוג זה

תרגיל
sin x = cosx

פתרון

נקבל:
(sin x = sin (90 – x

אפשרות ראשונה
x = 90 – x ± 360k
2x = 90 ± 360k
x = 45 ± 180k

אפשרות שנייה
על פי הזהות (sin x = sin (180 – x
הפתרון השני הוא:
x = 180 – (90 – x) ± 360k
x = 90 + x ± 360k
למשוואה זו אין פתרון.

תשובה: x = 45 ± 180k

 

2.משוואות עם מקדם שונה לפני הפונקציות

sin x = 2cos x

דרך הפתרון
במקרה זה חייבים לחלק ב cos x.
ניתן לחלק רק בתנאי שמתנים קודם לכן:
cos x ≠ 0.

לצפייה בפתרון מלא של תרגילים מסוג זה

sin x = 2cos x

פתרון
נחלק את המשוואה ב cos x כאשר התנאי הוא:
cos x ≠ 0
x ≠ 90 ± 180k

לאחר החלוקה נקבל:
tg x = 2
x = 63.43 ± 180k

3.פונקציות עם חזקות שונות.

cox + sin²x  = 0

דרך הפתרון
במקרה זה ננסה להפוך את המשוואה למשוואה עם פונקציה יחידה על ידי הנוסחאות:
sin²x + cos²x = 1
או

גם הנוסחה הבאה שימושית בשאלות מסוג זה:

 

לצפייה בפתרון מלא של תרגיל מסוג זה

cox + sin²x  = 0

במקרה זה נשתמש בנוסחה:
sin²x + cos²x = 1
שניתן להפוך אותה גם ל:
sin²x = 1 – cos²x

נציב את הזהות הזו במשוואה ונקבל:
cos x + 1 – cos²x = 0
cos²x + cos x + 1 = 0-

אם נציב cos x = t
נקבל משוואה ריבועית.
t² + t + 1 = 0-
שאותה ניתן לפתור כמו שאנו פותרים משוואה ריבועית.

4.משוואה עם פונקציות שונות ומספר

 

 

למשל:
sin 2x + cos 2x = 0.7

תלמידי 4 יחידות לא זקוקים לחלק זה.
תלמידי 5 יחידות בדקו עם המורה אם אתם זקוקים לו.

דרך הפתרון

  1. נהפוך את המשוואה למשוואה עם פונקציה יחידה.
  2. נשתמש בזהויות של חיבור פונקציות ונקווה לקבל משוואה הכוללת זווית אחת בלבד.
לצפייה בפתרון מלא של תרגיל מסוג זה לחצו כאן

sin 2x + cos 2x = 0.7
במקרה זה נהפוך את המשוואה למשוואה עם אותה הפונקציה ואז נשתמש באחת הזהויות של סכום או הפרש פונקציות.

sin 2x + cos 2x = 0.7
sin 2x + sin (90-2x) = 0.7
2sin 45 cos(2x -45) = 0.7
cos (2x -45) = 0.7 / 2sin 45
cos (2x -45) = 0.5

למשוואה זו שתי אפשרויות פתרון:
אפשרות ראשונה
cos (2x – 45) = cos 60
2x – 45 = 60 + 360k  / +45
2x = 105 + 360k  / : 2
x = 52.5 + 180k

אפשרות שנייה:
cos (2x – 45) = cos -60
2x – 45 = -60 +360k / +45
2x = -15 +360k / : 2
x = -7.5 + 180k

עד עכשיו התמקדנו בנושאים טריגונומטריים.
בהמשך הדף נתמקד בכלים אלגבריים לפתרון משוואות.

טכניקה אלגברית לפתרון משוואת טריגונומטריות

על מנת לפתור משוואות טריגונומטריות נשתמש בטכניקות האלגבריות הבאות:

  1. הוצאת גורם משותף.
  2. יצירה ופתרון של משוואה ריבועית.
  3. הוצאת שורש.

