משוואות טריגונומטריות סיכום

בדף זה אתם יכולים ללמוד על משוואות טריגונומטריות בשתי דרכים.
מהסיכום שנמצא בהמשך הדף.

מהקישורים שנמצאים כאן.
הנושאים המופיעים בקישורים הם גם הנושאים המופיעים בדף זה:

חלק טריגונומטרי של הלימוד:

  1. משוואות טריגונומטריות בסיסיות.
  2. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin(bx + c) = a.
  3. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  4. משוואות טריגונומטריות בתחום סגור.

חלק אלגברי של הלימוד

  1. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  2. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  3. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  4. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.

מכאן והלאה יש סיכום.
הסיכום הוא לא קצר – אבל גם הנושא הוא ארוך יחסית.

1.סרטון מסכם לחלק הטריגונומטרי

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.

לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכיתה שלכם.

2.מבוא

אנו רגילים למשוואות עם נעלם אחד הנראות כך:
2x = 4
למשוואה זו פתרון יחיד.

לעומת זאת למשוואה הטריגונומטרית עם נעלם אחד:
sin x = 0.5
יש אינסוף פתרונות.

התכונות המיוחדות של הפונקציות הטריגונומטריות שגורמות להבדל הזה הן מה שמחייב אותנו ללמוד באופן מיוחד את המשוואות הטריגונומטריות.

3.שני כיוונים של למידה: טריגנומטריה ואלגברה

ללמידה של פתרון משוואות טריגונומטריות יש שני חלקים:

  1. חלק טריגונומטרי: למידת זהויות טריגונומטריות ותכונות בעזרתן פותרים משוואות.
  2. חלק אלגברי: שימוש בכלים אלגבריים: הוצאת גורם משותף, משוואה ריבועית והוצאת שורש לפתרון משוואות.

החלק הטריגונומטרי כולל את המשוואות הבאות:

  1. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin (x) = a.
  2. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin(bx + c) = a.
  3. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  4. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות (חלק זה לא תמיד נדרש, בדקו בתוכנית הלימודים)

בחלקים הללו אנו לומדים להשתמש בתכונות / זהויות טריגונומטריות על מנת לפתור את המשוואות.

לקריאה של ההבדלים בין ארבעת המשוואות לחצו כאן

במספרים 1,2 יש לנו פונקציה טריגונומטרית השווה למספר (a).
במספר 2 יש גם מספרים יחד עם x.
במספר 3 יש פונקציה טריגונומטרית השווה לפונקציה טריגונומטרית אחרת.
במספר 4 יש יותר מפונקציה טריגונומטרית אחת.

בחלק השני אנו לומדים להשתמש בכלים אלגבריים על מנת לפתור משוואות:

  1. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  2. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  3. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית

4.החלק הטריגונומטרי

בחלק זה אנו נלמד לפתור משוואות כאלו:

sin (x) = a.
sin(bx + c) = a
(sin(bx + c) = sin(dx + e
(sin(bx + c) = – sin(dx + e

אנו נלמד לפתור את המשוואות הללו עבור שלושת הפונקציות הטריגונומטריות sin, cos, tg.

זהויות טריגונומטריות שהכרחי לדעת

לכל פונקציה טריגונומטרית מוזכרות כאן 3 זהויות.
את שתי הזהויות הראשונות עליכם לדעת על מנת לפתור את המשוואות הפשוטות ביותר, אלו שנלמדות בדף זה.
את הזהות השלישית יש לדעת על מנת לפתור תרגילים מורכבים יותר.

פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x

פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
tg(180-x) = – tgx
(tg (-x) = – tg (x

1.פתרון משוואות מהסוג sin x = a

 

עבור פונקציית הסינוס והקוסינוס שלבי הפתרון הם:

  1. מוצאים את הפתרונות בתחום 0-360 מעלות בעזרת מחשבון ובעזרת הנוסחאות
    (sin x = sin (180-x), cos x = cos (-x
  2. מוצאים את הפתרון הכללי על ידי הוספת 360k± לכל אחד מהפתרונות

דוגמה, פתרו את המשוואה:
sin x= 0.5

פתרון
את הפתרון הראשון נקבל מהמחשבון. והוא:
x = 30

ובנוסף אנו יודעים שעבור פונקציית הסינוס:
(sin x = sin (180 – x
לכן
sin 30 = sin 150
אז הפתרון השני הוא
x = 150

אלו הן שתי הפתרונות שבתחום שבין 0 ל 360.
אבל מה עם הפתרונות שיותר גדולים מ 360 או יותר קטנים מ 0?
למשל x = 390 או x = -150
לכן נוסיף 360k± לכל פתרון.

התשובה הסופית תהיה:
x1 = 30 ± 360k,  x2 = 150 ± 360k
יש כאלו המתייחסים אל k כאל מספר היכול לקבל ערכים שליליים ואז הפתרון הוא:
x1 = 30 + 360k,  x2 = 150 + 360k

עבור פונקציית הטנגס שלבי הפתרון הם:
הזהות הטריגונומטרית
(tg x = tg (x + 180
כוללת את שני הפתרונות בתחום 0-360.
לכן נמצא פתרון יחיד בתחום 0-360 ואז נשתמש בזהות.

דוגמה
x = 50 הוא פתרון.
אז גם
x = 230  הוא פתרון.

את הפתרון הכללי כותבים כך:
x = 50 ± 180k

Spoiler title

עבור פונקציית הסינוס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 360 מעלות ומכוון:
(sin x = sin(180 – x
זו תהיה דרך הפתרון.

 

עבור פונקציה הקוסינוס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 360 מעלות ומכוון:
(cos x = cos (-x

 

עבור פונקציית הטנגס מכוון שהיא חוזרת על עצמה כל 180 מעלות:

 

2.פתרון משוואת מהסוג sin(bx + c) = a

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
מנוי נרכש בתשלום חד פעמי של 119 89 שקלים.
המנוי לקורס תקף עד 30.6.2022.

לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכיתה שלכם.

מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם דרך המייל:
help@m-math.co.il

12 מחשבות על “משוואות טריגונומטריות סיכום”

  1. תודה רבה רבה! נעזרת באתר באופן קבוע!
    בקשר לתרגילים האחרונים עם החזקה, כשאני רוצה להוציא שורש ויש לי מספרים וכל מיני איקסים אני צריכה להוציא מהם גם ולהוסיף אותם לחישוב אח"כ?

  2. היי, קודם כל תודה רבה הסברים מעולים ופשוטים
    תוכל להסביר יותר בבירור מה מהנושאים הם של 4 יחידות ומה צריך רק ל5 יחידות?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום קרין
      אני לא מוסמך להשיב בשם משרד החינוך.
      את צריכה לכתוב במנוע חיפוש: תוכנית לימודים 4 יחידות מתמטיקה
      ולראות בעצמך.

      ממה שאני ראיתי ולמיטב הבנתי כל מה שמופיע כאן אולי בלי משוואות עם פונקציות טריגונומטריות שונות שייך ל 4 יחידות.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הכיוון שנראה לי הוא להשתמש במשוואה הזו:
      (sin (a+b) = sin (a) cos (b) + cos (a) sin (b
      ואז לכנס איברים בצד שמאל ולהוציא גורם משותף.
      כך נראה, לא בדקתי עד הסוף שזה עובד.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      קשה לא לענות על השאלה כי אין סדר אחד.
      ברור שאלגברה בסיסית – פתרון משוואות זה הכרחי.
      גם פתרון בעיות מילוליות – תורם לנושאים אחרים.
      מעבר לזה קשה לענות.

  3. אם אני רוצה פתרון של משוואה טריגונומטרית, ברדיאנים, בתחום מסוים – איך אני בכלל ניגשת לפתור דבר כזה???
    אגב, אני משתמשת באתר הזה די בקביעות, והוא ממש הצלה בשבילי.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.