משוואות טריגונומטריות סיכום

בדף זה אתם יכולים ללמוד על משוואות טריגונומטריות בשתי דרכים.
מהסיכום שנמצא בהמשך הדף.

מהקישורים שנמצאים כאן.
הנושאים המופיעים בקישורים הם גם הנושאים המופיעים בדף זה:

חלק טריגונומטרי של הלימוד:

1. משוואות טריגונומטריות בסיסיות.
2. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin(bx + c) = a.
3. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
4. משוואות טריגונומטריות ברדיאנים בתחום סגור.

חלק אלגברי של הלימוד

1. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
2. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
3. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
4. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
5. נספח: כתיבה מקוצרת של הפתרון (רק בחלק קטן מהמקרים זה אפשרי).

מכאן והלאה יש סיכום.
הסיכום הוא לא קצר – אבל גם הנושא הוא ארוך יחסית.

1.סרטון מסכם לחלק הטריגונומטרי

2.מבוא

אנו רגילים למשוואות עם נעלם אחד הנראות כך:
2x = 4
למשוואה זו פתרון יחיד.

לעומת זאת למשוואה הטריגונומטרית עם נעלם אחד:
sin x = 0.5
יש אינסוף פתרונות.

התכונות המיוחדות של הפונקציות הטריגונומטריות שגורמות להבדל הזה הן מה שמחייב אותנו ללמוד באופן מיוחד את המשוואות הטריגונומטריות.

3.שני כיוונים של למידה: טריגנומטריה ואלגברה

ללמידה של פתרון משוואות טריגונומטריות יש שני חלקים:

1. חלק טריגונומטרי: למידת זהויות טריגונומטריות ותכונות בעזרתן פותרים משוואות.
2. חלק אלגברי: שימוש בכלים אלגבריים: הוצאת גורם משותף, משוואה ריבועית והוצאת שורש לפתרון משוואות.

החלק הטריגונומטרי כולל את המשוואות הבאות:

1. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin (x) = a.
2. משוואות טריגונומטריות מהסוג sin(bx + c) = a.
3. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
4. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות (חלק זה לא תמיד נדרש, בדקו בתוכנית הלימודים)

בחלקים הללו אנו לומדים להשתמש בתכונות / זהויות טריגונומטריות על מנת לפתור את המשוואות.

בחלק השני אנו לומדים להשתמש בכלים אלגבריים על מנת לפתור משוואות:

1. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
2. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
3. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית

4.החלק הטריגונומטרי

בחלק זה אנו נלמד לפתור משוואות כאלו:

sin (x) = a.
sin(bx + c) = a
(sin(bx + c) = sin(dx + e
(sin(bx + c) = – sin(dx + e

אנו נלמד לפתור את המשוואות הללו עבור שלושת הפונקציות הטריגונומטריות sin, cos, tg.

זהויות טריגונומטריות שהכרחי לדעת

לכל פונקציה טריגונומטרית מוזכרות כאן 3 זהויות.
את שתי הזהויות הראשונות עליכם לדעת על מנת לפתור את המשוואות הפשוטות ביותר, אלו שנלמדות בדף זה.
את הזהות השלישית יש לדעת על מנת לפתור תרגילים מורכבים יותר.

פונקציית הסינוס
(sin x = sin (x + 360k
(sin x = sin (180-x
sin (-x) = – sin x

פונקציית הקוסינוס
(cos x = cos (x + 360k
(cos x = cos (-x
cos (180-x) = – cos x

פונקציית הטנגנס
(tg x = tg (x + 180k
tg(180-x) = – tgx
(tg (-x) = – tg (x

1.פתרון משוואות מהסוג sin x = a

 

עבור פונקציית הסינוס והקוסינוס שלבי הפתרון הם:

1. מוצאים את הפתרונות בתחום 0-360 מעלות בעזרת מחשבון ובעזרת הנוסחאות
   (sin x = sin (180-x), cos x = cos (-x
2. מוצאים את הפתרון הכללי על ידי הוספת 360k± לכל אחד מהפתרונות

דוגמה, פתרו את המשוואה:
sin x= 0.5

פתרון
את הפתרון הראשון נקבל מהמחשבון. והוא:
x = 30

ובנוסף אנו יודעים שעבור פונקציית הסינוס:
(sin x = sin (180 – x
לכן
sin 30 = sin 150
אז הפתרון השני הוא
x = 150

אלו הן שתי הפתרונות שבתחום שבין 0 ל 360.
אבל מה עם הפתרונות שיותר גדולים מ 360 או יותר קטנים מ 0?
למשל x = 390 או x = -150
לכן נוסיף 360k± לכל פתרון.

התשובה הסופית תהיה:
x₁ = 30 ± 360k,  x₂ = 150 ± 360k
יש כאלו המתייחסים אל k כאל מספר היכול לקבל ערכים שליליים ואז הפתרון הוא:
x₁ = 30 + 360k,  x₂ = 150 + 360k

עבור פונקציית הטנגס שלבי הפתרון הם:
הזהות הטריגונומטרית
(tg x = tg (x + 180
כוללת את שני הפתרונות בתחום 0-360.
לכן נמצא פתרון יחיד בתחום 0-360 ואז נשתמש בזהות.

דוגמה
x = 50 הוא פתרון.
אז גם
x = 230  הוא פתרון.

את הפתרון הכללי כותבים כך:
x = 50 ± 180k

 

2.פתרון משוואת מהסוג sin(bx + c) = a