1.פתרון משוואות טריגונומטריות בעזרת הוצאת גורם משותף

פתרון משוואות טריגונומטריות על ידי הוצאת גורם משותף זו טכניקה בסיסית שעליכם לדעת.
במעט מקרים גם נוסחאות הכפל המקוצר ישמשו אותכם על מנת לפתור תרגילים.
(a² – b²= (a-b)*(a+b
a+b)²= a²+2ab+b²)
a-b)²= a²-2ab+b²)

במספר מצומצם עוד יותר של מקרים גם פירוק לגורמים על פי קבוצות יכול להיות שימושי (בעיקר לתלמידי אוניברסיטה).

דרך הפתרון בשיטה זו מתבססת על כך שאם יש מכפלת איברים השווה ל 0 אז לפחות אחד האיברים שווה ל 0.
כלומר אם:
x*y = 0
אז x  ו / או y שווים ל 0.

דוגמה 1
sin²x + 0.5sinx = 0

פתרון
sin²x + 0.5sinx = 0
sin x (sinx + 0.5) = 0

אפשרות ראשונה
sin x = 0
x = 0 ± 360k
או
x = 180 – 0 ± 360k
את שתי האפשרויות הללו ניתן להציג על ידי
x = 0 ± 180k

אפשרות שנייה
sinx + 0.5 = 0
sin x = -0.5
x = 330 ± 360k
או
x = 210 ± 360k

תשובה: הפתרונות הם:
x = 0 ± 180k
x = 330 ± 360k
x = 210 ± 360k

דוגמה 2
tg²x – 0.16 = 0

לחצון לצפייה בפתרון התרגיל

פתרון
tg²x – 0.16 = 0
על פי נוסחת הכפל המקוצר:
(a² – b²= (a-b)*(a+b
נקבל:
tg x + 0.4) (tg x – 0.4) = 0)

אפשרות ראשונה
tg x + 0.4 = 0
tg x = -0.4
x = 158.2 ± 180k

אפשרות שנייה
tg x – 0.4 = 0

tg x = 0.4
x = 21.8 ± 180k

2.פתרון משוואות טריגונומטריות בעזרת הפיכתן למשוואה ריבועית

את חלק מהמשוואות הטריגונומטריות ניתן להפוך למשוואה ריבועית.

משוואות שניתן באופן מידי להפוך למשוואה ריבועית
יש משוואות שנוכל להפוך אותן באופן מיידי למשוואה ריבועית.
למשל:
cos²x + 3cosx + 2 = 0
נגדיר:
cos x = t
ואז ניתן לכתוב את המשוואה כך:
t² + 3t + 2 = 0

עכשיו נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל
t = -1,  t = -2
מציבים בחזרה cos x = t ומקבלים את המשוואות:
cos x = -2
זו משוואה ללא פתרון.
cos x = -1
x = 180 ± 360k

משוואות שצריך להשתמש בזהויות טריגונומטריות על מנת להפוך אותן למשוואה ריבועית
שתי זהויות טריגונומטריות שימושיות המאפשרות ליצור משוואה ריבועית הן:
sin²x + cos²x = 1
cos 2x = cos ²x – sin²x

למשל:
sin x – cos²x – 0.5 = 0
נשתמש בזהות:
cos²x = 1 – sin²x
ונקבל:
sin x – (1 – sin²x) – 0.5 = 0
sin x -1 + sin²x – 0.5 = 0
sin²x + sin x – 1.5 = 0
נציב sin x = t
t² + t -1.5 = 0

פתרון משוואה ריבועית זו הוא:
t1 = 0.822,   t2 = -1.822

נחזור אל המשתנה x.
sin x = -1.822
זו אפשרות שאינה קיימת והיא נפסלת.

sin x = 0.822
x1 = 55.28 ± 360k
x2 = 124.72 ± 360k

3.פתרון משוואות טריגונומטריות באמצעות הוצאת שורש

בחלק זה נלמד כיצד פותרים משוואות טריגונומטריות הנראות כך:
sin² x = 0.25

שימו לב שלהרבה מהמשוואות הללו יש 4 פתרונות בתוך התחום של 0-360 מעלות.

דרך ראשונה וקלה מבחינת ההבנה שלה היא להוציא שורש לשני צדדי המשוואה.
כאשר נעשה זאת נקבל
sin x = 0.5   או  sin x = -0.5
ומכאן ממשיכים כפי שכבר למדנו.

אבל זו דרך ארוכה יחסית.

דרך נוספת
עבור הפונקציות sin²x,  cos²x יש אפשרות להשתמש בזהויות

ולהפוך את המשוואות למשוואות ללא חזקה.
דרך זו קצרה יותר.

עבור הפונקציה tg² x אין את האפשרות הזאת וחייבים להוציא שורש.

דוגמה 1
sin² x = 0.25

דרך ראשונה: הוצאת שורש
sin² x = 0.25
כאשר נוציא שורש לשני צדדי המשוואה נקבל
sin x = 0.5
או
sin x = -0.5

לכל אחת מהמשוואות הללו יש 2 פתרונות בתחום 0-360.
נתחיל ב:
sin x = 0.5
בעזרת המחשבון נקבל כי:
x = 30 ± 360k

על פי הזהות הטריגונומטרית (sin x = sin (180 – x נקבל גם:
x = 150 ± 360k

עבור המשוואה:
sin x = -0.5
נקבל:
x = 330 ± 360k
או
x = 210 ± 360k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 360k,  x2  = 150 ± 360k
x3  = 330 ± 360k ,  x4  = 210 ± 360k

דרך שנייה לפתור : שימוש בזהות:

sin² x = 0.25
לאחר השימוש בזהות נקבל:

cos 2x + 1 = 0.5-
cos 2x = -0.5-
cos 2x = 0.5

אפשרות ראשונה
2x = 60 ± 360k
x = 30 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הנוסחה
2x = -60 ± 360k
x = -30 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 180k,  x2  = -30 ± 180k

 

דוגמה 2
cos² x =0.75

לחצו לצפייה בפתרון

דרך פתרון ראשונה: נוציא שורש
cos² x =0.75
cos x = 0.866
או
cos x = -0.866

עבור
cos x = 0.866
x = 30 ± 360k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
x = -30 ± 360k

עבור
cos x = -0.866
x = 150 ± 360k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
x = -150 ± 360k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 360k,  x2  = x = -30 ± 360k
x3  = 150 ± 360k ,  x4  = -150 ± 360k

דרך פתרון שנייה: בעזרת זהות טריגונומטרית

cos² x =0.75
לאחר השימוש בזהות נקבל:

cos 2x + 1 = 1.5
cos 2x = 0.5

אפשרות ראשונה
2x = 60 ± 360k
x = 30 ± 180k

אפשרות שנייה על פי הזהות (cos x = cos (-x
2x = – 60 ± 360k
x = – 30 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 30 ± 180k,  x2  = -30 ± 180k

דוגמה 3
tg ² x = 1

לחצו לצפייה בפתרון

פתרון
עבור פונקציית ה tg אין לנו זהות שניתן להשתמש בה.
אנו חייבים להוציא שורש.

לאחר הוצאת השורש נקבל:
tg x = 1
או
tg x = -1

עבור tg x = 1
הפתרון הוא
x = 45 ± 180k

עבור tg x = -1
הפתרון הוא:
x = 335 ± 180k

הפתרונות הם:
x1 = 45 ± 180k,  x2  = -30 ± 180k

 

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “משוואות טריגונומטריות סיכום”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      קשה לא לענות על השאלה כי אין סדר אחד.
      ברור שאלגברה בסיסית – פתרון משוואות זה הכרחי.
      גם פתרון בעיות מילוליות – תורם לנושאים אחרים.
      מעבר לזה קשה לענות.

  1. אם אני רוצה פתרון של משוואה טריגונומטרית, ברדיאנים, בתחום מסוים – איך אני בכלל ניגשת לפתור דבר כזה???
    אגב, אני משתמשת באתר הזה די בקביעות, והוא ממש הצלה בשבילי.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.